TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG
KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN

HOÀNG THỊ THANH LÝ

ỨNG DỤNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
TRONG MƠ HÌNH QUẦN THỂ SINH VẬT

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Ngành: Sư phạm Toán học

Phú Thọ, 2019


TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG
KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN

HOÀNG THỊ THANH LÝ

ỨNG DỤNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
TRONG MƠ HÌNH QUẦN THỂ SINH VẬT

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Ngành: Sư phạm Toán học

NGƯỜI HƯỚNG DẪN: ThS. Nguyễn Xuân Tú

Phú Thọ, 2019


i

Lời cảm ơn
Trong suốt thời gian thực hiện khóa luận tốt nghiệp, ngoài sự cố gắng và
nỗ lực của bản thân, em cịn nhận được sự giúp đỡ tận tình của các thầy giáo,
cô giáo trong khoa Khoa học tự nhiên trường Đại học Hùng Vương.
Qua đây, em xin gửi lời cảm ơn chân thành, sự biết ơn sâu sắc tới các thầy
giáo, cô giáo trong khoa Khoa học tự nhiên, trường Đại học Hùng Vương, đặc
biệt là thầy giáo ThS. Nguyễn Xuân Tú. Thầy đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo
em trong q trình thực hiện khóa luận, đồng thời giúp em lĩnh hội được
những kiến thức chuyên môn và rèn luyện cho em tác phong khi thực hiện
công việc.
Mặc dù em đã rất cố gắng, nhưng do khóa luận được thực hiện trong một
thời gian ngắn và kiến thức có hạn nên khơng thể tránh khỏi những thiếu sót.
Vì thế em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp q báu của các thầy
cơ và các bạn sinh viên để khóa luận được hồn thiện hơn.
Cuối cùng em xin chúc các thầy giáo, cô giáo sức khỏe, hạnh phúc và
thành đạt, chúc các thầy cơ có nhiều các cơng trình nghiên cứu khoa học đóng
góp cho sự nghiệp phát triển của trường. Chúc trường Đại học Hùng Vương
ngày càng thu hút được học sinh trong các kì thi tuyển sinh Đại học.
Em xin chân thành cảm ơn !
Việt Trì, ngày 10 tháng 04 năm 2019
Người viết khóa luận
Sinh viên
Hoàng Thị Thanh Lý


ii

Mục lục
Trang

MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1
Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ............................................................... 4
1.1. Phương trình vi phân thường cấp một ....................................................... 4
1.1.1. Bài toán Cauchy ................................................................................... 4
1.1.3. Cách giải .............................................................................................. 6
1.2. Phương trình vi phân thường cấp cao ........................................................ 7
1.2.1. Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai .............................................. 7
1.2.2. Phương trình vi phân thường cấp n.................................................... 17
1.2.3. Nghiệm của phương trình vi phân thường cấp n ............................... 17
1.3. Hệ phương trình vi phân thường cấp một ................................................ 18
1.3.1. Bài tốn Cauchy với hệ phương trình vi phân ................................... 19
1.3.2. Phương pháp Euler giải hệ phương trình tuyến tính với hệ số hằng . 19
1.4. Trạng thái dừng của hệ phương trình vi phân thường ............................. 22
1.5. Một số kiến thức về quần thể ................................................................... 24
1.5.1. Một số đặc trưng của quần thể ........................................................... 24
1.5.2. Phân bố các cá thể trong không gian nơi ở và các quan hệ của những
cá thể cùng loài ............................................................................................ 28
1.5.3. Tăng trưởng của quần thể và các đặc trưng dân số của quần thể ...... 30
1.5.4. Tính biến động của quần thể sinh vật ................................................ 33
1.5.5. Lý thuyết về sự điều chỉnh kích thước quần thể ................................ 34
Chương 2: ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG MƠ
HÌNH QUẦN THỂ SINH VẬT ...................................................................... 38
2.1. Mơ hình Lotka – Volterra cổ điển............................................................ 38
2.2. Ứng dụng của phương trình vi phân trong mơ hình thực tiễn ................. 41
2.3. Phân tích mơ hình Thú – Mồi trong một chu kì tuần hồn ...................... 49
2.4. Phân tích tính ổn định trong mơ hình của rệp ăn thịt (rệp Aphidicus
zbeckistanicus) ................................................................................................ 59
KẾT LUẬN ..................................................................................................... 65



