MỤC LỤC
PHẦN A: PHẦN MỞ ĐẦU 2
I. Lý do chọn đề tài 3
II. Mục đích nghiên cứu 3
III. Nhiệm vụ nghiên cứu 3
IV. Phương pháp nghiên cứu 4
V. Đối tượng nghiên cứu 4
VI. Phạm vi giới hạn của đề tài 4
VII. Bố cục tiểu luận 4
PHẦN B: PHẦN NỘI DUNG 5
CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÍ THUYẾT 5
1.1 Định nghĩa của hàm Delta Dirac 5
1.1.1 Hàm bước và hàm Delta Dirac 5
1.1.2 Biểu diễn hàm Delta Dirac trong các hệ trục tọa độ 8
1.2 Tính chất của hàm Delta Dirac 9
1.3 Dạng lượng giác của hàm Delta Dirac 14
1.4 Áp dụng hàm Delta Dirac để chứng minh công thức
 
3
3
4

 

 
 


r
div r
r

15
CHƯƠNG II: MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ HÀM DELTA DIRAC 17
Bài tập 1 17
Bài tập 2 18
Bài tập 3 21
Bài tập 4 22
Bài tập 5 28
Bài tập 6 32
Bài tập 7 33
PHẦN C: KẾT LUẬN 35
PHẦN D: TÀI LIỆU THAM KHẢO 36












PHẦN A: PHẦN MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài
Hiện nay bộ môn Vật lí lí thuyết hiện đang được rất nhiều bạn đọc yêu
thích Vật lí và đặc biệt là sinh viên Khoa Vật lí quan tâm. Nó là một phần
không thể thiếu của Vật lí học. Sinh viên sau khi học xong Vật lí đại cương
được tiếp xúc và tìm hiểu học tập với các học phần Vật lí lí thuyết như: Điện
động lực học, Vật lí thống kê, Cơ lượng tử, … Việc sử dụng các phép toán trong

các môn học trên là điều rất quan trọng.
Để học tốt các môn học này sinh viên cần nắm vững một số kiến thức toán
như: Các hệ tọa độ, đa thức Hermite, đa thức Legedre, Hàm Delta Drirac, …
Hiện nay các giáo trình chuyên ngành đều có phần trình bày ngắn gọn các phép
toán trên. Đặc biệt hàm Delta Dirac được sử dụng rất nhiều và là phần không
thể thiếu trong các môn Vật lí chuyên ngành. Việc tìm hiểu và xây dựng thành
một đề tài đầy đủ và chi tiết giúp người đọc dễ dàng hơn trong việc học tập và
nghiên cứu.
Chính vì những lý do trên mà em chọn đề tài tiểu luận “Định nghĩa và tính
chất hàm delta Dirac và áp dụng để chứng minh công thức div(r/r
3
)=4πδ
3
(r)”
II. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu xây dựng định nghĩa tính chất và một số ví dụ minh họa về
hàm Delta Dirac góp phần nâng cao hiệu quả học tập đồng thời làm phong phú
thêm tư liệu học tập cho các bạn sinh viên.
III. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu về định nghĩa và tính chất của hàm Delta Dirac và áp dụng để
chứng minh công thức div(r/r
3
)=4πδ
3
(r).
Đưa ra một số ví dụ minh họa về hàm Delta Dirac.
IV. Phương pháp nghiên cứu
Tích cực, tự giác và chủ động trong học tập và nghiên cứu lý thuyết.
Nghiên cứu và phân tích các tài liệu giáo khoa, các lý thuyết có liên quan.
Phương pháp tổng hợp thu thập tài liệu.

