*********
HÀ DUY NGHĨA
DẠNG MODUNLAR
VÀ HÀM SỐ HỌC
TIỂU LUẬN HÌNH HỌC SỐ HỌC
i
*********
HÀ DUY NGHĨA
DẠNG MODUNLAR
VÀ HÀM SỐ HỌC
CAO HỌC TOÁN KHÓA 11
Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
TIỂU LUẬN HÌNH HỌC SỐ HỌC
Người hướng dẫn khoa học
GS.TSKH HÀ HUY KHOÁI
ii
MỤC LỤC
Trang phụ bìa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
Lời mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Chương 1 Một số kiến thức cơ sở 2
1.1 Đặc trưng của nhóm hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Quan hệ trực giao của đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Chương 2 các hàm số học 7
2.1 Zeta hàm và L hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.1 Zeta hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.2 Zêta hàm Rieman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 L-Hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.1 Đặc trưng Modunlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.2 Định nghĩa và tính chất của L-Hàm . . . . . . . . . . . 9
2.2.3 Tích các L hàm ứng với mọi χ ∈


G(m) . . . . . . . . . 10
Chương 3 Dạng modular 11
3.1 Nhóm modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2 Miền cơ bản của nhóm modular . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.3 Hàm modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.4 Không gian các dạng Modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1
LỜI MỞ ĐẦU
Số học là bộ môn toán học ra đời từ rất sớm nhưng nó luôn được các nhà
toán học quan tâm nghiên cứu, bởi lẽ không vì sự bí ẩn của các con số mà
nó còn ứng dụng quan trong cho cuộc cách mạng khoa học kỹ thuật hiện nay
như lý thuyết mật mã,kỹ thuật số,
chuyên đề hình học số học là chuyên đề nghiên cứu số học dưới công cụ
hình học, thiết lập mật mã bởi đường cong Eliptic là thế mạnh của phân môn
này. Để làm đề tài tiểu luận kết thúc bộ môn tôi chọn đề tài " Dạng modular
và hàm số học" , tiểu luận gồm 3 chương cùng với phần mở đầu và kết luận.
Trong mỗi chương cụ thể như sau;
Chương 1: Gồm các kiến thức cơ sở liên quan đến hai chương sau
Chương 2: Giới thiệu hai hàm số học quan trọng đó là Zeta hàm và L hàm
cùng với các tính chất của nó.
Chương 3: Nói về các dạng Modular, không gian các dạng Modular .
Mặc dù bản thân đã rất cố gắng trong học tập, nghiên cứu và được sự
hướng dẫn nhiệt tình của thầy giáo hướng dẫn, nhưng do năng lực của bản
thân và thời gian còn hạn chế nên tiểu luận khó tránh khỏi những thiếu sót.
Tôi rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và các bạn để tiểu luận
được hoàn thiện hơn.
Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn GS.TSKH Hà Huy Khoái người đã
tận tình giúp đỡ, cùng tập thể lớp cao học toán khoá 11 tạo điều kiện cho

tôi hoàn thành tiểu luận này.
Quy Nhơn, tháng 5 năm 2010
Hà Duy nghĩa
2
Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ
1.1 Đặc trưng của nhóm hữu hạn
Định nghĩa 1.1.1. Một đặc trưng của nhóm G là một đồng cấu từ G vào
nhóm nhân các số phức khác không. Nói cách khác, đặc trưng của G là một
hàm χ : G → C
∗
sao cho χ(a.b) = χ(a)χ(b), ∀a, b ∈ G Một đặc trưng χ gọi
là tầm thường nếu χ(g) = 1, ∀g ∈ G được ký hiệu là χ
T
Gọi χ, χ

là hai đặc trưng của nhóm G, tích 2 đặc trưng là một hàm
χ.χ

: G → C
∗
xác định bởi χχ

(g) = χ(g)χ

(g).
Định lý 1.1.2. Đặc trưng của nhóm tùy ý G là nhóm Abel với phép toán
nhân được định nghĩa như trên.
Chứng minh. i)G đóng đối với phép toán nhân, tức là χ.χ


là đặc trưng của
G, thật vậy χ.χ

(a.b) = χ(a.b).χ

(a.b) = χ(a)χ(b)χ

(a)χ

(b) = χ.χ

(a)χ.χ

(b)
ii)Phần tử đơn vị là đặc trưng tầm thường χ
T
iii)Phần tử nghịch đảo của χ là χ
−1
với χ
−1
: G → C
∗
, được xác định
χ
−1
(g) = χ(g
−1
) khi đó χ
−1
là đặc trưng của G và χ.χ