iii

TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 66


1

MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết của đề tài
Trong việc nghiên cứu các vấn đề của toán học, lĩnh vực phương trình vi
phân khơng cịn là vấn đề mới mẻ, và đã được rất nhiều nhà toán học trên thế
giới quan tâm nghiên cứu và phát triển. Nhờ đó, lý thuyết phương trình vi
phân trở nên hết sức sâu rộng và là cơng cụ để giải quyết nhiều bài tốn trong
thực tế đặt ra.
Người ta thấy rằng hầu hết các quy luật của khoa học tự nhiên, của
ngành kinh tế, vật lí, hóa học, sinh học,... đều được phát triển dưới dạng các
phương trình vi phân. Nhờ các lý thuyết tốn học người ta có thể mơ tả các sự
vận động biến đổi trong xã hội, trong kinh tế, trong môi trường sinh thái,....
qua đó có thể chỉ ra, dự đốn được đặc tính của chúng, chẳng hạn như tính ổn
định, tuần hoàn, phát triển, hay sự hỗn loạn,....
Trong sinh thái học, sự sinh trưởng và suy thoái của quần thể trong tự
nhiên và sự đấu tranh của loài này để chiếm ưu thế so với loài khác đã là chủ
đề được quan tâm từ lâu. Việc dùng khái niệm toán học để giải thích các hiện
tượng này được ghi chép lại từ hàng thế kỉ trước. Trong số những người sáng
lập nên các mơ hình tốn quần thể phải kể đến Malthus (1798), Pearl và Reed
(1908), Verhulst (1838), sau đó là Lotka – Volterra với các tác phẩm được
xuất bản vào khoảng năm 1925. Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về ứng
dụng của phương trình vi phân thường vào các mơ hình tốn trong sinh học,
nhờ sự định hướng của ThS. Nguyễn Xuân Tú tôi chọn nghiên cứu đề tài:
“Ứng dụng phương trình vi phân trong mơ hình quần thể sinh vật” làm

khóa luận tốt nghiệp của mình.
2. Mục tiêu khóa luận
- Trình bày một số kiến thức về phương trình vi phân thường.
- Giới thiệu và trình bày cách thiết lập mơ hình tốn học các quần thể
tương tác trong sinh thái học.


2

- Nghiên cứu sự ổn định, không ổn định của các mơ hình quần thể thơng
qua các mơ hình cụ thể.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tìm hiểu về ứng dụng của lý thuyết phương trình vi phân thường vào
sinh thái học.
- Tìm hiểu về tính ổn định, khơng ổn định của các mơ hình tốn học
trong sinh thái học.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức cơ sở cần thiết, các kết quả về
phương trình vi phân thường, các mơ hình tốn học trong sinh thái học.
- Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, các bài báo trong nước và nước
ngoài liên quan đến phương trình vi phân thường, ứng dụng tốn học vào sinh
thái học.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu các giáo trình, tài liệu và các bài báo liên quan đến
phương trình vi phân thường, ứng dụng tốn học vào sinh thái học.
- Tổng hợp, phân tích, hệ thống các khái niệm, tính chất.
- Tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn.
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Hệ thống một số kiến thức về phương trình vi phân thường, giới thiệu
và trình bày cách thiết lập mơ hình toán học, các quần thể tương tác trong sinh

thái học và nghiên cứu sự ổn định, không ổn định của các mơ hình quần thể
đó thơng qua các mơ hình cụ thể. Từ đó nghiên cứu ứng dụng của phương
trình vi phân trong mơ hình quần thể sinh vật.
7. Bố cục của khóa luận
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
1.1. Phương trình vi phân thường cấp một
1.2. Phương trình vi phân thường cấp cao
1.3. Hệ phương trình vi phân thường cấp một
1.4. Trạng thái dừng của hệ phương trình vi phân thường


3

1.5. Một số kiến thức về quần thể
Chương 2. Ứng dụng phương trình vi phân trong mơ hình quần thể sinh
vật
2.1. Mơ hình Lotka – Volterra cổ điển
2.2. Ứng dụng của phương trình vi phân trong mơ hình thực tiễn
2.3. Phân tích mơ hình Thú – Mồi trong một chu kì tuần hồn
2.4. Phân tích tính ổn định trong mơ hình của rệp ăn thịt (rệp Aphidicus
zbeckistanicus)


4

Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Phương trình vi phân thường cấp một
Định nghĩa 1.1: Phương trình vi phân cấp một có dạng tổng quát:
F ( x, y, y ')  0


trong đó hàm F xác định trong miền D 

(1.1.1)
3

.

Nếu trong miền D, từ phương trình (1.1.1) ta có thể giải được y ' :
y '  f ( x, y)

(1.1.2)

thì ta được phương trình vi phân cấp một đã giải ra đạo hàm.
Hàm y   ( x) xác định và khả vi trên khoảng I  (a, b) được gọi là
nghiệm của phương trình (1.1.1) nếu:
a, ( x, ( x), '( x))  D với mọi x   a, b 
b, F ( x, ( x), '( x))  0 trên I.
Ví dụ 1.1: Phương trình

dy
 2y
dx
có nghiệm là hàm y  c.e 2 x xác định trên khoảng (; ) (c là hằng số)
Chú ý: Nhiều khi người ta viết phương trình đã giải ra đạo hàm dưới dạng
đối xứng sau:
M ( x, y)dx  N ( x, y )dy  0

(1.1.3)

Chúng ta dễ dàng thấy sự tương đương giữa cách viết (1.1.2) và (1.1.3).