Tranh thủ sự hướng dẫn của thầy giáo và sự góp ý của các bạn sinh viên để
hoàn thành đề tài.
V. Đối tượng nghiên cứu
Định nghĩa và các tính chất, bài tập áp dụng của hàm Delta Dirac.
VI. Phạm vi giới hạn của đề tài
Đưa ra một số tính chất và định nghĩa của hàm Delta Dirac. Áp dụng để
giải một số bài tập liên quan.
VII. Bố cục tiểu luận
Ngoài phần mở đầu, phần kết luận và tài liệu tham khảo tiểu luận gồm 2
phần:
Chương I: Cơ sở lí thuyết
1.1 Định nghĩa của hàm Delta Dirac
1.2 Tính chất của hàm Delta Dirac
1.3 Dạng lượng giác của hàm Delta Dirac
1.4 Áp dụng hàm Delta Dirac để chứng minh công thức div(r/r
3
)=4πδ
3
(r).
Chương II: Một số ví dụ về hàm Delta Dirac



PHẦN B: PHẦN NỘI DUNG
CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÍ THUYẾT
1.1 Định nghĩa của hàm Delta Dirac
1.1.1 Hàm bước và hàm Delta Dirac
Hàm bước đơn vị Heaviside được định nghĩa:

 

1, 0
0, 0
H









(1)
(hàm bằng đơn vị khi đối số là hàm dương và bằng không khi đối số là hàm
âm)


Hàm bước đơn vị Heaviside dùng để định nghĩa hàm xung:

     
 
o o o
1
,
x x H x x H x x

 

 
     

 
(2)
là hàm có độ cao
1

trong khoảng
o
x
và
o
x


; và bằng không ở các vị trí
khác. Đồ thị được biểu diễn trên hình 2.
Hình 1: Hàm bước đơn vị Heaviside
Hàm Delta Dirac hoặc hàm xung đơn vị được định nghĩa:





o o
0
lim .
x x x x


 


  
(3)
Hàm Delta Dirac không phải là một hàm theo nghĩa thong thường. Hàm
này bằng không ở mọi nơi, trừ tại điểm
o
x
mà tại đó nó có giá trị vô hạn sao
cho:

 
1
o
x x dx



 

. (4)
Một tính chất khác của hàm Delta Dirac là:

 
 
 
.
o o
x x f x dx f x




 

(5)
Thật vậy bằng định nghĩa hàm Delta Dirac ta có thể viết:

 
 
 
 
     
0
0
lim
1
=lim 0. 0. .
o o
o o
o o
x x
x x x
x x f x dx x x f x dx
f x dx f x dx f x dx





 

 


 




  
 
 
 
 
 
 
  
(6)
Dùng định lí giá trị trung bình trong tích phân, chọn
0 1

 
ta có thể viết:

 
   
   
0 0
1 1
lim lim .
o
o
x

o o o
x
x x f x dx f x dx f x f x

 
  
 


 

    
 
(7)
Một tính chất khác là đạo hàm hàm bước Heaviside là hàm Delta Dirac:



 
.
o
o
dH x x
x x
dx


  (8)



Thật vậy, điều này suy ra trực tiếp từ định nghĩa đạo hàm:

 


   
 
 
0
lim
.
o
o
o o
o
dH x x
H x x
dx
H x x H x x
x x







 
   


 

Tích phân các hàm Delta Dirac được:

 
 
0,
, .
x
o
o
o o
x x
x x dx
H x x x x





 

 



(9)
Hàm Delta Dirac cũng có tính chất đạo hàm:
Hình 2: Hàm
     

 
o o o
1
,
x x H x x H x x

 

 
     
 


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
 
 
 
,
,

,

1 .
o o
o o
o o
n
n n
o o
x x f x dx f x
x x f x dx f x
x x f x dx f x
x x f x dx f x













  
 
 
 

  
  




(10)
Trong không gian 2 hoặc 3 chiều ta có các hàm Delta Dirac:

   
     
2
3
1,
1.
o o
o o o
I x x y y dxdy
I x x y y z z dxdydz
 
  
 
 
  
  
   
    
 
  
(11)

