i
TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG
KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-----------------------

NGÔ THỊ THU THỦY

KHƠNG GIAN VECTƠ CÁC ĐA THỨC
TRÊN MỘT TRƯỜNG
KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Ngành: Sư phạm Toán

Phú Thọ, 2019


ii
TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG
KHOA: KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-----------------------

NGÔ THỊ THU THỦY

KHƠNG GIAN VECTƠ CÁC ĐA THỨC
TRÊN MỘT TRƯỜNG

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Ngành: Sư phạm Toán học
Giảng viên hướng dẫn: TS. Nguyễn Tiến Mạnh

Phú Thọ, 2019

iii

LỜI CẢM ƠN
Trong suốt thời gian thực hiện khóa luận tốt nghiệp, ngồi sự nỗ lực của
bản thân em cịn nhận được sự giúp đỡ tận tình của các thầy giáo, cô giáo
trong Khoa Khoa học - Tự nhiên Trường Đại học Hùng Vương.
Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Nguyễn Tiến
Mạnh – Giảng viên Khoa Khoa học - Tự nhiên Trường Đại học Hùng Vương.
Thầy đã dành nhiều thời gian quý báu để tận tình hướng dẫn, chỉ bảo em
trong suốt quá trình thực hiện khóa luận tốt nghiệp. Đồng thời thầy còn là
người giúp em lĩnh hội và nắm vững được nhiều kiến thức chuyên môn cũng
như rèn luyện cho tôi tác phong nghiên cứu khoa học.
Do chưa có nhiều kinh nghiệm nghiên cứu, nên khơng tránh khỏi những
thiếu sót. Vì vậy em rất mong nhận được sự đóng góp quý báu của thầy cơ và
các bạn để khóa luận được hồn thiện hơn.
Cuối cùng em xin kính chúc các thầy giáo, cô giáo dồi dào sức khỏe,
hạnh phúc và thành đạt.
Em xin chân thành cảm ơn!
Việt Trì, ngày 10 tháng 5 năm 2019
Sinh viên

Ngô Thị Thu Thủy


iv

MỤC LỤC

Trang


PHẦN MỞ ĐẦU .............................................................................................. 1
Chương 1: SƠ LƯỢC MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ KHÔNG GIAN
VECTƠ VÀ ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH ........................................................... 4
1.1 Khơng gian vectơ ........................................................................................ 4
1.1.1 Định nghĩa ............................................................................................. 4
1.1.2 Một số ví dụ về khơng gian vectơ ......................................................... 5
1.1.3 Một số tính chất đơn giản ..................................................................... 5
1.2 Không gian con ........................................................................................... 7
1.2.1 Định nghĩa không gian con ................................................................... 7
1.2.2 Ví dụ khơng gian con ............................................................................ 8
1.3 Ánh xạ tuyến tính ........................................................................................ 9
1.3.1 Định nghĩa ánh xạ tuyến tính ................................................................ 9
1.3.2 Ví dụ ánh xạ tuyến tính ....................................................................... 10
Chương 2: CƠ SỞ VÀ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

13

VECTƠ CÁC ĐA THỨC ............................................................................. 13
2.1 Cơ sở và tọa độ trong không gian vectơ các đa thức một biến ................. 13
2.1.1 Các khái niệm cơ bản .......................................................................... 13
2.1.2 Cơ sở trong không gian vectơ các đa thức một biến .......................... 17
2.1.3 Tọa độ trong không gian vectơ các đa thức một biến ......................... 24
2.2 Cơ sở trong không gian vectơ đa thức nhiều biến .................................... 25
2.2.1 Khái niệm đa thức nhiều biến ............................................................. 25
2.2.2 Cơ sở trong không gian đa thức nhiều biến ........................................ 25
2.3 Các bài tập có liên quan ............................................................................ 26
Chương 3: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH GIỮA CÁC KHƠNG GIAN

37


VECTƠ ĐA THỨC ....................................................................................... 37
3.1 Cơ sở lí thuyết: .......................................................................................... 37
3.2 Các bài tập có liên quan ............................................................................ 44
KẾT LUẬN .................................................................................................... 59
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 60