1.1.1. Bài tốn Cauchy
Qua ví dụ 1.1 ta thấy rằng nghiệm của phương trình vi phân cấp một là
vơ số. Tập hợp nghiệm của phương trình vi phân cấp một phụ thuộc vào một
hằng số tùy ý c . Trong thực tế người ta thường quan tâm đến nghiệm của
phương trình vi phân cấp một thỏa mãn những điều kiện nào đó. Chẳng hạn
tìm nghiệm y ( x) của phương trình (1.1.1) hoặc (1.1.2) thỏa mãn điều kiện:
y ( x0 )  y0

(1.1.4)


5

trong đó x0 , y0 là các số cho trước.
Điều kiện (1.1.4) được gọi là điều kiện ban đầu. Bài tốn tìm nghiệm của
phương trình (1.1.1) hoặc (1.1.2) thỏa mãn điều kiện ban đầu (1.1.4) được gọi
là bài toán Cauchy.
- Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy
Xét phương trình:
y '  f ( x, y)

(1.1.5)

a) Điều kiện Lipschitz
Định nghĩa 1.2: Cho hàm f ( x, y) xác định trên miền D 

2

. Ta nói f thỏa


mãn điều kiện Lipschitz theo biến y trên D nếu tồn tại hằng số dương L (gọi
là hằng số Lipschitz) sao cho:
| f ( x, y1 )  f(x, y 2 ) | L | y1  y2 |

với mọi ( x, y1 ),(x, y 2 )  D.
b) Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm
Giả sử hàm f thỏa mãn các điều kiện sau đây:
a) f liên tục trong miền D;
b) f thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo
D  {( x, y) 

2

y

trên hình chữ nhật

:| x  x0 | a,| y  y0 | b}.

Khi đó ứng với mỗi điểm trong ( x0 , y0 )  D tồn tại duy nhất một nghiệm
y  y ( x) của phương trình (1.1.5) thỏa mãn điều kiện ban đầu y ( x0 )  y0 .

Nghiệm này xác định trên đoạn [x0  h, x0  h] , trong đó h  min(a,
M  max | f ( x, y) | .
( x , y )D

1.1.2. Nghiệm của phương trình vi phân cấp một
Xét phương trình:
F ( x, y, y ')  0


(1.1.6)

b
) và
M


6

a) Nghiệm tổng quát
Giả sử D 

2

sao cho vế phải của phương trình (1.1.6) xác định và liên

tục trên D . Hàm số: y  y ( x, C ) phụ thuộc liên tục vào hằng số C được gọi
là nghiệm tổng quát của phương trình (1.1.6) trong miền D nếu:
i) Với mỗi điều kiện ban đầu ( x0 , y0 )  D ta luôn giải được C dưới dạng

C   ( x0 , y0 ) (*) trong đó  là hàm liên tục.
ii) Hàm y  y ( x, C ) thỏa mãn phương trình (1.1.6) với mỗi giá trị C cho
bởi (*) khi ( x0 , y0 ) chạy khắp trên D . Khi đó hệ thức C   ( x, y ) được gọi là
tích phân tổng qt của phương trình (1.1.6).
b) Nghiệm riêng, nghiệm kì dị
- Nghiệm của phương trình (1.1.6) mà tại mỗi điểm ( x0 , y0 ) của nó tính chất
duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy được thỏa mãn được gọi là nghiệm
riêng.
- Ngược lại, nghiệm của phương trình (1.1.6) mà tại mỗi điểm của nó tính
chất duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy bị vi phạm được gọi là nghiệm kì

dị.
1.1.3. Cách giải
Ta sẽ dùng phương pháp tách biến
- Đưa phương trình vi phân cấp một về dạng:

A( x)dx  B( y)dy  0

(1.1.7)

trong đó A( x) và B( y) là các hàm lần lượt chỉ phụ thuộc vào x và y .
- Tích phân hai vế phương trình (1.1.7) ta được tích phân tổng qt của
(1.1.7):
 A( x)dx   B( y )dy  C.

Ví dụ 1.2: Giải phương trình:
2x
2y
dx 
dy  0.
2
1 x
1  y2


7

Ta có tích phân tổng qt:
2x
2y
dx



dy  C
2
1 x
1  y2

Hay
ln(1  x 2 )  ln(1  y 2 )  C ,

C 0

Do đó
(1  x 2 )(1  y 2 )  C ';

C '  eC

Là tích phân tổng qt của phương trình.
1.2. Phương trình vi phân thường cấp cao
1.2.1. Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai
Một phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có dạng:

P( x) y ''( x)  Q(x) y'(x)  R( x) y( x)  G( x)

(1.2.1)

trong đó P, Q, R và G là các hàm liên tục.
Trong phần này chúng ta nghiên cứu trường hợp G( x)  0 với mọi x
trong phương trình (1.2.1). Những phương trình như vậy là phương trình
tuyến tính thuần nhất. Do đó dạng của một phương trình vi phân tuyến tính

thuần nhất cấp hai là:

P( x) y ''( x)  Q( x) y '( x)  R( x) y( x)  0

(1.2.2)

Nếu G( x)  0 với mọi x , phương trình (1.2.1) được gọi là khơng thuần
nhất được trình bày trong phần 1.2.1.3.
1.2.1.1. Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất
Hai định lí cơ bản cho phép chúng ta giải phương trình tuyến tính thuần
nhất. Định lí thứ nhất nói rằng tổ hợp tuyến tính của hai nghiệm cũng là
nghiệm.
Định lí 1.1: Nếu y1 ( x ) và y2 ( x) là hai nghiệm của phương trình thuần nhất
(1.2.2) và c1 và c2 là những hằng số thì y  c1. y1 ( x)  c2 . y2 ( x) cũng là
nghiệm của phương trình (1.2.2).


