Chương 1

XÁC SUẤT

Bài 1
TẦN SUẤT


MỤC TIÊU
1. Thực hiện được ba phép toán tập hợp (phép hợp, phép giao, phép trừ).
2. Tính được số lượng mẫu chỉnh hợp lặp, chỉnh hợp không lặp, tổ hợp không lặp và tổ hợp lặp.
3. Tính được tần suất của hiện tượng và nêu được ý nghĩa.



1. TẬP HỢP
1.1. Khái niệm tập hợp


Mọi người thường nói tập hợp bàn ghế, tập hợp số, tập hợp thầy thuốc, tập hợp bệnh nhân v.v

Tập hợp là khái niệm chưa xác định vì vậy để hiểu và thực hiện các phép toán với tập hợp thườ
ng thông
qua cách cho một tập hợp. Khi đó tập hợp được xác định.

Có hai cách cho tập hợp: Hoặc cho danh sách các phân tử của tập hợp hoặc cho các đặc tính, tính chất
để
xác định một phần tử thuộc tập hợp.

Thường ký hiệu các chữ A, B, C, để chỉ tập hợp, các chữ x, y, z, để chỉ phần tử của tập hợp.

A
1
= {Danh sách (tổ viên) tổ 1},

A
2
= {Danh sách lớp Y
1
},

A = {x thực : thoả mãn tính chất Q(x)}.

Phần tử x thuộc A viết là x ∈ A. Phần tử x không thuộc B viết là x ∉ B hoặc .



Tập hợp trống là tập hợp không chứa một phần tử nào. Thường ký hiệu tập hợp trống là φ.

Ví dụ: A = {x thực : x
2
+ 1 = 0},

B = {Bác sỹ chuyên mổ tim ở bệnh viện huyện},

C = {Bệnh nhân "Đao" trên 50 tuổi}.

A, B, C là các tập hợp trống.




Tập hợp con

A là tập hợp con của B nếu mọi phần tử x∈ A đều là các phần tử x∈B.

Ký hiệu: A ⊆ B, đọc là A bao hàm trong B hoặc B ⊇ A, đọc là B bao hàm A hoặc B chứa A.

Tổ là tập hợp con của lớp, lớp là tập hợp con của khối.

Tập hợp bệnh nhân trong khoa bao hàm trong tập hợp bệnh nhân toàn viện.

x B
∈
Page
1
of
47
12/10/2012
file://C:\WINDOWS\Temp\ttwyprsdrx\Chapter1.htm


Tập hợp bằng nhau.

Cho hai tập hợp A và B. Nếu mọi phần tử của A là những phần tử của B và ngược lại mọi phần tử củ
a B
cũng là những phần tử của A thì A = B.

Để chứng tỏ điều này cần chứng minh A ⊆ B và B ⊆ A.

1.2. Phép toán tập hợp



Phép giao

Cho A, B, C. Ký hiệu dấu ∩ đọc là giao.

Giao của hai tập hợp A ∩ B = D

D là tập hợp có các phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B.

Giao của ba tập hợp A ∩ B ∩ C = D

D là tập hợp có các phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B vừa thuộc C.

Chú ý: Phép giao có thể mở rộng cho nhiều tập hợp.

Thường viết A ∩ B hoặc viết tắt là AB.



Phép hợp

Cho A, B, C. Ký hiệu dấu ∪ đọc là hợp.

Hợp của hai tập hợp A ∪ B = E

E là tập hợp có các phần tử hoặc thuộc A hoặc thuộc B hoặc thuộc A và B hay E là tập hợp có các phầ
n
tử thuộc ít nhất một trong hai tập hợp A, B.

Hợp của ba tập hợp A ∪ B ∪ C = E


E là tập hợp có các phần tử thuộc ít nhất một trong ba tập hợp A, B, C.











Phép trừ

Cho A, B. Ký hiệu A \ B đọc là A trừ B hay hiệu của A và B.

A \ B = C. C là tập hợp có các phần tử chỉ thuộc A mà không thuộc B








Cho A ⊂ E . E \ A = C
E
A =


C
E
A được gọi là phần bù của A trong E hay












Một số tính chất

A
A

B

D

C

D

B


A

A

B

E

A

B

C

E

C

B

A

A

E

Page
2
of
47

12/10/2012
file://C:\WINDOWS\Temp\ttwyprsdrx\Chapter1.htm
A ∩ B = B ∩ A, A ∩ A = A, A ∩ φ = φ vì φ ⊂ A

A ∪ B = B ∪ A, A ∪ A = A, A ∪ φ = A

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).

1.3. Các khái niệm khác


Tích Đecart (R. Đecart)

Cho A = (x, y, z), B = (1, 2, 3).

Tích Đecart của A và B viết là A × B.

A × B = { (x, 1), (x, 2), , (z, 3) }.

Tích Đecart của A và B là một tập hợp mà mỗi phần tử là một cặp sắp thứ tự, phần tử thứ nhất thuộ
c A,
ph
ần tử thứ hai thuộc B.

Như vậy, một điểm trong mặt phẳng 0xy là một phần tử của tập hợp tích R × R. M(x, y) ∈ R × R = R
2
.
Một điểm trong không gian ba chiều 0xyz là một phần tử thuộc tập hợp tích Đecart R × R × R


M(x, y, z) ∈ R × R × R = R
3



Sự phân hoạch một tập hợp

Cho E. Chia E thành E
1
, E
2
, , E
n
sao cho thoả mãn các tính chất:


được gọi là phân hoạch tập hợp E.

Thực chất sự phân hoạch là việc chia sao cho mỗi phần tử của E chỉ thuộc về duy nhất một tập hợp E
i
mà thôi.

Chia một lớp thành 4 tổ hoặc chia bệnh nhân về các khoa là phân hoạch tập hợp.

2. CÔNG THỨC ĐẾM CÁC MẪU (GIẢI TÍCH TỔ HỢP)
Cho A = (x
1
, x
2

, , x
n
)

Có bao nhiêu cách lấy k phần tử từ A ? Số cách lấy hay số mẫu phụ thuộc vào tính chất của mẫu.

Mẫu lặp là mẫu có phần tử xuất hiện trong mẫu trên một lần, mẫu không lặp là mẫu có mỗi phần tử
trong
mẫu chỉ xuất hiện một lần.

Khi thay đổi thứ tự các phần tử trong mẫu mà được mẫu mới thì đó là mẫu có thứ tự, nếu vẫn là mẫu c
ũ
thì đó là mẫu không thứ tự. Hay nói cách khác, mẫu có thứ tự là mẫu phụ thuộc thứ tự các phần tử trong mẫ
u,
ngược lại là mẫu không thứ tự.

2.1. Chỉnh hợp lặp


Định nghĩa

Cho A = (x
1
, x
2
, , x
n
). Chỉnh hợp lặp là mẫu k phần tử có lặp, có thứ tự lấy từ n phần tử của A.




Công thức đếm

Gọi số cách lấy mẫu hay số lượng mẫu chỉnh hợp lặp là

Công thức tính: = . Công thức vẫn đúng khi k > n.

Một số tự nhiên có 3 chữ số là một mẫu có lặp, có thứ tự xây dựng từ các chữ số 0, 1, , 9.

k
n
F
k
n
F
k
n
Page
3
of
47
12/10/2012
file://C:\WINDOWS\Temp\ttwyprsdrx\Chapter1.htm
Số mẫu = 9. = 9 × 10
2
= 900

Xếp tuỳ ý 5 bệnh nhân vào 3 khoa là một mẫu có lặp, có thứ tự xây dựng từ 3 khoa. Số mẫu = = 3
5
=

243.

2.2. Chỉnh hợp không lặp

Định nghĩa

Cho A = (x
1
, x
2
, , x
n
). Chỉnh hợp không lặp là mẫu k phần tử không lặp, có thứ tự lấy từ n phần tử củ
a
A.



Công thức đếm

Gọi số cách lấy mẫu chỉnh hợp không lặp là

Công thức tính :

Ký hiệu: n! = 1. 2. 3 n và quy ước 1! = 1, 0! = 1.

Công thức đúng khi k

Một số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau là một mẫu không lặp, có thứ tự xây dựng từ 10 số 0, 1, …., 9. S
ố

mẫu = 9 × = 9 × 9 × 8 = 648.

Xếp 3 bệnh nhân vào 5 khoa sao cho có nhiều nhất một người trong khoa là mẫu gồm 3 khoa không lặ
p,
có thứ tự xây dựng từ 5 khoa. Số mẫu = .



Hoán vị: cho A = (x
1
, x
2
, , x
k
), mỗi cách sắp xếp k phần tử là một hoán vị.

x
1
x
2
x
3
x
k
và x
2
x
1
x
3

x
k
là hai hoán vị khác nhau.

Vậy hoán vị là mẫu k phần tử không lặp, có thứ tự lấy từ k phần tử.

Gọi số hoán vị là P
k
ta có công thức tính: P
k
= k !

Nhận xét : Chỉnh hợp lặp và chỉnh hợp không lặp là những mẫu có thứ tự.

2.3. Tổ hợp không lặp


Định nghĩa

Cho A = (x
1
, x
2
, , x
n
). Tổ hợp không lặp là mẫu k phần tử không lặp, không thứ tự lấy từ n phần tử củ
a
A.




Công thức đếm

Gọi số cách lấy mẫu tổ hợp không lặp là . Do tổ hợp không lặp là mẫu không thứ tự của k phân t
ử
lấy ra cho nên nhân số tổ hợp không lặp với k! sẽ được số chỉnh hợp không lặp.