1

PHẦN MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết của đề tài
Có thể nói Khơng gian vectơ (KGVT) là một lĩnh vực rất quan trọng.
Nó được coi là cơ sở cho hầu hết các mơn Tốn mà sinh viên được học. Chính
vì vậy KGVT được giảng dạy trong năm đầu tiên cho các chương trình đào
tạo: Sư phạm, Kĩ thuật Cơng nghệ, Kinh tế, Nơng Lâm,...Tìm hiểu về KGVT
là tìm hiểu về: Định nghĩa, tính chất của KGVT; Khơng gian con; Sự độc lập
tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính; Cơ sở của KGVT;...
Bên cạnh đó, đa thức cũng có vai trị rất quan trọng trong tốn học. Nó
khơng những là đối tượng nghiên cứu trọng tâm của Đại số xuyên suốt từ bậc
Trung học cơ sở đến Đại học như các phép tốn trên vành đa thức (chia đa
thức, phân tích đa thức thành nhân tử, nghiệm của đa thức, ước chung lớn
nhất, bội chung nhỏ nhất, hằng đẳng thức,...); các dạng tốn về phương trình,
hệ phương trình (bậc nhất, bậc hai, bậc cao, giá trị tuyệt đối, vơ tỉ,...); dạng
tốn về bất đẳng thức, bất phương trình, hệ bất phương trình,... mà cịn là
cơng cụ đắc lực của Giải tích trong lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết biểu diễn, tối
ưu,... Ngoài ra, lý thuyết đa thức còn được sử dụng nhiều trong toán cao cấp,
toán ứng dụng và được xem như những dạng tốn khó.
Như chúng ta đã biết, tập đa thức trên các trường số vừa có cấu trúc
vành, vừa có cấu trúc KGVT. Và KGVT là một cấu trúc cơ bản của Đại số

hiện đại, mang tính trừu tượng. Để hiểu rõ hơn về KGVT và nhằm ứng dụng
cấu trúc này trong học tập, nghiên cứu chúng ta cần thể hiện việc áp dụng
KGVT trên các đối tượng cụ thể và một trong những đối tượng toán học quen
thuộc vừa cổ điển, vừa hiện đại có mặt trong hầu hết mọi lĩnh vực là đa thức.
Từ kinh nghiệm và thực tiễn cho thấy nhiều bài toán về đa thức có thể
được giải quyết nếu được xem xét trong cấu trúc KGVT. Với mục đích hiểu
rõ hơn những vấn đề về đa thức, đồng thời để tìm hiểu ứng dụng của cấu trúc
KGVT trên những đối tượng cụ thể của Tốn học, tơi chọn đề tài: “Khơng


2

gian vectơ các đa thức trên một trường” cho khóa luận tốt nghiệp của
mình.
2. Mục tiêu khóa luận
Cụ thể hóa những vấn đề thuộc lý thuyết về KGVT nói chung, áp dụng
vào KGVT các đa thức trên một trường.
Giải những bài tốn về đa thức có ứng dụng KGVT để giải quyết.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
 Nghiên cứu các khái niệm, tính chất của các đối tượng liên quan đến
cấu trúc KGVT.
 Nghiên cứu về các kiến thức cơ sở của tập các đa thức trên một trường,
chú ý đến hai cấu trúc trên lớp đối tượng này (cấu trúc vành, cấu trúc
KGVT).


Tìm ra sự liên hệ để làm rõ những vấn đề về KGVT nói chung khi
xem xét cụ thể đối với KGVT các đa thức trên một trường.

4. Phương pháp nghiên cứu

 Phương pháp nghiên cứu lí luận: Đọc và nghiên cứu tài liệu, giáo trình
có liên quan đến cấu trúc không gian vectơ.
 Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Qua việc nghiên cứu, tham khảo
tài liệu, từ đó rút ra kinh nghiệm để áp dụng vào việc nghiên cứu.
 Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến của giảng viên trực tiếp
hướng dẫn và ý kiến của các giảng viên khác để hoàn thiện về mặt nội
dung và hình thức của khố luận.
5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng: Cấu trúc KGVT các đa thức.
Phạm vi: Khoá luận chủ yếu tập trung vào các vấn đề liên quan đến cấu
trúc không gian vectơ, ánh xạ tuyến tính thể hiện cụ thể trên khơng gian vectơ
các đa thức.
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn


3

Khoá luận đã hệ thống những kiến thức cơ sở về không gian vectơ các đa
thức một biến, nhiều biến. Đồng thời liên hệ với những vấn đề quen thuộc
trong giải tích, đại số. Cụ thể: Đồ thị hàm số, nguyên hàm tích phân, khai
triển, hoặc đa thức số học, biểu diễn đa thức,…
7. Bố cục của khóa luận
Chương 1. Sơ lược một số kiến thức về KGVT và ánh xạ tuyến tính.
1.1 Khơng gian vectơ
1.2 Khơng gian con
1.3 Ánh xạ tuyến tính
Chương 2. Cơ sở và tọa độ của KGVT các đa thức
2.1 Cơ sở và tọa độ của KGVT các đa thức một biến
2.2 Cơ sở và tọa độ của KGVT các đa thức nhiều biến
2.3 Một số bài tốn có liên quan

Chương 3. Ánh xạ tuyến tính giữa các không gian vectơ các đa thức
3.1 Cơ sở lí thuyết
3.2 Một số bài tốn có liên quan


4

Chương 1: SƠ LƯỢC MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ
KHÔNG GIAN VECTƠ VÀ ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
1.1 Khơng gian vectơ
1.1.1 Định nghĩa
Mọi tập hợp V được trang bị
Phép cộng “+” : V .V  V

( ,  )

 

Phép nhân “. ” : K .V  V

  , 



Bộ V , ,. gọi là một KGVT trên K hay K  không gian vectơ nếu thỏa
mãn 8 tiên đề:
1)       








2)           



3) 0 V :   0   ,  V

 

4)  V ,    :     0





5)      .  . ,  ,  V ,   K
6)      .   .   . ,   V ;  ,  K

 

7)    .   . ,  V ;  ,  K
8)1.   ,  V
Khi đó mỗi phần tử  V được gọi là một vectơ, mỗi số   K gọi là một vô
hướng.  2


5


1.1.2 Một số ví dụ về khơng gian vectơ
Ví dụ 1.1.1: Xét tập tất cả các đa thức một biến K  X  với phép cộng.
Cho

P   an n ; Q   bn n  K  X .

Khi

đó

P  Q   an  bn n  K  X  và phép nhân:   K , P   an n  K  X .
Khi đó  P    an n  K  X .
Chính vì vậy các phép cộng và phép nhân thơng thường thực sự là các phép
tốn trên K  X . Đa thức 0 đóng vai trị là vectơ khơng, cịn đa thức đối là
vectơ đối. Các tính chất cịn lại là những tính chất quen thuộc của đa thức.
Vậy K  X  lập thành một KGVT.
Ví dụ 1.1.2: Tương tự, tập tất cả các đa thức một biến K  x  bậc nhỏ hơn
hoặc bằng một số n  0 cho trước là một KGVT.
Ví dụ 1.1.3: Tuy nhiên tập tất cả các đa thức một biến K  x  bậc lớn hơn
hoặc bằng một số n  0 cho trước với phép cộng đa thức thông thường và
phép nhân đa thức với phần tử của trường nêu trên không phải là KGVT. Lí
do là tổng của hai đa thức bậc lớn hơn hoặc bằng n có thể có bậc nhỏ hơn n ,
nên phép cộng thông thường không phải là phép tốn ( trên tập đang xét ).
1.1.3 Một số tính chất đơn giản
Định lý 1.1.1: Trong không gian vectơ bất kỳ tồn tại duy nhất một vectơ
không.  2
Chứng minh:
Thật vậy giả sử trong khơng gian vectơ có hai vectơ khơng kí hiệu 1 và  2
Vì 1 là vectơ không nên 2  1  2 . Tương tự 1  2  1.

Từ hai đẳng thức trên suy ra điều phải chứng minh.
Định lý 1.1.2: Mỗi vectơ của khơng gian vectơ chỉ có duy nhất một vectơ đối.

 2
Chứng minh: Giả sử mọi  V có hai đa thức đối là 1 và  2 Khi đó:


6



 



 2    1   2    1.
Vì   1  0 và    2  0 nên 1   2 .
Định lý 1.1.3: Trong không gian vectơ bất kỳ ta có 0.  0. 2
Chứng minh: Ta xét phần tử

0.  1.   0  1  1.  
0.  1.  0.  
Từ đó suy ra:   0.   .
Thêm vào hai vế của đẳng thức đa thức đối của  là  ta có:








0      0.      0.    



 0.  0  0.
Từ đó rút ra 0.  0.
Định lý 1.1.4: Với mọi  V vectơ đối của  bằng tích của  với 1.  2
Chứng minh:
Ta có:

1.   1   1  1   0
Điều đó chứng tỏ rằng  1  là đa thức đối của  .
Định lý 1.1.5:  2
i) a  K ta có a .0  0.