1.1.2 Biểu diễn hàm Delta Dirac trong các hệ trục tọa độ
Hàm Delta Dirac này có thể biểu diễn trong các hệ trục tọa độ khác nhau.
Ví dụ nếu chuyển sang hệ tọa độ cực:

cos
.
sin
x r
dxdy rdrd
y r









(12)
thì công thức
2
I
có dạng:

   
2
2
0 0
o o

I A r r rdrd

    

  
 
. (13)
Do đó có thể nói rằng, khi chuyển sang hệ tọa độ cực thì hàm




o o
x x y y
 
  chuyển thành hàm




o o
r r
r
  
 
.
Nếu có tính chất đối xứng đối với biến

thì hàm





o o
x x y y
 
  biến
thành hàm


2
o
r r
r



. Trong trường hợp 3 chiều, hàm Delta Dirac được biểu
diễn trong cá hệ tọa độ cong như sau:
Tọa độ trụ


, ,
r z

.







o o o
r r z z
r
    
  

Tọa độ trụ


, ,
r z

có tính đối xứng
theo

.




2
o o
r r z z
r
 

 


Tọa độ cầu


, ,
r
 
.






2
o o o
r r
r
      

  

Tọa độ cầu


, ,
r
 
có tính đối xứng
theo


.




2
2 sin
o o
r r
r
   
 
 

Tọa độ cầu


, ,
r
 
có tính đối xứng
theo

và

.


2
4

o
r r
r





1.2 Tính chất của hàm Delta Dirac
Nói một cách đơn giản, hàm Delta Dirac


x

một chiều là hàm, bằng
không tại điểm
0
x

, còn tại
0
x

nó phải như thế nào đó, sao cho:

 
1
x dx






(14)
Giá trị của hàm


x

tại
0
x

phải bằng vô hạn, bởi vì nếu không, do độ
đo của một điểm bằng không, tích phân đó sẽ bằng không.
Ta thấy rằng trong định nghĩa của hàm Delta Dirac điều kiện tích phân (14)
là có vai trò quan trọng chứ không phải giá trị của nó tại gốc tọa độ.
Bằng cách tích phân từng phần, ta có:

 
0
n
x x dx





. (15)
Cho nên, nên

( )
f x
là một hàm khả giải tích và giới nội, ta sẽ có:

   
( ) 0
f x x dx f





. (16)
Hoặc tổng quát hơn:

   
( )
f x x a dx f a



 

. (17)
Chính từ tính chất này, hàm Delta Dirac được coi như là một phân bố hoặc
một phiếm hàm xác định trên tập các hàm khả tích giới nội (hàm cơ sở). Bằng
cách như vậy, hàm Delta Dirac chính là đạo hàm của hàm Heaviside như đã
trình bày ở trên phần 1.1.
Thực vậy:


           
a
a
x a f x dx x a f x f x dx f a
 
 



    
 
. (18)
Trong số những công thức liên quan đến hàm Delta Dirac, ta thường sử
dụng nhất các hệ thức sau đây:

   
1
x x
  

 . (19)
Thực vậy, nếu
0


:

       
1 1
0 .

x
x f x dx x f dx f
  
  
 
 
 
 
 
 
 
(20)
Nếu
0


, ta có:

       
1 1
0 .
x
x f x dx x f dx f
  
  
 
 
 
  
 

 
 
(21)
Từ đó suy ra:





x x
 
 
. (22)
Đạo hàm của hàm Delta Dirac được suy ra từ vai trò phiếm hàm của nó:

     
,
f x x a dx f a



 

(23)

         
0 .
x f x dx x f x dx f
 
 

 
  
   
 
(24)
Tổng quát hóa:

           
( )
( ) ( 1) ( )
1 0 .
n
n n n
x f x dx x f x dx f
 
 

 

    
 
(25)
Giả sử, g là một hàm đều và có không điểm tại
x


. Khi đó:

   
 

    
 


 
.
f
f x g x dx f x g x dx
g

   


  

 
(26)
Như vậy:

 
 


 
.
x
g x
g
 






(27)
Tổng quát hóa, nếu hàm g là đều và có p không điểm
i

.