8

Định lí thứ hai nói rằng nếu y1 và y2 là hai nghiệm độc lập tuyến tính,
tức

y1 ( x)
 const thì tổ hợp tuyến tính của chúng sẽ là nghiệm tổng qt của
y2 ( x )

phương trình thuần nhất.
Định lí 1.2: Nếu y1 và y2 là hai nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình
(1.2.2),


và

P( x)  0 ,

thì

nghiệm

tổng

qt

được

cho

bởi

y ( x)  C1 y1 ( x)  C2 y2 ( x) , với C1 và C 2 là những hằng số tùy ý.

Trong trường hợp tổng qt, khơng dễ tìm được nghiệm riêng của
phương trình tuyến tính cấp hai, nhưng điều đó hồn tồn có thể nếu các hàm

P, Q và R là các hằng số, tức là phương trình thuần nhất có dạng:
ay '' by ' cy  0

(1.2.3)

Trong đó a, b và c là hằng số.
Chúng ta biết rằng hàm mũ y  erx (với r là hằng số) có tính chất là đạo

hàm của nó là một hằng số nhân với nó: y '  r.erx . Hơn nữa, y ''  r 2 .erx . Nếu
chúng ta thay các biểu thức đó vào phương trình (1.2.3), ta thấy y là nghiệm
nếu:

ar 2erx  brerx  cerx  0

hoặc (ar 2  br  c)erx  0.

Nhưng erx  0 , nên y  erx là nghiệm của phương trình (1.2.3) nếu r là
nghiệm của:
ar 2  br  c  0.

(1.2.4)

Phương trình (1.2.4) được gọi là phương trình đặc trưng (characteristic)
của phương trình vi phân ay '' by ' cy  0. Chú ý rằng phương trình đại số
nhận được từ phương trình vi phân bằng cách thay y '', y ' và y lần lượt bởi

r 2 , r và 1 tương ứng.
Đôi khi các nghiệm r1 và r2 của phương trình đặc trưng có thể tìm được
bằng sự phân tích ra thừa số. Trong những trường hợp khác chúng được xác
định bởi công thức:


9

b  b 2  4ac
r1 
2a


b  b2  4ac
và r2 
2a

(1.2.5)

Chúng ta phân biệt các trường hợp dựa vào dấu của biệt thức b 2  4ac .
Trường hợp 1: b 2  4ac  0
Trong trường hợp này, các nghiệm r1 và r2 của phương trình đặc trưng
là phân biệt, nên y1  er1 x và y2  er2 x là hai nghiệm độc lập tuyến tính của
phương trình (1.2.3).
Do đó nếu phương trình đặc trưng có hai nghiệm thực phân biệt r1  r2
thì nghiệm tổng quát của phương trình ay '' by ' cy  0 là:
y  C1er1 x  C2er2 x .

(1.2.6)

Ví dụ 1.3: Giải phương trình: 3 y '' y ' y  0.
Lời giải:
Giải phương trình đặc trưng chúng ta nhận được:
r

1  13
6

Vậy hai nghiệm cơ bản của phương trình vi phân là:
y1  e

1 13
x

6

và y2  e

1 13
x
6

.

Nghiệm tổng quát là:
y  C1 y1  C2 y2  C1e

1 13
x
6

 C2e

1 13
x
6

.

Trường hợp 2: b 2  4ac  0
Trong trường hợp này, ta có r1  r2  r , tức là phương trình đặc trưng có
nghiệm kép. Từ phương trình (1.2.5) ta có:
r


b
nên 2ar  b  0
2a

(1.2.7)

Chúng ta biết rằng: y1  er x là một nghiệm của phương trình (1.2.3), bây
giờ chúng ta kiểm tra lại rằng y2  xer x cũng là nghiệm:


10

ay2 ''  by2 '  cy2  a (2re rx  r 2 xe rx )  b(e rx  rxe rx )  cxe rx
 (2ar  b)e rx  (ar 2  br  c) xe rx  0.e rx  0.xe rx  0,

Biểu thức trong dấu ngoặc đơn đầu tiên bằng 0 là theo phương trình
(1.2.7), cịn biểu thức thứ hai bằng khơng là do r là nghiệm của phương trình
đặc trưng.
Vì các nghiệm y1  er x và y2  xer x là độc lập tuyến tính nên theo định lí
1.2 ta nhận được nghiệm tổng quát:
Nếu phương trình đặc trưng ar 2  br  c  0 có nghiệm kép r thì
nghiệm tổng quát của phương trình ay '' by ' cy  0 là:
y  C1erx  C2 xerx  (C1  C2 x)erx .