  0
a  0

ii) a  0  
Chứng minh:
i) Ta có:

    a    1   a  a  1

a.0  a   

 a   a   0



7
1
ii) Giả sử a  0 khi đó vì a  K nên a . Từ đó:

 

a 1 a  a 1.0

  



Vế trái: a 1 a  a 1a   1.
Vế phải bằng 0. Do đó   0.
1.2 Không gian con
1.2.1 Định nghĩa không gian con
Định nghĩa 1.2.1: Giả sử W là một tập con của không gian vectơ V . Nếu W
cũng là không gian vectơ đối với hai phép toán đã cho trong V thì W được
gọi là khơng gian con của V .  2
Định lý 1.2.1: Giả sử W là tập hợp khác rỗng trong không gian vectơ V trên
trường K  K  , K 

. Khi đó W là một không gian con của V

nếu và

chỉ nếu:
1) Mọi x, y  W  x  y W .
2) Với mọi x  W   x  W . với mọi   K . 2
Chứng minh:

1) Giả sử W là khơng gian con của V . Khi đó theo định nghĩa khơng gian
con các phép tốn cộng và nhân đa thức với một số được thỏa mãn, nghĩa là:

x, y W  x  y W
x W ,a  K  a. x W .
2) Ngược lại, các điều kiện 1) và 2) chứng tỏ rằng các phép toán được định
nghĩa trong V cũng là những phép toán trong W . Ta cần chứng minh tập hợp

W là không gian vectơ. Hiển nhiên các tiên đề 1, 2, 5, và 8 thỏa mãn trong
W vì chúng đúng với mọi phần tử của V (do đó nó đúng với mọi phần tử của

W V )
Ta cần kiểm tra tiên đề 3 và 4. Vì W   nên x  W . Khi đó  x  W với

  K bất kỳ. Ta lấy   0. Khi đó theo định lý 3 ta có: 0. x  0. Điều đó có
nghĩa là 0  W và tiên đề 3 được thỏa mãn.


8

Bây giờ lấy   1. Theo định lý 5 ta có  1 x là phần tử đối của x.
Vì  x  W , x  W nên  1 x W , x W . Điều đó chứng tỏ x  W cùng
với phần tử đối của nó. Như vậy tiên đề 4 được thỏa mãn.
Định nghĩa 1.2.2 ( Tổng và giao của những không gian con)
Giả sử W1 ,W2 ,...,Wm là những không gian vectơ con của K  khơng gian
vectơ V . Khi đó:






- Tập hợp W  1   2  ...   m | i Wi , i 1, 2,..., m là một khơng gian
con của V . Nó được gọi là tổng của m không gian con Wi đã cho và được ký
hiệu bởi W1 +W2  ...  Wm hoặc

m

W.
i

i1

- Tập hợp U 

m

Wi là một không gian con của V và được gọi là giao của m
i 1

không gian con Wi . 5
Định nghĩa 1.2.3 ( Không gian sinh bởi một hệ vectơ)





Giả sử A  1 , 2 ,...,1 là một hệ vectơ của K  không gian vectơ V .






Khi đó tập hợp: W  r11  r2  2  ...  rn  n | ri  K , i 1, 2,..., n là một
không gian con của V . W được gọi là khơng gian sinh bởi hệ vectơ A, cịn

A được gọi là hệ sinh của W . 5
Định nghĩa 1.2.4: Giả sử E là một K  kgvt. F1 , F2 là hai khơng gian con
của E. Ta nói rằng F1 , F2 có tổng trực tiếp khi và chỉ khi F1  F2  0. Khi

F1 và F2 có tổng trực tiếp, ta ký hiệu: F1  F2 .5
1.2.2 Ví dụ khơng gian con
Ví dụ 1.2.1: Mỗi K  khơng gian vectơ V đều có hai khơng gian con hiển
nhiên đó là V và khơng gian tầm thường 0.
Ví dụ 1.2.2: Với mỗi số nguyên n  0. Ta đặt:


9

K n  x    f  K  x  : deg f  n
Dễ thấy rằng Kn  x là một không gian con của không gian các đa thức ẩn x
trên trường K .
1.3 Ánh xạ tuyến tính
1.3.1 Định nghĩa ánh xạ tuyến tính
Định nghĩa 1.3.1: Giả sử V ,W là không gian vectơ trên trường số K . Ánh
xạ f : V  W được gọi là ánh xạ tuyến tính ( hay K  đồng cấu) của không
gian vectơ V vào không gian vectơ W nếu các điều kiện sau được thỏa mãn
đối với mọi vectơ x, y thuộc V và mọi phần tử a thuộc trường K .
a) f ( x  y )  f ( x)  f (y)
b) f (a x)  af ( x)
Nếu V  W thì f được gọi là tốn tử tuyến tính hay tự đồng cấu.  2