Công thức:

Nh
ậ
n xét :



2
10
F
5
3
F
k
n
A
k
n
A n(n 1) (n k 1).
= − − +
k
n

n!
A
(n k)!
=
−
n.
≤
2
9
Α
3
5
5 4 3 60
Α = × × =
k
n
C
k
k
n
n
A
n!
C , (k n)
k! (n k)! k!
= = ≤
−
k n k
n n
C C

−
=
Page
4
of
47
12/10/2012
file://C:\WINDOWS\Temp\ttwyprsdrx\Chapter1.htm


– Chọn 5 chấp hành chi đoàn trong số 8 ứng cử và đề cử là lấy mẫu không lặp, không thứ tự

Số cách chọn : .



– Gia đình 3 con trong đó có 2 gái là mẫu không lặp, không thứ tự, lấy 2 gái trong số 3 gái. Số loạ
i gia
đình: .

Lập luận tương tự theo số con trai cũng được kết quả trên.

2.4. Tổ hợp lặp


Định nghĩa

Cho A = (x
1
, x

2
, , x
n
). Tổ hợp lặp là mẫu k phần tử có lặp, không thứ tự lấy từ n phần tử của A.



Công thức đếm

Nếu mẫu lặp k phần tử thì chỉ thêm k –1 phần tử lặp vào A dẫn đến cách lấy mẫu k phần tử không lặp,
không thứ tự từ n + k – 1 phần tử.

Khi k > n công thức cũng đúng.

– Đơn thức bậc 5 lập từ a và b là mẫu có lặp, không thứ tự.

– Gia đình 4 con là mẫu có lặp, không thứ tự lập từ hai phần tử T (trai), G (gái).

Nhận xét: Mẫu tổ hợp không lặp và mẫu tổ hợp lặp là những mẫu không thứ tự.

Sau đây xét một ví dụ tổng quát các loại mẫu.

Ví dụ: Cho A = (1, 2, 3, 4).

a) Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số lập từ 4 số đã cho ?

b) Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau lập từ 4 số đã cho?

c) Có bao nhiêu nhóm có 3 chữ số khác nhau lập từ 4 số đã cho ?


d) Có bao nhiêu nhóm có 3 chữ số lập từ 4 số đã cho ?

Giải:

a) Số tự nhiên có 3 chữ số là mẫu có lặp, có thứ tự lập từ 4 số.

Số mẫu bằng :



b) Số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau là mẫu không lặp, có thứ tự lập từ 4 số.

Công thức tính:


Số đơn thức là:


5
8
8!
C 56
(8 5)! 5!
= =
−
2
3
C 3
=
(

)
k
n k 1
n k 1 !
C
(n 1)! k!
+ −
+ −
=
−
5
2 5 1
6!
C 6
1! 5!
+ −
= =
4
2 4 1
5!
C 5
1! 4!
+ −
= =
3
4
F
3 3
4
F 4 64

= =
Page
5
of
47
12/10/2012
file://C:\WINDOWS\Temp\ttwyprsdrx\Chapter1.htm
Số mẫu bằng :



c) Nhóm có 3 chữ số khác nhau là mẫu không lặp, không thứ tự lập từ 4 số.

Số mẫu bằng :



d) Nhóm có 3 chữ số là mẫu có lặp, không thứ tự lập từ 4 số.

Số mẫu bằng : .



Nhận xét: . Đó là các mẫu có lặp thật sự và có thứ tự.


2.5. Khai triển nhị thức Newton











Đổi vai trò a cho b công thức cũng đúng.

3. TẦN SUẤT
3.1. Các khái niệm
Để hiểu và thực hiện các phép toán đối với tần suất cũng như xác suất sau này, cần xây dựng một số
khái
niệm.



Phép thử là nhóm điều kiện có thể lặp đi lặp lại nhiều lần trong cùng điều kiện. Thường ký hiệ
u phép
thử bởi các chữ ε, α, β Khi nghiên cứu, đo chiều cao, làm xét nghiệm, chẩn đoán bệnh, điều trị bệ
nh là
các phép thử.



Hiện tượng hay biến cố là kết quả của một phép thử. Các hiện tượng được ký hiệu bởi các chữ
A, B,
C Xét nghiệm dương tính: A, chẩn đoán có bệnh: B, điều trị khỏi: K, là các hiện tượng hay gặp trong y.

Khi thực hiện các phép thử nhiều lần, số lần xuất hiện của một hiện tượng được gọi là tần số xuất hiệ

n.
Tần số ký hiệu bởi m.



Khi nghiên cứu một đối tượng, không nghiên cứu mọi mặt mà chỉ nghiên cứu một số đặ
c tính hay tính
chất nào đó. Dấu hiệu nghiên cứu là đặc tính hay tính chất cần nghiên cứu. Có thể chia dấu hiệu nghiên cứ
u
Lấy a = b = 1, có công thức


Cho p + q = 1, có công thức :


3
4
A
3
4
4!
A 24
(4 3)!
= =
−
3
4
C
3
4

4!
C 4
1! 3!
= =
3
4 3 1
C
+ −
3
4 3 1
6!
C 20
3!3!
+ −
= =
3 3
4 4
F A 40
− =
n 0 1 n
n n n
2 C C C
= + + +
n
n k k n k
n
k 0
1 (p q) C p q
−
=

= + =
∑
n 0 0 n 1 1 n 1 n n 0
n n n
n
k k n k
n
k 0
(a b) C a b C a b C a b
C a b
−
−
=
+ = + + +
=
∑
Page
6
of
47
12/10/2012
file://C:\WINDOWS\Temp\ttwyprsdrx\Chapter1.htm
ra làm hai loại: dấu hiệu về chất và dấu hiệu về lượng. Dấu hiệu về chất được nghiên cứu khả năng xuấ
t
hiện, còn dấu hiệu về lượng được hướng tới việc tính các tham số mẫu. Dựa vào khả năng xuất hiệ
n chia các
hiện tượng thành 3 loại.




Hiện tượng ngẫu nhiên là hiện tượng không biết trước có xảy ra hay không khi thực hiện phép thử. S
ự
xuất hiện của hiện tượng ngẫu nhiên phụ thuộc vào nhiều yếu tố mà không có yếu tố chủ yếu quyết định s
ự
xuất hiện đó. Ký hiệu các chữ A, B, C … để chỉ các hiện tượng ngẫu nhiên.



Hiện tượng chắc chắn xuất hiện là hiện tượng luôn luôn xảy ra khi thực hiện phép thử. Ký hiệu Ω
để
chỉ hiện tượng chắc chắn xảy ra.



Hiện tượng trống, ký hiệu là φ, là hiện tượng nhất định không xảy ra khi thực hiện phép thử.

Khám bệnh cho một người có khi người đó bị bệnh, có khi không bị bệnh ; chữa bệnh có khi chắc chắ
n
khỏi, có khi không bao giờ khỏi.

Giữa các hiện tượng có thể phụ thuộc nhau hay không phụ thuộc nhau.



Hiện tượng A xung khắc với hiện tượng B nếu như A và B không đồng thời xuất hiện.

Khi đó A ∩ B = φ tuơng đương với A và B xung khắc với nhau.




E
1
, E
2
, , E
n
được gọi là nhóm đầy đủ các hiện tượng nếu: E
i
≠ φ , E
i
∩ E
j
= φ ∀i ≠
j
, .



Như vậy khi phân hoạch Ω thành E
1
, E
2
, , E
n
sẽ được nhóm đầy đủ các hiện tượng.

Khi A, B lập thành nhóm đầy đủ hai hiện tượng thì A, B được gọi là 2 hiện tượng đối lập nhau. Khi đ
ó B
được ký hiệu là


và viết là A, .



Hai hiện tượng A và B được gọi là độc lập với nhau nếu A xuất hiện hay không xuất hiện cũ
ng không
ảnh hưởng đến B xuất hiện hay không xuất hiện và ngược lại.

Hai hiện tượng xung khắc với nhau thì không độc lập với nhau. Cũng như vậy hai hiện tượng độc lập vớ
i
nhau thì không xung khắc với nhau.

Chữa bệnh khỏi hoặc không khỏi, chẩn đoán có bệnh hoặc không có bệnh, sinh con trai hoặ
c sinh con
gái là các cặp hiện tượng đối lập nhau. Ngày nay không thể dựa vào lần này sinh con trai thì suy ra lần sau s
ẽ
sinh con trai hoặc gái. Như vậy sinh con trai hay gái giữa các lần sinh khác nhau độc lập với nhau.

3.2. Tần suất


Định nghĩa

Thực hiện phép thử ε n lần độc lập, hiện tượng A xuất hiện m lần. Ký hiệu ω(A) là tần suất xuất hiện A.

ω là đại lượng không có đơn vị, được viết dưới dạng % hay ‰

0 ≤ ω(A) ≤ 1, ω(A) cho biết khả năng xuất hiện của A khi thực hiện phép thử một lần

ω(φ) = 0. Khi ω(A) = 0 chưa chắc A = φ,


ω(Ω) = 1. Khi ω(B) = 1 chưa chắc B = Ω.



Tính chất


Tần suất là tỷ lệ giữa số lần xuất hiện A và số lần thực hiện phép thử.

i 1,n
∀ =
1,n
=
n
i
i
E w
U
=1
=
Α
A
m
(A) .
n
ω =
Page
7
of

47
12/10/2012
file://C:\WINDOWS\Temp\ttwyprsdrx\Chapter1.htm
Khi n thay đổi, m thay đổi thì ω thay đổi. Khi n đủ lớn, ω thay đổi ít. Tính thay đổi ít của ω khi n lớ
n
được gọi là tính ổn định của ω.

