1






LỜI CẢM ƠN

Tôi xin chân thành bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ
Nguyễn Văn Hùng, người thầy đã chỉ ra hướng nghiên cứu, chỉ bảo tận tình,
chu đáo, động viên và giúp đỡ tôi trong quá trình thực hiện luận văn.
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu, các thầy giáo, cô
Phòng Sau Đại học, Khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, bạn bè và
người thân đã tạo điều kiện, động viên, khuyến khích, giúp đỡ tôi hoàn thành
luận văn này.


Hà Nội, tháng 9 năm 2011
Tác giả


Trần Thị Thắm

2




LỜI CAM ĐOAN


Luận văn này là kết quả của quá trình học tập, nghiên cứu của bản thân
dưới sự chỉ bảo, dìu dắt của các thầy giáo, cô giáo , đặc biệt là sự hướng dẫn
nhiệt tình và chu đáo của Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng.
Trong khi nghiên cứu, tôi đã kế thừa những thành quả nghiên cứu của
các nhà khoa học, nhà nghiên cứu với sự trân trọng và biết ơn.
Luận văn với đề tài “Ứng dụng phương trình sai phân trong xử lí tín
hiệu và lọc số” không có sự trùng lặp.



Người cam đoan


Trần Thị Thắm










3
MỤC LỤC


Trang
Lời cảm ơn 1
Lời cam đoan 2
Mục lục 3
Mở đầu

5
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

1.1. Dãy số 7
1.2. Sai phân 7
1.2.1. Định nghĩa 7
1.2.2. Tính chất 8
1.2.3. Một số ứng dụng 11
Chương 2. Phương trình sai phân tuyến tính

2.1. Phương trình sai phân tuyến tính 16
2.1.1. Định nghĩa 16
2.1.2. Nghiệm 17
2.2. Dạng tổng quát của phương trình sai phân 24
2.3. Phương trình sai phân tuyến tính với hệ số hằng số 26
2.3.1. Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 với hệ số hằng số


26
2.3.2. Phương trình sai phân tuyến tính cấp n với hệ số hằng số

31
Chương 3. Một số ứng dụng của phương trình sai phân
trong xử lý tín hiệu và lọc số

3.1. Các hệ thống tuyến tính 35
3.1.1. Định nghĩa 35
3.1.2. Khái niêm hệ thống tuyến tính 35
3.1.3. Đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính 36
3.2. Các hệ thống tuyến tính bất biến 37



4
3.3. Hệ thống tuyến tính và nhân quả

3.3.1. Định nghĩa 37
3.3.2. Đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính và nhân quả 37
3.4. Hệ thống tuyến tính ổn định 38
3.5. Phương trình sai phân với hệ số hằng và đáp ứng xung của
hệ thống
35
3.6. Các hệ thống đệ quy và không đề quy 47
3.6.1. Hệ thống rời rạc đệ quy 47
3.6.2. Hệ thống rời rạc không đệ quy 51
3.7. Biến đổi Z 56
3.7.1. Khái niệm biến đổi Z một phía và hai phía 56

3.7.2. Phương trình sai phân với hệ số hằng và biến đổi Z 59
3.7.3. Hàm truyền đạt 61
3.8. Độ ổn định 61
3.8.1. Sự ổn định của một hệ thống tuyến tính bất biến 61
3.8.2. Sự ổn định của một hệ thống tuyến tính bất biến và nhân
quả
62
3.8.2. Tiêu chuẩn Jurry 63
3.9. Phân tích hệ thống LTI trong miềm Z 65
3.9.1. Hàm truyền đạt của hệ thống LIT 65
3.9.2. Đáp ứng quá độ 72
3.9.3. Hệ thống ổn định và nhân quả 74
Kết luận
80
Tài liệu tham khảo
82






5
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Trong lĩnh vực toán học ứng dụng thường gặp rất nhiều bài toán liên
quan tới phương trình sai phân. Vì vậy việc nghiên cứu phương trình sai phân
đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết toán học và toán học ứng dụng. Nhiều
hiện tượng khoa học và kĩ thuật dẫn đến các bài toán phương trình sai phân,
giải các bài toán đó dẫn đến giải các phương trình sai phân.