Hệ quả:
1) Ánh xạ f : V  W là ánh xạ tuyến tính thì:

i) f  0V   0W
ii) f   x    f  x 
Chứng minh:
i) Ta có:

0V  0V  0V  f  0V   f  0V  0V   f  0V   f  0V 
 f  0V   f  0V   f  0V  *
 f  0V   f  0V   0W **
Từ * , ** ta có f  0V   0W
ii) Ta có 0 W  f  0V   f  x    x    f  x   f   x 
2) Ánh xạ f : V  W là một ánh xạ tuyến tính khi và chỉ khi:

f (a .x  b.y)  a. f ( x))  b. f ( y ); x, y V ;a, b  K


10
m

Tổng quát: f (

m

a x )  a
i i

i 1


i 1

i

f ( xi ); xi V ,a i  K , i  1, m

Định nghĩa 1.3.2:
Nếu ánh xạ tuyến tính f là một đơn ánh thì gọi là đơn cấu.
Nếu ánh xạ tuyến tính f là một tồn ánh thì gọi là tồn cấu.
Một ánh xạ tuyến tính f vừa là đơn cấu vừa là tồn cấu thì gọi là đẳng cấu.
Khi có một đẳng cấu f : V  W thì ta nói hai khơng gian vectơ V và W
đẳng cấu với nhau và kí hiệu: V

W .  2

Mệnh đề 1.3.1: Ánh xạ tuyến tính f : V  W là một đẳng cấu khi và chỉ khi
tồn

tại

ánh

một

f 1 f  1V , f

xạ

tuyến


f 1 : W  V

tính

sao

cho

f 1  1W.  2



Định lí 1.3.1: Giả sử V ,W là hai K  không gian vectơ,    1 ,  2 ,...,  n



là cơ sở của V và 1 ,  2 ,...,  n là n vectơ tùy ý của W . Khi đó tồn tại duy

 

nhất một ánh xạ tuyến tính f : V  W sao cho f  i   i với mọi

i 1, 2,..., n.  2
1.3.2 Ví dụ ánh xạ tuyến tính
Cho V , W là các khơng gian vectơ trên K .
Ví dụ 1.3.1: Ánh xạ đồng nhất id :V  V trên V là một ánh xạ tuyến tính.
Ví dụ 1.3.2: Một cách tổng quát nếu W  V thì ánh xạ f1 :W  V xác định
bởi f1 ( x)  x, x W là một ánh xạ tuyến tính và được gọi là ánh xạ nhúng.
Ví dụ 1.3.3: Ánh xạ 0 : V  W biến mọi vectơ của V thành vectơ 0 của W
là một ánh xạ tuyến tính được gọi là ánh xạ khơng và ký hiệu là 0.

Ví dụ 1.3.4: Ta xét ánh xạ  từ không gian
bậc nhỏ hơn n vào không gian
hơn n  1 xác định như sau:

n1

n

 x các đa thức hệ số thực có

 x các đa thức hệ số thực với bậc nhỏ


11

Với mọi f ( x) 

n

 x

,  (( f ( x))  f ( x). Theo tính chất của đạo hàm ta

có:

 ( f ( x)  g ( x))  ( f ( x)  g ( x)) '  f '( x)  g '( x)
 ( f ( x)  g ( x))  f ( x)  g ( x)
Và  ( f ( x))  ( f ( x)) '   f '( x)

 ( f ( x))  f ( x)

Đối với mọi đa thức f ( x), g ( x) 

n

 x, 

.

Vậy  là một ánh xạ tuyến tính từ không gian
n1

 x .

n

 x vào

không gian


12

Kết luận chương 1:
Chương 1 trình bày một cách khái qt về khơng gian vectơ, ánh xạ
tuyến tính bao gồm: Định nghĩa không gian vectơ, không gian con, ánh xạ
tuyến tính. Trọng tâm là các kiến thức liên quan đến KGVT các đa thức trên
một trường. Đồng thời đưa ra các ví dụ cụ thể đối với khơng gian các đa thức.