Buffon tung đồng xu 4040 lần thấy ω(s) = 50,79%,

Pearson tung đồng xu 12000 lần thấy ω(s) = 50,16%,

Pearson tung đồng xu 24.000 lần thấy ω(s) = 50,05%,

trong đó s ký hiệu là hiện tượng mặt sấp đồng xu xuất hiện.

ω(A) ≥ 0,95 : A hầu như chắc chắn xuất hiện khi thực hiện phép thử

ω(B) ≤ 0,05 : B hầu như chắc chắn không xuất hiện khi thực hiện phép thử.

Đó là các quyết định dựa vào mong muốn càng đúng nhiều càng tốt và càng sai ít càng tố
t mà không
ph
ải là các nguyên lý hay định lý luôn luôn đúng.

Bệnh nhân đến khám sớm (khi chưa có triệu chứng đặc hữu) được chữa theo bệnh hay gặp nhất ở thờ
i
gian đó.

Bệnh nhân bị bỏng trên 70% diện tích da, từ độ II trở lên có tỷ lệ tử vong cao song vẫn được cứu chữ
a

tích cực với hy vọng cứu được một người trong số rất nhiều người không cứu được.



Các phản ví dụ

Nồng độ pha loãng của dịch (‰) không là tần suất.

Tỷ lệ tiêm chủng mở rộng:

Tỉnh A đạt 99,8% : là tần suất.

Tỉnh B đạt 101% : không là tần suất.

Tỉnh C đạt 102% : không là tần suất.




CÂU HỎI TỰ LƯỢNG GIÁ
Mỗi bài lượng giá gồm 4 câu. Làm bài trong 30 phút.

Mỗi câu chỉ chọn một kết quả đúng.

Đúng 4 câu: Giỏi (10 điểm), Đúng 3 câu: Khá (7 điểm),

Đúng 2 câu: Đạt (5 điểm), Đúng 1 câu: Không đạt (3 điểm).

Không đúng câu nào: Kém (0 điểm).


Hãy chọn một kết quả đúng:

1.

Khoa nội có 6 bác sỹ nữ, 4 bác sỹ nam. Khoa ngoại có 8 bác sỹ nam. Lập tổ công tác 3 ngườ
i
cần có nam, có nữ, có nội khoa, có ngoại khoa. Hỏi có bao nhiêu cách?

Kết quả:
A. 576 B. 480 C. 816 D. 360 E. số khác.

2.

Một tổ sinh viên có 8 nam, 7 nữ. Chia thành 3 nhóm trực đồng thời tại 3 bệnh viện A, B, C. Hỏ
i
số trẻ chết

: không là tần suất

1000 trẻ sống sót

Chiều cao ngồi

: không là xác suất

Chiều cao đứng

Page
8
of

47
12/10/2012
file://C:\WINDOWS\Temp\ttwyprsdrx\Chapter1.htm
có bao nhiêu cách phân công nếu: bệnh viện A cần 3 nam 2 nữ, bệnh viện B cần 5 người trong đ
ó có
ít nhất 4 nam, số còn lại đến bệnh viện C ?

Kết quả:
A. 30576 B. 61152 C. 29400 D. 1176 E. số khác.

3.

Có 4 thuốc loại I và 3 thuốc loại II. Hỏi có bao nhiêu cách điều trị cho 5 người bị bệnh A, nế
u
mỗi người bị bệnh A cần 2 thuốc loại I và 1 thuốc loại II ?

Kết quả:
A. 45 B. 59.049 C. 90 D. 1.889.568 E. số khác.

4.

Cho ngẫu nhiên đồng thời 6 kháng thể vào 6 kháng nguyên (khi chưa ghi nhãn) để tìm các kháng thể
,
kháng nguyên cùng cặp. Giả sử không có ngưng kết chéo, hỏi có bao nhiêu trường hợp xảy ra nếu chỉ
có 1
cặp ngưng kết ?

Kết quả:
A. 135 B. 265 C. 264 D. 455 E. số khác.



Page
9
of
47
12/10/2012
file://C:\WINDOWS\Temp\ttwyprsdrx\Chapter1.htm


Bài 2
XÁC SUẤT

MỤC TIÊU
1. Trình bày được định nghĩa đồng khả năng và định nghĩa thống kê của xác suất.
2. Trình bày được các công thức nhân xác suất, cộng xác suất, xác suất toàn phần và xác suất Bayes.
3. Giải được một số bài toán xác suất trong y dựa vào các công thức xác suất nêu trên.
Trước khi thực hiện phép thử, đoán xem một hiện tượng ngẫu nhiên nào đó có xảy ra hay không là mộ
t
việc rất khó khăn. Khi thực hiện phép thử nhiều lần, biết khả năng xuất hiện của hiện tượng, từ đó đoán s
ự
xuất hiện của hiện tượng dễ dàng hơn.

Khả năng xuất hiện hiện tượng A là xác suất xuất hiện A, ký hiệu là P(A), là hằng số p nằm giữa 0 và 1,
tồn tại một cách khách quan, không phụ thuộc vào ý muốn chủ quan của con người.

1. ĐỊNH NGHĨA
1.1. Định nghĩa đồng khả năng
Giả sử có một bình cầu chứa n quả cầu hoàn toàn giống nhau. Trong n quả cầu có m quả có dấu. Xáo
trộn đều các quả cầu trong bình và lấy ngẫu nhiên một quả. Gọi A là hiện tượng lấy được quả có dấu.


Xác suất xuất hiện hiện tượng A là tỷ lệ giữa số trường hợp thuận lợi cho A và tổng số các trường hợ
p
có thể xảy ra





Xác suất đúng khi các quả cầu có cùng khả năng được lấy. Vì vậy định nghĩa trên được gọi là định nghĩ
a
đồng khả năng.

Cần chú ý là các công thức tính xác suất được xây dựng trên cơ sở đồng khả năng. Xác suất tính được s
ẽ
đúng đắn, chính xác chỉ khi điều kiện trên thoả mãn.

1.2. Định nghĩa thống kê
Thực hiện phép thử ε n lần độc lập, hiện tượng A xuất hiện m lần






Khi n đủ lớn, ω (A) ổn định, xác suất chính là giá trị ổn định của tần suất. Lấy tần suất gán cho xác suấ
t
được gọi là ước lượng điểm của xác suất. Ước lượng xác suất bằng tần suất giúp cho việc sử dụng rất thuậ
n
tiện nhưng có thể sai sót.


Giữa xác suất, hằng số xác định và tần suất có sự khác biệt, đó chính là sai số δ
1


với

trong đó t( ) phụ thuộc vào α được tra trong bảng chuẩn tắc (bảng 1), n là số lần thực hiện phép thử
,
t(0,05/2) = 1,96.

m
P(A) (A) .
n
≈ ω =
1
P(A) (A)
− ω ≤ δ
1
(1 )
t( / 2)
n
ω − ω
δ = α
2
α
m
P(A) .
n
=
Page

10
of
47
12/10/2012
file://C:\WINDOWS\Temp\ttwyprsdrx\Chapter1.htm
Dẫn đến: ω – δ
1
≤ P(A) ≤ ω + δ
1
, ω ± δ
1
được gọi là khoảng tin cậy mức 1 – α của P(A). Khi α bé, mứ
c
tin cậy cao song khoảng ước lượng lớn không thuận tiện cho việc sử dụng. Nên chọn α phù hợp vớ
i bài toán
thực tiễn.

Ví dụ:
1.

Khám 7534 trẻ từ 5 – 15 tuổi thấy 19 trẻ bị thấp tim. Hãy đánh giá tỷ lệ thấp tim.

Gọi A là hiện tượng thấp tim

Ước lượng điểm:

, lấy α = 0,05.




Ước lượng khoảng:

P(A) ∈ ω ± δ
1
⇒ 0,0014 ≤ P(A) ≤ 0,0036



Như vậy tỷ lệ thấp tim ít nhất là 1,4 ‰
.
, nhiều nhất là 3,6 ‰



2.

Điều tra năm 1989 tại một địa phương thấy 48,53% trẻ bị sâu răng. Điều trị và súc họng bằ
ng Fluo
0,2% trong 8 năm, điều tra lại 1250 trẻ ban đầu thấy 181 trẻ sâu răng.

Hãy đánh giá tỷ lệ trẻ sâu răng sau 8 năm điều trị và súc họng.

Gọi A là hiện tượng trẻ sâu răng

Ước lượng điểm:

, lấy α = 0,05.




Ước lượng khoảng:

P(A) ∈ ω ± δ
1
⇒ 0,1253 ≤ P(A) ≤ 0,1643.



Sau 8 năm điều trị và phòng bệnh, tỷ lệ sâu răng ít nhất là 12,53%, nhiều nhất là 16,43%.

2. CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT
2.1.
2.2. Công thức nhân xác suất


Xác suất có điều kiện

Trong các công thức tính xác suất, thường gặp cách viết :

P (A/B), P(B/A), P(A/BC).

P (A/B) là xác suất xuất hiện hiện tượng A với điều kiện hiện tượng B đã xảy ra.

P (B/A) là xác suất xuất hiện hiện tượng B với điều kiện hiện tượng A đã xảy ra.

