Nhi thuc newton
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (456.7 KB, 5 trang )
Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí
Nhị thức Newton
Bản quyền thuộc về VnDoc.
Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại.
I. Tóm tắt lí thuyết về nhị thức Newton
1. Tổ hợp là gì?
• Định nghĩa: Giả sử tập A cơ n phần tử. Mỗi tập con gồm k phần tử của
A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.
• Kí hiệu: Cnk là số tổ hợp chập k của n phần tử ( 0 k n ) . Ta có định lí,
số các tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.
Cnk =
-
( n − 1)( n − 2 )( n − 3 ) ... ( n − k + 1)
n!
=
k!
k !( n − k ) !
Tính chất chập k của n phần tử: Cnk
✓ Tính chất 1:
Cnk = Cnn− k , ( 0 k n )
✓ Tính chất 2: Công thức pascal
Cnk−−11 + Cnk−1 = Cnk
2. Nhị thức Newton
Định lí: Với n
*
và với mọi cặp số ( a , b ) ta có:
n
( a + b ) = Cnk an−kbk = Cn0an + Cn1an−1b + Cn2an−2b2 + ... + Cnn−1a1bn−1 + Cnnbn
n
k =0
3. Hệ quả
Hệ quả: ( 1 + x ) = Cn0 + xCn1 + x 2Cn2 + ... + x nCnn
n
-
Từ hệ quả trên ta rút được những kết quả sau đây:
2 n = Cn0 + Cn1 + Cn2 + ... + Cnn
Cn0 − Cn1 + Cn2 − Cn3 + ... + ( −1) Cnn = 0
n
4. Nhận xét
Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024
2242 6188
Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí
Trong khai triển Newton ( a + b ) có tính chất sau:
n
-
Gồm n + 1 phần tử.
Số mũ của a giảm từ n đến 0 và số mũ của b tăng từ 0 đến n.
Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n .
-
Các hệ số có tính đối xứng Cnk = Cnn− k , ( 0 k n ) .
-
Số hạng tổng quát: Tk +1 = Cnk ab− k b k
Chú ý:
✓ Số hạng thứ nhất T1 = T0+1 = Cn0 an
✓ Số hạng thứ k: Tk = Tk −1+1 = Cnk −1an− k +1b k −1
II. Bài tập ví dụ minh họa về nhị thức Newton
Ví dụ 1: Viết khai triển theo công thức nhị thức Newton:
a. ( a + 2b )
(
5
b. a − 2
)
6
1
c. x −
x
10
Hướng dẫn giải
5
a. Khai triển Newton của ( a + 2b ) = C a
5
k =0
( a + 2b )
5
(
(
)
6
5
( 2b ) = C a
k
k =0
k 5− k
5
.2 k.b k
= C50 a 5 + C51a 4 2b + ... + C55 32b 5
b. Khai triển Newton của a − 2
a− 2
k 5− k
5
)
6
6
= C6k a6− k
k =0
= C60 a6 + C61a5 . 2 + C62 a4 .2 + ... + C66 .
( )
( )
k
2
6
2
c. Khai triển Newton của
10
10
10
−1)
k
1
k
10 − k −1
k
10 − k (
x
−
=
C
.
x
.
=
C
.
x
.
=
C10k . ( −1) x10−2 k
10
10
k
x
x
k =0
k =0
x k =0
10
k
k
Ví dụ 2: Tìm hệ số của x 7 trong khai triển biểu thức ( 1 − 2x )
10
Hướng dẫn giải
Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024
2242 6188
Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí
10
10
k
Ta có: f ( x ) = (1 − 2 x ) = C10
.110−k ( −2 x ) = Cnk . ( −2 ) .x k
10
k
k =0
k
k =0
Số hạng chứa x 7 trong khai triển ứng với k = 7. Khi đó hệ số của số hạng chứa
7
x 7 : C10
. ( −2 ) = −15360
7
n
2
Ví dụ 3: Tìm hệ số khơng chứa x trong khai triển sau: x 3 − biết rằng:
x
Cnn−1 + Cnn−2 = 78, x 0
Hướng dẫn giải
Ta có: Cnn−1 + Cnn−2 = 78, n 2
n!
n!
+
= 78
( n − 1) !(n − n + 1)! ( n − 2 ) ! ( n − 2 + 2 ) !
n!
n!
+
= 78
( n − 1) !(1)! ( n − 2 ) ! ( 2 ) !
n+
n ( n − 1)
2
n = 12 (TM )
= 78 n2 + n − 156 = 0
n = −13 ( L )
Do đó biểu thức khai triển là
12
12
3 2
k
3
x − = C12 x
x
k =0
12
( )
= C12k .x36 − 4 k . ( −2 )
12 − k
k
k
12
k
2
k
36 − 3 k 1
. . ( −2 )
− = C12 .x
x k =0
x
k
k =0
Số hạng không chứa x ứng với k: 36 − 4 k = 0 k = 9
9
. ( −2 ) = −112640
Số hạng không chưa x là: C12
9
1
Ví dụ 4: Xét khai triển: 2x +
x
20
a. Viết số hạng thứ k + 1 trong khai triển.
b. Số hạng nào trong khai triển không chứa x.
Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024
2242 6188
Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí
c.Xác định hệ số của x 4 trong khai triển.
Hướng dẫn giải
20
k
20
20
20 − k 1
1
k
k
20 − k 20 − 2 k
2
x
+
=
C
2
x
=
(
)
C 20 2 x
20
x
k =0
x k =0
Số hạng không chứa x trong khai triển ứng với k là: 20 − 2 k = 0 k = 10
10
.210
Số hạng không chứa x trong khai triển là: C 20
Số hạng chứa x 4 trong khai triển ứng với k là: 20 − 2 k = 4 k = 8
8
.212
Vậy số hạng chứa x 4 trong khai triển có hệ số là: C 20
( −1) C n
1
1
1
1
Ví dụ 5: Tính tổng: S = Cn0 − cn1 + Cn3 − Cn4 + ... +
2
4
6
8
2 ( n + 1) n
Hướng dẫn giải
( −1) C n
1 0 1 1 1 3 1 4
Cn − cn + Cn − Cn + ... +
2
2
3
4
n + 1 n
Ta có: S =
( −1)
Vì
k
k +1
S=
C
k
n
( −1)
=
k
k +1
Cnk++11
n
k
k
−1 n+1
1
1
k
0
k +1
=
−
1
C
(
)
( −1) Cn+1 − Cn+1 =
n +1
2 ( n + 1) k = 0
2 ( n + 1) k =0
2 ( n + 1)
III. Bài tập tự luyện
Bài 1: Viết khai triển theo công thức nhị thức Newton:
a. ( 1 + 2x )
20
1
b. x +
3 x
c.
(
11
x − 4x + 6
d. ( n + 2m )
)
8
7
Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024
2242 6188
Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí
1
Bài 2: Xét khai triển 3x 2 +
x
30
a. Tìm số hạng khơng chứa x trong khai triển.
b. Hệ số của số hạng chứa x 6 trong khai triển.
c. Số hạng thứ 11 trong khai triển.
Bài 3: Tính tổng: S = C20n + C22n + C24n + C26n + ... + C22nn
Bài 4: Tổng các hệ số nhị thức Newton trong khai triển ( 1 + x ) là 64. Số hạng
3n
2n
1
không chứa x trong khai triển 2nx +
.
2nx
Bài 5: Tìm số nguyên dương bé nhất n sao cho trong khai triển ( 1 + x ) có hai
n
hệ số liên tiếp có tỉ số là 7:15.
Xem thêm các bài tiếp theo tại: />
Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024
2242 6188