Chúng ta đều biết rằng việc số hóa các thiết bị Điện tử - Viễn thông đã
và đang được thực hiện rất mạnh mẽ trên toàn thế giới cũng như ở Việt Nam.
Chính vì vậy mà xử lý thông tin và lọc số đã trở thành một ngành khoa học và
kĩ thuật. Để tiếp cận với ngành khoa học này chúng ta cần được trang bị
những kiến thức cơ bản không thể thiếu được của xử lý tín hiệu và lọc số.
Vấn đề này đã được PGS. TS. Nguyễn Quốc Trung đề cập đến trong
cuốn sách: “Xử lý tín hiệu và lọc số” nhưng trong luận văn của mình tôi muốn
đề cập và đi sâu hơn về ứng dụng của phương trình sai phân trong xử lý tín
hiệu và lọc số.
Qua luận văn này tôi hy vọng bước đầu làm quen với việc nghiên cứu
ứng dụng của toán học vào các ngành khoa học và kĩ thuật mới trong đó có
ngành xử lý tín hiệu và lọc số.
Rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô!
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu phương trình sai phân và ứng dụng của phương trình sai phân
trong xử lý tín hiệu và lọc số.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Các cách giải phương trình sai phân.
Dựa vào phương trình sai phân để xét tính đệ quy hay không đệ quy của hệ
thống, tìm đáp ứng xung và sự ổn định của hệ thống, tìm hàm truyền đạt của hệ
thống, xét tính nhân quả của hệ thống, xét sự tương quan của hai hệ thống.



6
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Cách giải các dạng phương trình sai phân và các ứng dụng của trong xử lý
tín hiệu và lọc số.
5. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lý thuyết: Thu thập tài liệu, đọc và phân tích, tổng hợp để được

một nghiên cứu tổng quan về phương trình sai phân và ứng dụng của nó trong xử lý
tín hiệu và lọc số.
6. Giả thuyết khoa học (hoặc Dự kiến đóng góp mới, nếu đề tài không
thuộc chuyên ngành Giáo dục học).






















7

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ


1.1.Dãy số
Gọi
M
là tập hợp
1
n

số tự nhiên đầu tiên:


0,1,2, ,
M n
 . Một hàm
số
x
xác định trên tập
M
được gọi là một dãy số hữu hạn và tập giá trị của
dãy số hữu hạn này là:



0 1
(0) , (1) , , ( )
n
x x x x x n x
  
Một hàm số
x
xác định trên tập

N
được gọi là dãy số vô hạn ( gọi tắt là
dãy số) và tập giá trị của dãy số gồm vô số phần tử là:



0 1
(0) , (1) , , ( ) ,
n
x x x x x n x  
Vậy ta có thể xem dãy số là một hàm số của đối số tự nhiên
n
, với kí
hiệu:
( ) ,
n
x n x n N
 


1.2. Sai phân
1.2.1. Định nghĩa
Hàm số
:
x Z R

. Ta gọi hiệu:
1
n n n
x x x


  
là sai phân cấp 1 của hàm
số


,
n
x n x n N
 

Ta gọi sai phân của sai phân cấp 1 của hàm số
n
x
là sai phân cấp 2 của
hàm
n
x
, kí hiệu





   
2
1 1
2 1 1
2 1


2x
n n n n n n
n n n n
n n n
x x x x x x
x x x x
x x
 
  
 
          
   
  

Định nghĩa theo quy nạp: Sai phân cấp
k
của hàm
n
x
là sai phân của sai
phân cấp
1
k

của hàm số đó.



8


1
1
0
( 1) . .
i
k
i
k k k
n n n n k i
k
i
x x x x
C

  

      

(1.1)
Trong đó
 
!
! !
i
k
k
i k i
C




Từ nay về sau, ta gọi tắt sai phân cấp 1 là sai phân.
1.2.2. Tính chất
Tính chất 1. Sai phân các cấp đều có thể biểu diễn qua các giá trị của hàm
số.
Chứng minh: Ta chứng minh công thức (1.1) bằng phương pháp quy nạp
toán học. Thật vậy:
Với
1
n

, ta có

0 1
1 1 1 1
n n n n n
x x x C x C x
 
    

Giả sử (1.1) đúng với
n k

, có nghĩa là:

0
( 1) . .
k
i
k i

n n k i
k
i
x x
C
 

  


Ta chứng minh (1.1) đúng với
1
n k
 
, tức là chứng minh:

1
1
1
1
0
( 1) . .
k
i
k i
n n k i
k
i
x x
C



  


  

(1.2)
Vế phải của (1.2) là:

1
1
k k k
n n n
x x x


    

=
1
0 0
( 1) ( 1)
k k
i i i i
k n k i k n k i
i i
C x C x
    
 

