Tóm tắt lý thuyết chương 1 môn xác suất thống kê và QHTN
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (290.99 KB, 5 trang )
TÓM TẮT LÝ THUYẾT CHƯƠNG 1.
1.1 Các khái niệm cơ bản
1.1.1 Phép thử, sự kiện
- Khi thực hiện một tập hợp điều kiện xác định, nói tắt là bộ điều kiện, gọi là một phép thử,
có thể có nhiều kết cục khác nhau.
- Tập hợp các kết cục có thể có của một phép thử ngẫu nhiên gọi là khơng gian mẫu, ký
hiệu là S.
- Mỗi kết cục có thể có của một phép thử ngẫu nhiên gọi là một sự kiện sơ cấp.
- Một sự kiện là một tập hợp con của không gian mẫu, tức là tập một số kết cục của phép
thử.
1.1.2 Quan hệ và các phép toán của các sự kiện
- Hợp (tổng) của 2 sự kiện A và B, kí hiệu bởi A∪B (hoặc A+B) là sự kiện xảy ra khi ít
nhất một trong 2 sự kiện A hoặc B xảy ra.
- Giao (tích) của 2 sự kiện A và B, kí hiệu là A ∩ B (hoặc AB), là sự kiện xảy ra khi cả A
và B đồng thời xảy ra.
- Hai sự kiện A và B gọi là xung khắc nếu A và B không thể đồng thời xảy ra. nghĩa là A ∩
B = AB = ∅.
- Đối lập của sự kiện A, kí hiệu là A c hoặc A¯ , là sự kiện xảy ra khi A không xảy ra.
- Sự kiện A trừ sự kiện B, kí hiệu là A\B, là sự kiện xảy ra khi A xảy ra và B không xảy ra.
- Sự kiện A kéo theo sự kiện B, kí hiệu là A ⊂ B hoặc A ⇒ B nếu sự kiện A xảy ra thì sự
kiện B cũng xảy ra.
- Hai sự kiện A và B gọi là tương đương (bằng nhau), kí hiệu là A = B, nếu A ⊂ B và
B⊂A
1.1.3 Giải tích kết hợp
- Quy tắc nhân: Để hồn thành một cơng việc, ta cần thực hiện liên tiếp k hành động, hành
động 1 có n1 cách thực hiện, hành động 2 có n2 cách thực hiện, …, hành động k có nk
cách thực hiện. Khi đó có tổng số n1n2…nk cách thực hiện công việc.
- Chỉnh hợp chập k từ n phần tử là một nhóm có thứ tự gồm k phần tử lấy từ n phần tử đã
cho. Số chỉnh hợp chập k từ n phần tử là:
Ank = n(n − 1) . . . (n − k + 1) =
n!
(n − k)!
!!! Chỉnh hợp chập k từ n phần tử: có thứ tự, khơng lặp lại.
- Chỉnh hợp chập n từ n phần tử gọi là hoán vị của n phần tử (hoán vị của n là một nhóm
gồm n phần tử được sắp xếp theo thứ tự). Số hoán vị của n phần tử là:
Pn = Ann = n(n − 1) . . .2.1 = n!
- Tổ hợp chập k từ n phần tử là một nhóm (khơng phân biệt thứ tự) gồm k phần tử khác
nhau lấy từ n phần tử đã cho. Số các tổ hợp chập k của n là:
n!
Cnk =
k!(n − k)!
!!! Tổ hợp chập k từ n phần tử: Không lặp lại, không thứ tự.
- Chỉnh hợp lặp chập k từ n phần tử là một nhóm có thứ tự gồm k phần tử có thể giống
nhau lấy từ n đã cho. Số chỉnh hợp lặp chập k từ n phần tử là A¯ kn = n k.
1.2 Các định nghĩa xác suất
1.2.1 Định nghĩa cổ điển của xác suất
- Định nghĩa cổ điển của xác suất áp dụng cho các phép thử có hữu hạn kết cục đồng khả
năng (tức là các kết cục có khả năng xảy ra như nhau).
- Xét một phép thử đồng khả năng với khơng gian mẫu Ω (hoặc S) có n phần tử (kết cục):
xác suất xảy ra của mỗi kết cục là 1/n. Khi đó xác suất hiện sự kiện A là:
m
P(A) = , với m là số kết cục thuận lợi cho A (số kết cục nằm trong A)
n
1.2.2 Định nghĩa hình học của xác suất
- Định nghĩa hình học của xác suất áp dụng cho các phép thử có vô hạn kết cục đồng khả
năng nằm trong một miền hình học G (đoạn thẳng, miền phẳng, khối khơng gian,…): tức
khơng gian mẫu Ω = G. Khi đó xác suất của sự kiện A ⊂ G là:
P(A) =
độ đo của A
độ đo của G
, (độ đo có thể là độ dài, diện tích, thể tích)
1.2.3 Định nghĩa xác suất theo tần suất (định nghĩa thống kê)
- Để tính xác suất của sự kiện A trong một phép thử, ta có thể xấp xỉ bằng tần suất xuất
hiện A như sau:
Ta thực hiện n lần phép thử, gọi nA là số lần sự kiện A xảy ra (gọi là tần số xuất hiện A). Tần
suất xuất hiện A là:
fn(A) =
nA
n
Theo luật số lớn thì:
lim fn(A) = P(A)
n→+∞
Khi đó nếu n đủ lớn thì P(A) ≈ fn(A) =
1.2.4 Định nghĩa xác suất theo tiên đề
nA
.
n
Xét một phép thử với không gian mẫu Ω bất kỳ. Gọi 𝒜 là tập các sự kiện trên Ω (tức tập các
tập con của Ω). Một hàm P : 𝒜 → [0; 1] thoả mãn 3 tiên đề sau:
i)
P(A) ≥ 0, ∀A ∈ 𝒜
ii) P(Ω) = 1
iii) Nếu A, B xung khắc thì P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
thì P gọi là một xác suất (định nghĩa theo tiên đề).