19
P(A) (A) 0,0025.
7534
≈ ω = =
1

0,0025 0,9975
1,96 0,0011
7534
×
δ = =
181
P(A) (A) 0,1448.
1250
≈ ω = =
1
0,1448 0,8552
1,96 0,0195
1250
×
δ = =

P( ) 1, P( ) 0
Ω = φ =
Page
11
of
47
12/10/2012
file://C:\WINDOWS\Temp\ttwyprsdrx\Chapter1.htm
P (A/BC) là xác suất xuất hiện hiện tượng A với điều kiện hiện tượng B và C đã xảy ra.

Các xác suất trên được gọi là các xác suất có điều kiện.

Trong đám đông thường cho tỷ lệ bị bệnh nói chung của cả nam và nữ, đó là xác suất không điều kiệ
n,

còn tỷ lệ bị bệnh của riêng nam, tỷ lệ bị bệnh của riêng nữ là các xác suất có điều kiện.

Làm xét nghiệm chẩn đoán bệnh sẽ thu được tỷ lệ dương tính của nhóm bị bệnh và tỷ lệ âm tính củ
a
nhóm không bị bệnh. Đó là các xác suất có điều kiện. Nếu không phân biệt bị bệnh hay không bị bệ
nh ta có
các xác suất dương tính của cả bị bệnh và không bị bệnh, xác suất âm tính của cả bị bệnh và không bị bệ
nh
của xét nghiệm. Chúng là các xác suất không điều kiện.



A, B, C là các hiện tượng không độc lập

P(B/A) = P(B) P(A/B)

P(B/A) P(C/AB) =

P(C/A) P(B/AC)

Có thể mở rộng công thức cho nhiều hiện tượng.

Thật vậy, từ một nghiên cứu với 2 phép thử α và β, thu được kết quả sau:





.




điều đó chứng tỏ



A, B, C là các hiện tượng độc lập

.

.

Do các hiện tượng độc lập dẫn đến:

.

Có thể nói khi các hiện tượng độc lập thì xác suất của giao các hiện tượng bằng tích các xác suất của
từng hiện tượng.

2.3. Công thức cộng xác suất
P(A B) P(AB) P(A)
∩ = =
P(A B C) P(ABC) P(A)
∩ ∩ = =
P(ACB) P(A)
= =
11
m
P(AB)
n

=
01
11 11
01
m
m m
P(A)P(B / A)
n m n
= ⋅ =
( )
10
11 11
10
m
m m
P(B)P A / B
n m n
= ⋅ =
P(AB) P(A)P(B / A) P(B)P(A / B)
= =
P(A B) P(AB) P(A)P(B)
∩ = =
P(A B C) P(ABC) P(A)P(B)P(C)
∩ ∩ = =
(
)
(
)
(
)

P A / B P(A), P B / A P(B), P A / BC P(A)
= = =
Page
12
of
47
12/10/2012
file://C:\WINDOWS\Temp\ttwyprsdrx\Chapter1.htm


A, B, C là các hiện tượng ngẫu nhiên

P(A ∪B) = P(A) + P(B) – P(AB)

P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(AB) – P(AC) – P(BC) + P(ABC)

Nhận xét: Số hiện tượng lẻ thì xác suất có dấu +,

Số hiện tượng chẵn thì xác suất có dấu –.

Dựa vào nhận xét, có thể mở rộng công thức cho n hiện tượng.



A, B, C xung khắc từng đôi

P(A ∪B) = P(A+B) = P(A) + P(B),

P(A ∪ B ∪ C) = P(A+B + C) = P(A) + P(B) + P(C).


Do các hiện tượng xung khắc từng đôi nên:

P(AB) = P(AC) = P(BC) = P(φ) = 0 P(ABC) = P(φ.C) = P(φ) = 0.

Có thể nói khi các hiện tượng xung khắc từng đôi thì xác suất của tổng các hiện tượng bằng tổ
ng các xác
suất của từng hiện tượng.



A, hai hiện tượng đối lập

P(Ω) = P(A + ) = P(A) + P( ) = 1 ⇔ P( ) = 1 – P(A).

Ví dụ:
1.

Tại một địa phương có 5000 người, điều tra thấy 510 người bị sốt rét. Trong số sốt rét có 15 ngườ
i
sốt rét ác tính. Trong số sốt rét ác tính có 5 người chết.

a) Tìm tỷ lệ sốt rét thường.

b) Tìm tỷ lệ chết của sốt rét ác tính.

Giải:
Gọi T là sốt rét thường.

A là sốt rét ác tính


C là chết

a)

b) .

Cần phân biệt với .





trong đó S là sốt rét nói chung.

2.

Xác suất sinh con trai bằng 0,514.

a) Tìm xác suất sinh bằng được con trai ở lần sinh thứ 4.

b) Tìm xác suất sinh được 3 con đều là gái.

A
A
A
A
510 15
P(T) 0,099
5000
−

= =
5
P(C / A) 0,333
15
= =
5
P(C) 0,001
5000
= =
5
P(C / S) 0,0098
510
= =
Page
13
of
47
12/10/2012
file://C:\WINDOWS\Temp\ttwyprsdrx\Chapter1.htm
c) Tìm xác suất sinh được 3 con có ít nhất một gái.

Giải:
Gọi T
i
là sinh con trai ở lần i.

G
i
là sinh con gái ở lần i.


A
4
là sinh bằng được trai ở lần 4.

B là sinh được 3 con gái.

C là sinh được 3 con có ít nhất một gái.

a) P(A
4
) = P(G
1
G
2
G
3
T
4
) = P(G
1
) P(G
2
) P(G
3
) P(T
4
)

= 0,486
3

x 0,514 = 0,059.

b) P(B) = P(G
1
G
2
G
3
) = P(G
1
) P(G
2
) P(G
3
)

= 0,486
3
= 0,115.

c) P(C) = P(G
1
∪ G
2
∪ G
3
) = p
1
+ p
2

+ p
3


= 1 – p
0
= 1 – P(T
1
T
2
T
3
)

= 1 – P(T
1
) P(T
2
) P(T
3
) = 1 – 0,514
3
= 0,864,

trong đó p
i
là xác suất sinh 3 con có i là gái.

3.


Trong một hộp thuốc cấp cứu có 100 ống thuốc tiêm, trong đó có 10 ống Atropin. Lấy ngẫ
u nhiên
lần lượt 3 ống thuốc.Tìm xác suất sao cho lấy được:

a) 3 ống Atropin.

b) 2 ống Atropin.

Giải:
Gọi A
i
là lấy được ống Atropin ở lần i.

A là lấy được 3 ống Atropin.

B là lấy 3 ống được 2 ống Atropin.

Có thể tính cách khác. Lấy mẫu không lặp, không thứ tự là tổ hợp không lặp

Nhận xét : P(A), P(B) rất nhỏ cho nên không được lấy thuốc ngẫu nhiên.







1 2 3 1 2 3 1 2 3
P(A A A ) P (A A A ) P (A A A )
= + +

1 2 1 3 1 2
1 2 1 3 1 2
P(A ) P(A / A ) P(A / A A )
P(A ) P(A / A ) P(A / A A )
= × × +
× × +
10 9 90 10 90 9 90 10 9
0,025
100 99 98 100 99 98 100 99 98
= × × + × × + × × =
3 2 1
10 10 90
3 3
100 100
C C C
P(A) 0,0007, P(B) 0,025
C C
×
= = = =
1 2 3 1 2 1 3 1 2
a) P(A) P(A A A ) P(A ) P(A / A ) P(A / A A )
10 9 8
0,0007
100 99 98
= =
= × × =
(
)
1 2 3 1 2 3 1 2 3
b) P B P(A A A A A A A A A )

= + +
Page
14
of
47
12/10/2012
file://C:\WINDOWS\Temp\ttwyprsdrx\Chapter1.htm
4.

Ba bác s
ĩ

độ
c l
ậ
p nhau khám b
ệ
nh. Xác su
ấ
t ch
ẩ
n
đ
oán sai c
ủ
a các bác s
ĩ
t
ươ
ng

ứ
ng b
ằ
ng 0,05, 0,1
và 0,15. Ba ng
ườ
i
đ
ã khám cho m
ộ
t b
ệ
nh nhân. Tìm xác su
ấ
t sao cho

a) Không ai ch
ẩ
n
đ
oán sai.

b) Không ai ch
ẩ
n
đ
oán
đ
úng.


c) Ít nh
ấ
t m
ộ
t ng
ườ
i ch
ẩ
n
đ
oán
đ
úng.

Giải:
G
ọ
i A
i
là bác s
ĩ
th
ứ
i ch
ẩ
n
đ
oán
đ
úng.


A là không ai ch
ẩ
n
đ
oán sai ; B là không ai ch
ẩ
n
đ
oán
đ
úng ; C là ít nh
ấ
t m
ộ
t ng
ườ
i ch
ẩ
n
đ
oán
đ
úng.

a) P(A) = = 0,95 x 0,9 x 0,85 = 0,72675.

b) P(B) = = 0,05 x 0,1 x 0,15 = 0,00075.

c) P(C) = ,


trong
đ
ó p
i
là xác su
ấ
t có i ng
ườ
i
đ
úng.

.

Nh
ậ
n xét: Sau h
ộ
i ch
ẩ
n th
ườ
ng
đ
i
ề
u tr
ị
theo ch

ẩ
n
đ
oán c
ủ
a s
ố
quá bán các bác s
ĩ
n
ế
u trình
độ
các bác s
ĩ

đồ
ng
đề
u. Ng
ượ
c l
ạ
i, s
ẽ

đ
i
ề
u tr

ị
theo ch
ẩ
n
đ
oán c
ủ
a ng
ườ
i gi
ỏ
i nh
ấ
t.