  
 

=
1
1 1
1 1
0 1
( 1) ( 1)
k k
i i i i
k n k i k n k i
i i
C x C x

 
     
 
  
 

=
1
1 1
1 1
0 1
( 1) ( 1)
k k
i i i i
k n k i k n k i

i i
C x C x

 
     
 
  
 

=
 
1
1
1 1
1 1 1
0 1
( 1) ( 1) 1
k k
k
i i i i
n k k n k i k n k i n
i i
x C x C x x


 
       
 
     
 





9
=
 
1
1
1 1
1
( 1) ( ) 1
k
k
i i i
n k k k n k i n
i
x C C x x


    

    


=
0 0 1 1
1 1 0 1 1 1 1 1
1
( 1) ( 1) ( 1)

k
i i k k
k n k k n k i k n k i
i
C x C x C x
 
            

    


=
1
1 1
0
( 1)
k
i i
k n k i
i
C x

   




Đây là vế phải của (1.2). Suy ra (1.2) đúng
*
k N

  .
Vậy công thức (1.1) đúng với
*
k N
  (ĐPCM) .
Hệ quả. Nếu thì 0,
n n
x c x c c c n N
        

Tính chất 2. Sai phân mọi cấp của hàm số là một toán tử tuyến tính, nghĩa
là:



ax , , , 1,2,
k k k
n n n n
by a x b y a b R k       

Chứng minh: Với
, , 1,2,
a b R k
  
ta có:

0
( ) ( 1) ( )
i
k

k
n n n k i n k i
i
ax by ax by
   

    


=
 
0 0
( 1) 1
i i
k k
i
k n k i n k i
i i
C ax by
   
 
  
 

=
 
0 0
. ( 1) . . 1 .
i i
k k

i
k n k i n k i
i i
a C x b y
   
 
  
 

=
k k
n n
a x b y
  

Đây là điều phải chứng minh.
Tính chất 3. Sai phân cấp
k
của đa thức bậc
m
là:
i) Đa thức bậc
m k

, nếu
k m


ii) Hằng số, nếu
k m



iii) Bằng
0
, nếu
k m


Chứng minh: Theo tính chất 2 thì sai phân cấp
k
cũng là toán tử tuyến tính,
nên ta chỉ việc chứng minh cho đơn thức ( )
m
m
P n n


là đủ.



10
i) Ta có:



1
m
m m
n n n

   


0 1 2 2
. . .
m m m
m n n m
C C n C n C n n
     


0 1 2 2 1 1
. . .
m m
m n n m
C C n C n C n
 
    


1
( )
m
P n



Giả sử
k s m
 

thì


s m
m s
n P n

  (1.3)
Ta chứng minh
1
k s m
  
thì


1
1
s m
m s
n P n

 
 
Thật vậy:



1
1
m

s m s s m
n n n

     






1
m s m s
P n P n
 
  



1m s
P n
 

Suy ra


, .
k m
m k
n P n k m


  

ii) Theo chứng minh trên khi
k m

ta có:





0
m m
m m
n P n P n c

   
(hằng số).
iii) Khi
k m

ta có:



1
( ) . 0
k m k m m m k m k m
n n c c
   

         
( Theo hệ quả tính chất 1)
Kết thúc chứng minh.
Tính chất 4

1 1 *
1
,
N
k k k
n N a
n a
x x x k N
 


     


Chứng minh: Ta có

N N
k k-1
n n
n=a n=a
Δ x = Δ(Δ x )
 





1 1 1
1
( ) ( )
k k k
a a N
x x x
  

         



11



1 1 1 1 1 1
1 2 1 1

k k k k k k
a a a a N N
x x x x x x
     
   
            


1 1 *
1

,
k k
N a
x x k N
 

    

Suy ra điều phải chứng minh.