(1.2.8)

Trường hợp 3: b 2  4ac  0
Trong trường hợp này, phương trình đặc trưng có hai nghiệm phức liên
hợp:


r1    i và r2    i

(b2  4ac)
b
.
trong đó,  và  là các số thực. Cụ thể,    ,  
2a
2a
Khi đó, sử dụng phương trình Euler ei  cos  i sin  , ta biểu diễn hai
nghiệm cơ bản dưới dạng:
y1  e( i ) x  e x (cos  x  i sin  x)
y2  e( i ) x  e x (cos  x  i sin  x)

Từ đây ta nhận được hai nghiệm cơ bản thuần thực là:
1
y1  ( y1  y 2 )  e x cos  x
2
1
y2  ( y1  y 2 )  e x sin  x,
2i

Nếu phương trình đặc trưng ar 2  br  c  0 có nghiệm phức r1    i ,

r2    i thì nghiệm tổng quát của phương trình ay '' by ' cy  0 là:
y  e x (C1 cos  x  C2 sin  x).

(1.2.9)


11


Ví dụ 1.4: Giải phương trình y '' 6 y' 13y  0.
Lời giải:
Ta có phương trình đặc trưng: r 2  6r  13  0 có nghiệm phức: r1,2  3  2i.
Theo cơng thức (1.2.9) thì ta có nghiệm tổng qt của phương trình đã
cho là:
y  e3 x (C1 cos 2 x  C2 sin 2 x).

1.2.1.2. Bài toán giá trị đầu và bài toán biên
+ Bài tốn giá trị đầu của phương trình vi phân cấp hai là tìm nghiệm y
của phương trình sao cho thỏa mãn giá trị đầu y ( x0 )  y0 , y '( x0 )  y1 trong đó

y0 và y1 là các hằng số cho trước.
Người ta chứng minh được rằng, nếu trên một khoảng nào đó, P, Q, R và

G là hàm liên tục và P( x)  0 thì nghiệm của bài tốn giá trị ban đầu là tồn
tại và duy nhất.
Ví dụ 1.5: Giải bài toán giá trị đầu: y '' y ' 6 y  0, với y(0)  1, y '(0)  0.
Lời giải:
Từ ví dụ 1.3 chúng ta biết rằng nghiệm tổng quát của phương trình là:
y( x)  C1e2 x  C2e3 x

Đạo hàm nghiệm này ta nhận được: y '( x)  2C1e2 x  3C2e3 x .
Để thỏa mãn các điều kiện đầu thì:

y(0)  C1  C2  1

(1.2.10)

y '(0)  2C1  3C2  0


(1.2.11)

3
2
Từ (1.2.10) và (1.2.11) ta có C1  , C2  .
5
5
3
2
Vậy nghiệm cần tìm của bài tốn giá trị đầu là: y  e2 x  e3 x .
5
5

Bài toán biên của phương trình vi phân cấp hai là tìm nghiệm y của
phương trình vi phân sao cho thỏa mãn các điều kiện biên:

y ( x0 )  y0 , y ( x1 )  y1.


12

Ngược lại với bài toán giá trị đầu, bài toán biên khơng phải ln ln có
nghiệm. Phương pháp giải được minh họa trong ví dụ sau:
Ví dụ 1.6: Giải bài toán biên: y '' 2 y ' y  0,

y(0)  1, y(1)  3.

Lời giải:
Ta có phương trình đặc trưng: r 2  2r  1  0 hay (r  1)2  0 , phương

trình đặc trưng có nghiệm kép r  1.
Do đó nghiệm tổng quát là: y ( x)  C1e x  C2 xe  x .
Để thỏa mãn các giá trị biên thì:
y (0)  C1  1 và y(1)  C1e1  C2e1  3

Giải ra ta được: C1  1, C2  3e  1.
Vậy nghiệm của bài toán biên là: y  e x  (3e  1) xe x .
1.2.1.3. Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai khơng thuần nhất
Ở phần 1.2.1.1 chúng ta đã biết cách giải phương trình vi phân tuyến tính
cấp hai thuần nhất dạng: ay '' by ' cy  0 . Trong mục này chúng ta sẽ đi tìm
hiểu cách giải phương trình vi phân tuyến tính cấp hai dạng khơng thuần nhất,
tức là phương trình dạng:

ay '' by ' cy  G( x)

(1.2.12)

trong đó a, b và c là các hằng số, G( x) là hàm liên tục.
Phương trình thuần nhất tương ứng:

ay '' by ' cy  0

(1.2.13)

được gọi là phương trình bổ trợ và đóng vai trị quan trọng đối với việc giải
phương trình khơng thuần nhất gốc (1.2.12).
Định lí 1.3: Nghiệm tổng qt của phương trình vi phân tuyến tính cấp hai
khơng thuần nhất (1.2.12) có thể viết dưới dạng:
y( x)  y p ( x)  yc ( x)



13

trong đó: y p là nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất (1.2.12) và
yc là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng (1.2.13).

