Chơng 5
Nội ngoại suy và làm trơn
hàm ngẫu nhiên
5.1. Đặt bài toán
Ta hÃy xét một vài bài toán thờng gặp trong khí tợng thuỷ
văn.
1. Ngoại suy
Giả sử có một thể hiện x(t) của quá trình ngẫu nhiên X(t) trên
khoảng biến đổi nào đó của tham số [a,t] xảy ra trớc thời điểm t. Giả
thiết rằng đà biết các đặc trng của quá trình ngẫu nhiên X(t) gồm kỳ
vọng toán học và hàm tơng quan của nó. Yêu cầu dự báo giá trị
x(t+T) của thể hiện này tại thời điểm tiếp theo t+T nào đó, T>0. Ngời
ta gọi đại lợng T là lợng ngắm đón.
Bài toán này đợc gọi là bài toán ngoại suy quá trình ngẫu
nhiên. Do giả thiết rằng thể hiện x(t) đợc xác định chính xác, không
có sai số đo, nên bài toán này đợc gọi là bài toán ngoại suy thuần
tuý.
2. Làm trơn
Giả sử thể hiện x(t) của quá trình ngẫu nhiên X(t) đợc xác định
nhờ kết quả thực nghiệm, trên khoảng biến đổi [a,t] của tham số t, với
sai số y(t) là thể hiện của quá trình ngẫu nhiên Y(t), tức là do thực
nghiệm ta nhận ®−ỵc thĨ hiƯn z(t) = x(t) + y(t), víi x(t) là giá trị thực
của thể hiện, y(t) là sai số đo. Giả thiết rằng đà biết các đặc trng của
các quá trình ngẫu nhiên X(t) và Y(t), nh kỳ vọng toán học, hàm
tơng quan và hàm tơng quan quan hệ. Yêu cầu xác định giá trị
thực của thể hiện x(t) tại thời điểm t nào đó, có nghĩa là tách nã ra
khái sai sè ®o.


Bài toán này gọi là bài toán làm trơn (lọc) quá trình ngẫu nhiên.
Nó xuất hiện, chẳng hạn, khi tách các tín hiệu hữu ích trên nền nhiễu

trong kỹ thuật vô tuyến, trong đó ngời ta gọi giá trị thực là các tín
hiệu hữu ích, còn sai số làm méo tín hiệu đợc gọi là nhiễu hay ồn.
Trong khí tợng thuỷ văn, bài toán này nảy sinh về cơ bản giống
nh bài toán loại bỏ sai số đo khi chỉnh lý các số liệu thực nghiệm.
Khi đó, có sự khác nhau cơ bản giữa bài toán làm trơn số liệu thực
nghiệm và bài toán tách tín hiệu trong kỹ thuật vô tuyến. Trong kỹ
thuật vô tuyến, và nói chung, trong lý thuyết hệ điều khiển tự động,
ngời ta giả thiết rằng, nếu tín hiệu đi qua một thiết bị đợc sử dụng
để làm trơn tín hiệu thì ở thời điểm t nào đó, chỉ có những giá trị của
tín hiệu trớc thời điểm này đi qua, mà không thể tính đến những giá
trị về sau của nó. Vấn đề ở chỗ cái gọi là nguyên lý nhân quả về mặt
vật lý của hệ. Khi đó, để nhận đợc giá trị x(t) phải tiến hành làm
trơn thể hiện z(t) trên khoảng [a,t] nào đó xảy ra trớc thời điểm này.
Khi làm trơn các số liệu thực nghiệm bằng cách tiến hành tính
toán thuần tuý, không sử dụng các thiết bị vật lý, chúng ta sẽ không
bị phụ thuộc vào các điều kiện này và có thể sử dụng tất cả các giá trị
của thể hiện z(t) đà có để làm trơn, tức là giá trị cần tìm x(t) tại thời
điểm t có thể đợc xác định bằng cách làm trơn các giá trị của thể
hiện z(t) trên toàn đoạn [a,b].
3. Ngoại suy có làm trơn
Bài toán ngoại suy gắn liền chặt chẽ với việc làm trơn vì trên
thực tế, ta luôn luôn nhận đợc thể hiện của quá trình ngẫu nhiên mà
ta quan tâm có chứa cả sai số đo trong đó. Khi đó, bài toán ngoại suy
quá trình ngẫu nhiên là ở chỗ với thể hiện đà có trên đoạn [a,t]

z(t) = x(t) + y(t)
phải dự báo đợc giá trị của thể hiện x(t) tại thời điểm t + T, T > 0 .
Bài toán này đợc gọi là bài toán ngoại suy có làm trơn. Khi T < 0 thì
bài toán gọi là nội suy có làm trơn.
Trên thực tế, bài toán nội suy thờng xuất hiện trong các trờng

hợp giá trị thực nghiệm của thể hiện z(t) của quá trình ngẫu nhiên
đợc cho thành một chuỗi những giá trị rời rạc của đối số
t1 , t2 ,..., tn trong khoảng [a,b] nào đó, và yêu cầu xác định giá trị của
thể hiện x(t) tại các thời điểm trong khoảng này. Khi không có sai số

148


đo y(t) , nó đợc gọi là bài toán nội suy thuần tuý, khi có sai số đo thì
đó là bài toán nội suy có làm trơn.
Khi nội suy các số liệu thực nghiệm bằng cách tiến hành tính
toán thuần tuý, ta cũng có thể sử dụng tất cả các giá trị đà cho của
thể hiện z(t) , cả trớc và sau thời điểm t.
Có thể xét các bài toán nội, ngoại suy và làm trơn nh một bài
toán chung, xác định giá trị thực của thể hiện x(t) tại giá trị tham số
to nào đó theo các giá trị ®· biÕt cđa thĨ hiƯn z(t) = x(t) + y(t) trên
khoảng [a,b] nào đó.
Phát biểu toán học của bài toán ngoại suy (nội suy) và làm trơn
nh sau. Cho biết thể hiện

z(t) = x(t) + y(t)

(5.1.1)

trên khoảng biến đổi của tham số [a,b] nào đó, x(t ) và y (t ) là thể hiện
của các quá trình ngẫu nhiên X (t ) và Y (t ) có các kỳ vọng toán học,

hàm tơng quan, hàm tơng quan quan hệ cho tr−íc. Ta sÏ cho r»ng,
kú väng to¸n häc mx (t ) vµ m y (t ) b»ng 0. (Trong tr−êng hợp ngợc lại
ta sẽ xét các quá trình ngẫu nhiên qui tâm tơng ứng).


Yêu cầu xác định giá trị x(to ) cuả thể hiện x(t ) tại thời điểm t0.

Đối với trờng hợp ngoại suy to = b + T , víi T > 0 .
T−¬ng tù, t0 = b cho trờng hợp làm trơn.
Vì ta đang xét hàm ngẫu nhiên nên điều ta quan tâm là tìm
phơng pháp giải bài toán sao cho nhận đợc kết quả tốt nhất từ tập
hợp tất cả các thể hiện theo nghĩa nào đó, tức là tìm một toán tử sao
cho khi tác dụng lên tập các thể hiện z (t ) sẽ cho giá trị tốt nhất của
thể hiện x(to ) theo nghĩa nào đó.