1.2.3.Một số ứng dụng
1.2.3.1. Tính tổng
Ví dụ 1.2.3.1. Tính tổng sau:

1
1
, *
!
n
k
k
S n N
k


 


Giải: Ta có


1 1 1 1 1
( )
! ( 1)! ! ! ( 1)!
k
k k k k k

    
 

=
1
( 1)!
k
 
 
 

 

Vậy
1
1
!
n
k
k
S
k





=
1
1
( 1)!
n
k k
 
 
 

 

1 1
0
! !
n n
 
  

Ví dụ 1.2.3.2. Tính các tổng sau:
1.
1
sin x
n
k
A k





2.
1
os x
n
k
B c k




Giải:
1. Ta có

1 1 1
os os os
2 2 2
c k x c k x c k x
     
     
     
     

=
2sin x.sin
2
x
k




12
Suy ra
1
os
2
sin x
2sin
2
c k x
k
x
 
 
 
 
 

Vậy
1
sin x
n
k
k


=
1
1

os
2
2sin
2
n
k
c k x
x

 
 
 
 



1
os os
2 2
2sin
2
x
c n x c
x
 
 
 
 
 


1
2sin sin
2 2
2sin
2
n nx
x
x


 

1
sin sin
2 2
sin
2
n nx
x
x



Kết quả
1
sin x
n
k
A k





1
sin sin
2 2
sin
2
n nx
x
x



2. Ta có

1 1 1
sin sin sin
2 2 2
k x k x k x
     
     
     
     

=
2 os x.sin
2
x
c k

Suy ra
1
os x
n
k
c k


=
1
1
sin
2
2sin
2
n
k
k x
x

 
 
 
 





13


1
sin sin
2 2
2sin
2
x
n x
x
 
 
 
 
 


1
2cos sin
2 2
2sin
2
n nx
x
x


 


1

os sin
2 2
sin
2
n nx
c x
x



Kết quả
1
os x
n
k
B c k



1
os sin
2 2
sin
2
n nx
c x
x


Ví dụ 1.2.3.3. Tính tổng:

 
2 2 2
2 3 3
1 1 1
S , 2,
n n N
A A A
     
Giải: Ta có

2
!
( 1)
( 2)!
n
n
A n n
n
  



2
1 1 1 1 1
( 1) 1 1
n
A n n n n n
     
  



2
2 1
1 1 1
1
1
n n
k k
k
A n n
 
     

 
=
1
n
n


Vậy
2 2 2
2 3 3
1 1 1
S
A A A
    
1
n
n




1.2.3.2. Tìm số hạng tổng quát của dãy số
Ví dụ 1.2.3.4. Cho dãy số:
1, 2, 2,1,7,16,28,
 
Tìm số hạng tổng quát của
dãy số đó.



14
Giải:
Để tìm số hạng tổng quát ( hay quy luật) của dãy số ta lập bảng sai phân
sau:


n
u f n


1


2



2




1


7


16


28

n
u



3



0


3


6



9


12


2
n
u



3


3


3


3

3

Do
2
3

n
u
 
là hằng số nên
( )
n
u f n

là đa thức bậc
2
.
Giả sử
2
( ) ( 0)
f n an bn c a
   
,
n
là số thứ tự của các phần tử trong
dãy.
Cho
0,1,2
n

ta được hệ pương trình sau:

3
2
1
9

2
2
4a 2 2
1
a
c
a b c b
b c
c






 
     
 
 
   






Vậy số hạng tổng quát của dãy số là:
2
3 9
1; 0,1,2

2 2
n
u n n n   
hay
2
3 9
( 1) ( 1) 1; 1,2,3
2 2
n
u n n n     
Ví dụ 1.2.3.5. Tìm số hạng tổng quát của dãy số sau:

1,3,11,31,69,131,

Giải:
Để tìm số hạng tổng quát (hay quy luật) của dãy số ta lập bảng sai phân
sau:




15


n
u f n


1



3


11


31


69

131
n
u


2 8 20 38 62
2
n
u


6 12 18 24
3
n
u


6 6 6


Do
3
6
n
u
 
là hằng số nên
( )
n
u f n

là đa thức bậc
3
.
Giả sử
3 2
( ) ( 0)
f n an bn cn d a
    
,
n
là số thứ tự của các phần tử
trong dãy.
Cho
0,1,2,3
n

ta được hệ pương trình sau:


1 1
3 0
8a 4 2 11 1
27a 9 3 31 1
c a
a b c d b
b c d c
b c d d
 
 
 
    
 

 
    
 
 
    
 

Vậy số hạng tổng quát của dãy số là:
3
1; 0,1,2
n
u n n n   

hay
3 2
3 4 1; 1,2,3

n
u n n n n    















16

Chương 2. PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH

2.1. Phương trình sai phân tuyến tính
2.1.1. Định nghĩa
Định nghĩa 1. Phương trình sai phân tuyến tính là một hệ thức tuyến tính
giữa sai phân các cấp