−1
= χ
T
Tập hợp các đặc trưng của G lập thành nhóm, ký hiệu là

G gọi là nhóm
đặc trưng hay nhóm đối ngẫu của G
Giả sử rằngh : G
1
→ G
2
là một đồng cấu nhóm và χ là đặc trưng của
G
2
. Cái nối của χ bởi hký hiệu là h

χ được xác định bởi h

= χ ◦ χ, từ định
nghĩa ta suy ra h

χ là một đồng cấu.
Định lý 1.1.3. Giả sử rằng G
1
, G
2
là những nhóm . Khi đó χ là đặc trưng
của G
1
× G

2
nếu và chỉ nếu χ = χ
1
⊗ χ
2
, ∀χ
1
∈

G
1
, χ
2
∈

G
2
Hệ quả 1.1.4. Nếu G
1
, G
2
là những nhóm thì

G
1
× G
2
=

G

1
⊗

G
2
3
Giả χ là đặc trưng của G và g là phần tử của G có cấp hữu hạnk. Từ
χ(g)
k
= χ(g
k
) = χ(1) = 1.Điều này kéo theo khẳng định rằng, những đặc
trưng chuyển những phần tử có cấp hữu hạn vào căn của đơn vị. Cụ thể là :
Nếu G là một nhóm và n là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho g
n
= 1, ∀g ∈ G
khi các đặc trưngcủa G sẽ cho tương ứng mỗi phần tử của G là căn bậc n
của đơn vị .
Từ đó suy ra nếu χ ∈

G thì |χ(g)| = 1∀g ∈ G, do đó
χ(g) = χ(g) =
1
χ(g)
= χ(g
−1
) = χ
−1
(g)
môđun [Proposition 1.1 [2] ] Với mọi đặc trưng không tầm thường χ của G

thì

a∈G
χ(a) = 0
Chứng minh. Lấy b ∈ G sao cho χ(b) = 1, gọi S =

a∈G
χ(a), khi đó
χ(b).S =

a∈G
χ(b)χ(a)

ab∈G
χ(ba) = S
do đó S(χ(b) − 1) = 0 ⇒ S = 0
Từ mệnh đề trên, nếu thay G bằng

G ta có kết quả sau:

x∈

G
χ(x) = 0, χ ∈


G
Suy ra

χ∈


G
χ(x) = 0, x ∈ G
∼
=


G
môđun [proposition 1.3 , [2] ] Gọi ω là căn bậc n của đơn vị, khi đó ánh
xạ χ
j
: Z
n
→ C
∗
xác định bởi χ
j
(a) = ω
ja
là đặc trưngcủa Z
n
∀j ∈ Z, ngoài
ra:
(a)χ
j
= χ
k
nếu và chỉ nếu j ≡ kmodn;
(b)χ
j

= χ
k
1
;
(c)

Z = {χ
0
, , χ
n−1
};
(d)

Z
n
∼
=
Z
n
4
Chứng minh. Trước hết chứng minh χ
j
là đặc trưng của Z
n
.
Ta có χ
j
(a + b) = ω
j(a+b)
= ω

ja
ω
jb
= χ
j
(a)χ
j
(b), Vậy χ
j
là đặc trưng của Z
n
.
(a)χ
j
= χ
k
nếu và chỉ nếu j ≡ k mod n;
(⇒) Ta có χ
j
= χ
k
nên χ
j
(1) = χ
k
(1) ⇒ ω
j
= ω
k
⇒ j ≡ k mod n.

(⇐) Nếu j ≡ k mod n ⇒ j = k + tn ⇒ ω
J
= ω
k+tn
= ω
k
⇒ χ
j
= χ
k
.
(b) Hiển nhiên theo đinh nghĩa
(c) Theo trên ta đã chứng minh

Z
n
là nhóm, nên để chứng minh mệnh đề ta
cần chứng minh

Z
n
là nhóm xyclic cấp n.Thật vậy, ∀χ
j
∈

Z
n
ta có χ
n
j

(a) =
χ
j
(na) = χ
j
(0) = 1 = χ
0
(a), a ∈ Z
n
.( Có thể giải thích theo định nghĩa của
χ
j
(a) = ω
ja
), khi đó ta suy ra được (c), (d).
Hệ quả 1.1.5. G
∼
=