Nếu ký hiệu toán tử cần tìm là L, ta cã thÓ viÕt
hay

X(to ) = L{Z (t )}

(5.1.2)

X(to ) = L{X (t ) + Y (t )}

(5.1.3)

Tr−íc hÕt, cần xác định tiêu chuẩn chất lợng của nghiệm bài
toán đặt ra là gì. Trong khuôn khổ lý thuyết xác suất chỉ có thể đánh
giá chất lợng của toán tử trên phơng diện thống kê trung bình
theo toàn bộ tập thể hiện có thể của hàm ngẫu nhiên.
149


Ký hiệu là hiệu giữa giá trị thực X(to) và giá trị nhận đợc theo

công thức (5.1.2),

= X (to ) − L{Z (t )}

(5.1.4)

Cã thĨ gäi to¸n tư L là tốt nhất nếu nó làm cho giá trị trung bình
của một hàm đợc chọn nào đó của hiệu trở nên cực tiểu, ví dụ nh
kỳ vọng toán học của modul hiệu.
Thuận tiện hơn, từ quan điểm toán học, tiêu chuẩn chất lợng là
làm cực tiểu kỳ vọng toán học của bình phơng hiệu

[ ] {[X (t ) − L{Z (t )}] }

M δ2 = M

o

2

(5.1.5)

Ta sÏ gäi toán tử L là tối u nếu nó làm cho biểu thức (5.1.5) trở
thành cực tiểu, và công thức (5.1.2) tơng ứng với nó là công thức
ngoại suy (nội suy) hoặc làm trơn tối u.
Trên thực tế hiện nay, ta thừa nhận lời giải của bài toán đà nêu
khi có những giới hạn sau mà chúng ta sẽ còn tiếp tục xét sau này:
1) Toán tử L là tuyến tính và dừng, tức không phụ thuộc vào đối
số t;


2) Các quá trình ngẫu nhiên X (t ) và Y (t ) là dừng và liên hệ

dừng;
Với các giả thiết đà nêu, bài toán đang xét đợc gọi là bài toán
nội, ngoại suy và làm trơn tuyến tính tối u quá trình ngẫu nhiên
dừng. Lần đầu tiên bài toán này đợc A. N. Komogorov [10] đề xuất
và giải quyết. T tởng đó đợc phát triển tiếp trong công trình của
N. Viner [32].
Phơng pháp giải bài toán đà nêu phụ thuộc vào khoảng mà trên
đó thể hiện z (t ) đợc cho là vô hạn hay hữu hạn.
Ta sẽ xét từng trờng hợp riêng biệt, trong đó, đối với trờng hợp
khoảng hữu hạn, ta sẽ xem rằng thể hiện đợc cho tại một số hữu hạn
các giá trị rời rạc của tham số t. Điều này thờng xuyên xảy ra trong
thực tế đo đạc khí tợng thuỷ văn.

5.2. Nội, ngoại suy tuyến tính tối u và làm trơn
hàm ngẫu nhiên cho trên một số điểm hữu hạn
Ta bắt đầu xét từ trờng hợp khi đà biết chỉ một số hữu hạn giá
trị của thể hiện cuả quá trình ngẫu nhiên dừng, tức là biết các giá trị
của thể hiện z(t) tại các thêi ®iĨm t1, t2,..., tn ( t1 < t2 < ... < tn ).
150


Nếu xem các giá trị này là kết quả đo ®¹c cã chøa sai sè, ta cã thĨ
viÕt

z(tk ) = x(tk ) + y(tk ), k = 1,2,..., n.

(5.2.1)


ở đây x(tk) là giá trị thực của thể hiện tại thời điểm tk còn y(tk) là
sai số đo. Ta sẽ xem các quá trình ngẫu nhiên X(t) và Y(t) là dừng và
liên hệ dừng, còn các đặc trng của chúng, nh kỳ vọng toán học, hàm
tơng quan và hàm tơng quan quan hệ là đà biết.
Không làm mất tính tổng quát, cã thĨ cho kú väng to¸n häc b»ng
0 khi chun về xét các hàm qui tâm tơng ứng.
Có thể viết giá trị cần tìm x(t0), kết quả của việc tác dụng toán tử
tuyến tính lên tất cả các giá trị z(tk), dới dạng tổ hợp tuyến tính
n

x(t0 ) = k z (tk )

(5.2.2)

k =1

trong đó k là các hệ số hằng số.
Bài toán dẫn đến việc tìm giá trị của các hệ số 1, 2,..., n sao
cho đại l−ỵng

σ 2n

2

n
 

(α1 ,α 2 ...,α n ) = M  X (t0 ) − ∑ α k Z (tk )
k =1




(5.2.3)

nhận giá trị nhỏ nhất.
Nh đà biết, điều kiện cần để cực tiểu hàm n biến là các đạo hàm
riêng theo từng biến phải bằng không.
Từ đó suy ra rằng 1, 2,..., n phải là nghiệm của hệ phơng
trình

2n (1 , 2 ..., n )
= 0, k = 1,2,..., n.
∂α k

(5.2.4)

Ta biÕn ®ỉi biĨu thøc (5.2.3)

σ2n

2

n
 

(α1 ,α2 ...,αn ) = M  X (t0 ) − ∑αk [X (tk ) + Y (tk )]  =
k =1
 



[

]

n

= M X 2 (t0 ) − 2∑ αk {M [ X (to )X (tk )] + M [ X (to )Y (tk )]} +
k =1

151


n

{ [

n

( )]

[

( ) ]+

+ ∑∑ αk α j M X (tk )X t j + M X (tk )Y t j
k =1 j =1

[

( )]


[

( )] }=

+ M Y (tk )X t j + M Y (tk )Y t j

[

n

]

= Rx (0) − 2∑ αk Rx (to − tk ) + Rxy (to − tk ) +
k =1

n

[ (

n

)

(

)

+ ∑ ∑ α k α j Rx t j − t k + R y t j − t k +
k =1 j =1


(

)

(

+ Rxy t j − tk + R yx t j tk

)]

(5.2.5)

Lấy đạo hàm riêng vế phải (5.2.5) theo k và đồng nhất bằng 0,
ta nhận đợc hệ phơng trình:

[

]

Rx (to t k ) + Rxy (to − tk ) +

n

[ (

)

(


)

(

)

)]

(

+ ∑ α j Rx t j − tk + R y t j − tk + Rxy t j − t k + R yx t j − t k = 0 ,
j =1

(5.2.6)

k = 1,2 ,..., n.
Đổi dấu, ta nhận đợc hệ để xác định các hệ số k

Rx (to tk ) + Rxy (to − t k ) −

n

[ (

)

(

)


(

)

(

)]

− ∑ α j Rx t j − t k + R y t j − t k + Rxy t j − tk + R yx t j − t k = 0 ,
j =1

(5.2.7)

k = 1,2 ,..., n.
§iỊu kiện (5.2.7) là điều kiện cần để hàm 2n (1 , 2 ,..., n ) đạt cực
trị. Có thể chứng minh rằng với các giá trị 1 , 2 ,..., n là nghiệm của
hệ (5.2.7) thì hàm (5.2.3) thật sự đạt giá trị nhỏ nhất, có nghĩa là điều
kiện (5.2.7) cũng là điều kiện đủ.
Nh vậy về nguyên tắc, bài toán nội, ngoại suy tuyến tính hoặc
làm trơn trong trờng hợp đang xét đợc đa về việc giải hệ phơng
trình (5.2.7) để tìm các giá trị 1 , 2 ,..., n và đặt vào công thức (5.2.2).
Để tính đợc sai số bình phơng trung bình 2n ( 1 ,α 2 ,...,α n ) cđa
phÐp néi, ngo¹i suy tèi u hay làm trơn, khi đà tìm đợc các giá trị
1 , 2 ,..., n ta nhân từng hạng tử của (5.2.7) với k và cộng các kết
quả lại, ta ®−ỵc
152