2
, , , , 0

k
n n n n
F x x x x
   

trong đó
n
x
hiểu là sai phân cấp
0
của hàm
n
x
; cấp lớn nhất (ở đây là bằng
k
)
của sai phân là bậc của phương trình sai phân tuyến tính.
Định nghĩa 2. Phương trình sai phân tuyến tính của hàm
n
x
là một biểu
thức tuyến tính giữa các giá trị của hàm
n
x
tại các điểm khác nhau

0 1 1

h n n k n k k n n
L x a x a x a x f

  
    
(2.1)
trong đó
h
L
là kí hiệu toán tử tuyến tính tác dụng lên hàm
n
x
, xác định trên
lưới có bước lưới
h
;


0,1,2, ,
i
a i k
 với
0
0, 0
k
a a
 
là các hằng số hoặc các
hàm số của
n
, được gọi là các hệ số của phương trình sai phân;
n
f

là hàm số
của
n
được gọi là vế phải;
n
x
là các giá trị cần tìm được gọi ẩn.
Phương trình (2.1) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính bậc
k
vì
để tính được tất cả các giá trị
n
x
, ta phải cho trước
k
giá trị liên tiếp của
n
x

rồi tính các giá trị còn lại của
n
x
theo công thức truy hồi.
Định nghĩa 3. Nếu
0
n
f

thì (2.1) gọi là phương trình sai phân tuyến tính
thuần nhất.

Nếu
0
n
f

thì (2.1) gọi là phương trình sai phân tuyến tính không thuần
nhất.



17
Nếu
0
n
f

và
0 1
, , ,
k
a a a
là các hằng số với
0
0, 0
k
a a
 
thì (2.1) gọi là
phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất bậc
k

với hệ số hằng số:

0 1 1
0
h n n k n k k n
L x a x a x a x
  
    
(2.2)
2.1.2. Nghiệm
Hàm số
n
x
biến
n
thỏa mãn (2.1) được gọi là nghiệm của phương trình sai
phân tuyến tính (2.1).
Hàm số
n
x

thỏa mãn (2.2) được gọi là nghiệm tổng quát của (2.2), nếu với
mọi tập giá trị ban đầu
0 1 1
, , ,
k
x x x

ta đều xác định được duy nhất các tham
số

1 2
, , ,
k
C C C
để nghiệm
n
x

trở thành nghiệm riêng của (2.2), tức là vừa
thỏa mãn (2.2) vừa thỏa mãn
1
0 0 1 1 1
, , ,
k
k
x x x x x x


  
  
.
Định lí 1. Nghiệm
n
x
của (2.1) bằng tổng
n
x

và
*

n
x
, với
*
n
x
là nghiệm riêng
bất kì của (2.1).
Chứng minh: Giả sử
n
x

và
*
n
x
là 2 nghiệm của (2.1), ta có:
*
;
h n n h n n
L x f L x f
 
.
Do
h
L
tuyến tính nên :

 
* * *

0 hay
h n h n n n n n
L x L x L x x x x
    

thỏa mãn (2.2). Do
đó:
* *
n n n n n n
x x x x x x
    
 
( điều phải chứng minh).
2.1.2.1. Nghiệm tổng quát
n
x


Định lí 2. Nếu
1
, ,
n nk
x x
là
k
nghiệm độc lập tuyến tính của (2.2) thì
nghiệm tổng quát của (2.2) có dạng:

1 1 2 2


n n n k nk
x C x C x C x
   

với
1 2
, , ,
k
C C C
là các hằng số
tùy ý.
Chứng minh.



18
Do
h
L
tuyến tính nên

1 1
0
k k
h n h i ni i h ni
i i
L x L C x C L x
 
  
 



Vì
ni
x
là nghiệm của (2.2) nên
0
h ni
L x

. Suy ra
n
x

là nghiệm của (2.2).
Giả sử
0 1 1
, , ,
k
x x x

là
k
giá trị ban đầu tùy ý, ta chứng minh có thể xác
định duy nhất các tham số
1 2
, , ,
k
C C C
để

1
0 0 1 1 1
, , ,
k
k
x x x x x x


  
  
, tức là
hệ

1 01 2 02 0 0
1 11 2 12 1 1
1 1,1 2 1,2 1,




k k
k k
k k k k k k
C x C x C x x
C x C x C x x
C x C x C x x
  
   



   