G
Chứng minh. Vì G,

G là những nhóm hữu hạn nên G
∼
=
Z
n
1
⊕ ⊕ Z
n

k
, và

G
∼
=

Z
n
1
⊕ ⊕

Z
n
k
, do đó theo Mệnh đề 1.1 tacó Z
n
1
∼
=

Z
n
1
, , Z
n
k
∼
=


Z
n
k
.Suy ra điều phải chứng minh.
1.2 Quan hệ trực giao của đặc trưng
Gọi G là nhóm Abelian hữu hạn và H là nhóm con của G, ký hiệu
ˆ
G
H
là
tập các đặc trưng của G có hạt nhân chứa H, tức là ∀h ∈ H, χ(h) = 1. Khi
đó ta có các kết quả sau:
Định lý 1.2.1. Nếu H là nhóm con của G và χ ∈

G thì

h∈H
χ(h) =





|H| Nếu χ ∈

G
H
0 Nếu χ /∈

G

H
Chứng minh. Gọi A =

h∈H
χ(h), khi đó nếu χ ∈

G
H
thì χ(h) = 1, ∀h ∈ H
suy ra A = |H|, ngoài ra nếu χ /∈

G
H
thì tồn tại h
0
∈ H sao cho χ(h
0
) = 1,
khi đó A =

h∈H
χ(h.h
0
) = χ(h
0
)

h∈H
χ(h) ⇒ A = 0
5

Định lý 1.2.2 (Quan hệ trực giao thứ 1). Gọi χ, ψ là hai đặc trưng của G
khi đó

a∈G
χ(a)ψ(a) =





n Nếu χ = ψ
0 Nếu χ = ψ
Chứng minh. Trường hợp , nếu χ = ψ khi đó χ(a).χ(a) = χ(a)
−1
χ(a) = 1
nên

a∈G
χ(a)ψ(a) = n.
Trường hợp, nếu χ = ψ thì χψ là đặc trưng không tầm thường, nên theo
Mệnh đề 1.1 ta có điều phải chứng minh.
Gọi C
G
là không gian các hàm tuyến tính f : G → C. Không gian này là
không gian các hàm tuyến tính n chiều trên C. Với tích vô hướng được định
nghĩa
(f, g) =
1
n


a∈G
f(a)g(a) (f, g ∈ C
G
)
Định lý 1.2.3.

G là cơ sở trực giao trong C
G
Chứng minh. Tacó : ∀χ, ψ ∈

G, (χ, ψ) =
1
n

a∈G
χ(a)ψ(a) = 0 ( Theo Định lý
1.2.2)
Ngoài ra,theo Hệ quả1.1.5 ta suy ra |

G| = n = dimC
G
.
Gọi χ
0
, , χ
n−1
là những đặc trưng của G = {a
0
, a
1

, , a
n−1
. Khi đó ma
trận vuông C = (χ
i
(a
j
)) là bảng đặc trưng của G
Hệ quả 1.2.4. Ma trận A =
1
√
n
C là ma trân đơn vị, hơn nữa A.A
∗
= A
∗
.A =
I trong đó I là ma trận đơn vị và A
∗
là ma trân liên hợp của A
Hệ quả 1.2.5 (Quan hệ trực giao thứ 2 ). Gọi a, b ∈ G khi đó

χ∈

G
χ(a)χ(b) =








n Nếua = b
0 Nếu a = b
Chứng minh. Thật vậy, nếu a = b ta có

χ∈

G
χ(a)χ(b) =

χ∈

G
χ(a)χ(a) =

χ∈

G
|χ(a)|
2
= n
6
nếu a = b ta có

χ∈

G
χ(a)χ(b) =


χ∈

G
χ(a
−1
)χ(b) =

χ∈

G
χ(a
−1
b) = 0
(Suy ra từ Mệnh đề 1.1)
7
Chương 2
CÁC HÀM SỐ HỌC
2.1 Zeta hàm và L hàm
2.1.1 Zeta hàm
Định nghĩa 2.1.1. Cho f : N → C là hàm số học,fđược gọi là :
Nhân tính nếu :∀m, n(m, n) = 1, f(m, n) = f(m).f(n)
Nhân tính mạnh nếu :∀m, nf(m, n) = f(m).f(n)
Bổ đề 2.1.2. Chuỗi
∞

n=1
f(n)
n
s

hội tụ tuyệt đối khi Res > 1 và biểu diễn thành
tích vô hạn

p∈
(1 + f(p)p
−s
+ f(p
2
).p
−2s
+ +) trong đó f(n) là hàm nhân
tính giới nội.
Chứng minh. Vì f(n) là hàm nhân tính giới nội nên|f(n)| < M ⇒