5.

M
ộ
t bác s
ĩ
có kh
ả
n
ă
ng xác
đị
nh
đ
úng tri

ệ
u ch
ứ
ng v
ớ
i xác su
ấ
t 0,9. Kh
ả
n
ă
ng ch
ẩ
n
đ
oán
đ
úng b
ệ
nh
v
ớ
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n
đ

ã xác
đị
nh
đ
úng tri
ệ
u ch
ứ
ng b
ằ
ng 0,8. Khi
đ
i
ề
u tr
ị
, m
ặ
c dù
đ
ã xác
đị
nh
đ
úng tri
ệ
u ch
ứ
ng và
ch

ẩ
n
đ
oán
đ
úng b
ệ
nh, kh
ả
n
ă
ng kh
ỏ
i b
ằ
ng 0,95.

Tìm xác su
ấ
t không kh
ỏ
i c
ủ
a ng
ườ
i b
ệ
nh khi khám và
đ
i

ề
u tr
ị
bác s
ĩ
trên.

Giải:
G
ọ
i T là xác
đị
nh
đ
úng tri
ệ
u ch
ứ
ng.

B là ch
ẩ
n
đ
oán
đ
úng b
ệ
nh.


K là
đ
i
ề
u tr
ị
kh
ỏ
i.

P(T) = 0,9 P(B/T) = 0,8 P(K/TB) = 0,95

P(K) = P(TBK) = P(T) P(B/T) P(K/TB)

= 0,9 × 0,8 × 0,95 = 0,684

P( ) = 1 – P(K) = 1 – 0,684 = 0,316.

Chú ý:
Trong th
ự
c t
ế
lâm sàng có tr
ườ
ng h
ợ
p ch
ẩ
n

đ
oán sai b
ệ
nh ho
ặ
c ch
ẩ
n
đ
oán không ra b
ệ
nh mà
đ
i
ề
u
tr
ị
kh
ỏ
i.
Đ
i
ề
u này nên quan ni
ệ
m là r
ấ
t hi
ế

m g
ặ
p.

Có bác s
ĩ
cho r
ằ
ng ch
ỉ
có kh
ả
n
ă
ng ch
ẩ
n
đ
oán
đ
úng b
ệ
nh 95% các tr
ườ
ng h
ợ
p nh
ư
ng
đả

m b
ả
o r
ằ
ng kh
ả

n
ă
ng ch
ữ
a kh
ỏ
i các b
ệ
nh nhân
đế
n khám và
đ
i
ề
u tr
ị
99% các tr
ườ
ng h
ợ
p.
Đ
i

ề
u này có
đ
úng không ?

2.4. Công thức xác suất toàn phần
Gi
ả
s
ử
A là m
ộ
t hi
ệ
n t
ượ
ng ng
ẫ
u nhiên nào
đấ
y, khi tính P(A) theo ph
ươ
ng pháp
đồ
ng kh
ả
n
ă
ng nh
ư

ng
không tính
đượ
c. C
ầ
n xây d
ự
ng công th
ứ
c tính.

Gi
ả
s
ử
E
1
, E
2
, …, E
n
là nhóm
đầ
y
đủ
các hi
ệ
n t
ượ
ng, ngh

ĩ
a là:

.

1 2 3 1 2 3
P(A A A ) P (A ) P (A ) P (A )
=
1 2 3 1 2 3
P(A A A ) P (A ) P (A ) P(A )
=
1 2 3 1 2 3
P(A A A ) p p p
∪ ∪ = + +
1 2 3
P(C) 1 P (A A A ) 1 0,00075 0,99925
= − = − =
K
n
i i j i
i 1
E i 1,n , E E i j 1,n , E
=
≠ φ ∀ = ∩ = φ ∀ ≠ = ∪ = Ω
Page
15
of
47
12/10/2012
file://C:\WINDOWS\Temp\ttwyprsdrx\Chapter1.htm

Khi
đ
ó:

Do
đ
ó:

V
ậ
y



Công th
ứ
c trên
đượ
c g
ọ
i là công th
ứ
c xác su
ấ
t toàn ph
ầ
n.

Mu
ố

n tìm xác su
ấ
t P(A) c
ầ
n l
ấ
y t
ổ
ng các xác su
ấ
t t
ừ
ng ph
ầ
n c
ủ
a .

Công th
ứ
c trên c
ũ
ng
đượ
c hi
ể
u là xác su
ấ
t
đồ

ng kh
ả
n
ă
ng ho
ặ
c là xác su
ấ
t trung bình có tr
ọ
ng l
ượ
ng c
ủ
a
các xác su
ấ
t P(A/E
i
) v
ớ
i .

2.5. Công thức xác suất Bayes


N
ế
u P(A) ≠ 0, d
ẫ

n
đế
n







V
ậ
y i=



Công th
ứ
c trên do Bayes l
ậ
p ra nên mang tên ông. Ngoài ra, do d
ạ
ng c
ủ
a công th
ứ
c nên c
ũ
ng
đượ

c g
ọ
i là
công th
ứ
c xác su
ấ
t các gi
ả
thi
ế
t.



D
ẫ
n
đế
n P = 1 – P

P = 1 – P

Chú ý: Do nên:




V
ậ

y không tính
đượ
c P(A) theo ph
ươ
ng pháp này.

Ví dụ:
n n
i i
i 1 i 1
A A A ( E ) (A E )
= =
= ∩ Ω = ∩ ∪ = ∪ ∩
n
n
i i
i 1
i 1
P(A) P (A E ) P(A E )
=
=
 
= ∪ ∩ = ∩
 
 
∑
n
i i
i 1
P(A) P(E )P(A / E )

=
=
∑
i
A E , i 1,n
∩ =
i 1,n
=
i i i i
P(A E ) P(A).P(E / A) P(E )P(A / E )
∩ = =
i i
i
P(E )P(A / E )
P(E / A)
P(A)
=
1,n.
(
)
A / B
(
)
A / B
(
)
B / A
(
)
B / A

n
i
i 1
P(E / A) 1
=
=
∑
n n
i i
i 1 i 1
P(A) P(A E ) P(A) P(E / A) P(A)
= =
= ∩ = × =
∑ ∑
i i
i
n
i i
i 1
P(E )P(A / E )
P(E / A)
P(E )P(A / E )
=
=
∑
Page
16
of
47
12/10/2012

file://C:\WINDOWS\Temp\ttwyprsdrx\Chapter1.htm
6.

Đ
i
ề
u tr
ị
t
ươ
ng
ứ
ng ph
ươ
ng pháp1, ph
ươ
ng pháp 2, ph
ươ
ng pháp 3 cho 5000, 3000 và 2000 b
ệ
nh
nhân. Xác su
ấ
t kh
ỏ
i c
ủ
a các ph
ươ
ng pháp t

ươ
ng
ứ
ng b
ằ
ng 0,85; 0,9 và 0,95.

a) Tìm xác su
ấ
t kh
ỏ
i c
ủ
a ba ph
ươ
ng pháp khi
đ
i
ề
u tr
ị
riêng r
ẽ
t
ừ
ng ph
ươ
ng pháp cho b
ệ
nh nhân.


b)
Đ
i
ề
u tr
ị
m
ộ
t trong ba ph
ươ
ng pháp cho b
ệ
nh nhân
đ
ã kh
ỏ
i, tìm t
ỷ
l
ệ

đ
i
ề
u tr
ị
c
ủ
a t

ừ
ng ph
ươ
ng pháp.

c) Tìm xác su
ấ
t kh
ỏ
i khi
đ
i
ề
u tr
ị
ph
ố
i h
ợ
p ba ph
ươ
ng pháp cho b
ệ
nh nhân.

Giải:
G
ọ
i E
i

là
đ
i
ề
u tr
ị
ph
ươ
ng pháp th
ứ
i cho b
ệ
nh nhân. .

A là
đ
i
ề
u tr
ị
kh
ỏ
i.

T
ổ
ng s
ố
b
ệ

nh nhân
đ
i
ề
u tr
ị
ba ph
ươ
ng pháp b
ằ
ng 10.000 ng
ườ
i.



.

a)



= 0,5 × 0,85 + 0,3 × 0,9 + 0,2 × 0,95 = 0,885.

Có th
ể
hi
ể
u P(A) là xác su
ấ

t
đồ
ng kh
ả
n
ă
ng, là t
ỷ
l
ệ
gi
ữ
a s
ố
ng
ườ
i kh
ỏ
i khi
đ
i
ề
u tr
ị
b
ở
i ba ph
ươ
ng
pháp và t

ổ
ng s
ố
ng
ườ
i
đ
i
ề
u tr
ị
c
ủ
a ba ph
ươ
ng pháp. C
ũ
ng có th
ể
hi
ể
u P(A) là xác su
ấ
t trung bình có
tr
ọ
ng l
ượ
ng c
ủ

a các xác su
ấ
t kh
ỏ
i c
ủ
a t
ừ
ng ph
ươ
ng pháp.

b)





Nh
ậ
n xét: .



c)
Đổ
i tên g
ọ
i các hi
ệ

n t
ượ
ng
để
tính toán thu
ậ
n ti
ệ
n h
ơ
n.

G
ọ
i A
i
là hi
ệ
n t
ượ
ng kh
ỏ
i c
ủ
a ph
ươ
ng pháp
đ
i
ề

u tr
ị
th
ứ
i, .