Từ mục 1.2.1.1 và 1.2.1.2 chúng ta đã biết cách tìm nghiệm tổng quát
của phương trình thuần nhất. Nên theo định lí 1.3 ta sẽ biết nghiệm tổng quát
của phương trình vi phân tuyến tính cấp hai khơng thuần nhất nếu ta biết được
một nghiệm riêng y p của nó. Có hai phương pháp để tìm nghiệm riêng đó là:
phương pháp hệ số bất định và phương pháp biến thiên tham số. Phương pháp
hệ số bất định đơn giản nhưng chỉ dùng cho một lớp hạn chế các hàm G  x  ,
còn phương pháp biến thiên tham số sử dụng cho mọi hàm G  x  nhưng
thường khó áp dụng trong thực tế. Dưới đây chúng ta sẽ đi tìm hiểu hai
phương pháp này.
a, Phương pháp hệ số bất định
Trước hết ta minh họa phương pháp hệ số bất định cho phương trình:

ay '' by ' cy  G( x)
trong đó G  x  là đa thức. Có cơ sở để dự đốn rằng có một nghiệm riêng y p
là đa thức cùng bậc với G  x  bởi vì y là đa thức thì ay '' by ' cy cũng là đa
thức. Vì thế chúng ta thay y p ( x) bởi một đa thức cùng bậc với G  x  vào một
phương trình vi phân xác định các hệ số của đa thức đó.
Ví dụ 1.7: Giải phương trình: y '' y ' 2 y  x 2 .
Lời giải:
Phương trình đặc trưng: r 2  r  2  (r  1)(r  2)  0 có hai nghiệm thực
r1  1 và r2  2 . Do đó ta có nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất

tương ứng là: yc  C1e x  C2e2 x .
Bởi vì G ( x)  x 2 là đa thức bậc hai nên chúng ta tìm nghiệm riêng dạng:


y p  Ax2  Bx  C.


14

Khi đó y 'p  2 Ax  B và y ''p  2 A , thay vào phương trình vi phân đã cho,
ta được:
(2 A)  (2 Ax  B)  2( Ax 2  Bx  C )  x 2 ,
2 Ax 2  (2 A  2 B) x  (2 A  B  2C )  x 2 .

Hay

Các đa thức bằng nhau khi các hệ số bằng nhau, vì vậy ta có:
2 A  1

2 A  2 B  0
2 A  B  2C  0


Nghiệm của hệ phương trình đại số này là:

1
A ,
2

1
B ,
2


C

3
4

Nghiệm riêng của phương trình khơng thuần nhất là:

1
1
3
y p ( x)   x 2  x  .
2
2
4
Và theo định lí 1.3, ta có nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là:

1
1
3
y  yc  y p  C1e x  C2e2 x  x 2  x  .
2
2
4
*) Chú ý:
+ Nếu vế phải của phương trình (1.2.12) có dạng: G ( x)  Cekx với C và
k là các hằng số, thì chúng ta thử tìm nghiệm riêng cùng dạng đó, tức

y p ( x)  Aekx , bởi vì đạo hàm của e kx bằng hằng số nhân với e kx .
+ Nếu G( x) có dạng của các hàm C cos kx hoặc C sin kx thì chúng ta tìm
nghiệm riêng dạng: y p ( x)  A cos kx  B sin kx .

+ Chúng ta chú ý rằng, đôi khi nghiệm thử đề xuất lại là nghiệm của
phương trình thuần nhất và do đó khơng thể là nghiệm của phương trình
khơng thuần nhất, trong trường hợp như vậy chúng ta nhân nghiệm đề xuất
với x (hoặc x 2 nếu cần).


15

b, Phương pháp biến thiên tham số
Giả sử chúng ta đã giải được phương trình thuần nhất ay '' by ' cy  0
và viết nghiệm tổng quát của nó là:
yc ( x)  C1 y1 ( x)  C2 y2 ( x)

(1.2.14)

trong đó y1 và y2 là các nghiệm độc lập tuyến tính. Chúng ta thay các hàm số
(hay tham số) C1 và C 2 trong phương trình (1.2.14) bởi các hàm tùy ý u1 ( x)
và u2 ( x ) . Chúng ta tìm nghiệm riêng của phương trình khơng thuần nhất

ay '' by ' cy  G( x) dưới dạng:
y p ( x)  u1 ( x) y1 ( x)  u2 ( x) y2 ( x)

(1.2.15)

(phương pháp này được gọi là biến thiên tham số vì chúng ta cho các tham số
C1 và C 2 biến thiên như các hàm số). Đạo hàm phương trình (1.2.15) ta nhận

được:

y 'p ( x)  (u1' y1  u2' y2 )  (u1 y1'  u2 y2' )


(1.2.16)

Bởi vì u1 và u 2 là các hàm tùy ý nên chúng ta có thể áp đặt hai điều kiện
lên chúng. Một điều kiện là y p là nghiệm của phương trình vi phân, một điều
kiện khác được đưa ra để đơn giản việc tính tốn.
Từ dạng của biểu thức trong phương trình (1.2.16), chúng ta áp đặt điều
kiện:
u1' y1  u2' y2  0