f(n)
n
s




<
M
n
X
, X = Res > 1 chuỗi hội tụ tuyệt đối khi Res > 1.
Lấy một tập hữu hạn S ⊂ { Tập hợp các số nguyên tố }, gọi N(S) ⊂ N

là tập các số mà các ước nguyên tố thuộc S, giả sử S = p
1
, , p
r
,khi đó
N(S) = {n = p
α
1
1
p
α
k
k
, α
i
≥ 0} Khi đó ta có :

n∈N(s)
f(n)
n
s
=

f(p
α
1
1
p
α
k

k
)
(p
α
1
1
p
α
k
k
)
s
Do f là hàm nhân tính nên f(p
α
1
1
P
alpha
k
k
)=f(p
α
1
1
) f(p
α
k
k
) do đó :


n∈N(s)
f(n)
n
s
=

α
1
α
k
f(p
α
1
1
) f(p
α
k
k
)
(p
α
1
1
p
α
k
k
)
s
=

k

i=1


∞

α
i
=0
f(p
α
1
1
)
(p
α
i
i
)
s


, S →
Từ đó suy ra:
∞

n=1
f(n)
n

s
=

p∈
(1 + f(p)p
−s
+ f(p
2
).p
−2s
+ +)
Giả sử f(n) là hàm nhân tính mạnh giới nội, khi đó theo bổ đề trên ta cũng
có
8
∞

n=1
f(n)
n
s
=

p∈
(1 + f(p)p
−s
+ f(p
2
).p
−2s
+ +)

=

p∈P
1
1−f(p).p
−s
=

p∈P
(1 − f(p)p
−s
)
−1
.
Và công thức này gọi là công thức Ơle.
2.1.2 Zêta hàm Rieman
Từ bổ đề trên ta thấy khi f(n) = 1 ta luôn có: ζ(s) =
∞

n=1
1
n
s
, ζ(s) =

p∈P
(1 − p
−s
)
−1

ζ là hàm Rieiman hội tụ tuyệt đối trên miền Re s > 1
Định lý 2.1.3. ζ Hàm Rieman là hàm chỉnh hình trên miền Re s > 0. Thác
triển được thành hàm phân hình trên miền Res > 0 có cực điểm đơn tại s = 1
tức là ζ(s) =
1
s−1
+ Φ(s) trong đó Φ(s) chỉnh hình trong miền Re s > 0.
Chứng minh. Ta có :
1
s−1
=
∞

1
t
−s
dt =
∞

n=1
n+1

n
t
−s
dt nên suy ra:
ζ(s) −
1
s−1
=

∞

n=1
1
n
s
−
∞

n=1
n+1

n
t
−s
dt
=
∞

n=1

n
−s
−
n+1

n
t
−s
dt


=
∞

n=1
n+1

n
(n
−s
− t
−s
) dt.
Đặt Φ
n
(s) =
n+1

n
(n
−s
− t
−s
) dt, Φ(s) =
∞

n=1
Φ(n), các hàm Φ
n
(s) chỉnh hình

theo s trong miền Re s > 0. Để chúng minh Φ(s) chỉnh hình trong Re s > 0
ta chứng minh chuỗi hội tụ tuyệt đối và đều.Thật vậy, ta có:
|Φ
n
(s)| =







n+1

n
(n
s
− t
−s
)dt







≤ max
n≤t≤n+1




n
s
− t
−s



nên suy ra:|Φ
n
(s)| ≤
|s|
n
X+1
, X = Re s Từ đó suy ra Φ(s) chỉnh hình tronh
miền Re s > 0, ngoài ra khi s → 1, Φ(s) giới nội.
9
2.2 L-Hàm
2.2.1 Đặc trưng Modunlar
Giả sử m ∈ Z, m ≥ 1, G(m) =

Z
/
mZ

∗
nhóm các lớp đồng dư khả nghịch
theo modulo m, G(m)có m phần tử , gọi χ là đặc trung của nhóm G(m)gọi
là đặc trưng Modunlar . χG(m) :−→ C