0
i
g


,
1,2, ,
i p

.
Khi đó:

 
 


 
1

.
p
i
i
i
x
g x
g
 







(28)
Người ta thường dung biểu thức thể hiện tính đầy đủ hoặc tính trực chuẩn
của hệ hàm riêng nào đó để biểu diễn hàm Delta Dirac. Từ hệ hàm riêng đầy đủ,
trực chuẩn bằng kí hiệu Kronecker




n
x

, ta sẽ có biểu diễn:








*
.
n n
n
x y x y
  
 

(29)
Ví dụ, từ hàm sóng chuẩn hóa của một hạt trong hộp một chiều có vách
cao vô hạn ta có:

 




0
2 1 2 1
1
cos cos
2 2
0
, .
n

n x n y
a x a
x y
a a a
x a x a
 



 
  

 


 


(30)
Để đơn giản khi tiến hành kiểm tra xem hàm này có thỏa mãn tính chất của
hàm

hay không, ta chọn
0
y

.
Khi đó , ứng với
0
x


, và với những giá trị của n khác nhau, ta có họ các
hàm


2
n

dưới dạng:

 
2
1 3 2 2
cos cos cos cos ,
x x x x
x
a a a a a a
   

 
  
 
 
(31)

 
4
1 3 5 7
cos cos cos cos
4 2 4

cos cos cos .
x x x x
x
a a a a a
x x x
a a a a
   

  
 
   
 
 

(32)
Hay tổng quát hóa ta có:

 
2
2 2 2
cos cos cos .
n
n x x n x
x
a a a a
  

 (33)
Ta sẽ thấy rằng đồ thị của các hàm này, ngày càng tiến gần tới đồ thị có
dạng “nửa đường thẳng dựng đứng” của hàm Delta Dirac (hình 3).

Đối với điều kiện tích phân ta có:

   
0 0
2 1 1
1 4
cos 1.
2 2 1
n
a
n n
a
n x
dx
a a n



 
 

 
 

 

(34)




Hình 3: Đồ thị hàm


2
x


Hình 4: Đồ thị hàm


4
x


Bởi vì xuất phát từ khai triển Fourier của hàm
arctan
x
:

 
2 1
0
arctan 1 .
2 1
n
n
n
x
x
n




 


(35)
Cho nên khi
1
x

ta có:

 
0
1
arctan1 .
4 2 1
n
n
n




 


(36)
Tương tự hàm sóng của hạt tự do, ta có thể biểu diễn hàm Delta Dirac ba

chiều:

 
 
 
 
3
3
1
exp .
2
r r d q iq r r


 
  

     
(37)
Với trường hợp một chiều:

   
1
cos .
2
x qx dq







(38)
1.3 Dạng lượng giác của hàm Delta Dirac
Có thể chứng minh rằng



x
tương đương với giới hạn sau:

 
lim ,



Lx
x
x
khi
 
L
. (39)
Từ (39) ta có thể suy ra dạng lượng giác của hàm



x
như sau:


 
1
2






ixk
x e dk
hay
 
1
2






ixk
k e dx
. (40)

Trong trường ba chiều thì hàm





r
bằng tích của ba hàm Delta theo ba
trục:









   


r x y z
(41)
Dạng lượng giác của hàm này là:

 
 
3
1
2










irk
k
r e dk
hay
 
 
3
1
2









ikr
k
k e dr
. (42)
1.4 Áp dụng hàm Delta Dirac để chứng minh công thức
 
3
3
4


 

 
 


r
div r
r

Trong trường ba chiều thì hàm




r
bằng tích của ba hàm Delta theo ba
trục:









   



r x y z
.
Ta có,
  

 

r xi yj zk
là vectơ tọa độ, kéo dài từ gốc tọa độ đến điểm có
tọa đô (x,y,z). Hàm delta dirac 3 chiều bằng 0 tại mọi điểm trừ gốc tọa độ
(0,0,0). Tích phân khối của nó là bằng 1.