∑ ∑ α k α j [Rx ( t j − tk ) + R y ( t j − tk ) + Rxy ( t j − tk ) + R yx ( t j − tk )] =
n


n

k =1 j =1

[

n

]

= ∑ α k Rx (t0 − tk ) + Rxy (t0 − tk )
k =1

(5.2.8)

ThÕ vµo (5.2.5) ta nhận đợc
n

[

]

n2 (1 , 2 ..., n ) = Rx (0 ) − ∑ α k Rx (t0 − tk ) + Rxy (t0 − tk )
k =1

(5.2.9)

Khi số giá trị quan trắc của thể hiện z (t ) lớn, tức là khi số điểm n
lớn, bài toán dẫn đến việc giải hệ (5.2.7) với số phơng trình lớn, điều

đó trở nên rất khó khăn, thậm chí ngay cả khi sử dụng máy tính điện
tử. Trong trờng hợp này, thông thờng để thuận tiện hơn, một cách
gần đúng xem rằng thể hiện z (t ) đợc cho tại mọi giá trị của đối số t
xảy ra trớc thời điểm t0 và sử dụng phơng pháp đợc trình bày
trong mục 5.3.
Ta xét các trờng hợp riêng của bài toán tổng quát đà nêu.

1. Không có sai số đo. Nội ngoại suy thuần tuý :
Trong trờng hợp riêng, khi z (tk ) = x(tk ) là các giá trị chính xác

của thể hiện x(t ) đợc xác định không chứa sai sè, tøc lµ khi y (tk ) ≡ 0 ,
và do đó

R y ( ) Rxy ( ) 0

(5.2.10)

hệ (5.2.7) đợc viết dới dạng
n

Rx ( t 0 − t k ) − ∑ α j Rx ( t j − t k ) = 0 ,

k = 1,2,...n

(5.2.11)

j =1

Vì hàm tơng quan là xác định dơng nên định thức của hệ
(5.2.11) khác không, và do đó hệ luôn luôn có nghiệm. Sai số bình

phơng trung bình của phép ngoại suy tối u trong trờng hợp này
đợc xác định bằng cách đặt các giá trị 1, 2, ..., n tìm đợc vào công
thức :
n

2n ( α1 ,α 2 ,....α n ) = Rx ( 0 ) − ∑ α k Rx ( t0 − tk ),

(5.2.12)

k =1

Công thức này cũng nhận đợc từ (5.2.9) khi cho Rxy (τ ) ≡ 0 .
153


Sử dụng (5.2.8) và điều kiện (5.2.10), ta có thể nhận đợc biểu
thức sai số bình phơng trung bình dới dạng khác
n

n

2n ( 1 , 2 ,.... n ) = Rx ( 0 ) − ∑ ∑ α k α j Rx ( t j − tk ).

(5.2.13)

k =1 j =1

Vì hàm tơng quan Rx ( ) là xác định dơng nên dạng toàn
phơng trong biểu thức (5.2.13) không ©m
n


n

∑ ∑ α k α j Rx ( t j − t k ) ≥ 0

(5.2.14)

k =1 j =1

Do ®ã, sai số bình phơng trung bình của phép ngoại suy tối u
không vợt quá phơng sai của hàm ngẫu nhiên X (t ) .
Để làm thớc đo sai số nội, ngoại suy, thuận tiện hơn là sử dụng
đại lợng vô thø nguyªn εn , b»ng tû sè cđa sai sè trung bình bình
phơng 2n và phơng sai của hàm ngẫu nhiªn Dx = Rx (0) ,

εn =

n
σ 2n
= 1 − ∑ α k rx ( t0 − tk ),
Dx
k =1

(5.2.15)

trong đó rx (t ) là hàm tơng quan chuẩn hoá của hàm ngẫu nhiên

X (t ) . Các hệ số k nhận đợc theo phơng pháp nội, ngoại suy tối u
là các trọng số thể hiện phần đóng góp của các giá trị x(tk ) vào tổng
(5.2.2).

Các trọng số này phụ thuộc vào mức độ quan hệ giữa các giá trị
x(tk ) với nhau và mức độ quan hệ của chúng với giá trị đợc xấp xỉ
x(to ) .
Ta xét một vài trờng hợp giới hạn.

a) Giả sử lát cắt X (to ) của quá trình ngẫu nhiên, trên thực tế,
không liên hệ với các lát cắt của nó tại các thời điểm tk, tức là có thể
xem

Rx ( t0 tk ) = 0.

(5.2.16)

Khi ngoại suy, điều đó sẽ xảy ra trong trờng hợp nếu lợng
ngắm đón T đợc chọn lớn đến mức sao cho lát cắt của quá trình ngẫu
nhiên tại thời điểm t0 = tn + T không liên hệ với các lát cắt của nó tại
các thời điểm tk. Trong trờng hợp này hệ (5.2.11) đợc viÕt d−íi d¹ng

154


n

∑ α j Rx ( t j − t k ) = 0 ,

k = 1,2 ,....n.

(5.2.17)

j =0


Vì định thức của hệ thuần nhất này khác 0, nên nó chỉ cã nghiƯm
b»ng 0 lµ α1 = α 2 = ... = α n = 0 , tøc lµ trong tr−êng hợp này, phơng
pháp ngoại suy tối u cho giá trị bằng kỳ vọng toán học của hàm ngẫu
nhiên mx = 0 . Khi đó theo (5.2.13), sai số bình phơng trung bình của
phép ngoại suy 2n bằng phơng sai hàm ngẫu nhiên.

b) Giả sử lát cắt của hàm ngẫu nhiên tại các thời điểm tk và tj
không quan hệ với nhau, nhng có quan hệ với lát cắt tại thời điểm t0.
Khi nội suy, trờng hợp này có thể tơng ứng với trờng hợp các
lát cắt liền kề nhau X (tk 1 ) và X (tk ) của quá trình ngẫu nhiên khi
hiệu tk tk 1 lớn, trên thực tế 2 lát cắt liền kề nhau không quan hệ

với nhau, nhng có quan hệ với giá trị nội suy X (t0 ) , ở đây

tk 1 < t0 < tk . Khi đó hệ (5.2.11) đợc viết dới d¹ng
α k Rk ( 0 ) = Rx ( t0 − t k ),

k = 1,2 ,....n.

(5.2.18)

Tõ ®ã

αk =

Rx ( t0 − t k )
= rx ( t0 − t k ),
Rx ( 0 )


(5.2.19)

tức là các trọng số k bằng hệ số tơng quan giữa các lát cắt của hàm
ngẫu nhiên tại các thời điểm t0 và tk. Trọng số của giá trị x(tk) càng lớn
thì x(tk) càng liên hệ chặt chẽ với giá trị x(to).

2. Có sai số đo, nhng sai số không tơng quan với nhau và
không quan hệ với giá trị thực của đại lợng ®−ỵc ®o:
Ta xÐt mét tr−êng hỵp quan träng trong thùc tế, khi sai số đo
Y(t) tại các giá trị khác nhau của đối số t không tơng quan với nhau,
tức Ry() 0 khi 0, và các sai số này không tơng quan với các giá
trị thực của đại lợng đợc đo, tức hàm tơng quan quan hệ Rxy()0
với mọi . Trong trờng hợp này, công thức (5.2.5) đối với sai số bình
phơng trung bình của phép ngoại suy n2 đợc viết dới dạng
n

2n ( 1 ,α 2 ,α 3 ...α n ) = Rx ( 0 ) − 2 ∑ α k Rx ( t0 − tk ) +
k =1

n

n

n

+ ∑ ∑ α k α j Rx ( t j − tk ) + ∑ α k2 R y ( 0 ).
k =1 j =1

(5.2.20)


k =1

155


Khi đó hệ (5.2.7) để xác định các hệ số αk cã d¹ng
n

Rx ( t 0 − t k ) − ∑ α j Rx ( t j − t k ) − α k R y ( 0 ) = 0 ,

k=1,2,...,n

(5.2.21)

j =1

Nhân các hạng tử của (5.1.21) với k và cộng các kết quả lại, ta
đợc
n

n

n

n

k Rx ( t0 − tk ) = ∑ ∑ α k α j Rx ( t j − tk ) + Ry ( 0 )∑ α k2 .

k =1


k =1 j =1

(5.2.22)

k =1

Thế (5.2.22) vào (5.2.20), ta nhận đợc công thức đối với sai số
bình phơng trung bình của phép néi, ngo¹i suy tèi −u
n

σ 2n ( α1 ,α 2 ,...α n ) = Rx ( 0 ) − ∑ α k Rx ( t0 − tk ).