∗
thác triển lên Z, khi đó:
•χ(n) = 0 nếu (n, m) = 1
•χ(n) = χ(n mod m) nếu (n, m) = 1
2.2.2 Định nghĩa và tính chất của L-Hàm
Định nghĩa 2.2.1. Cho m ≥ 1, χ đặc trưng modular m,ta định nghĩa L hàm
ứng với đặc trưng χ được xác định bởi công thức
L(s, χ) =
∞

n=1
χ(n).n
−s
Mệnh đề 2.2.2. Nếu χ = 1 thì L(s, 1) = F (s).ζ(s) trong đó F (s) =

p|m
(1 − p
−s
), ζ(s) là Zeta hàm Riemam.
Từ mệnh đề trên ta thấy rằng L(s, 1) chỉ khác ζ(s) khi (n; m) = 1 và
L(s, 1) có thể thác triển thành hàm phân hình trên miền Re s > 0 và có cực
điểm đơn tại s = 1.
Mệnh đề 2.2.3. Với χ = chuỗi L(s, χ) hội tụ tuyệt đối trong Re s > 0(Re s >
1) đồng thời có tích Euler
L(s, χ) =

p∈
(1 − χ(p).p
−s
)

−1
, , Re s > 0
Chứng minh. ∀u, v ∈ N, u < v ta đặt A
u,v
=
v

u
χ(n), theo tính chất trực giao
ta có
u+m

u
χ(n) = 0
Do đó
|A
u,v
| ≤ Φ(m)
10
và không phụ thuộc vào u, v, nên theo tiêu chuẩn Abel chuỗi hoiị tụ tuyệt
đối.
ngoài ra χ(n)là hàm nhân tính mạnh nên L(s, χ) có tính Euler
2.2.3 Tích các L hàm ứng với mọi χ ∈

G(m)
Cho p  m, p là ảnh của m trong nhóm G(m) =

Z
/
mZ


∗
f(p) là cấp của
ptrong nhóm G(m), f = f(r) là số nhỏ nhất sao cho p
f
≡ 1 mod m suy ra
f(p)|Φ(m), G(p) =
Φ(m)
/
f(p)
là cấp của nhóm sinh bởi (p)
Mệnh đề 2.2.4.
ζ
m
(s) =

p|m

1 − p
−f(p)s

−g(p)
Chứng minh. Ta có : ζ
m
(s) =

χ
L(χ, s) = L(s, 1)

χ=1

L(s, χ)
=

p|m
(1 − p
−s
) ζ(s)

χ=1
L(s, χ)
=

p|m
(1 − p
−s
)

p∈P
(1 − p
−s
)
−1

χ=1

p∈P
(1−χ(p)p
−s
)
−g(p)

=

χ

p|m
(1−χ(p)p
−s
)
−1
=

pm

1 − p
−f(p)s

−g(p)
Định lý 2.2.5. (i) ∀χ = 1, L(1, χ) = 0 (ii) ζ(s) có cực điểm đơn tại s = 1.
Chứng minh. (i) giả sử có χ
0
nào đó , χ
0
= 1, L(1, χ
0
) = 0 khi đó L(1, χ) giới
nội ∀χ = 1, và L(1, χ
0
) có cực điểm đơn tại s = 1.
Nếu Li, χ
0

= 0 thì khử được cực điểm s = 1 suy ra hàm ζ(s) chỉnh hình
trong miền Re s > 0, ta cần chứng minh chuổi hội tụ trong miền Re s > 0,
ta chứng tỏ chuỗiζ(s) phân kỳ tạis =
1
Φ(m)
, thật vậy;
ζ(m) =

pm

1 − χ(p).p
−f(p).s

−g(p)
.

1 − p
−f(p).s

−g(p)
=

1
1−p
−f(p).s

g(p)
=

1 + p

−f(p).s
+ +

p
−f(p).s

m
+

g(P )
mà Φ(m) ≥ f(p) nên chuỗi trên được làm già bởi

1 + p
−Φ(m).s
+ +

p
−Φ(m).s

+

=

1 +
1
p
+

mà chuỗi này phân kỳ nên s =
1

Φ(m)
là phân kỳ.
(ii) được suy ra trực tiếp từ (i)
11
Chương 3
DẠNG MODULAR
3.1 Nhóm modular
Cho H là nửa mặt phẳng trên của C Nhóm mudular kí hiệu là
SL
2
(R) =











a b
c d




, a, b, c, d ∈ R, ad − bc = 1








Tác động của SL
2
(R) lên C ∪ {∞} :
g =




a b
c d




∈ SL
2
(R) gz =
az+b
cz+d
với z là một phần tử trong C ∪ {∞}.
Qua tác động của nhóm SL
2
(R), nửa mặt phẳng trên là ổn định. Thật vậy,
giả sử H = {z/ Im z > 0} và z ∈ H. Khi đó

