Tóm tắt lý thuyết chương 2 môn xác suất thống kê và qhtn
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (246.85 KB, 4 trang )
TÓM TẮT LÝ THUYẾT CHƯƠNG 2.
2.1 Khái niệm biến ngẫu nhiên
- Biến ngẫu nhiên là một hàm số gán giá trị thực cho mỗi kết cục của một phép thử ngẫu
nhiên.
- Biến ngẫu nhiên rời rạc là BNN nhận hữu hạn hoặc vô hạn đếm được giá trị.
- Biến ngẫu nhiên liên tục là BNN nhận vô hạn không đếm được giá trị trong một khoảng
liên tục.
2.2 Phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc
- Bảng phân bố xác suất của BNN rời rạc X
X
x1
x2
x3
…
P(X = xi)
p1
p2
p3
…
- X nhận các giá trị x1, x2, x3, . . .
- Xác suất pi = P(X = xi ) thuộc [0, 1]
- Tổng ∑ pi = ∑ P(X = xi ) = 1
i
i
2.3 Phân bố xác suất của biến liên tục
- Hàm mật độ xác suất của BNN liên tục là hàm fX (x) thoả mãn các điều kiện:
• fX (x) ≥ 0, với mọi x ∈ R
+∞
fX (x)d x = 1 (diện tích giới hạn bởi Ox và y = fX (x) bằng 1)
• ∫
−∞
• P(X = a) = 0, ∀a ∈ R .
b
P(a ≤ X ≤ b) = P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X < b) = P(a < X < b) =
f (x)d x (diện tích giới
•
∫ X
a
hạn bởi Ox và y = fX (x), x = a, x = b)
2.3 Hàm phân bố xác suất của BNN
- Hàm phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên X là hàm: FX (x) = P(X < x)
- Tính chất của hàm phân bố xác suất:
• 0 ≤ FX (x) ≤ 1, ∀x ∈ R
lim FX (x) = 0 và FX (+∞) = lim FX (x) = 1
• FX (−∞) = x→−∞
x→+∞
• FX (x) là hàm khơng giảm trên R.
• P(a ≤ X < b) = FX (b) − FX (a)
•
Với X là BNN rời rạc thì: FX (x) =
∑
xi
P(X = xi )
fX (u)du và fX (x) = F′X (x)
• Với X là BNN liên tục thì: FX (x) = ∫
−∞
2.4 Các số đặc trưng của BNN
2.4.1 Các số đặc trưng đo trung tâm của BNN
- Kỳ vọng (giá trị trung bình) của BNN X là:
•
μ = E(X ) =
∑
• μ = E(X ) = ∫
xi P(X = xi ) nếu X là BNN rời rạc
i
+∞
−∞
x fX (x)d x nếu X là BNN liên tục.
- Trung vị của BNN X là giá trị x0.5 thoả mãn x0.5 = inf{x : FX (x) ≥ 0.5} hoặc
x0.5 = sup{x : FX (x) ≤ 0.5}. Nếu X là BNN liên tục thì x0.5 thoả mãn FX (x0.5) = 0.5
- Mode của BNN X là giá trị mà P(X = x) (với X là BNN rời rạc) hoặc fX (x) (với X là BNN liên
tục) đạt giá trị lớn nhất.
- Tính chất: E(X + Y) = E(X) + E(Y); E(aX + b) = aE(X) + b; E(XY) = E(X)E(Y) nếu X, Y độc lập
(chương 3).
- Xét Y = g(X) thì:
•
E(Y ) =
∑
• E(Y ) = ∫
g(xi )P(X = xi ) nếu X là BNN rời rạc
i
+∞
−∞
g(x)fX (x)d x nếu X là BNN liên tục.
2.4.2 Các số đặc trưng đo độ phân tán của BNN
- Phương sai của BNN X là V(X ) = E{[X − E(X )]2}.
- Tính chất:
• Cơng thức rút gọn: V(X ) = E(X 2 ) − [E(X )]2
•
Nếu X là BNN rời rạc thì V(X ) =
∑
i
xi2 P(X = xi ) − μ 2
+∞
x 2 fX (x)d x − μ 2
• Nếu X là BNN liên tục thì V(X ) = ∫
−∞
• V(aX + b) = a 2V(X); V(X + Y) = V(X - Y) = V(X) + V(Y) nếu X, Y độc lập (chương 3).
- Độ lêch chuẩn của BNN X là σ (X ) =
V(X )
2.4.3 Số đặc trưng đo vị trí tương đối
- P h â n v ị m ứ c α ∈ (0,1) l à g i á t r ị xα t h o ả m ã n xα = inf{x : FX (x) ≥ α} h o ặ c
xα = sup{x : FX (x) ≤ α}.
2.4 Một số phân bố xác suất quan trọng
2.4.1 Phân bố nhị thức và phân bố Poisson
- Dãy phép thử Bernoulli là dãy gồm n phép thử thoả mãn các điều kiện:
• n phép thử độc lập.