(1.2.17)

Khi đó: y ''  u1' y1'  u2' y2'  u1 y1''  u2 y2''
Thay vào phương trình vi phân ta nhận được:
u1 (ay1''  by1'  cy1 )  u2 (ay2''  by2'  cy2 )  a(u1' y1'  u '2 y2' )  G

Nhưng y1 và y2 là các nghiệm của phương trình thuần nhất nên:
ay1''  by1'  cy1  0 và ay2''  by2'  cy2  0

Và phương trình (1.2.18) được đưa thành:
a(u1' y1'  u2' y2' )  G

(1.2.19)

(1.2.18)


16

Giải hệ hai phương trình (1.2.17) và (1.2.19) ta nhận được các hàm u1' và

u2' , sau khi tích phân ta nhận được u1 và u 2 và cuối cùng ta nhận được

nghiệm riêng theo phương trình (1.2.15).
Ví dụ 1.8: Giải phương trình: y '' y  tan x, 0  x 


2

.

Lời giải:
Phương trình đặc trưng: r 2  1  0 có các nghiệm r1,2  i vì thế nghiệm tổng
quát của phương trình thuần nhất tương ứng là:
yc ( x)  C1 sin x  C2 cos x.

Sử dụng phương pháp biến thiên tham số, ta tìm nghiệm riêng dưới
dạng:
y p ( x)  u1 ( x)sin x  u2 ( x)cos x

Khi đó

y 'p  (u1' sin x  u2' cos x)  (u1 cos x  u2 sin x)
Đặt
u1' sin x  u2' cos x  0

Thì:

(1.2.20)

y ''p ( x)  u1' cos x  u2' sin x  u1 sin x  u2 cos x


Để y p là nghiệm ta phải có

y ''p  y p  u1' cos x  u2' sin x  tan x

(1.2.21)

Nhân phương trình (1.2.20) với sin x và phương trình (1.2.21) với cos x rồi
cộng lại ta được:
u1' (sin 2 x  cos 2 x)  cos x tan x
 u1'  sin x  u1   cos x.

(chúng ta tìm một nghiệm riêng nên khơng cần thiết tới hằng số của tích phân)
Từ phương trình (1.2.20) ta nhận được:

sin x '
sin 2 x
cox 2 x  1
1
u 
u1  

 cos x 
.
cos x
cos x
cos x
cos x
'
2



17

Vì vậy, u2 ( x)  sin x  ln(
(Chú ý rằng

1
 tan x).
cos x

1

 tan x  0 với 0  x  ).
cos x
2

Do đó:
y p ( x)   cos x sin x  [sin x  ln(

1
1
 tan x)]cos x   cos x ln(
 tan x).
cos x
cos x

Nghiệm tổng quát là: y ( x)   cos x ln(

1

 tan x)  C1 sin x  C2 cos x .
cos x

1.2.2. Phương trình vi phân thường cấp n
Định nghĩa 1.3: Phương trình vi phân thường cấp n có dạng tổng quát:
F ( x, y, y ', y '',..., y( n ) )  0

(1.2.22)

trong đó F là một hàm xác định (liên tục) trên một tập mở nào đó của

n2

và nhất thiết phải có sự tham gia của đạo hàm cấp n của ẩn y ( n ) .
Nếu từ (1.2.22) ta có thể giải được y ( n ) , nghĩa là nó có dạng:
y ( n )  f ( x, y, y ',..., y ( n1) )

(1.2.23)

thì (1.2.23) được gọi là phương trình vi phân cấp n đã giải ra đối với đạo hàm
cấp cao nhất.
1.2.3. Nghiệm của phương trình vi phân thường cấp n
Giả sử hàm f xác định và liên tục trong miền biến thiên G nào đó của
các biến số x, y, y ',..., y ( n1) .
Hàm y  y ( x) được gọi là nghiệm của phương trình (1.2.23) trên khoảng

(a; b) nếu:
i) y ( x) liên tục và có đạo hàm đến cấp n liên tục trên (a; b) sao cho khi

x  (a; b) thì điểm ( x, y, y ',..., y ( n1) )  G ;

ii) Trên (a; b) với y  y ( x) thì (1.2.23) trở thành đồng nhất thức.


18

Nghiệm của phương trình (1.2.23) có thể tìm được dưới dạng ẩn

( x, y )  0 hoặc dưới dạng tham số x   (t ), y   (t ) . Đồ thị của nghiệm
được gọi là đường cong tích phân.
Tương tự ta định nghĩa nghiệm của phương trình (1.2.22):
* Bài tốn Cauchy: Tìm nghiệm của phương trình (1.2.23) thỏa mãn điều
kiện ban đầu:
y( x0 )  y0 , y '( x0 )  y '0 ,..., y ( n1) ( x0 )  y0( n1)

trong đó x0  I 

và Y0  ( y0 , y0 ',..., y0( n1) ) 

n

(1.2.24)

là các số đã cho trước và

được gọi là giá trị ban đầu.
Trong trường hợp phương trình vi phân cấp 2:

y ''  f ( x, y, y ')