Đ
i
ề
u tr
ị
ph
ố
i h
ợ
p ba ph
ươ
ng pháp thì m
ộ
t ph
ươ
ng pháp
đ
i
ề
u tr
ị
kh
ỏ
i hay hai ph

ươ
ng pháp
đ
i
ề
u tr
ị
kh
ỏ
i
hay c
ả
ba ph
ươ
ng pháp
đ
i
ề
u tr
ị
kh
ỏ
i, b
ệ
nh nhân s
ẽ
kh
ỏ
i. Hay nói cách khác b
ệ

nh nhân s
ẽ
kh
ỏ
i khi ít nh
ấ
t m
ộ
t
trong ba ph
ươ
ng pháp
đ
i
ề
u tr
ị
kh
ỏ
i.

G
ọ
i F là hi
ệ
n t
ượ
ng kh
ỏ
i khi

đ
i
ề
u tr
ị
ph
ố
i h
ợ
p ba ph
ươ
ng pháp.

i 1,3
=
1 2 3
5000 3000 2000
P(E ) 0,5 P(E ) 0,3 P(E ) 0,2
10.000 10.000 10.000
= = = = = =
1 2 3
P(A / E ) 0,85 P(A / E ) 0,9 P(A / E ) 0,95
= = =
3
i i
i 1
P(A) P(E ) P(A / E )
=
=
∑

1 1
1
P(E )P(A / E )
0,5 0,85
P(E / A) 0,48
P(A) 0,885
×
= = =
2 2
2
P(E )P(A / E )
0,3 0,9
P(E / A) 0,305
P(A) 0,885
×
= = =
3 3
3
P(E )P(A / E )
0,2 0,95
P(E / A) 0,215
P(A) 0,885
×
= = =
( )
3
i
i 1
P E / A 0,48 0,305 0,215 1
=

= + + =
∑
i 1,3
=
Page
17
of
47
12/10/2012
file://C:\WINDOWS\Temp\ttwyprsdrx\Chapter1.htm
P(F) = ,

trong
đ
ó p
i
là xác su
ấ
t kh
ỏ
i khi
đ
i
ề
u tr
ị
3 ph
ươ
ng pháp có i ph
ươ

ng pháp kh
ỏ
i


= 1 – 0,15 × 0,1 × 0,05 = 0,99925.

7.

T
ỷ
l
ệ
b
ệ
nh B t
ạ
i m
ộ
t
đị
a ph
ươ
ng b
ằ
ng 0,02. Dùng m
ộ
t ph
ả
n

ứ
ng giúp ch
ẩ
n
đ
oán, n
ế
u ng
ườ
i b
ị
b
ệ
nh
thì ph
ả
n
ứ
ng d
ươ
ng tính 95%; n
ế
u ng
ườ
i không b
ị
b
ệ
nh thì ph
ả

n
ứ
ng d
ươ
ng tính 10%.

a) Tìm xác su
ấ
t d
ươ
ng tính c
ủ
a ph
ả
n
ứ
ng.

b) M
ộ
t ng
ườ
i làm ph
ả
n
ứ
ng th
ấ
y d
ươ

ng tính, tìm xác su
ấ
t sao cho
đ
ó là ng
ườ
i b
ị
b
ệ
nh.

c) Tìm xác su
ấ
t ch
ẩ
n
đ
oán
đ
úng c
ủ
a ph
ả
n
ứ
ng.

Giải:
G

ọ
i α là phép th
ử
d
ươ
ng tính A hay âm tính

β là phép th
ử
xác
đị
nh có b
ệ
nh B hay không b
ệ
nh

ε là phép th
ử
xác
đị
nh
đ
úng
Đ
hay sai S

T
ổ
ch

ứ
c y t
ế
th
ế
gi
ớ
i quy
ướ
c g
ọ
i:

là
độ
nh
ạ
y.

là
độ

đặ
c hi
ệ
u.

là giá tr
ị
c

ủ
a ph
ả
n
ứ
ng d
ươ
ng tính.

là giá tr
ị
c
ủ
a ph
ả
n
ứ
ng âm tính.

P(
Đ
) là giá tr
ị
c
ủ
a ph
ả
n
ứ
ng.


P(
Đ
) = P(AB) + P( )





Nh
ư
v
ậ
y giá tr
ị
c
ủ
a ph
ả
n
ứ
ng là giá tr
ị
trung bình c
ủ
a
độ
nh
ạ
y và

độ

đặ
c hi
ệ
u ho
ặ
c giá tr
ị
trung bình c
ủ
a
giá tr
ị
d
ươ
ng tính và giá tr
ị
âm tính.

P(B) = 0,02 P(A/B) = 0,95 P(A/ ) = 0,1

a)

= 0,02 × 0,95 + 0,98 × 0,1

= 0,117.

b)




c)

P(
Đ
)



1 2 3 1 2 3
P(A A A ) p p p
∪ ∪ = + +
1 2 3 1 2 3
P(F) 1 P(A A A ) 1 P(A )P(A )P(A )
= − = −
A
B
(
)
P A / B
(
)
P A / B
(
)
P B / A
(
)
P B / A

B
Α
P(B)P(A / B) P(B)P(A / B)
= +
P( )P(B / A) P( )P(B / A)
= Α + Α
B
P( ) P(B)P(A / B) P(B)P(A / B)
Α = +
P(B)P(A / B) 0,02 0,95
P(B / A) 0,162
P( ) 0,117
×
= = =
Α
P(B)P(A / B) P(B)P(A / B)
= +
Page
18
of
47
12/10/2012
file://C:\WINDOWS\Temp\ttwyprsdrx\Chapter1.htm
= 0,02 × 0,95 + 0,98 × 0,9 = 0,901.



8.

T

ạ
i m
ộ
t
đị
a ph
ươ
ng t
ỷ
l
ệ
b
ị
b
ệ
nh B b
ằ
ng 0,05. Dùng m
ộ
t ph
ả
n
ứ
ng giúp ch
ẩ
n
đ
oán, n
ế
u ph

ả
n
ứ
ng
d
ươ
ng tính thì b
ị
b
ệ
nh 20%; n
ế
u ph
ả
n
ứ
ng âm tính thì b
ị
b
ệ
nh 1,25%.

a) Tìm xác su
ấ
t d
ươ
ng tính c
ủ
a ph
ả

n
ứ
ng.

b) Tìm
độ
nh
ạ
y,
độ

đặ
c hi
ệ
u c
ủ
a ph
ả
n
ứ
ng.

c) Tìm xác su
ấ
t sai c
ủ
a ph
ả
n
ứ

ng.

Giải:
Ký hi
ệ
u các hi
ệ
n t
ượ
ng nh
ư
ví d
ụ
7.

P(B) = P(A).P(B/A) +

= P(A).P(B/A) + [1– P(A)].

0,05 = P(A) × 0,2 + [1– P(A)] × 0,0125



b)


c)

)






Nh
ậ
n xét:


T
ừ
công th
ứ
c xác su
ấ
t toàn ph
ầ
n c
ủ
a P(B), gi
ả
i ng
ượ
c l
ạ
i s
ẽ
tìm
đượ
c P(A).



Có th
ể
tính P(S) d
ự
a vào P(
Đ
).

Để
gi
ả
i các bài toán xác su
ấ
t
đỡ
khó kh
ă
n, c
ầ
n
đọ
c k
ỹ

đầ
u bài,
đặ
t tên các hi

ệ
n t
ượ
ng và s
ử
d
ụ
ng công
th
ứ
c tính xác su
ấ
t phù h
ợ
p v
ớ
i bài
đ
ã cho.


a)

P(B) = 0,05

P(B/A) = 0,2


P(B / A) 0,0125
=

P(A)P(B / A)
P(B / A)
0,05 0,0125
P(A) 0,2
0,2 0,0125
−
= =
−
P(A)P(B / A) 0,2 0,2
P(A / B) 0,8
P(B) 0,05
×
= = =
P(A)P(B / A) 0,8 0,9875
P(A / B) 0,832
P(B) 0,95
×
= = =
P(S) P(AB) P(AB)
= +
P(A)P(B / A) P(A)P(B / A
= +
0,2 0,8 0,8 0,0125
0,17
= × + ×
=
Page
19
of
47

12/10/2012
file://C:\WINDOWS\Temp\ttwyprsdrx\Chapter1.htm
CÂU HỎI TỰ LƯỢNG GIÁ

Hãy chọn một kết quả đúng.

1. Đ
i
ề
u tr
ị
1 b
ệ
nh b
ở
i ph
ươ
ng pháp I, II, III, IV th
ấ
y t
ỷ
l
ệ
kh
ỏ
i t
ươ
ng
ứ
ng b

ằ
ng 0,6; 0,7; 0,8 và 0,85.

Đ
i
ề
u tr
ị
cho 4 b
ệ
nh nhân, m
ỗ
i ng
ườ
i m
ộ
t cách, tìm xác su
ấ
t sao cho có t
ừ
1
đế
n 3 ng
ườ
i kh
ỏ
i.