Im(gz) = Im

az+b
cz+d

=
1
2i

az+b
cz+d
−
az+b
cz+d

=
1
2i

(ad−bc)z−(ad−bc)z
|cz+d|
2

=
1
2i
(ad−bc)(z−z)
|cz+d|
2
=

z−z
2i|cz+d|
2
=
Im z
|cz+d|
2
Tác động tầm thường trên H :
Xét g =




−1 0
0 − 1




ta có gz = z, ∀z ∈ C ∪ {∞}.
Xét nhóm SL
2
(Z) ⊂ SL
2
(R). Ta có SL
2
(Z) =












a b
c d




, a, b, c, d ∈ Z, ad − bc = 1







. Kí hiệu P SL
2
(Z) =
SL
2
(Z)
/
{±1}

.
Định nghĩa 3.1.1. Nhóm G = SL
2
(Z) gọi là nhóm modular.
12
3.2 Miền cơ bản của nhóm modular
Định lý 3.2.1. Miền D =

|z|  1, |Re z| 
1
2

là miền cơ bản của nhóm
modular G tức là
(i) Với mọi z ∈ H và với mọi g ∈ G ta có gz ∈ D.
(ii) Giả sử z, z

∈ D tồn tại g sao cho z

= gz. Khi đó ta có
hoặc |Re z| =
1
2
, z

= z ± 1 hoặc| z| = 1, z

= −
1
z

.
(iii) Với mọi z ∈ D đặt I(z) = {g ∈ G, gz = z}
(Nhóm con ổn định của z đối với G).
Khi đó I(z) = 1 trừ 3 trường hợp:
• z = i : I(i) là nhóm cấp 2 sinh bởi S
• z = ρ = e
2πi
3
: G là nhóm cấp 3 sinh bởi S, T.
• z = ρ = e
πi
3
: I(z) là nhóm cấp 3 sinh bởi TS.
3.3 Hàm modular
Định nghĩa 3.3.1. Cho số nguyên k, f(z) cho trong nửa mặt phẳng trên
được gọi là một hàm modular yếu trong số 2k nếu f(z) phân hình trên H
đồng thời với mọi g =




a b
c d




∈ SL
2
(Z) ta có

f(z) = (cz + d)
−2k
f(
az + b
cz + d
) (3.1)
Định lý 3.3.2. Hàm phân hình f(z) trên nửa mặt phẳng H là dạng modular
trong số 2k khi và chỉ khi f(z) thỏa mãn hai điều kiện sau
(i)f(z − 1) = f(z)
(ii)f

−
1
z

= z
2k
f(z).
Định nghĩa 3.3.3. Hàm modular yếu f(z) gọi là hàm modular nếu f(z) phân
hình tại ∞. Hàm f(z) được gọi là hàm modular trọng số 2k nếu f(z) là hàm
modular trọng số 2k và f(z) làm hàm chỉnh hình trên H kể cả tại ∞.
13
Nhận xét: f(z) là dạng modular trọng số 2k khi
(i) f là hàm chỉnh hình trên H.
(ii) f(z) có khai triển f(z) =
∞

n=0
a
n

e
2πinz
.
(iii) f

−
1
z

= z
2k
f(z).
3.4 Không gian các dạng Modular
Cho f và g là các dạng modular trọng số 2k. Khi đó f + g cũng là một
dạng modular.
Đặt M
k
là tập hợp các dạng modular trọng số 2k . Khi đó M
k
là không gian
tuyến tính phức.
Định nghĩa 3.4.1. Dạng modular f gọi là dạng cusp nếu như f(∞) = 0.
Kí hiệu M
0
k
là không gian các dạng cusp trọng số 2k. Ta có M
0
k
⊂ M
k

. Xét
ϕ : M
k
−→ C, ϕ (f) = f (∞). Ta có M
0
k
= Kerϕ. Do đó M
k
= M
0
k
⊕ CG
k
.
Định lý 3.4.2. Giả sử f là hàm modular trọng số 2k khác 0. Khi đó ta có
✵
∞
(f) +

p∈D
1
e
p
✵
p
(f) =
k
6
, (e
p

là cấp của nhóm ổn định tại p ).
Viết lại, ✵
∞
(f) +
1
2
✵
i
(f) +
1
3
✵
ρ
(f) +

∗
✵
p
p∈H/G
(f) =
k
6
(*) trong đó

∗
là
tổng theo mọi modun trong H/G khác i, ρ và các điểm đồng dư với i, ρ.
Nhận xét:

∗

✵
p
(f) chỉ là tổng hữu hạn ( tức là, chỉ có hữu hạn điểm mà
tại đó ✵
ρ
(f) = 0 ). Nếu f là hàm modular thì f phân hình tại ∞ . q = e
2πiz
: lim
q→0
f (q) = ∞, tồn tại lân cận của 0, chẳng hạn |q| < r trong đó chỉ có q
là cực điểm, z = x + iy, |q| = e
−2πy
< r suy ra
1
r
< e
2πy
= y >
1
2π
log
1
r
. Khi
y >
1
2π
log
1
r

hàm f chỉ có cực điểm tại ∞. Miền D ∩

y 
1
2π
log
1
r

compact
do đó chỉ có hữu hạn cực điểm và không điểm tức là chỉ có hữu hạn p sao
cho ✵
p
(H) = 0.
Định lý 3.4.3. (i) M
k
= 0 với k < 0 hoặc k = 1.
(ii) Khi k = 0, 2, 3, 4, 5 thì M
k
là không gian vecto một chiều và cơ sở của
14
nó là 1, G
2
, G
3
, G
4
, G
5
.

(iii) Ánh xạ
M
k−6
−→ M
0
k
f → ∆f
là một đẳng cấu.
Chứng minh. (i) Khi k = 1 hoặc k < 0 thì không có dạng f ≡ 0 do đó f = 0.
(iii) Xét ánh xạ
M
k−6
−→ M
0
k
f → ∆f
.
• Trong công thức (*) ta thay f bởi G
2
: ✵
∞
(G
2
) +
1
2
✵
i
(G
2

) +
1
3
✵
ρ
(G
2
) +

∗
p∈H/G
✵
p
(G
2
) =
1
3
suy ra ✵
ρ
(G
2
) = 1 và ✵
p
(G
2
) = 0. Do đó G
2
có không
điểm đơn duy nhất tại ρ, G

2
(ρ) = 0, G
2
(p) = 0.
• Trong (*) ta thay f bởi G
3
: ✵
∞
(G
3
)+
1
2
✵
i
(G
3
)+
1
3
✵
ρ
(G
3
)+

∗
p∈H/G
✵
p

(G
3
) =
1
2
suy ra ✵
ρ
(G
3
) = 1 và ✵
p
(G
3
) = 0. Do đó G
3
có ✵
i
(G
3
) = 1, ✵
p
(G
3
) =
0, ∀p = i và G
3
(i) = 0, G
3
(p) = 0, ∀p = i.
• Trong (*) ta thay f bởi ∆. Khi đó ∆ (∞) = 0 suy ra ✵

∞
(∆)  1. Ta có
✵
∞
(∆) +
1
2
✵
i
(∆) +
1
3
✵
ρ
(∆) +

∗
p∈H/G
✵
p
(∆) = 1 suy ra ✵
∞
(∆) = 1 và
✵
i
(∆) = ✵
ρ
(∆) = ✵
p
(∆) = 0, ∀p = ∞. Do đó ∆ có không điểm đơn tại ∞.

Hiển nhiên ánh xạ trên là đơn ánh.
Lấy g tùy ý thuộc M
0
k
. Ta có g (∞) = 0 và ∆(∞) = 0 nên
g
/
∆
chỉnh hình
kể cả tại ∞. Tại điểm p = ∞ thì ∆ = 0. Vì
g
/
∆
là hàm chỉnh hình nên
g
/
∆
∈ M
k−6
. Đặt f =
g
/
∆
ta có f ∈ M
k−6
và g = ∆f suy ra ánh xạ trên là
một toàn cấu và do đó nó là một đẳng cấu.
(ii) Xét k = 0 : Vì f là dạng modular nên nó không có cực điểm suy ra
✵
p

(f)  0. Theo (*) thì ✵
p
(f) = 0 với mọi p nên f chỉnh hình và khác 0 trên
H, kể cả tại ∞. Do đó f là hàm hằng nên M
k
là không gian một chiều có cơ
sở là 1.
Xét k = 2, 3, 4, 5 ta có M
0
k
∼
=
M
k−6
. Do k −6 < 0 nên theo (i) ta có M
k−6
= 0
suy ra M
0
k
= 0. Vì M
k
= M
0
k
⊕ CG
k
nên M
k
= CG

k
do đó M
k
là không gian
một chiều cơ sở G
k
với k = 2, 3, 4, 5.
15
Hệ quả 3.4.4. Số chiều của M
k
được cho bởi công thức
dim M
k
=












k
6

, k ≡ 1 (mod 6), k  0


k
6

+ 1 , k ≡ 1 (mod 6)
Chứng minh. Ta chứng minh quy nạp theo k:
• k = 0 tức là k ≡ 1 (mod 6) thì dim M
k
= 1.
• k = 1 tức là k ≡ 1 (mod 6) thì dim M
k
=