3
 

r d
=
     
1
  
  
  

  
x y z dxdydz
. (43)
Và suy rộng phương trình (23):








3
 
 
   
f r r a d f a
. (44)
Như đã biết, ta thấy divergence của
3

r
r
bằng 0 tại mọi điểm trừ gốc tọa độ
nhưng tích phân của nó lấy trên toàn bộ thể tích chứa gốc tọa độ là một hằng số
(4 ). Điều này là hoàn toàn chính xác với điều kiện của hàm delta dirac, rõ
ràng:

 
3
3
4

 


 
 


r
div r
r
(45)
Nói chung:

 
3
4

 

 
 
3
r
r
r


div
, (46)
với
r

là vectơ khoảng cách


 
r
 

r r
. Chú ý rằng sự khác nhau ở đây là
liên quan đên

r
, trong khi


r
vẫn là hằng số. Một cách ngẫu nhiên, vì:

3
1
 
 
 
 

r
div
r r













CHƯƠNG II: MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ HÀM DELTA DIRAC
Bài tập 1: Xét một hạt khối lượng m với thế năng là hàm:





o
V x V x

 .
Hãy chỉ ra rằng nếu
o
V
có giá trị âm thì sẽ tồn tại một trạng thái liên kết, và
năng lượng liên kết là
2
2
2
o
mV


.
(Bài 1021, trang 33, Bài tập và lời giải Cơ học lượng tử, Yung

Kuo Lim,
Nhà xuất bản Giáo dục).
Lời giải:
Trong phương trình Schrodinger:



2
2
2
0.
m E V x
d
dx



 
 
 


Nếu đặt
0
E

đối với trạng thái liên kết và đặt:


2
2 2
2
2
, .
o
o
m E
mV
k U 
 

Ta thu được:

 
2
2
2
0.
o
d
k U x
dx

  
  

Tích phân hai vế theo
x

từ


đến


, ở đây

là một hằng số nhỏ tùy ý,
ta có:

     
2
0 0.
o
k dx U


     

 
    


Với
0 ,



biểu thức này trở thành







0 0 0
o
U
  
 
 
 
. Đối với
0
x

phương trình Schrodinger có nghiệm hình thức




exp
x k x



với k
dương dẫn đến:


 
, 0,
, 0.
kx
kx
kx
ke x
x
x k e
x
ke x




 


 





Và như vậy:










0 0 0 2 0
o
U k
   
 
 
   
.
Như vậy
,
2
o
U
k   cần có
o
V
âm. Năng lượng của trạng thái liên kết là:

2 2 2
2
2 2
o
k mV
E
m


  


.
Và năng lượng liên kết là là:

2
2
0 .
2
o
b
mV
E E  


Hàm sóng của trạng thái liên kết này là:

 
2 2 2
exp exp .
o
o o
mV x
mV mV
x A x

 

 

 
 
 
 
 
  

Ở đây hằng số bất kì A thu được từ điều kiện chuẩn hóa:

0
2 2
0
1
dx dx
 


 
 
.
Bài tập 2: Xét một hạt có khối lượng m chuyển động 1 chiều và tán xạ trên
thế


V x
. Chứng tỏ rằng:

 
2 2
1

,
2
2
ixk
E
e
G x dk
k
E i
m





 



với

là một số dương vô cùng nhỏ.