Kết quả:


A. 0,0486 B. 0,9964 C. 0,2892 D. 0,7108 E. s
ố
khác

2.
T
ỷ
l
ệ

đ
i
ề
u tr
ị
ph
ươ
ng pháp I, II, III, IV t
ươ
ng
ứ
ng b
ằ
ng : 0,2; 0,25; 0,25; 0,3. Xác su
ấ
t kh
ỏ
i c
ủ
a các

ph
ươ
ng pháp t
ươ
ng
ứ
ng b
ằ
ng : 0,75; 0,82; 0,84; 0,8. M
ộ
t ng
ườ
i
đ
i
ề
u tr
ị
m
ộ
t trong 4 ph
ươ
ng pháp
đ
ã kh
ỏ
i,
tìm xác su
ấ
t sao cho ng

ườ
i
đ
ó
đượ
c
đ
i
ề
u tr
ị
kh
ỏ
i b
ở
i ph
ươ
ng pháp III.

Kết quả:

A. 0,18875 B. 0,8 C. 0,2625 D. 0,31125 E. s
ố
khác

3.
Dùng m
ộ
t ph
ả

n
ứ
ng ch
ẩ
n
đ
oán b
ệ
nh, ph
ả
n
ứ
ng có
độ
nh
ạ
y b
ằ
ng 0,84 và giá tr
ị
âm tính b
ằ
ng 0,968.
Bi
ế
t giá tr
ị
c
ủ
a ph

ả
n
ứ
ng b
ằ
ng 0,852, tìm giá tr
ị
d
ươ
ng tính.

Kết quả:

A. 0,854.118 B. 0,504 C. 0,25 D. 0,852 E. s
ố
khác.

4.
Ki
ể
m tra l
ạ
i nh
ữ
ng ng
ườ
i ch
ẩ
n
đ

oán b
ị
b
ệ
nh
ở
b
ệ
nh vi
ệ
n I, II tuy
ế
n d
ướ
i th
ấ
y t
ươ
ng
ứ
ng 90% và
96% b
ị
b
ệ
nh. Xác su
ấ
t kh
ỏ
i tr

ướ
c ki
ể
m tra c
ủ
a 2 b
ệ
nh vi
ệ
n t
ươ
ng
ứ
ng b
ằ
ng 0,955 và 0,94.

Tìm xác su
ấ
t kh
ỏ
i c
ủ
a hai b
ệ
nh vi
ệ
n sau ki
ể
m tra, bi

ế
t r
ằ
ng s
ố
ng
ườ
i b
ị
b
ệ
nh sau ki
ể
m tra c
ủ
a b
ệ
nh vi
ệ
n I
b
ằ
ng 5/3 b
ệ
nh vi
ệ
n II.

Kết quả:


A. 0,945.3125 B. 0,875.5875 C. 0,953.0875 D. 0,949.375 E. s
ố
khác.


Page
20
of
47
12/10/2012
file://C:\WINDOWS\Temp\ttwyprsdrx\Chapter1.htm

Bài 3
QUY LUẬT XÁC SUẤT CỦA ĐẠI LƯỢNG
NGẪU NHIÊN LIÊN TỤC





MỤC TIÊU
1
. Trình bày được bốn quy luật xác suất của đại lượng ngẫu nhiên liên tục (Chuẩn, Khi bình phương ,
Student, Fisher-Snedecor).
2. Tra được các giá trị tới hạn.



Các
đạ

i l
ượ
ng ng
ẫ
u nhiên
đượ
c chia thành hai lo
ạ
i :
đạ
i l
ượ
ng ng
ẫ
u nhiên r
ờ
i r
ạ
c và
đạ
i l
ượ
ng ng
ẫ
u
nhiên liên t
ụ
c.

Đạ

i l
ượ
ng ng
ẫ
u nhiên X
đượ
c g
ọ
i là r
ờ
i r
ạ
c n
ế
u X nh
ậ
n các giá tr
ị
0, 1, 2, …, n.

S
ố
con c
ủ
a 1 gia
đ
ình, s
ố
ng
ườ

i b
ị
b
ệ
nh trong n ng
ườ
i
đế
n khám, s
ố
b
ệ
nh nhân
đ
i
ề
u tr
ị
kh
ỏ
i trong tháng
hay n
ă
m, s
ố
h
ồ
ng c
ầ
u, s

ố
b
ạ
ch c
ầ
u c
ủ
a m
ộ
t ng
ườ
i là nh
ữ
ng
đạ
i l
ượ
ng ng
ẫ
u nhiên r
ờ
i r
ạ
c.

Đạ
i l
ượ
ng ng
ẫ

u nhiên X
đượ
c g
ọ
i là
đạ
i l
ượ
ng ng
ẫ
u nhiên liên t
ụ
c n
ế
u X nh
ậ
n giá tr
ị
tu
ỳ
ý trong
đ
o
ạ
n [
a,
b].

M
ộ

t ng
ườ
i có chi
ề
u cao 160

cm là ng
ườ
i có chi
ề
u cao
đ
o
đượ
c t
ừ
trên 159,5 cm
đế
n d
ướ
i 160,5 cm n
ế
u
ch
ấ
p nh
ậ
n sai l
ệ
ch 0,5 cm. Nh

ư
v
ậ
y chi
ề
u cao là
đạ
i l
ượ
ng ng
ẫ
u nhiên liên t
ụ
c. T
ươ
ng t
ự
nh
ư
chi
ề
u cao, cân
n
ặ
ng, các kích th
ướ
c
đ
o
đượ

c c
ủ
a c
ơ
th
ể
, c
ủ
a các c
ơ
quan n
ộ
i t
ạ
ng … là các
đạ
i l
ượ
ng ng
ẫ
u nhiên liên t
ụ
c.

1. HÀM MẬT ĐỘ XÁC SUẤT VÀ HÀM PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
1.1. Hàm mật độ xác suất
Hàm f(x) được gọi là hàm mật độ xác suất của đại lượng ngẫu nhiên liên tục X nếu:

+ f(x) ≥ 0 ∀x∈R


+ .

Cho



Nh
ậ
n th
ấ
y: f(x) ≥ 0 ∀x∈R


(Tích phân Laplace)

2
χ
{ }
f (x)dx P X 1
+∞
−∞
= −∞ < < +∞ =
∫
2
x
2
1
f (x) e
2
−

=
π
2
x
2
1
e dx 1
2
+∞
−
−∞
=
π
∫
Page
21
of
47
12/10/2012
file://C:\WINDOWS\Temp\ttwyprsdrx\Chapter1.htm


V
ậ
y hàm
đ
ã cho là hàm m
ậ
t
độ

xác su
ấ
t c
ủ
a
đạ
i l
ượ
ng ng
ẫ
u nhiên X nào
đấ
y.

T
ươ
ng t
ự
, trong
đ
ó a > 0 và b là các tham s
ố
, c
ũ
ng là hàm m
ậ
t
độ
xác su
ấ

t c
ủ
a
m
ộ
t
đạ
i l
ượ
ng ng
ẫ
u nhiên liên t
ụ
c.

Chú ý:
Ng
ườ
i ta th
ườ
ng ký hi
ệ
u hàm

1.2. Hàm phân phối xác suất
Gi
ả
s
ử
f(x) là hàm m

ậ
t
độ
xác su
ấ
t c
ủ
a
đạ
i l
ượ
ng ng
ẫ
u nhiên X,


Nh
ậ
n th
ấ
y F(x) là tích phân ph
ụ
thu
ộ
c c
ậ
n trên cho nên nó là nguyên hàm c
ủ
a f(x).
Đ

ó chính là m
ố
i liên
h
ệ
gi
ữ
a hàm phân ph
ố
i xác su
ấ
t và hàm m
ậ
t
độ
xác su
ấ
t.

Hàm phân ph
ố
i xác su
ấ
t F(x) có m
ộ
t s
ố
tính ch
ấ
t sau :


F(– ∞) = 0; F(+∞) = 1

F(x) là hàm t
ă
ng vì f(x) ≥ 0 ∀x∈R

F(x) là hàm liên t
ụ
c bên trái.



2. CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
2.1. Trung bình lý thuyết (Kỳ vọng toán học)
Trung bình lý thuy
ế
t c
ủ
a
đạ
i l
ượ
ng ng
ẫ
u nhiên X ký hi
ệ
u là MX, giá tr
ị
c

ủ
a nó ký hi
ệ
u là µ,
đượ
c xác
đị
nh nh
ư
sau:

MX là h
ằ
ng s
ố
xác
đị
nh c
ủ
a
đạ
i l
ượ
ng ng
ẫ
u nhiên. Nó cho bi
ế
t tâm phân ph
ố
i c

ủ
a
đạ
i l
ượ
ng ng
ẫ
u nhiên.



Ướ
c l
ượ
ng
đ
i
ể
m c
ủ
a MX

Khi không bi
ế
t MX, l
ấ
y và
đượ
c g
ọ

i là
ướ
c l
ượ
ng
đ
i
ể
m c
ủ
a MX.
Ướ
c l
ượ
ng
đ
i
ể
m r
ấ
t thu
ậ
n l
ợ
i
trong s
ử
d
ụ
ng.




Ướ
c l
ượ
ng kho
ả
ng c
ủ
a MX

Ký hi
ệ
u sai s
ố
gi
ữ
a MX và là δ
2




bi
ế
t





2
2
(x b)
2a
1
f (x) e
a 2
−
−
=
π
x
e exp( x)
−
= −
n
i i
i 1
p x
MX
x.f(x)dx
=
+∞
−∞




=






∑
∫
MX x
≈
x
2
DX
= σ
Page
22
of
47
12/10/2012
file://C:\WINDOWS\Temp\ttwyprsdrx\Chapter1.htm
2 2
s
t(n 1; / 2)
n


− α


không bi
ế

t






Trong bi
ể
u th
ứ
c trên t(α/2) tra trong b
ả
ng chu
ẩ
n t
ắ
c (b
ả
ng 1), t(n – 1; α/2) tra trong b
ả
ng Student (b
ả
ng
2), DX là ph
ươ
ng sai chu
ẩ
n. B
ỏ

tr
ị
s
ố
tuy
ệ
t
đố
i
đượ
c
ướ
c l
ượ
ng kho
ả
ng



± δ
2

đượ
c g
ọ
i là kho
ả
ng tin c
ậ

y m
ứ
c 1 – α c
ủ
a MX.