1
6

= 0.
• k = 2, 3, 4, 5 thì k ≡ 1 (mod 6) do đó dim M
k
=

1
6

+ 1 = 1.
Giả sử công thức trên đúng với mọi k > 5, ta cần chứng minh công thức
đúng với k + 6. Khi đó:
dim M
k+6
= dim M

0
k+6
+ 1 = dim M
k
+ 1
=












k
6

+ 1 , k ≡ 1 (mod 6)

k
6

+ 2 , k ≡ 1 (mod 6)
=













k + 6
6

, k ≡ 1 (mod 6)

k + 1
6

+ 1 , k ≡ 1 (mod 6)
Định lý 3.4.5. Không gian M
k
có cơ sở gồm họ các đơn thức có dạng sau

G
α
2
G
β
3
, α, β ∈ Z, α, β  0, 2α + 3 β = k


.
Chứng minh. Ta chứng minh họ các đơn thức trên sinh ra M
k
bằng quy nạp
như sau:
Nếu k = 0 thì α = β = 0 .
Nếu k = 2 thì chọn α = 2 và β = 0 do đó M
2
sinh bởi G
2
.
Nếu k = 3 thì chọn α = 0 và β = 3 do đó M
3
sinh bởi G
3
.
Nếu k  4 thì ta luôn tìm được γ và δ sao cho 2γ + 3δ = k. Xét
g = G
γ
2
G
δ
3
∈ M
k
sao cho g (∞) = 0 và f ∈ M
k
. Ta phải tìm λ sao cho f − λg ∈ M
0

k
tức là tìm
f(∞)
g(∞)
. Vì M
0
k
∼
=
M
k−6
nên ta có f − λg = ∆h, h ∈ M
k−6
. Theo giả
thiết quy nạp đúng với k − 6 nên ta có h =

2α+3β=k−6
c
αβ
G
α
2
G
β
3
. Khi đó
f = λG
α
2
G

β
3
+ ∆h = λG
α
2
G
β
3
+

(60G
2
)
3
− 27 (140G
3
)
2

h
16
= λG
α
2
G
β
3
+



a
αβ
G
α
2
G
β+2
3
+ b
αβ
G
α+3
2
G
β
3

và







2α + 3 (β + 2) = k
2 (α + 3) + 3β = k
Điều cần chứng minh đúng với k nên

G

α
2
G
β
3
, α, β ∈ Z, α, β  0, 2α + 3 β = k

sinh ra M
k
.
Ta cần chứng minh họ

G
α
2
G
β
3
, α, β ∈ Z, α, β  0, 2α + 3 β = k

là hệ
độc lập tuyến tính.
Giả sử

(α,β)
λ
αβ
G
α
2

G
β
3
= 0 trong đó 2α + 3β = k. Chọn (α
0
, β
0
) trong đó
α
0
là số nhỏ nhất trong các α và β
0
là số lớn nhất trong các số β sao cho
2α
0
+ 3β
0
= k. Từ 2(α − α
0
) + 3 (β − β
0
) = 0 ta có α − α
0
.
.
.3 và β − β
0
.
.
.2 do

đó α − α
0
= 3m và β − β
0
= −2n suy ra m = n. Từ đó

λ
αβ
G
α−α
0
2
G
β−β
0
3
=
0 ⇔

λ
αβ

G
3
2

m

G
2

3

−n
= 0 ⇔

λ
αβ

G
3
2
G
2
3

n
= 0 .
Nếu λ
αβ
không đồng thời bằng không thì
G
3
2
G
2
3
= c. Khi đó
Tại ita có G
3
= 0 và G

2
= 0 ( vô lý ).
Tại ρ ta có G
2
= 0 và G
3
= 0 ( vô lý ).
Vậy hệ sinh trên là một hệ độc lập tuyến tính, tức là

G
α
2
G
β
3
, α, β ∈ Z, α, β  0, 2α + 3 β = k

là một cơ sở của M
k
.
17
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Hà Huy Khoái , Bài giảng hình học số học , Trường đại học Quy Nhơn.
[2] Wolfgang M.Schmidt, Equation over Finite Fields An Elementary Ap-
proach NewYork 1976.