13


Chương 2: CƠ SỞ VÀ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
VECTƠ CÁC ĐA THỨC
2.1 Cơ sở và tọa độ trong không gian vectơ các đa thức một biến
2.1.1 Các khái niệm cơ bản
Giả sử V là không gian vectơ trên trường số . Và 1 , 2 ,..., n  V .
Định nghĩa 2.1.1: Tổ hợp tuyến tính: 1 1  2  2  ...  n  n 

n

   1
i 1

i

i

được gọi là không tầm thường nếu i  0, i  1, n . Nếu i  0, i thì tổ hợp
tuyến tính 1 gọi là tổ hợp tuyến tính tầm thường.  2
Định nghĩa 2.1.2: Cho hệ m vectơ { 1 , 2 ,..., n } của không gian vectơ V
trên trường  , n  1.
1. Hệ vectơ 1 , 2 ,..., n được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại n phần
tử

1 , 2 ,..., n 

không

đồng


thời

bằng

0

sao

cho

1 1  2  2  ...  n  n  0.
2. Hệ vectơ 1 , 2 ,..., n được gọi là độc lập tuyến tính nếu nó khơng phụ
thuộc

tuyến

tính,

hay

1 1  2  2  ...  n  n  0

kéo

theo

1  2  ...  n  0.
3. Tập W  V được gọi là độc lập tuyến tính nếu mọi hệ con hữu hạn
{ 1 , 2 ,..., n }  W ,  i   j , i  j đều độc lập tuyến tính.  2
Ví dụ 2.1.1: Trong


 không gian vectơ Pn  x  các đa thức hệ số thực một

biến gồm đa thức không và các đa thức bậc không vượt quá n , hệ các đa
thức 1, x, x 2 ,..., x n là độc lập tuyến tính. Thật vậy, giả sử có

a0  a1 x  a2 x 2  ...  an x n   với  là đa thức không trong Pn  x. Bằng
cách đồng nhất hệ số ta được a0  a1  a2  ...  an  0.


14

Ví dụ 2.1.2: Cho V1  Tập đa thức chẵn, V2  Tập các đa thức lẻ.
Khi đó ta có: K  X   V1  V2 (V1 ,V2 là   KGVT con, V1  V2   )

f  X     X  : f  X   f1  X   f 2  X 


f  X   f  X  f  X   f  X 

2
2





Ví dụ 2.1.3: V  K  X   K  XK  X   Cơ sở X , X 2 ,..., X n ,...
Ta có dim V  dim W  . ( Trong đó W  XK  X  ).
Ví dụ 2.1.4: Trong


 khơng gian vectơ

 X  các đa thức hệ số thực một

biến. Hệ các đa thức: 1  t 2  2 t  1, 2  2t 2  t,3  3t  5 là hệ độc lập
tuyến tính.
Thật vậy:
Xét đẳng thức:

11 (t )  22 (t )  33 (t )  0(t )
 1 (t 2  2t  1)  2 (2t 2  2)  3 (3t  5)  0t 2  0t  0

 (1  22 )t 2   21  2  33  t   1  53   0t 2  0t  0
1  22  0

 21  2  33  0
   5  0
3
 1

 1 2 0 
 1 2 0 
 1 2 0
A   2  1 3    0 3 3    0 3 3 







 1 0  5 
 1  2  5 
 0 0 9 
Vậy r  A  3.
Hệ có nghiệm tầm thường 1  2  ...  n  0.
Vậy hệ trên ĐLTT trong P2 t  .
Ví dụ 2.1.5: Xét hệ ba véc tơ 1  1, 2  x  2,3  2 x  1độc lập hay phụ
thuộc tuyến tính trong

 không gian

 x các đa thức ẩn x.


15

Giải:
Giả sử r1 , r2 , r3 là các số thực thỏa mãn đẳng thức:

r1.1  r2  x  2   r3  2 x  1  0
  r2  2r3  x   r1  2r2  r3   0
Vì đa thức bằng 0 khi và chỉ khi các hệ tử của nó bằng 0 nên:

r2  2r3  0
r2  r3
r2  r3




r1  2r2  r3  0
r1  4r3  r3
r1  5r3
Với mỗi giá trị của r3 ta được những giá trị tương ứng của r1 và r2 chẳng hạn
với r3  1 ta được r2  2, r1  5. Như vậy  5, 2, 1 là một nghiệm của hệ
phương trình. Do đó hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính.
Tính chất 2.1.1:
1) Tập một vectơ {  } phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi    .
2) Giả sử A, B là tập con của K  không gian vectơ P và A  B. Khi đó ta
có:
Nếu B ĐLTT thì A ĐLTT.
Nếu tập A PTTT thì tập B PTTT. 3
Từ đó suy ra mỗi tập con chứa vectơ  là tập PTTT.
Định lý 2.1.1: Hệ vectơ {1 , 2 ,..., n } , m  2 , thuộc K  không gian vectơ