Ví dụ:
Cân các v
ậ
t có kh
ố
i l
ượ
ng t
ừ
50g – 200g, m
ộ
t cân có sai s
ố
là :

. Cân m
ộ
t v
ậ
t ba l
ầ
n
đượ
c các k

ế
t qu
ả
: 87,32g; 87,27g; 87,39g. Giá tr
ị

trung bình
c
ủ
a ba l
ầ
n cân là:







Kh
ố
i l
ượ
ng
đ
úng c
ủ
a v
ậ
t


Ướ
c l
ượ
ng kho
ả
ng c
ủ
a v
ậ
t
đ
ó:

.


2.2. Phương sai và Độ lệch chuẩn

Ph
ươ
ng sai lý thuy
ế
t c
ủ
a
đạ
i l
ượ
ng ng

ẫ
u nhiên X ký hi
ệ
u là DX, giá tr
ị
c
ủ
a nó ký hi
ệ
u là σ
2
,
đượ
c xác
đị
nh nh
ư
sau:















Ph
ươ
ng sai là h
ằ
ng s
ố

đặ
c tr
ư
ng cho
độ
t
ả
n m
ạ
n c
ủ
a các giá tr
ị
c
ủ
a
đạ
i l
ượ
ng ng
ẫ

u nhiên.

Ướ
c l
ượ
ng c
ủ
a DX

DX ≈ là
ướ
c l
ượ
ng
đ
i
ể
m c
ủ
a DX

là
ướ
c l
ượ
ng kho
ả
ng c
ủ
a Dx, trong

đ
ó



2 2
x MX x
− δ ≤ ≤ + δ
x
DX 0,045g
δ = =
1
x (87,27 87,32 87,39) 87,327g
3
= + + =
2
0,045
1,96 0,051
3
δ = =
MX x 87,327g
≈ =
[
]
[
]
2 2
MX x ; x 87,276 ; 87,378
∈ − δ + δ =
2

x
s
2 2
x x
(n 1)s (n 1)s
DX ;
q(n 1; / 2) q(n 1;1 / 2)
 
− −
∈
 
− α − − α
 
 
2
x
s
X là
đạ
i l
ượ
ng ng
ẫ
u nhiên r
ờ
i r
ạ
c,

p

i
= P{X = x
i
}.

X là
đạ
i l
ượ
ng ng
ẫ
u nhiên liên t
ụ
c,

f(x) là hàm m
ậ
t
độ
xác su
ấ
t c
ủ
a X.


DX
n
2
i i

i 1
2
p (x MX)
Dx
f (x)(x MX) dx
=
+∞
−∞

−



=


−



∑
∫
Page
23
of
47
12/10/2012
file://C:\WINDOWS\Temp\ttwyprsdrx\Chapter1.htm
là ph
ươ

ng sai th
ự
c nghi
ệ
m, q(n –1; α/2) và q(n – 1; 1– α/2) là giá tr
ị
tra b
ả
ng khi bình ph
ươ
ng.





Độ
l
ệ
ch chu
ẩ
n


đượ
c g
ọ
i là
độ
l

ệ
ch tiêu chu
ẩ
n c
ủ
a
đạ
i l
ượ
ng ng
ẫ
u nhiên X.

Khi không bi
ế
t DX th
ườ
ng l
ấ
y σ ≈ s
x
là
ướ
c l
ượ
ng
đ
i
ể
m c

ủ
a
độ
l
ệ
ch chu
ẩ
n,

σ ∈ [s – δ
3
; s + δ
3
] là
ướ
c l
ượ
ng kho
ả
ng c
ủ
a
độ
l
ệ
ch chu
ẩ
n, trong
đ
ó


.
đượ
c g
ọ
i là kho
ả
ng tin c
ậ
y m
ứ
c 1–α c
ủ
a
độ
l
ệ
ch chu
ẩ
n.



Ngoài các h
ằ
ng s
ố
MX, DX
đặ
c tr

ư
ng cho
đạ
i l
ượ
ng ng
ẫ
u nhiên, mômen b
ậ
c k c
ủ
a
đạ
i l
ượ
ng ng
ẫ
u nhiên
đượ
c xác
đị
nh nh
ư
sau:

k = 3, mô men b
ậ
c 3 cho
độ
nh

ọ
n c
ủ
a
đạ
i l
ượ
ng ng
ẫ
u nhiên.

k = 4, mô men b
ậ
c 4 cho h
ệ
s
ố

đố
i x
ứ
ng c
ủ
a
đạ
i l
ượ
ng ng
ẫ
u nhiên.


3. QUY LUẬT CHUẨN (GAUSS – LAPLACE)
Quy lu
ậ
t chu
ẩ
n do Gauss, Laplace nghiên c
ứ
u
đầ
u tiên.

3.1. Định nghĩa
Đại lượng ngẫu nhiên X liên tục, nhận giá trị trên R được gọi là có quy luật chuẩn, gọi tắt là đại lượ
ng
ngẫu nhiên chuẩn hay biến chuẩn với tham số
µ
và
σ

2
nếu hàm mật độ xác suất của X có dạng:

, trong
đ
ó MX = µ; DX =
σ

2
là các tham s

ố

đ
ã bi
ế
t.



Khi µ = 0,
σ

2
= 1,
đạ
i l
ượ
ng ng
ẫ
u nhiên X
đượ
c g
ọ
i là chu
ẩ
n t
ắ
c. Nh
ư
v

ậ
y chu
ẩ
n t
ắ
c là chu
ẩ
n có tham
s
ố

đặ
c bi
ệ
t 0 và 1.

Các
đạ
i l
ượ
ng bình th
ườ
ng trong sinh, y h
ọ
c th
ườ
ng có quy lu
ậ
t chu
ẩ

n. D
ẫ
n
đế
n ký hi
ệ
u X chu
ẩ
n v
ớ
i µ
và
σ

2
nh
ư
sau X : N (µ,
σ

2
) và chu
ẩ
n t
ắ
c là X : N (0 ; 1).


3.2. Các đặc trưng của quy luật chuẩn
Gi

ả
s
ử
X : N thì

Gi
ả
s
ử
thì

Th
ậ
t v
ậ
y



Do hàm l
ấ
y tích phân là hàm l
ẻ
, mi
ề
n tích phân
đố
i x
ứ
ng.


DX
σ =
3
s
t( / 2).
2n
δ = α
3
s
± δ
n
k k
i i
i 1
M(X MX) p (x MX)
=
− = −
∑
2
2
(x )

2
1
f (x) e
2
−µ
−
σ

=
σ π
2
( ; )
µ σ
2
MX , DX
= µ = σ
X : N(0 ;1)
MX 0 , DX 1
= =
2
1 x
MX x exp( )dx 0
2
2
+∞
−∞
= − =
π
∫
Page
24
of
47
12/10/2012
file://C:\WINDOWS\Temp\ttwyprsdrx\Chapter1.htm


Tích phân t

ừ
ng ph
ầ
n
đặ
t u = x, dv =

.



3.3. Tra bảng
Ký hi
ệ
u




Π(x) là hàm phân ph
ố
i xác su
ấ
t c
ủ
a
đạ
i l
ượ
ng ng

ẫ
u nhiên chu
ẩ
n t
ắ
c

X : N (0 ; 1) v
ớ
i



Tích phân π(x) l
ấ
y các giá tr
ị
x t
ừ
0
đế
n 4,5 l
ậ
p
đượ
c b
ả
ng π(x) (b
ả
ng 1).


Trong các sách
đ
ôi khi l
ậ
p b
ả
ng φ(x) v
ớ
i



d
ẫ
n
đế
n


X : N(0 ;1)








X : N (µ, σ

2
)





D
ự
a vào b
ả
ng tra
đượ
c

2
2
1 x
DX x exp dx
2
2
+∞
−∞
 
= −
 
 
π
 
∫

2
x
x exp( )dx
2
−
b
2 2
a
a
b
x x 1 x
DX lim exp exp dx 1
2 2
2 2
+∞
→−∞
−∞
→+∞
 
   
 
= − − + − =
   
   
 
π π
   
 
 
∫

{ }
x
(x) f (t)dt P X x
−∞
Π = = −∞ < ≤
∫
2
x
2
1
f (x) e
2
−
=
π
{ }
x
x
(x) f(t)dt P x X x
−
φ = = − ≤ ≤
∫
1
(x) 0,5 (x)
2
Π = + φ
( x) 1 (x)
Π − = − Π
{
}

P a x b (b) (a)
≤ ≤ = Π − Π
{
}
{
}
P x b 1 P x b 1 (b)
> = − −∞ < ≤ = − Π
{ }
a x b
P a x b P
− µ − µ − µ
 
≤ ≤ = ≤ ≤ =
 
σ σ σ
 
b a
( ) ( )
− µ − µ
= Π − Π
σ σ
(x)
Π
Page
25
of
47
12/10/2012
file://C:\WINDOWS\Temp\ttwyprsdrx\Chapter1.htm