(5.2.23)

k =1

hay
n

n

n

σ n2 ( α1 ,α 2 ,...α n ) = Rx ( 0 ) − ∑ ∑ α k α j Rx ( t j − tk ) − R y ( 0 )∑ α k2 .
k =1 j =1

(5.2.24)

k =1


C«ng thøc (5.2.23) trùng với dạng công thức (5.2.12) cho trờng
hợp không có sai số đo. Nó không chỉ rõ ảnh hởng của sai số đo đến
đại lợng sai số 2n , tuy nhiên ảnh hởng này là có, vì các hệ số k xác
định từ hệ (5.2.21) phụ thuộc vào phơng sai cđa sai sè ®o D y = R y (0) .

Trong công thức (5.2.24), ảnh hởng của sai số đo đợc thể hiện
qua cả ảnh hởng của nó đến c¸c hƯ sè αk cịng nh− biĨu hiƯn mét
c¸ch trùc tiếp qua các hạng tử cuối cùng.
Có thể chứng minh rằng, sai số bình phơng trung bình của phép
ngoại suy 2n tăng lên khi phơng sai sai số Dy tăng, còn các trọng số
k thay đổi sao cho tổng bình phơng của chúng giảm, tức là sai số đo
sẽ làm giảm độ chính xác của phép nội, ngoại suy tối u.
Tuy nhiên khi nội, ngoại suy tối u có làm trơn, tức là khi xác
định các trọng số k có tính đến sai số đo theo công thức (5.2.21), đại
lợng sai số 2n nhận đợc sẽ bé hơn so với khi ta tiến hành nội ngoại
suy thuần tuý theo công thức (5.2.11) và bỏ qua việc tính đến sai sè
®o.

156


5.3. Ngoại suy tuyến tính tối u và làm trơn quá
trình ngẫu nhiên cho trên khoảng vô hạn
Giả sử các giá trị thể hiện z(t) của quá trình ngẫu nhiên X(t) ,
đợc xác định với sai số ngẫu nhiên y(t) cũng là thể hiện của quá
trình ngẫu nhiên Y(t) , đà đợc biết trớc trên khoảng vô hạn xảy ra
trớc giá trị đà cho của đối số, tức là thể hiện z(t) = x(t) + y(t) cho
trớc trên khoảng ( , t ) .

Trên thực tế điều này có nghĩa là thể hiện z(t) đợc cho trên một

khoảng biến đổi đủ lớn của đối số, lớn hơn khoảng mà trên đó mối liên
hệ tơng quan giữa các lát cắt của quá trình ngẫu nhiên đà hoàn toàn
lụi tắt.
Giống nh trớc đây, ta xem các quá trình ngẫu nhiên X(t) và
Y(t) là dừng và liên hệ dừng, có kỳ vọng toán học bằng 0, cho trớc
các hàm tơng quan Rx(), Ry() và các hàm tơng quan quan hệ
Rxy(), Ryx().
Yêu cầu xác định giá trị x(t+T) sao cho kỳ vọng toán học của bình
phơng hiệu 2 giữa các giá trị thực và giá trị dự báo trở nên cực tiểu.
Tơng ứng với những điều đà trình bày trong mục 4.2, có thể
biểu diễn giá trị cần tìm x(t+T) là kết quả tác dụng toán tử tuyến tính
lên hàm z(t) (5.1.2), dới d¹ng
∞

∞

0

0

x(t + T ) = ∫ g (τ ) z (t − τ ) dτ = ∫ g (τ ) [x(t − τ) + y (t − τ )] dτ

(5.3.1)

Bµi toán dẫn đến việc lựa chọn hàm trọng lợng g(t) để cho đại
lợng 2 sau đây đạt cực tiểu:
2





σ = M  X (t + T ) − ∫ g (τ ) Z (t − τ ) dτ

0

2

(5.3.2)

Trong đó, hàm trọng lợng phụ thuộc lợng ngắm ®ãn T.
Ta biÕn ®æi (5.3.2)

[

]

∞

σ 2 = M X 2 (t + T ) − 2 ∫ g (τ)M [ X (t + T )Z (t − τ )]dτ +
0

157


∞

∞

0


0

+ ∫ g (τ1 )dτ1 ∫ g (τ 2 )M [Z (t − τ1 )Z (t − τ 2 )]dτ 2 =
∞

∞

∞

0

0

0

= Rx (0 ) − 2 ∫ g (τ)Rxz (T + τ)dτ + ∫ g (τ1 )dτ1 ∫ g (τ 2 )Rz (τ 2 − τ1 )dτ 2 (5.3.3)
Trong ®ã

Rxz (τ) = M [X (t + τ)Z (t )] = M {X (t + τ) [X (t ) + Y (t )] } =
= Rx (τ ) + Rxy (τ )

(5.3.4)

Rz (τ ) = M [Z (t + τ )Z (t )] = M { [X (t + τ ) + Y (t + τ )] [X (t ) + Y (t )]} =
= Rx (τ ) + Rxy (τ ) + R yx (τ ) + R y ( )

(5.3.5)

Ta hÃy xác lập điều kiện cần và đủ mà hàm trọng lợng g(t) phải
thoả mÃn để cho 2 đạt cực tiểu.

Giả sử hàm g(t) làm cho 2 đạt cực tiểu, khi đó nếu trong (5.3.3)
thay cho g(t) là hµm

g1 (t ) = g (t ) + aα(t )

(5.3.6)

trong đó a là một số thực bất kỳ, còn (t ) là một hàm tuỳ ý, thì đại
lợng 2 chỉ có thể tăng lên.
Do vậy, khi đó 2 đợc xét nh là hàm của đối số a, đạt cực tiểu
khi a = 0, tức đạo hàm của nó theo a phải bằng 0 khi a = 0.
Thay (5.3.6) vào (5.3.3) ta đợc


2 (a ) = Rx (0) 2 ∫ [g (τ ) + aα(τ)]Rxz (T + τ )dτ +
0

∞

∞

0

0

+ ∫ dτ1 ∫ [g (τ1 ) + aα(τ1 )] [g (τ 2 ) + aα(τ 2 )]Rz (τ 2 − τ1 )dτ 2 =
∞

= Rx (0) − 2 ∫ [g (τ ) + aα(τ )]Rxz (T + τ )dτ +
0


∞

∞

0

0

+ ∫ dτ1 ∫ [g (τ1 )g (τ 2 ) + aα(τ 2 )g (τ1 ) + aα(τ1 )g (τ 2 ) +

]

+ a 2α(τ1 )α(τ 2 ) Rz (τ1 − τ 2 )dτ 2
158

(5.3.7)