V là ĐLTT khi và chỉ khi khơng có vectơ biểu diễn tuyến tính qua các vectơ
cịn lại. 3
Chứng minh:
Điều kiện cần: Giả sử hệ vectơ {1 , 2 ,..., n } , m  2 ĐLTT. Nếu có một
vectơ chẳng hạn 1 biểu diễn tuyến tính qua các vectơ cịn lại:

1  2  2  33  ...  m  m . Ta có 1  2  2  33  ...  m  m  0
trong đó 1  1  0. Trái với giả thiết hệ ĐLTT.


16

Điều kiện đủ: Giả sử hệ vectơ {1 , 2 ,..., n } thỏa mãn điều kiện khơng có
vectơ nào biểu diễn tuyến tính qua các vectơ cịn lại. Khi đó nếu có tổ hợp
tuyến tính 11  2  2  33  ...  m  m  0 thì 1  2  ...  m . Vì nếu

có

i

nào

đó

khác

0,

chẳng

hạn

1  0

ta

có:

1    112  2  ...   11m  m .
Vậy vectơ 1 biểu diễn tuyến tính qua các vectơ cịn lại, trái với giả thiết. Do
đó hệ độc lập tuyến tính.
Định lý 2.1.2: Hệ vectơ (2) phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi có ít nhất một
vectơ của hệ đó là tổ hợp tuyến tính của các vectơ cịn lại. 3
Chứng minh:
1. Giả sử 11  2  2  ...  n  n  0. Khi đó:


 1 
 2 
 n1 
1  
 2  ...  
 n1



 n 
 n 
 n 

n  

 11  2  2  ...  n1 n1

 1 
 2 
 n1 




...

 1 
 2

 n1




 n 
 n 
 n 

2. Ngược lại từ biểu diễn:  n  

 11  2  2  ...  n1 n1
Ta suy ra rằng: 11   2  2  ...   n1 n1   1 n  0
Suy ra (2) là hệ phụ thuộc tuyến tính.
Định lý 2.1.3: Giả sử trong khơng gian vectơ V cho  2  là ĐLTT. Nếu ta
ghép thêm vào hệ (2) một vectơ  không biểu diễn tuyến tính được qua hệ (2)
thì thu được hệ vectơ {1 ,  2 ,...,  n ,  }  4  cũng độc lập tuyến tính. 3
Chứng minh:
Thật vậy, giả sử  4  phụ thuộc tuyến tính. Theo định lý 2, tồn tại một vectơ
của hệ  4  biểu diễn tuyến tính được qua các vectơ còn lại. Theo giả thiết


17

định lý, vectơ đó khơng phải  . Do vậy vectơ ấy phải là một trong các vectơ
của  2  , giả sử đó là: 1  a2  2  ...  an  n  b.

 5

Có hai khả năng xảy ra:
1. Số b  0. Nếu b  0 thì 1 biểu diễn được qua các vectơ  2  và do đó hệ


 2  phụ thuộc tuyến tính. Mâu thuẫn.
2. Số b  0. Bây giờ từ  5 ta có:

1
b

  1 

a
a2
 2  ...  n  n
b
b

Từ đó lại suy ra vectơ  biểu diễn tuyến tính được qua hệ  2  . Mâu thuẫn.
Như vậy hệ  4  phải độc lập tuyến tính.
2.1.2 Cơ sở trong khơng gian vectơ các đa thức một biến
a) Tập sinh. Không gian vectơ hữu hạn chiều
Giả sử V là không gian vectơ trên trường K có hai vectơ khác nhau trở lên.
Định nghĩa 2.1.3: Tập W  V mà bao tuyến tính của nó là tồn bộ khơng
gian vectơ V ( tức là L W   V ) được gọi là tập hợp sinh của V .
Nhận xét: Người ta cũng nói khơng gian vectơ V sinh bởi tập hợp W . 5
Định nghĩa 2.1.4: Không gian vectơ V được gọi là hữu hạn chiều nếu có một
tập sinh hữu hạn.
Nói cách khác: Khơng gian vectơ V được gọi là hữu hạn chiều nếu nó có tập
sinh hữu hạn M  {1 , 2 ,..., n }, i V , i  1, n.
Sao cho mỗi vectơ thuộc V đều là tổ hợp tuyến tính của các vectơ thuộc W .
Ta lưu ý rằng trong mọi không gian vectơ V đều tồn tại tập sinh chẳng hạn
không gian V là tập sinh của chính nó. 5
Định nghĩa 2.1.5: Nếu V có một cơ sở gồm n phần tử thì V được gọi là