E
G x
là hàm Green của hạt tự do đối với
phương trình Schrodinger không phụ thuộc thời gian với năng lượng E và các
điều kiện biên của sóng đi ra.
(Bài 6016a, trang 498, Bài tập và lời giải Cơ học lượng tử, Yung


Kuo
Lim, Nhà xuất bản Giáo dục).
Lời giải: Để giải phương trình Schrodinger một chiều không phụ thuộc
vào thời gian:

2 2
2
.
2
d
E V
m dx
 
 
 
 
 


Ta định nghĩa hàm Green


E
G x
thỏa mãn phương trình sau:

   
2 2
2

.
2
E
d
E G x x
m dx

 
 
 
 


Biểu diễn


E
G x
và


x

qua các tích phân Fourier:

   
 
1
,
2

1
.
2
ikx
E
ikx
G x f k e dk
x e dk












Rồi thay vào phương trình đối với


E
G x
, ta thu được:

 
2 2
2

1,
2
d
E f k
m dx
 
  
 
 


hay:
 
2 2
1
.
2
f k
k
E
m




Vì điểm kì dị của


f k
nằm trên đường lấy tích phân và tích phân Fourier

có thể xem như một tích phân lấy trong mặt k phức, ta có thể thêm
i

, trong đó

là một số dương nhỏ, vào mẫu số của


f k
. Sau khi lấy tích phân ta lại cho

 
. Xét:

 
2 2
1 e
.
2
2
ixk
E
G k dk
k
E i
m






 



Tích phân có điểm kì dị khi:

 
2 2
0
2
k
E i
m

  

.
Nghĩa là tại:
1
k k
 
, trong đó:


1
2
m E i
k





.
Khi
0
x

, tích phân trở thành một tích phân theo đường cong kín trên nửa
mặt phẳng trên với một điểm kì dị tại
1
k
với thặng dư:

1
1
2
1
.
ik z
me
k


 


Công thức tích phân Cauchy cho ta:

   

1
2
1
2 e 0
ixk
E
m
G x ia i x
k

   

.
Khi:

 
,
1
2
mE
k 

.
Đây là giá trị của
1
k
sẽ được sử dụng trong biểu thức của


E

G x
. Tương
tự, khi
0
x

, ta có thể lấy tích phân theo đường cong kín trên nửa mặt phẳng
dưới và thu được:

   
2
1
e 0 .
ixk
E
m
G x i x
k

  


Ở đây ta cũng có
1
2
mE
k 

. Vì thế hàm Green của hạt tự do



E
G x
biểu
diễn sóng ra với cả
0
x

lẫn
0
x

.
Bài tập 3: Tìm hàm sóng và các mức năng lượng phổ dán đoạn của hạt
trong trường thế (hình 5):





, 0
U x x
 
  

Tính động năng và thế năng trung bình của
hạt trong các trạng thái trên.
(Bài 2.7, trang 39, Bài tập Cơ học lượng tử,
Hoàng Dũng, NXB Đại học Quốc Gia TP Hồ
Chí Minh).

Lời giải:
Phương trình Schodinger và nghiệm của nó có dạng như sau:

   
2
,
2
x x E
m


     


Với:
 


 
2 2
exp , 0
, 0.
2
exp , 0
A x x
E x
m
B x x





 

    






Ta có thể sử dụng các hệ thức:
Hình 5

     
     
2
2
0 0 .
0 0 .
o o o
o o o
m
x x x
x x x

  
      
  
      



Áp dụng vào bài toán này ta thu được:

, .
o
m
A B

 
  


Từ đó suy ra:

2
2
o
m
E

 

.
Nghĩa là chỉ tồn tại một trạng thái duy nhất thuộc phổ dán đoạn. Hàm sóng
chuẩn hóa của trạng thái này có dạng:






exp .
o o o
x x
 
  
Và là hàm chẵn:




o o
x x
   

Với hàm sóng như trên ta sẽ thu được:

   
 
2
2
2
2
2
2
2 .
1
ˆ
.
2 2

o o
o o
m
U x x dx E
m
T p x dx E
m

 





     
    