Khi lÊy vi ph©n d−íi dÊu tÝch ph©n (5.3.7) theo tham số a, ta
nhận đợc

d 2 (a )
= 2 α(τ )Rxz (T + τ )dτ + ∫ α(τ 2 )dτ 2 ∫ g (τ1 )Rz (τ 2 − τ1 )dτ1 +
da
0
0
0
∞


∞

∞

∞

0

0

∞

+ ∫ α(τ1 )dτ1 ∫ g (τ 2 )Rz (τ 2 − τ1 )dτ 2 =0

(5.3.8)

Thay τ1 b»ng τ 2 , còn 2 bằng 1 vào tích phân cuối cùng, do tính
chẵn của hàm tơng quan nên đẳng thức (5.3.8) đợc viết dới dạng






0

0

0


2 ( )Rxz (T + τ )dτ + 2 ∫ α(τ 2 )dτ2 ∫ g (τ1 )Rz (τ 2 − τ1 )dτ1 =0 (5.3.9)
hay



(
)
(
)
(
)
(
)


R
T
+


g

R
t


d


dt = 0

xz
z



0
0




(5.3.10)

Vì đẳng thức (5.3.10) đúng với mọi hàm (t), nên đẳng thức sau
cần thoả mÃn


Rxz (T + τ ) − ∫ g (τ )Rz (t − τ)dτ = 0 , víi mäi t ≥ 0

(5.3.11)

0

Nh− vËy điều kiện (5.3.11) là điều kiện cần để cho 2 đạt cực
tiểu. Ta chứng minh rằng điều kiện này cũng là đủ. Muốn vậy ta viết
(5.3.7) dới dạng


2 ( a ) = Rx ( 0 ) − 2 ∫ g ( τ )Rxz ( T − τ )dτ +
0


∞∞

+ ∫ ∫ g ( τ1 )g ( τ 2 )R z ( τ 2 − τ1 )dτ1dτ 2 +
00

∞
∞


+ 2a ∫ α( t )− Rxz ( T + τ ) + ∫ g ( τ )Rz ( t − τ )dτdt +
0
0


∞∞

+ a 2 ∫ ∫ α( τ1 )α( τ2 )Rz ( τ2 − τ1 )dτ1dτ 2 .

(5.3.12)

00

159


Theo (5.3.3), ba hạng tử đầu tiên trong (5.3.12) là giá trị 2(0),
hạng thứ t sẽ bằng 0 khi điều kiện (5.3.11) đợc thực hiện, tích phân
hai lớp cuối cùng cã thĨ viÕt d−íi d¹ng:
∞∞


2

 ∞

a 2 ∫ ∫ α( τ1 )α( τ2 )Rz ( τ2 − τ1 )dτ1dτ 2 = a 2 M  ∫ α( τ )Z ( t − τ )dτ  (5.3.13)


0




00
Tõ ®ã thÊy r»ng, vÕ phải (5.3.13) là một số không âm, có thể ký
hiệu bằng A2. Do đó, khi điều kiện (5.3.11) đợc thực hiện, đẳng thức
(5.3.12) đợc viết dới dạng

2 ( a ) = σ 2 ( 0 ) + A2

(5.3.14)

tøc lµ kỳ vọng toán học của bình phơng sai số 2 chỉ có thể tăng lên
khi thay hàm trọng lợng g(t) , thoả mÃn điều kiện (5.3.11), bởi một
hàm bất kỳ khác. Do vậy, nếu hàm trọng lợng g(t) thoả mÃn điều
kiện (5.3.11), thì 2 thực sự đạt cực tiểu.
Nh vậy, bài toán tìm hàm trọng lợng g(t) đảm bảo 2 cực tiểu
tơng đơng với bài toán tìm hàm trọng lợng g(t) là nghiệm của
phơng trình tích phân (5.3.11). Phơng trình tích phân này đợc gọi
là phơng trình WinerHopf, các tác giả lần đầu tiên khảo sát phơng

trình dạng này.
Hàm trọng lợng g(t) , nghiệm của phơng trình WinerHopf,
đợc gọi là hàm trọng lợng tối u, còn công thức (5.3.1), khi thay
hàm trọng lợng tối u g(t) vào, đợc gọi là công thức ngoại suy tối
u có làm trơn.
Khi T=0 ta nhận đợc công thức làm trơn tối u. Ta sẽ xác định
sai số bình phơng trung bình 2 cđa phÐp ngo¹i suy tèi −u.
ViÕt (5.3.3) d−íi d¹ng
∞
∞

σ 2 = Rx ( 0 ) − 2 ∫  Rxz ( T + τ ) − ∫ g ( τ )Rz ( t − τ )dτ ×

0
0

∞∞

× g ( t )dt − ∫ ∫ g ( τ1 ) g ( τ 2 )Rz ( τ 2 − τ1 )dτ1dτ 2

(5.3.15)

00

§èi với hàm trọng lợng tối u, do (5.3.11), hạng thứ hai triệt
tiêu, từ đó
160


∞∞


σ 2 = Rx ( 0 ) − ∫ ∫ g ( τ1 )g ( τ 2 )R( τ 2 2 )d1d 2 .

(5.3.16)

00

Ta biến đổi tích phân hai líp trong (5.3.16), mn vËy ta ký hiƯu
mËt ®é phổ của quá trình ngẫu nhiên Z(t) là Sz(), khi đó hàm tơng
quan Rz(21) có thể viết dới dạng


e

Rz ( τ 2 − τ1 ) =

iω( τ 2 − τ1 )

S z ( ω )dω

(5.3.17)

−∞

Khi ®ã
∞∞

∫ ∫ g( τ1 )g( τ2 )Rz ( τ2 − τ1 )dτ1dτ2 =
00


∞∞

∞

00

−∞

= ∫ ∫ g( τ1 )g( τ 2 ) ∫ eiω( τ 2 − τ1 ) S z ( ω )dω dτ1 dτ2 =
∞ − iωτ
 ∞ iωτ 2

1
= ∫ ∫ e
g( τ1 )dτ1   ∫ e
g( τ 2 )dτ 2 S z ( ω )dω.
  0

−∞ 
0
∞

(5.3.18)

Theo (4.2.22), tÝch ph©n
∞

∫ g( τ )e

− iωτ


dτ = L( ω )

(5.3.19)

0

lµ hµm trun tơng ứng với hàm trọng lợng g(t) , ta sẽ gọi nó là
hàm truyền tối u.
Tơng tự, tích phân


g( )e

i

d = L * ( )

(5.3.20)

0

là liên hợp phức của hàm truyền tối u. Từ đó, (5.3.18) đợc viÕt d−íi
d¹ng
∞ ∞

∞

−∞ −∞


−∞

∫

∫ g( τ1 )g( τ2 )Rz ( τ2 − τ1 )dτ1dτ2 =

∫ L( ω )

2

S z ( )d. (5.3.21)

Thế (5.3.21) vào (5.3.16) ta nhận đợc công thức đối với sai số
bình phơng trung bình của phép ngo¹i suy tèi −u
161


σ 2 = Rx ( 0 ) −

∞

∫

2

L( ω ) S z ( ω )dω =

−∞

∫ [S x ( ω ) − L( ω )


∞

2

]

S z ( ω ) dω , (5.3.22)



trong đó Sx() là mật độ phổ quá trình ngẫu nhiên X(t). Theo (5.3.5)
và do tính chất tuyến tính của phép biến đổi Fourier, mật độ phổ
Sz() đợc biểu diễn qua các mật độ phổ Sx(), Sy() của các quá trình
ngẫu nhiên X(t), Y(t) và mật độ phổ quan hƯ Sxy(ω) cđa chóng d−íi
d¹ng

S z ( ω ) = S x ( ω ) + S xy ( ω ) + S yx ( ω ) + S y ( )

(5.3.23)

Tơng tự theo (5.3.4), mật độ phổ quan hệ Sxz đợc biểu diễn dới
dạng

S xz = S x ( ) + S xy ( )

(5.3.24)

Các phơng pháp giải phơng trình WinerHopf (5.3.11) đợc
trình bày trong các mục 5.4, 5.5 và 5.6.