1.2.5 Tính chất của xác suất
i)
0 ≤ P(A) ≤ 1, ∀A ∈ 𝒜
ii) P(Ω) = 1; P(∅) = 0
iii) Nếu A, B xung khắc thì P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
¯ = 1 − P(A)
iv) P(A)
v) Nếu A ⊂ B thì P(A) ≤ P(B).
1.3 Các cơng thức tính xác suất
¯ = 1 − P(A)
1.3.1 Công thức phần bù: P(A)
1.3.2 Cơng thức cộng xác suất:
• P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
• Nếu A và B xung khắc (i.e, A ∩ B = ∅) thì P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
• P(A ∪ B ∪ C ) = P(A) + P(B) + P(C ) − P(A ∩ B) − P(B ∩ C ) − P(C ∩ A) + P(A ∩ B ∩ C )
• Tổng quát,
P(∪ni=1 Ai )
=
n
∑
i=1
P(Ai ) −
∑
i< j
P(Ai Aj ) +
∑
i< j
P(Ai Aj Ak ) − … + (−1)n−1P(A1 A2…An )
1.3.3 Cơng thức xác suất có điều kiện: Xác suất có điều kiện của sự kiện A với điều kiện B kí
hiệu là P(A | B), là xác suất cảu A khi biết B đã xảy ra và tính bằng cơng thức sau:
P(A | B) =
P(A B)
P(B)
1.3.4 Công thức nhân xác suất:
• P(A B) = P(A)P(B | A) = P(B)P(A | B)
• P(A BC ) = P(A)P(B | A)P(C | A B)
• Tổng quát, P(A1 A2…An ) = P(A1)P(A2 | A1)P(A3 | A1 A2 )…P(An | A1…An−1)
• A và B được gọi là độc lập nếu P(A | B) = P(A)
P(A B) = P(A)P(B)
hoặc P(B | A) = P(B)
hoặc
• Tổng quát, A1, A2, …, An độc lập từng đôi nếu P(Ai Aj ) = P(Ai )P(Aj ), ∀i ≠ j
1.4 Cơng thức xác suất tồn phần và cơng thức Bayes
1.4.1 Cơng thức xác suất tồn phần
• Cho 2 sự kiện A và B, khi đó
¯
¯
| A)
P(B) = P(A B) + P(A¯ B) = P(A)P(B | A) + P(A)P(B
• Cho không gian các sự kiện {A1, A2, …, Am} với P[Ai ] > 0 với mọi i và sự kiện A, cơng thức
xác suất tồn phần để tính xác suất của A là
P(A) = P(A A1) + P(A A2 ) + … + P(A An )
= P(A1)P(A | A1) + P(A2 )P(A | A2 ) + … + P(An )P(A | An )
1.4.2 Cơng thức Bayes
• Cho 2 sự kiện A và B, khi đó xác suất hậu nghiệm P(A|B) là:
P(A | B) =
P(A)P(B | A)
P(A)P(B | A)
=
¯
¯
P(B)
| A)
P(A)P(B | A) + P(A)P(B
• Cho khơng gian các sự kiện {A1, A2, …, Am} với P[Ai ] > 0 với mọi i và sự kiện A, xác suất hậu
nghiệm P(Ai | A) là:
P(Ai | A) =
P(Ai )P(A | Ai )
P(Ai )P(A | Ai )
=
P(A)
P(A1)P(A | A1) + P(A2 )P(A | A2 ) + … + P(An )P(A | An )
1.5 Công thức Bernoulli
- Một dãy phép thử Bernoulli là dãy phép thử độc lập, mỗi phép thử có 2 kết quả là “thành công”
và “thất bại”, xác suất thành công ở các phép thử là bằng nhau và bằng p.
- Khi đó xác suất để trong dãy gồm n phép thử Bernoulli có đúng k lần thành cơng là:
Pn(k) = Cnk p k (1 − p)n−k
- Khi n lớn và p rất nhỏ thì ta có thể xấp xỉ Poa-xơng:
Pn(k) = Cnk p k (1 − p)n−k ≈ e −np
(np)k
k!
- Khi n lớn và p không quá bé và quá lớn thì ta có thể xấp xỉ chuẩn:
Pn(k) = Cnk p k (1 − p)n−k ≈
1).
φ(xk )
npq
, với xk =
k − np
và φ(x) =
npq
1
2π
- Khi n lớn và p không q bé và q lớn thì ta có thể xấp xỉ chuẩn:
e−
x2
2
là hàm Gao-xơ (bảng
Pn(k1, k 2 ) =
k2
∑
k=k1
Cnk p k (1 − p)n−k ≈ ϕ(x2 ) − ϕ(x1), với xj =
là hàm Láp-la-xơ (bảng 2).
kj − np
npq
và ϕ(x) =
1
x
2π ∫0
t2
e − 2 dt