   


có nghiệm duy nhất
1 2
, , ,
k
C C C
với mọi
0 1 1
, , ,
k
x x x


Muốn vậy định thức

01 02 0
11 12 1
1,1 1,2 1,


0



k
k
k k k k
x x x
x x x
x x x
  
  
, điều này luôn đúng do tính độc lập
tuyến tính của các vectơ nghiệm
1 2
, , ,
n n nk
x x x
đã cho ở giả thiết.
Ta đi tìm nghiệm
n
x

của (2.2) và
*
n
x
của (2.1), từ đó ta tìm nghiệm
n
x
của
(2.1). Do phương trình (2.2) luôn có nghiệm
0
n

x

nên để tìm nghiệm tổng
quát ta tìm nghiệm
n
x
của (2.2) dưới dạng
, 0, 0
n
n
x C C
 
  
, thay
, 0, 0
n
n
x C C
 
  
vào (2.2) và giản ước cho
0
n
C


ta thu được:

1
0 1

0
k k
h k
L a a a
  

    
(2.3)



19
Ta gọi (2.3) là phương trình đặc trưng của (2.2) (cũng là phương trình đặc
trưng của (2.1)). Nghiệm
n
x

của (2.2) và
.
n
x
của (2.1) phụ thuộc cốt yếu vào
cấu trúc nghiệm của (2.3).
Định lí 3. (Từ các trường hợp về cấu trúc nghiệm của (2.3) cho ta nghiệm
n
x

của (2.2)).
Trường hợp 1: Nếu (2.3) có
k

nghiệm thực phân biệt
1 2
, , ,
k
  
thì
nghiệm tổng quát của
n
x

của (2.2) có dạng:

n
x

= C
1
1
n

+C
2
2
n

+ ……………+
C
k
n
k


=
1
k
k
i i
i
C



,
(
1,2, ,
i k

) và với
i
C
là các hằng số tùy ý.
Chứng minh
Thật vậy:
Ta có
h
L
n
x

=
1

k
k
i i
i
C




= 0 (vì
1
0 1
( ) 0
n n k k
h i i k
L a a a
   

    
) Ta lại có:

1 2
1
1 1 1
1 2
11 1

( ) 0( ì . 0, )



k
i j i j
j i k
k k k
k
v i j
  
   
  
  
  
       


Theo định lí 2 ta có :
1
k
k
n
i i
i
x C





(
1,2, ,
i k


) là nghiệm tổng quát của
(2.2).
Điều phải chứng minh.
Trường hợp 2: Nếu phương trình đặc trưng (2.3) có nghiệm thực
j

bội
s

thì ngoài nghiệm
j

ta lấy thêm các véc tơ bổ sung
2 1
, , ,
n n s n
j j j
n n n
  


cũng

là các nghiệm độc lập tuyến tính của (2.2) và do đó

1
0 1,
s k
i i n

j j i i
i i i j
x C n C
 

  
 
 

, với
,
j
i i
C C
là các hằng số tùy ý.



20
Trường hợp 3: Nếu phương trình đặc trưng (2.3) có nghiệm phức



os sin
j
a bi r c i
  
   

trong đó

2 2
; (tan )
j j
b
r a b acgumen
a
   
    

thì (2.3) cũng có nghiệm liên hợp phức

( os sin )
j
a bi r c i
  
    .
Khi đó
(cos isin ); (cos isin )
n n n n
j j
r n n r n n
     
   
là các nghiệm của (2.2)
Ta lấy
1 2
1 1
( ) cos ; ( ) sin
2 2
n n n n n n

nj j j nj j j
x r n x r n
     
     
là các nghiệm độc lập tuyến tính của (2.2), khi đó

1 2
1,
( cos sin )
k
n n
n i i j j
i i j
x C r C n C n
  
 
  


trong đó
1 2
, ,
j i j
C C C
là các
hằng số tùy ý.
Trường hợp 4: Nếu phương trình đặc trưng (2.3) có nghiệm phức
j

bội

s

thì nó cũng có nghiệm liên hợp phức
j

bội
s
, ngoài nghiệm
1 2
os , sin
n n
j j
r c n r n
   
  ta cần lấy thêm
2 2
n

véc tơ nghiệm bổ sung

2 1
2 3
2 1
2 3
os ; os ; ; os
sin ; sin ; ; sin
n n n n
j j js
n n n n
j j js

r nc n r n c n r n c n
r n n r n n r n n
     
     


  
  

Và theo định lý 2 ta có

1 1
1 2 1 2
1,
( )cos ( )sin
k
n n s s
n i i n n
i i j
x C r A A n A n n B B n B n n
  
 
 
 
        
 


, trong
đó

1 2 1 2
, , , , , , , ,
i s s
C A A A B B B
là các hằng số tùy ý.




