<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<i>VẤN ĐỀ 2</i>

<b>NHỊ THỨC NEWTON</b>

A/ CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ:

<i>II)Tam giác Pascal: (Hệ số của đa thức trong công thức Newton)</i>

B/ CÁC DẠNG TỐN CẦN LUYỆN TẬP:

1) Dùng cơng thức nhị thức Newton để khai triển nhị thức.
<i><b>Chủ đề IV: ĐẠI SỐ TỔ HỢP </b></i>

46

<i>I)Công thức nhị thức Newton:</i>

1)Với mọi số tự nhiên n 1 và với mọi cặp số(a;b), ta có:

  nn 1 n 1 nn n

1
k
thứ
quát
tổng
hạng
Số

k
k
n
k
n
2

2
n
2
n
1
n
1
n
n
0
n

n _C _a _C _a _b _C _a _b _... _C _a _b _... _C _ab _C _b

b

a          







 
 


2)Dùng dấu , ta có thể viết cơng thức nhị thức Newton dưới dạng sau:





_

_













n
0
k

k
n
k
k
n

n

0
k

k
k
n
k
n

n _C _a _b _C _a _b

b
a

3)Vài khai triển nhị thức Newton thường gặp:





n

n
1
n
n
k

n
k
n
2

n
2
n
1
n
1
n
n
0
n

n _C _x _C _x _C _x _... _C _x _... _C _x _C
1

x            













n

n
n
k

n
k
n
k
2

n

2
n
1
n
1
n
n
0
n

n _C _x _C _x _C _x _... ₁ _C _x _... ₁ _C

1

x            



1 x



n Cn0  C1nxC2nx2  ...



 1



kCknxk ...



1



nCnnxn

<i>II)Tính chất:</i>

1)Số các số hạng của cơng thức bằng n+1.

2)Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng số mũ của nhị thức (n -k) + k = n.
3)Số hạng tổng quát thứ k+1 có dạng T_k ₁ Ck_nankbk

  (k = 0,1,….,n)

4) + n chẵn: Số hạng chính giữa là T₂n1

+ n lẻ: Hai số hạng chính giữa là

2
1
n
T _ _&

1
2

1
n
T




5)Các hệ số nhị thức cách đều hai số hạng đầu và cuối bằng nhau.

6)





n

n
k

n
1

n
0
n
n

n ₁ ₁ _C _C _... _C _... _C

2        

(Tổng các hệ số của các số hạng trong sự khai triển của nhị thức bằng 2n_).

7)













n

n
n
k

n
k
1

n
0
n

n _C _C _... ₁ _C _... ₁ _C

1
1

0         
...

C

C
...
C

C 3

n
1
n
2

n
0

n    



(Tổng tất cả các hệ số đứng ở các vị trí lẻ bằng tổng tất cả các hệ số đứng ở các vị trí chẵn).

<i>1)Dạng 1:</i>

...

1

6

15

20

15

6

1

:
6
n

1

5

10

10

5

1


:
5
n

1

4

6

4

1


:
4
n

1

3

3

1



:
3
n

1

2

1



:
2
n

1

1




:
1
n

1




:
0
n









<i>2)Daïng 2:</i>

...

1

6

15

20

15

6

1

:
6

n

1

5

10

10

5

1

:
5
n

1

4

6

4

1

:
4

n

1

3

3

1

:
3
n

1

2

1

:
2
n

1

1

:
1

n

1

:
0
n

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

2) Tìm số hạng khơng chứa biến, số hạng tổng quát thứ k+1, số hạng chính giữa,… trong
khai triển nhị thức.

3) Dùng cơng thức nhị thức Newton để tính tổng hoặc chứng minh một đẳng thức chứa các
số tổ hợp.

<i>BÀI TẬP</i>
<i>Bài 1: Khai triển </i>



x 2y



6; 2 5

x
1

x 








 ;



3x 2



4 



2x1



5 



x1



6;



x 1



6

<i>Bài 2: Tìm hệ số của x</i>3 _{trong khai triển biểu thức :}

(x + 1)2_{+ (x + 1)}3_{+ (x + 1)}4_{+ (x + 1)}5_{+ (x + 1)}6

<i>Bài 3: Trong khai triển nhị thức</i> x _x1n








,

hệ số của số hạng thứ ba lớn hơn hệ số của số hạng

thứ hai là 35. Tìm số hạng khơng chứa x của khai triển nói trên.
<i> (Đề thi TN THPT Kì I 1996-1997) </i>