Đơn giản nhất, phơng trình này đợc giải cho trờng hợp thể
hiện của quá trình ngẫu nhiên z(t) đợc cho tại mọi giá trị t, tức là cho
trên toàn khoảng vô hạn (, +). Nghiệm phơng trình (5.3.11) đối
với trờng hợp này đợc dẫn ra trong mục 5.4.
Trờng hợp ngoại suy hay làm trơn thể hiện z(t) chỉ với các giá
trị của đối số t xảy ra trớc thời điểm t dẫn tới phơng trình (5.3.11)
chỉ đợc thoả mÃn với các giá trị không âm của đối số. Khi t<0, hàm
trọng lợng g(t) nhất thiết phải bằng 0.
Ta xét hai phơng pháp giải phơng trình (5.3.11) đối với trờng
hợp thờng gặp nhất trong thực tế, khi các hàm tơng quan Rx(),
Ry() và hàm tơng quan quan hệ Rxy() có mật độ phổ hữu tỷ.
Phơng pháp thứ nhất dựa trên cơ sở sử dụng lý thuyết hàm biến
phức đợc trình bày ở mục 5.5. Phơng pháp giải thứ hai (xem 5.6)
dựa trên cơ sở biểu diễn hàm tơng quan có phổ hữu tỷ dới dạng
tổng các số mũ.
Trong trờng hợp tổng quát, khi mật độ phổ không phải là các
hàm hữu tỷ của tần số , lời giải sẽ rất phức tạp và ta sẽ không xem
xét ở đây.
Trên thực tế, ngời ta xấp xỉ hàm tơng quan nhận đợc theo các
số liệu thực nghiệm bằng các biểu thức giải tích. Khi đó, nếu sử dụng
chúng vào mục đích ngoại suy tối u hay làm trơn thì nên chọn biểu
thức xấp xỉ hàm có phổ hữu tỷ hoặc hàm tơng quan đợc xấp xỉ gần
162


đúng với hàm có phổ hữu tỷ, chẳng hạn, biểu diễn chúng dới dạng
tổng các số mũ.

5.4. Làm trơn quá trình ngẫu nhiên cho trên
khoảng vô hạn (,+)

Khi làm trơn quá trình ngẫu nhiên mà thể hiện của nó đợc cho
trên khoảng (,+), thì giá trị làm trơn đợc tìm d−íi d¹ng

x(t ) =

+∞

∫ g( τ )z( t − τ )d .

(5.4.1)



Trong trờng hợp này, tích phân ở biểu thức dới dấu tích phân
trong (5.3.10) đợc lấy trên toàn khoảng (,+), và do đó, phơng
trình (5.3.11) cần thoả mÃn với mọi giá trị của đối số t. Khi đó T=0 và
phơng trình (5.3.11) đợc viết dới dạng
+

g( )Rz ( t − τ )dτ = Rxz ( t )

(5.4.2)

−∞

Ta biểu diễn Rz(t) và Rxz(t) qua mật độ phổ Sz() và mật độ phổ
quan hệ Sxz():

Rz ( t ) =


+∞

∫e

iω( t − τ )

S z ( ω )dω

(5.4.3)

−∞

Rxz ( t ) =

+∞

∫e

iωt

S xz ( ω )dω

(5.4.4)

−∞

Thay (5.4.3) vµ (5.4.4) vào (5.4.2) ta nhận đợc
+

+

+ i( t τ )

S z ( ω )dω dτ = ∫ eiωt S xz ( ω )dω
∫ g( τ ) ∫ e

−∞
−∞
−

(5.4.5)

Thay đổi thứ tự tích phân trong tích phân hai lớp, viết lại (5.4.5)
dới dạng
+

+


i
it
e
S
(

)

S
(

)

e
g
(

)
d


d = 0
xz
z







(5.4.6)

Để ý ®Õn biĨu thøc (4.2.20) ®èi víi hµm trun L(ω), ta ®−ỵc
163


+∞

iωt
∫ e [S xz ( ω ) − S z ( )L( )]d = 0

(5.4.7)




Điều đó chứng tỏ rằng, phép biến đổi Fourier hàm
S xz ( ) − S z ( ω )L( ω ) ®ång nhÊt bằng không, do đó đẳng thức sau đợc
thoả mÃn

S xz ( ω ) − S z ( ω )L( ω ) = 0

(5.4.8)

Nh vậy, hàm truyền tối u L() đợc xác định dới dạng

L( ) =

S xz ( )
Sz( )

(5.4.9)

Biểu diễn Sxz() và Sz() qua mật độ phổ của các quá trình ngẫu
nhiên X(t), Y(t) và mật ®é phỉ quan hƯ cđa chóng theo (5.3.24) vµ
(5.3.23) ta viÕt (5.4.9) d−íi d¹ng
S x ( ω ) + S xy ( ω )
(5.4.10)
L( ω ) =
S x ( ω ) + S xy ( ω ) + S yx ( ω ) + S y ( ω )
Khi biÕt hàm truyền tối u L(), theo (4.2.20) ta sẽ tìm đợc hàm
trọng lợng tối u g(t) nh là biến đổi Fourier cña L(ω) chia cho 2π


g (t ) =

+∞

1
eiωt L( )d
2

(5.4.11)

Đặt hàm trọng lợng tối u tìm đợc vào (5.4.1), ta nhận đợc
công thức làm trơn tối u.
Trên thực tế, thờng gặp những trờng hợp có thể xem sai số đo
không tơng quan với giá trị thực của đại lợng đợc đo. Trong
trờng hợp này Rxy() = Ryx() 0, do đó Sxy() = Syx() 0, và các công
thức (5.3.23), (5.3.24) đợc viết dới dạng

Sxy() = Sx()

(5.4.12)

Sz() = Sx() + Sy()

(5.4.13)

Khi đó, công thức (5.4.10) để xác định hàm truyền đợc viết nh
sau

L( ) =


Sx( )
Sx( ω ) + S y( ω )

(5.4.14)

Trong tr−êng hỵp này, khi thay (5.4.13) và (5.4.14) vào (5.3.22),
ta nhận đợc sai số bình phơng trung bình của phép làm trơn tèi −u
164


σ2 =

+∞

∫

−∞

S x ( ω )S y ( ω )
Sx( ω ) + S y( ω )

dω

(5.4.15)

Tõ ®ã thÊy r»ng, chỉ có thể tách hoàn toàn hàm ngẫu nhiên X(t)
ra khái sai sè ®o Y(t) khi Sx(ω)Sy(ω) = 0, tøc là khi phổ của chúng
không bị phủ lên nhau.