Bài tập 4: Một hố thế năng có chiều sâu vô hạn giam giữ một hạt trong
vùng
0
x L
 
. Hãy vẽ hàm sóng và mô tả trạng thái riêng năng lượng cực tiểu
của hạt. Nếu một hố thế năng đẩy dạng hàm delta,





/ 2 0
H x L
 

  

được thêm vào tại tâm hố, hãy vẽ dạng hàm sóng mới và cho biết năng lượng
của hệ sẽ tăng lên hay giảm đi. Nếu năng lượng ban đầu là
o
E
, thì nó sẽ bằng
bao nhiêu khi



?
Hình 6

(Bài 1024, trang 36, Bài tập và lời giải Cơ học lượng tử, Yung

Kuo Lim,
Nhà xuất bản Giáo dục).
Lời giải:
Đối với hố thế vuông góc, hàm riêng tương ứng với trạng thái có năng
lượng cực tiểu và giá trị năng lượng của nó
tương ứng là:
 
2

sin ,
o
nx
x
L L

 

 
 

2 2
2
2
o
E
mL



.
Đồ thị biểu diễn hàm sóng đó được vẽ ở Hình 6.
Khi thêm hàm thế delta, phương trình Schrodinger sẽ trở thành:


2
/ 2 0,
k x L
  


 
   
 

ở đây
2
2 2
2 2
,
mE m
k


 
 
.







Các điều kiện biên là:
Hình 7






0 0
L
 
 
,
,
2 2 2
L L L
  
 
   
     
 
 
   
     
     
   
   
2 2
L L
 
 
   
   


   
   
   

   
   

Sự xuất hiện phương trình trên do lấy
2
0
2
lim
L
L
dx







hai vế phương trình
Schrodinger và tính liên tục của


x

tại
/ 2
x L

.
Các nghiệm với

/ 2
x L

thỏa mãn:


 
1
2
sin k , 0 L/2,
cos k L , 0 L/2.
A x x
A x x

  



   

 


Đặt
k k
o

ứng với trạng thái cơ bản. Điều kiện:
1 2
A A A

  
, và hàm
sóng của trạng thái cơ bản trở thành:


 
1 o
o
2 o
sin k , 0 L/2,
cos k L , 0 L/2.
A x x
A x x

  



   

 


k
o
là nghiệm nhỏ nhất của phương trình siêu việt:
2
kL m
cot
2 k


 
 
 
 

.
Do
kL
cot
2
 
 
 
âm nên,
/2 k L/2
o
 
 
, hay
/ k 2 /
o
L L
 
 
. Hàm sóng
trạng thái cơ bản mới được mô tả trên Hình 7.
Năng lượng tương ứng là:
2 2 2
2

2 2
o
o
k
E E
m mL

  
 
, do
/
o
k L


và năng
lượng trạng thái cơ bản mới
4
o
E E

.
Bài tập 5: Chứng minh rằng: Mật độ dòng xác suất của hạt chuyển động tự
do trong không gian ba chiều
 
3
1
2
p
j

m




trong đó
p

là xung lượng của hạt
và m là khối lượng của nó.
(Bài 48, trang 15, Bài tập Vật lí lí thuyết (tập 2), Nguyễn Hữu Mình (chủ
biên), Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam).
Lời giải:
Đặt hàm sóng của hạt tự do
 
ipr
p
r Ae


 






p k





vào biểu thức:

* * 2
.
2
p p p p
i p
j A
m m
   
 
     
 
   




Từ điều kiện chuẩn hóa hàm sóng bằng hàm


p p



 
ta xác định được A.


   
 
 
 
2
.
x y z x y z
i i
p x p y p z p x p y p z
x x y y z z
A e e dxdydz
p p p p p p
  

  
    


  
   

 

Chú ý rằng theo tính chất của hàm Delta Dirac:

   
1
ax x
a
 

 .
Và:
 
 
2 .
i k k x
e dx k k
 





 


Ta tìm được:

 
3/2
1
2
A



và
 
3
1

2
p
j
m




.