<i>Bài 4 : Tìm số hạng khơng chứa ẩn x, số hạng chính giữa trong khai triển nhị thức Niu-Tơn:</i>

12

1








 <i>x</i>

<i>x</i> .(Đề thi TN THPT Kì I 2000-2001)

<i>Bài 5: Tính tổng </i> 5

5
5
4
5
4
3
5
3
2
5
2
1
5
0

5 2C 2 C 2 C 2 C 2 C

C     

<i>Bài 6: Chứng minh rằng :</i>

1) n 1 ₄n ₅n

n

C
1
n
4
...
3
n
C
3
4
2
n
C
2
4
1
n
C
4

1        

2) C1_n 2C2_n3C3_n 4C_n4...(1)n1nC_nn 0

3)

n
1

1

1
n
2
n
1

n
n
C
...
3
1

3
n
C
2
1

2
n
C
1
1

1
n
C
0
n

C















<i>Bài 7: Tổng các hệ số trong khai triển nhị thức </i> ₂_nx2 3n
1
nx

2 








 bằng 64. Hãy xác định số hạng

không chứa x.

<i>Bài 8: Với giá trị nào của x, số hạng thứ ba trong khai triển </i>



_lg_x



5

x

x  bằng 100?

<i>Bài 9 : Tìm số hạng không chứa ẩn x, trong khai triển của luỹ thừa: </i> 1 x _x610









 .

<i>Bài 10 : Tìm số hạng thứ năm trong sự khai triển của </i>



₃ ₁



n

2

2 

 , nếu số hạng cuối cùng của

sự khai triển bằng

8
log

3

3

9
3

1






 _.

<i>Bài 11: Tìm số tự nhiên n, biết rằng trong dạng khai triển </i> x ₂1n






 thành đa thức đối với biến

x, hệ số của x6_{bằng bốn lần hệ số của x}4_.

<i>Bài 12: 1) Tìm 3 hệ số đầu trong sự khai triển của nhị thức Newton của </i>

n
4
1
2

1

x
2
1

x _









 



x 0



2) Xác định số mũ n, biết rằng 3 hệ số nói trên lập thành một cấp số cộng theo thứ tự
đó.

<i>Bài 13: Cho khai triển nhị thức: </i> _













































3
x
1
n
2

1
x
1
n
n
2

1
x
0

n
n
3

x
2

1
x

2
2

C
2

C
2

2

2
3

x
n
n
1
n
3

x
2

1
x
1
n

n 2 2 C 2

C

... _


































 (n là số nguyên dương ). Biết rằng trong khai triển

đó 1

n
3

n 5C

C  và số hạng thứ tư bằng 20n, tìm n và x.(ĐH KHỐI A 2002)
<i><b>Chủ đề IV: ĐẠI SỐ TỔ HỢP </b></i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<i>Bài 14: Tìm số nguyên dương n sao cho </i>C 2C 4C ... 2 Cn 243

n
n
2

n
1
n
0

n      .(ĐH KHỐI D 2002)

<i>Bài 15: Tìm hệ số của số hạng chứa x</i>8_{trong khai triển nhị thức Niutơn của}

n
5
3

1
x
x

 



 

  , biết

rằng n 1 n

n 4 n 3

C  C 7(n 3)

     . (n là số nguyên dương, x >0,
k
n

C là số tổ hợp chập k của n
phần tử).(ĐH KHỐI A 2003)

<i>Bài 16: </i>Cho n là số nguyên dương. Tính tổng :

2 3 n 1

0 1 2 n

n n n n

2 1 2 1 2 1

C C C ... C

2 3 n 1



  

   



( k
n

C

là số tổ hợp chập k của n phần tử )(ĐH KHỐI B 2003)

<i>Bài 17: Với n là số nguyên dương, gọi a</i>3n-n là hệ số của x3n – 3 trong khai triển thành đa thức của

( x2_{+ 1 )}n_{( x + 2 )}n_{. Tìm n để a}

3n-n = 26.(ĐH KHỐI D 2003)

<i>Bài 18: Tìm hệ số của số hạng chứa x</i>8_{trong khai triển thành đa thức của} _{1 x 1 x}2

_

_

8

   

  .

(ĐH KHỐI A 2004)

<i>Bài 19: Tìm các số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niu-Tơn của: </i>

7
3

4

1
x

x

 



 

  với

x > 0. (ĐH KHỐI D 2004)

<i><b>Chủ đề IV: ĐẠI SỐ TỔ HỢP </b></i>

</div>

<!--links-->