5.5. Ngoại suy và làm trơn hàm ngẫu nhiên cho

trên khoảng (,t) nhờ sử dụng phơng pháp
của lý thuyết hàm biến phức
Ta biểu diễn hàm tơng quan Rxz(t+) và Rz(t) qua các mật độ
phổ tơng ứng khi đa vào phơng trình (5.3.11)

Rxz ( t + τ ) =

+∞

∫e

iω( t + τ )

S xz ( ω )dω

(5.5.1)

iω( t − τ )

S z ( ω )dω

(5.5.2)

−∞

Rz ( t − τ ) =

+∞

∫e


−∞

Ta biĨu diƠn hàm trọng lợng g() qua hàm truyền L()

g () =

+

1
ei L( )d .
2

(5.5.3)

Đặt (5.5.1), (5.5.2), (5.5.3) vào (5.3.11) ta đợc
+
+

1 i
i( t )
e
L
(
)
d
e
S
(
)

d





d −
z
∫
2π ∫0  −∫∞
−∞


−

+∞

∫e

iω( t +T )

S xz ( ω )dω = 0, khi t ≥ 0

(5.5.4)

−∞

Khi thay ®ỉi thø tự tích phân ta viết (5.5.4) dới dạng

1 + ∞

 ∞ i ( ω − ω )τ 
iω1t
1 dτ dω −
e
L
(
)
S
(
)
ω
ω
 1

z
1 ∫ e
∫  2π ∫
−∞ 
−∞

 0
∞

}

− eiω( t +T ) S xz ( ω ) dω = 0, khi t ≥ 0

(5.5.5)

Theo tÝnh chÊt cđa hµm Delta (4.2.4) ta cã

165


∞

1
ei( ω− ω1 )τ dτ = δ( ω − ω1 )
2 0

(5.5.6)

Khi đó, theo tính chất của hàm Delta (4.2.7), tích phân bên trong
của (5.5.5) bằng
+

e

i1t

L( )S z ( ω1 )δ( ω − ω1 )dω1 = eiωt L( ω )S z ( ω )

(5.5.7)

−∞

Nh− vËy, (5.5.5) cã d¹ng
+∞

∫e


iωt

[L( ω )S ( ω ) − e
z

iωT

]

S xz ( ω ) dω = 0 , khi t ≥ 0

(5.5.8)

−∞

Ta sÏ xÐt vế trái của (5.5.8) nh một hàm f(t) nào đó

f (t ) =

+∞

∫e

iωt

[L( ω )S ( ω ) − e
z

iωT


]

S xz ( ) d

(5.5.9)



Hàm này là biến đổi ngợc Fourier cđa hµm :

F (ω) = L(ω)S z ( ω ) − eiωT S xz ( ω )

(5.5.10)

Do ®ã, F(ω) là biến đổi Fourier của hàm f(t). Theo (5.5.8), hàm f(t)
này đồng nhất bằng không khi t 0.
Trong lý thuyết biến đổi Fourier, định lý sau đây đà đợc chứng
minh:
Giả sử f(t) là một hàm khả tích, đồng nhất bằng không trên
khoảng (0,+) và có biến đổi Fourier

F () =

∞

1
e − iωt f ( t )dt .
2π −∫∞

Khi ®ã F() là giá trị trên trục thực của hàm giải tích biến phức

bị chặn F() trong nửa mặt phẳng phía trên, với
= + i
Nếu hàm F() là hàm giải tích biến phức bị chặn ở nửa mặt
phẳng phía trên thì biến đổi ngợc Fourier giá trị F() của nó trên
trục thực bằng không trên khoảng (0,), f(t) = 0.
Nếu thay khoảng (0,) bằng khoảng (,0) và thay nửa mặt
phẳng phía trên bằng nửa mặt phẳng phía dới ta sẽ nhận đợc một
định lý tơng tự.
166


Theo định lý này, hàm (5.5.10) là giá trị trên trục thực của hàm
giải tích F() bị chặn ở nửa mặt phẳng phía trên.
Trong đa số các bài toán ứng dụng, các quá trình ngẫu nhiên là
những quá trình có phổ hữu tỷ, tức là mật độ phổ của chúng là hàm
phân thức hữu tỷ của tần số . Hàm phân thức hữu tỷ chẵn biến thực
có thể biểu diễn dới dạng tích của hai hàm S1() và S2(), trong đó
hàm thứ nhất S1() là giá trị trên trục thực của hàm biến phức giải
tích, bị chặn không có không điểm ở nửa mặt phẳng phía trên
= + i, còn S2() là giá trị trên trục thực của hàm biến phức giải
tích, bị chặn và không có không điểm ở nửa mặt phẳng dới.
Thực vậy, giả sử

S (ω) =

P( ω )
Q( ω )

trong ®ã P( ω ) và Q( ) là các đa thức có hệ sè thùc cđa ω.
Ta khai triĨn tư thøc vµ mÉu thức thành các nhân tử tuyến tính.

Ta gộp các nhân tư cđa tư thøc vµ mÉu thøc mµ chóng sÏ bằng không
ở nửa mặt phẳng dới vào một hàm S1 () , và gộp tất cả các nhân tử
còn lại cđa tư thøc vµ mÉu thøc thµnh S 2 (ω) và do S () là hàm chẵn,

còn các hệ số của đa thức P( ) và Q( ) là thực nên các nhân tử tạo
thành S 2 () là các đại lợng liên hợp phức của các nhân tư trong

S1 (ω) , tøc lµ chóng chØ biÕn thµnh không ở nửa mặt phẳng trên.

Tơng ứng với điều đó ta biểu diễn hàm phổ dới dạng
S z () = S1 () S 2 () ,

(5.5.11)

trong đó S1 () không có không điểm và cực điểm ở nửa mặt phẳng
trên, S 2 () không có không điểm và cực điểm ở nửa mặt phẳng dới.

Đặt (5.5.11) vào (5.5.10)

F () = L(ω)S1 (ω)S 2 (ω) − eiωT S xz ( ω )

(5.5.12)

S (ω)
F( ω )
= L( ω )S 2 ( ω ) − eiωT xz
S1( ω )
S1( ω )

(5.5.13)


vµ chia cho S1 () ta đợc

F ()
giải tích và bị chặn ở nửa mặt phẳng phía trên, vì
S1 ()
trên đó hàm F() là giải tích và bị chặn, còn S1 () không có không
Hàm

điểm và cực điểm.
167


Do đó, theo phần hai của định lý, biến đổi ngợc Fourier của hàm
này bằng không trên khoảng (0,), tức lµ do (5.5.13) ta cã
∞

∞


F ( ω ) iωt
iωT S ( ω )  iωt
∫ S1( ω ) e dω = ∫  L( ω )S2 ( ω ) − e Sxz1( ω ) e dω = 0,khi t ≥ 0 (5.5.14)


Từ đó ta nhận đợc


it
L( )S2 ( ω )e dω =


−∞

∞

S xz ( ω ) iω( t +T )
e
dω,khi t ≥ 0
S
(
ω
)
1
−∞

∫

(5.5.15)

Hµm L(ω) gièng nh− hµm trun của hệ khả dĩ thực, mà ta giả
thiết nó ổn ®Þnh, cã thĨ cã nghiƯm cđa mÉu thøc chØ trong nửa mặt
phẳng trên, do đó nó không có cực điểm trong nửa mặt phẳng dới.
Nh vậy, hàm L()S 2 () giải tích, bị chặn ở nửa mặt phẳng dới,
do đó nhờ định lý đà dẫn, biến đổi ngợc Fourier của nã b»ng kh«ng

ϕ( t ) =

∞

∫ L( ω )S2 ( ω )e


iωt

dω = 0 ,khi t < 0

(5.5.16)

−∞

Khi ®ã, nÕu lấy biến đổi Fourier của hàm (t) ta nhận đợc

L()S 2 (ω) =
∞

∞

=

∞

1
ϕ( t )e − iωt dt =
2π −∫∞

1
e − iωt ∫ L( ω1 )S 2 ( ω1 )eiω1t dω1dt
2π −∫∞
−∞

(5.5.17)


Nh−ng theo c«ng thøc (5.5.15), khi t ≥ 0, tích phân bên trong của
(5.5.17) có thể thay thế bởi vÕ ph¶i cđa (5.5.15)