21
Ví dụ 2.1.2.1. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình sai phân sau:

4 3 2 1
3 5 2 0
n n n n n
x x x x x
   
    

Giải:
Phương trình đặc trưng:




3
4 3 2
3 5 2 0 1 2 0
     
        


có các nghiệm
1
1


(bội 3),
2
2

 
. Với nghiệm
1
1


(bội
3
) ngoài
nghiệm
1
n


ta bổ

sung thêm nghiệm
2 2
1 1
, .

n n
n n n n
 
  .
Vậy nghiệm tổng quát cần tìm là:

2
1 2 3 4
( 2) ,
n
n
x C C n C n C    

với
1 2 3 4
, , ,
C C C C
là các hằng số tùy
ý.
Ví dụ 2.1.2.2. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình sai phân sau:

3 2 1
5 8 6 0
n n n n
x x x x
  
   

Giải:
Phương trình đặc trưng:

3 2
1 2 2
5 8 6 0 3, 1 , 1 ;( 2
i i r
     
           ;
4



)
Vậy nghiệm tổng quát cần tìm là:

1 2
1 1 1
3 ( 2) ( cos sin )
4 4
n n
n
x C C n C n
 
  

với
1 2 3 4
, , ,
C C C C
là các hằng số tùy ý.
Ví dụ 2.1.2.3. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình sai phân sau:


7 6 5 4 3 2 1
2 3 6 3 6 2 0
n n n n n n n n
x x x x x x x x
      
       


Giải:
Phương trình đặc trưng:


 
3
7 6 5 4 3 2 2
2 3 6 3 6 2 0 1 2 0
        
           

có các nghiệm
1
2


,
2
i


(bội 3),

2
i

 
(bội 3) với (
2
1; ; 1
2
i r


   
)



22
Vậy nghiệm tổng quát cần tìm là:

2 2
1 1 2 3 1 2 3
2 ( ) os ( ) os
2 2
n
n
x C A A n A n c n B B n B n c n
 
      

, với

1 1 2 3 4 1 2 3 4
, , , , , , , ,
C A A A A B B B B
là các hằng số tùy ý.

2.1.2.2. Nghiệm riêng
*
n
x

Để tìm nghiệm riêng
*
n
x
của phương trình sai phân tuyến tính không thuần
nhất:
1
0 1

k k
h k n
L a a a f
  

    
ta xét các trường hợp đặc biệt có thể
tìm
*
n
x

và dùng phương pháp hệ số bất định (phương pháp chọn) để xác định
các tham số trong các dạng nghiệm này.
Trường hợp 1:
n
f
là đa thức bậc
m
của
n
, tức là
( ),
n m
f P n m N
 
.
Nếu (2.3) có
k
nghiệm
1 2
, , ,
k
  
khác
1
thì


*
, .
n m

x Q n m N
 

Nếu (2.3) có nghiệm
1


bội
s
thì


*
, .
n m
x Q n m N
 

(


m
Q n
cũng là đa thức bậc
m
của
n
)
Trường hợp 2:



, .
n
n m
f P n m N

 

Nếu (2.3) có tất cả các nghiệm là thực khác  thì


*
, .
n
n m
x Q n m N

 

Nếu (2.3) có nghiệm
 

bội s thì


*
, .
s n
n m
x n Q n m N


 
.
(


m
Q n
) cũng là đa thức bậc
m
của
n
)
Trường hợp 3:
cos sin
n
f nx nx
 
 
, với
,
 
là các hằng số.
Khi đó

*
cos sin
n
x nx nx
 

 
Trường hợp 4:
1 2

n n n ns
f f f f
   
, ta tìm nghiệm
*
ni
x
ứng với từng
hàm


1,2, ,
ni
f i s





23
Do tính tuyến tính của phương trình sai phân nên nghiệm riêng
*
ni
x
có
dạng:


* * * *
1 2

n n n ns
x x x x
   
Ví dụ 2.1.2.4. Tìm nghiệm riêng
*
n
x
của phương trình sai phân:

3 2 1
3 4 12 1
n n n n
x x x x n
  
    

Giải:
Phương trình đặc trưng:
3 2
3 4 12 0
  
   
có nghiệm
2, 3
 
  