• Xét sự kiện A xảy ra ở mỗi phép thử (kí hiệu là thành công).
• Xác suất thành công (sự kiện A xảy ra) là p trong mỗi phép thử. Vậy xác suất không
thành công là q = 1- p trong mỗi lần thử.
Phân bố nhị thức B(n, p)
Poisson distribution
ĐN: X là số lần thành công trong n lần thử
Bernoulli
ĐN: X là số lần thành công trong một
khoảng thời gian nhất định.
X nhận các giá trị: 0, 1, 2, …, n
X nhận các giá trị: 0, 1, 2, 3, …,
P(X = k) = Cnk p k (1 − p)n−k
E(X) = np; V(X) = npq; σ (X ) =
P(X = k) = e −λ
npq
λk
k!
E(X ) = V(X ) = λ
2.4.2 Phân bố đều trên [a, b]
- Biến X có phân bố đều trên đoạn [a, b] nếu hàm mật độ xác suất của X là:
fX (x) =
1
b−a
{0
nếu a ≤ x ≤ b
trái lại
- Tính chất cảu phân bố đều: Nếu X ∼ U([a, b]) thì:
a+b
2
(b − a)2
• V(X ) =
12
• E(X) =
•
Hàm phân bố xác suất của X là: FX (x) =
0
nếu x ≤ a
1
nếu x ≥ b
x−a
b−a
nếu a < x < b
2.4.3 Exponential distribution
- Biến X có phân bố mũ với tham số λ > 0 nếu hàm mật độ xác suất của X là:
fX (x) =
λe −λx nếu x ≥ 0
{0
nếu x < 0
- Tính chất của phân bố mũ: Nếu X ∼ ℰ(λ) thì
1
• E(X) = λ
1
• V(X ) = λ 2
0
if x ≤ 0
• Hàm phân bố xác suất của X là: FX (x) = {1 − e −λx if x > 0
2.4.4 Normal distribution
- Biến X có phân bố chuẩn với tham số kỳ vọng μ và phương sai σ 2 nếu hàm mật độ xác
suất của X là:
fX (x) =
1
σ
2π
e
−
(x − μ) 2
2σ 2
- Nếu μ = 0,σ = 1 thì X có phân bố chuẩn tắc, ký hiệu là Z. Hàm mật độ xác suất của Z
l à : fZ (z) = φ(z) =
FZ (z) = Φ(z) =
1
z2
2π
1
z
e− 2 v à h à m p h â n b ố x á c s u ấ t c ủ a Z l à :
2π ∫−∞
e
2
− t2
dt = 0.5 + ϕ(z) với ϕ(z) =
1
z
2π ∫0
t2
e − 2 dt.
Chú ý: Φ(−x) = 1 − Φ(x) and ϕ(−x) = − ϕ(x).
- Tính chất của phân bố chuẩn: Nếu X ∼ 𝒩(μ, σ) thì:
• E(X) = μ
• V(X ) = σ 2 và σ (X ) = σ
•
Hàm mật độ xác suất của X là: fX (x) =
1
σ
e
−
(x − μ) 2
2σ 2
=
1 x−μ
φ(
)
σ
σ
2π
x−μ
x−μ
Hàm
phân
bố
xác
suất
của
X
là:
F
(x)
=
Φ(
)
=
0.5
+
ϕ(
)
X
•
σ
σ
a−μ
a−μ
• P(X < a) = FX (a) = Φ( σ ) = 0.5 + ϕ( σ )
a−μ
a−μ
P(X
>
a)
=
1
−
F
(a)
=
1
−
Φ(
)
=
0.5
−
ϕ(
)
X
•
σ
σ
b−μ
a−μ
b−μ
a−μ
P(a
<
X
<
b)
=
F
(b)
−
F
(a)
=
Φ(
)
−
Φ(
)
=
ϕ(
)
−
ϕ(
)
X
X
•
σ
σ
σ
σ
2.4.5 Xấp xỉ phân bố nhị thức
Cho X có phân bố nhị thức B(n, p).
- Nếu n lớn và p rất nhỏ thì X ∼ B(n, p) ≈ Y ∼ P(λ) with λ = np
(np)k
k!
- Nếu n lớn và p gần 0.5 thì X ∼ B(n, p) ≈ Y ∼ N(μ, σ 2) with μ = np; σ 2 = npq. Khi đó
k + 0.5 − np
k + 0.5 − np
P(X ≤ k) ≈ P(Y < k + 0.5) = Φ(
) = 0.5 + ϕ(
)
•
npq
npq
Khi đó: P(X = k) ≈ e −np
•
P(k1 ≤ X ≤ b) ≈ P(k1 − 0.5 < Y < k 2 + 0.5) = Φ(
= ϕ(
k 2 + 0.5 − np
npq
) − ϕ(
k1 − 0.5 − np
npq
)
k 2 + 0.5 − np
npq
) − Φ(
k1 − 0.5 − np
npq
)