2πL(ω)S 2 (ω) =

∞

∫

−∞

e − iωt

∞

S xz ( ω1 ) iω1 ( t +T )
e
dω1dt
S ( ω1 )
1



(5.5.18)

Từ đó ta nhận đợc công thức đối với hµm trun tèi −u

L(ω) =


∞

∞

1
S (ω )
e − iωt ∫ xz 1 eiω1 ( t +T )dω1dt
∫
2πS 2 ( ω ) − ∞
S ( ω1 )
−∞ 1

(5.5.19)

Khi biÕt hµm trun L() , ta tìm đợc hàm trọng lợng g (t ) nh

là biến đổi ngợc Fourier của L() theo (5.4.12) chia cho 2π.
168


Tơng ứng với những điều đà trình bày, để xác định hàm truyền
tối u L() trong trờng hợp mật độ phổ hữu tỷ cần phải làm nh
sau :

1. Xác định các mật độ phổ S xz () và S z (ω) .
2. BiĨu diƠn S z (ω) d−íi d¹ng tÝch cđa hai hµm S1 (ω) vµ S 2 (ω)

( S z (ω) = S1 (ω)S 2 (ω) ), trong ®ã S1 () không có không điểm và điểm kỳ

dị trong nửa mặt phẳng trên, còn S 2 () không có không điểm và điểm

kỳ dị trong nửa mặt phẳng dới.

P( )
, phải khai triển tử
Q( )
thức và mẫu thức thành các nhân tử tuyến tính. Gộp các nhân tư cđa
tư thøc vµ mÉu thøc mµ chóng biÕn thµnh không ở nửa mặt phẳng
dới vào hàm S1 () , còn những nhân tử còn lại gộp vào S 2 (ω) .
Mn vËy, trong mËt ®é phỉ S z (ω) =

3. Xác định hàm truyền theo công thức (5.5.19). Khi tính theo
công thức (5.5.19), để thuận tiện ta sử dụng các công thức:
Nếu b > 0 thì

in

t n 1ei( a + ib )t khi t > 0,
1
eiωt dω

=
(
n
1
)!
−

2π −∫∞ [ω − ( a + ib )]n 
khi t < 0
0


(5.5.20)

NÕu b < 0 th×

 in
∞
t n −1ei( a + ib )t khi t < 0 ,
1
eiωt dω

=
(
n
1
)!
−

2π −∫∞ [ω − ( a + ib )]n 
khi t > 0
0

(5.5.21)

A.M. Iaglom [28] đà chứng minh đợc rằng trong nhiều trờng
hợp có thể tìm hàm truyền tối u L() không cần tiến hành tính theo
công thức (5.5.19) mà sử dụng tính chất dừng của hàm đa vào đẳng
thức (5.5.10).
Trên đây ta đà xác định rằng :


1. Hàm F () là hàm giải tích, bị chặn trong nửa mặt phẳng trên,
2. Hàm L() không có không điểm và cực điểm ở nửa mặt phẳng
dới,
169


3. Nh đà thấy từ công thức (5.3.22), tích phân không kỳ dị sau
phải hội tụ


L( )

2

S z ( ω )dω

(5.5.22)

−∞

Nh− ta sÏ chØ ra trong c¸c vÝ dụ, khi sử dụng điều kiện thứ ba
này có thể tìm đợc hàm truyền tối u.
Các ví dụ
1. Ta xét trờng hợp ngoại suy thuần tuý khi trên khoảng (,t)
có một thể hiện của quá trình ngẫu nhiên X(t) mà hàm tơng quan có
dạng

Rx ( ) = De




(5.5.23)

Trong trờng hợp này không có sai số đo và theo (5.3.4)

Rz (τ) = Rxz (τ) = Rx (τ) .

MËt ®é phỉ S x () tơng ứng với hàm tơng quan (5.5.23), nh−
®· chØ ra trong mơc 3.2, vÝ dơ 1, cã dạng
D
Sx( ) =
( 2 + 2 )

(5.5.24)

Do đó,

S z (ω) = S xz (ω) = S x ( ω ) =

Dα
π( ω + α 2 )
2

(5.5.25)

C«ng thøc (5.5.10) đợc viết lại dới dạng

[

F () = L( ) − eiωT


] π( ωD+αα
2

2

)

=

Dα
L( ω ) − eiωT
π ( ω − iα )( ω + iα )

(5.5.26)

Theo ®iỊu kiƯn 1, hàm F () phải giải tích trong nửa mặt phẳng
trên. Nhng mẫu thức vế phải (5.5.26) có không điểm tại = i ở nửa
mặt phẳng trên, do đó, tử thức của vế phải cũng phải có không điểm
tại = i, không điểm này đợc rút gọn với không điểm của mẫu
thức.
Nh vậy, cần thoả mÃn điều kiện

L( i ) − ei( iα )T = 0,

(5.5.27)

L( ω ) = e − αT

(5.5.28)


Tõ ®ã

170


Từ điều kiện 1 và 2 suy ra rằng hàm L() nói chung không thể

có điểm kỳ dị hữu hạn. Thực vậy, hàm F () giải tích trong nửa mặt

phẳng trên, tức là vế phải của (5.5.26), cũng có nghĩa là hàm L()

phải giải tích ở nửa mặt phẳng trên. Còn từ điều kiện 2 suy ra rằng,
L() cũng không có điểm kỳ dị ở nửa mặt phẳng dới.
Để thực hiện điều kiện 3, cần đặt hàm L() bằng hằng số. Khi
đó, tích phân không kỳ dị (5.5.22) hội tụ




2

L( ω ) S z ( ω )dω = L( ω )

−∞

2

∞


∫ S z ( ω )dω = L( ω )

2

D

(5.5.29)

−∞

Nh− vËy, cã thĨ lÊy hµm trun tèi −u lµ

L(ω) = e T = const ,

(5.5.30)

Theo (5.4.12), hàm trọng lợng g(t) tơng ứng với hàm truyền
này đợc xác định dới d¹ng

g (t ) =

∞

∞

1
1
eiωt L( ω )dω = e − αT
eiωt dω = e − αT δ(t )
∫

2π − ∞
2π

(5.5.31)

Khi đó, theo tính chất của hàm Delta (4.2.7), công thức ngoại suy
tối u (5.3.1) đợc viết dới dạng

x(t + T ) = e

− αT

∞

∫ x( t − τ )δ( τ )dτ = e

− αT

x(t )

(5.5.32)

0

Tõ ®ã thÊy r»ng, trong trờng hợp ngoại suy thuần tuý quá trình
ngẫu nhiên có hàm tơng quan dạng (5.5.23), để dự báo tối u thể
hiện tại thời điểm t+T, chỉ cần biết giá trị của nó tại thời điểm t. Việc
biết giá trị của thể hiện ở tất cả các thời điểm trớc không thể làm
cho dự báo tốt hơn. Nếu tăng giá trị của lợng ngắm đón T thì đại
lợng e T bị giảm đi và sẽ dần tới không khi T.

Nh vậy, khi T, giá trị đoán trớc tối u x(t + T) sÏ tiÕn tíi kú
väng to¸n häc cđa qu¸ trình ngẫu nhiên và bằng không.
Theo (5.3.22), sai số bình phơng trung bình của dự báo 2 đợc
xác định dới d¹ng
2

σ = D−e

− 2 αT

∞

∫ S x ( ω )dω = D( 1 − e

− 2 αT

)

(5.5.33)

−∞

Tõ ®ã thÊy r»ng sai số dự báo tăng lên khi tăng lợng ngắm ®ãn T.
171