(1.2.25)


Bài tốn Cauchy địi hỏi nghiệm y  y ( x) của phương trình (1.2.25) thỏa
mãn điều kiện:
y( x0 )  y0 , y '( x0 )  y0'

* Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp n
Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân thường cấp n là hàm số

y   ( x, C1 ,..., Cn ) phụ thuộc vào n hằng số tùy ý C1 , C2 ,..., Cn sao cho:
- Hàm số thỏa mãn phương trình với mọi giá trị của hằng số C1 , C2 ,..., Cn .
Với điều kiện ban đầu cho trước y x  x  y0 , y|'x  x0  y0' ,..., y|(xnx1)0  y0( n1) ta
0

có thể chọn được các hằng số C1 , C2 ,..., Cn sao cho hàm y   ( x, C1 ,..., Cn )
thỏa mãn điều kiện đó.
- Mọi hàm số có được từ nghiệm tổng quát với những giá trị xác định của
các hằng số C1 , C2 ,..., Cn gọi là nghiệm riêng của phương trình (nghiệm của
bài tốn Cauchy).
1.3. Hệ phương trình vi phân thường cấp một
Định nghĩa 1.4: Hệ phương trình vi phân thường cấp một là hệ có dạng:


19

 y1'  f1 ( x, y1 , y2 ,..., yn )
 '
 y2  f 2 ( x, y1 , y2 ,..., yn )

...
 y '  f ( x, y , y ,..., y )

n
1
2
n
 n

(1.3.1)

Trong đó x là biến độc lập, y1 , y2 ,..., yn là các hàm số phải tìm.
Giải hệ (1.3.1) là tìm các hàm số:

y1  y1 ( x),..., yn  yn ( x)
Sao cho thỏa mãn (1.3.1).
1.3.1. Bài toán Cauchy với hệ phương trình vi phân
Xét bài tốn Cauchy đối với hệ (1.3.1), tức là bài tốn: Tìm nghiệm

( y1 ( x), y2 ( x),..., yn ( x)) của hệ (1.3.1) thỏa mãn các điều kiện:
yi ( x0 )  yi0 ,

i  1,2,..., n

(1.3.2)

trong đó y10 , y20 ,..., yn0 là các số cho trước gọi là điều kiện ban đầu.
Bài tốn Cauchy khơng phải lúc nào cũng có nghiệm. Tính giải được của
bài toán Cauchy đối với hệ được khẳng định qua định lý sau:
Định lý 1.4: Giả sử các hàm f1 , f 2 ,..., f n liên tục trong miền D 

n1


nào đó

và có các đạo hàm riêng liên tục theo mọi biến y1 , y2 ,..., yn . Khi đó trong  lân cận nào đó  x :| x  x0 |   của điểm x0 tồn tại duy nhất nghiệm liên tục

( y1 ( x), y2 ( x),..., yn ( x))

của bài toán Cauchy (1.3.1) – (1.3.2) với

( x0 , y10 , y20 ,..., yn0 )  D .

1.3.2. Phương pháp Euler giải hệ phương trình tuyến tính với hệ số hằng
Ta xét hệ phương trình ba ẩn hàm sau:
 dx
 dt  a11 x  a12 y  a13 z

 dy
  a21 x  a22 y  a23 z
 dt
 dz
 dt  a31 x  a32 y  a33 z.


Ta đi tìm nghiệm riêng của hệ (1.3.3) dưới dạng:

(1.3.3)


20

 x   ekx


kx
y  e
 z   ekx .


(1.3.4)

Trong đó ta cần phải xác định các hằng số  ,  ,  và k sao cho (1.3.4) là
nghiệm của (1.3.3). Thay (1.3.4) vào (1.3.3) và chia cả hai vế cho ekx  0 ta
thu được:

k  a11  a12   a13

k   a21  a22   a23
 k  a   a   a  .
31
32
33

Hay

(a11  k )  a12   a13  0

a21  (a22  k )   a23  0
a   a   (a  k )  0.
32
33
 31


(1.3.5)

Hệ (1.3.5) là hệ tuyến tính thuần nhất, hệ này có nghiệm khác khơng khi
và chỉ khi:

a11  k

a12

a13

a21

a22  k

a23

a31

a32

a33  k

 0.

(1.3.6)

Từ (1.3.6) ta thấy rằng, đây là phương trình bậc 3 đối với k và nó được
gọi là phương trình đặc trưng của hệ (1.3.3).
Ta chỉ hạn chế xét trường hợp khi (1.3.6) có các nghiệm khác nhau


k1 , k2 , k3 .
Đối với mỗi nghiệm vừa thu được ta thay ngược trở lại vào (1.3.5) và xác
định được: 1 , 1 ,  1;  2 ,  2 ,  2 ;  3 , 3 ,  3 .
Nếu ta kí hiệu các nghiệm riêng của hệ tương ứng với các nghiệm của
phương trình đặc trưng là:
(i) Đối với k1 : x1 , y1 , z1;
(ii) Đối với k 2 : x2 , y2 , z2 ;