đều khác
1
.
Do vậy, ta tìm
*
n
x an b
 
(vì hàm
n
f
là hàm bậc nhất). Thay
*
n
x an b
 

vào phương trình sai phân và so sánh các hệ số lũy thừa ở hai vế

( 3) 3[ ( 2) ] 4[ ( 1) ] 12( ) 1
a n b a n b a n b an b n
           

ta thu được:

1
6 1
6
7 6 1 13

36
a
a
a b
b







 
  






Vậy
*
1 13
6 36
n
x n
 

Ví dụ 2.1.2.5. Tìm nghiệm riêng
*

n
x
của phương trình sai phân:

3 2 1
7 16 12 2 (24 24 )
n
n n n n
x x x x n
  
    
Giải:
Phương trình đặc trưng:
3 2
7 16 12 0
  
   
có nghiệm


1 2
2( b 2), 3; 24 24 ; 2
m
P n n
  
    
éi nên ta tìm


* 2

2
n
n
x n an b
 
Thay


* 2
2
n
n
x n an b
 

vào

phương trình sai phân và giản ước cho
2
n
ta
được:



24

   
 
2 2

2
2
8 ( 3) 3 28[ ( 2) ] 2 32[ ( 1)
] 1 12( ) 24 24
a n b n a n b n a n
b n an b n n
        
     
[ ]

Sau khi biến đổi vế trái thành đa thức, ta so sánh các hệ số của lũy thừa n ở
hai vế ta được:

24 24 1
24 8 24 0
a a
a b b
   
 

 
  
 

Vậy
* 3
2
n
n
x n


Ví dụ 2.1.2.6. Tìm nghiệm riêng
*
n
x
của phương trình sai phân:

1
3 2 1
2 5 3
6 11 6 4( 1) 2 sin
3 3 2 3
n
n n n n
n n
x x x x n c
 

  
       
os

Giải:
Phương trình đặc trưng

3 2
6 11 6 0
  
   
có nghiệm

1 2 3
1, 2; 3
  
  
;
Vế phải:

1
1 2 3 4
2 5 3
4( 1) 2 sin
3 3 2 3
n
n n n n n
n n
f n c f f f f
 

        os
Với
1
4( 1)
n
f n
 
thì nghiệm riêng tương ứng có dạng:
*
( )
n
x n an b

 
,
thay vào phương trình sai phân và đồng nhất hệ số các lũy thừa của n ở hai vế
ta thu được:

4 12 4 1
4 2 4 0
a b a
a b b
  
 

 
    
 
vậy
* 2
n
x n


Với
1
2
2
n
n
f

  thì nghiệm riêng tương ứng có dạng

*
2
n
n
x an
 , thay vào
phương trình sai phân ta được:
.
3 2 1
( 3)2 6 ( 2)2 11 ( 1)2 2 22 ,
n n n n n
a n a n a n an n N
  
        

Chọn
0
n

suy ra
1
a





25
Vậy
*

3
3
n
n
x n


Với
4
2 5 3
sin
3 3 2 3
n
n n
f c
 
 
os
thì nghiệm riêng tương ứng có dạng:
4
cos sin
3 3
n
n n
x a b
 

  , thay vào phương trình sai phân ta được:

( 3) ( 3) ( 2) ( 2)

cos sin 6 cos sin
3 3 3 3
( 1) ( 1)
11 cos sin 6 cos sin ,
3 3 3 3
n n n n
a b a b
n n n n
a b a b n N
   
   
   
 
  
 
 
 
   
     
   
   

Chọn
0; 1 0; 1
n n a b
    
. Vậy
*
4
sin

3
n
n
x



Do đó, nghiệm riêng ứng với
n
f
là:

* * * * * 2
1 2 3 4
2 3 sin
3
n n
n n n n n
n
x x x x x n n n

       


2.2. Dạng chính tắc của phương trình sai phân tuyến tính
Mọi phương trình sai phân tuyến tính đều có thể đưa về dạng chính tắc:

1 0
,
n n n

y Ay f y

 
   
cho trước
trong đó
n
y

là một vectơ có các thành phần là các giá trị của hàm lưới
n
x
;
n
f


là vectơ của
n
;
A
là một toán tử tuyến tính.
Cách làm như sau: Xét phương trình sai phân tuyến tính cấp


3
k k




n+k 1 n+k-1 2 n+k-2 k n n
x = a x + a x +…+a x + f

với
1 2, ,
,
k
a a a

là các hằng số;

1
, , .,

n n n k
x x x
 

là ẩn, cùng các giá trị ban
đầu là
0 1 1
, , ,
k
x x x

.