khơng gian n chiều, kí hiệu là: dim V  n.
Khi đó ta nói V là khơng gian hữu hạn chiều.


18

Cụ thể đối với không gian các đa thức bậc khơng q n : n  X  có cơ sở tự





nhiên là 1, X , X 2 ,..., X n . Khi đó số chiều: dim Pn  X   n  1.
Quy ước: dim   0. 5
Định lý 2.1.4: Cho S là một hệ vectơ của khơng gian vectơ V . Khi đó, các
điều kiện sau là tương đương:
i) S là cơ sở của V
ii) Mỗi vectơ của V có thể biểu diễn duy nhất qua vectơ của hệ S .
iii) S là một hệ độc lập tuyến tính tối đại của V . Khi đó ta có dimV  n thì
các điều kiện trên tương đương với:
iv) S có hệ sinh có đúng n phần nử.
v) S là một hệ ĐLTT có đúng n phần tử.
vi) S có đúng n phần tử và ma trận các cột ( dòng) là các vectơ tọa độ của
các phần tử của S theo một cơ sở đã biết có định thức khác khơng. 5
Nhận xét: Đối với khơng gian hữu hạn chiều ( giả sử dimV  n ) thì để
chứng minh một hệ vectơ gồm n vectơ là cơ sở của không gian V ta chỉ cần
chứng minh hệ vectơ này là độc lập tuyến tính.
Hệ quả 2.1.1:
i) Bất kỳ hệ sinh nào của V cũng chứa một cơ sở của V.
ii) Bất kỳ hệ độc lập tuyến tính nào cũng có thể bổ sung các vectơ để trở

thành cơ sở.
Hệ quả 2.1.2:
i) Không gian con của khơng gian hữu hạn chiều là khơng gian có số chiều
hữu hạn.
ii) Không gian chứa một không gian vô hạn là vơ hạn chiều.





Ví dụ 2.1.6: Tập các đơn thức t n , n  0 là một hệ sinh của không gian các
đa thức K t .


19

Ví dụ 2.1.7: Ta xét khơng gian vectơ mọi đa thức với hệ số thực. Khơng gian
này khơng có tập sinh hữu hạn. Thật vậy, giả sử nó có tập sinh hữu hạn

f1 ( x), f 2 ( x),..., f n ( x).
Giả sử:

N  Max deg f1 ,...,deg f n 
Khi đó mọi đa thức P  x  biểu diễn tuyến tính được qua:

f1  x  , f 2  x  ,..., f n  x  .
P  x   a1 f1  x   ...  an f n  x  sẽ có bậc khơng lớn hơn N. Do đó các đa
thức Q  x  có bậc lớn hơn N khơng thể biểu diễn tuyến tính qua

f1  x  , f 2  x  ,..., f n  x  và do vậy hệ f1 , f 2 ,..., f n khơng thể là hệ sinh.

Ví dụ 2.1.8: Trong không gian

4

cho các tập:

W1   x1 , x2 , x3 , x4  

4

: x1  x2  x3 , x1  x2  x3  2 x4 

W2   x1 , x2 , x3 , x4  

4

: x1  x2  x3 

W3   x1 , x2 , x3 , x4  

4

: x1  x2  0

a) Chứng minh W1 , W2 , W3 là các khơng gian con của

4

.


b) Tìm một cơ sở của W1 , W2 , W3 .
Giải:
Xét W1 ta có  0,0,0,0   W1

 W1  .
Từ dề bài ta có thể viết: x1  x2  x3  0 và x1  x2  x3  2 x4  0
Với mọi u   x1 , x2 , x3 , x4   W1 nghĩa là x1  x2  x3  0 và

x1  x2  x3  2 x4  0
Với mọi v   y1 , y2 , y3 , y4   W1 nghĩa là y1  y2  y3  0 và

y1  y2  y3  2 y4  0
Ta có:


20

u  v   x1  y1 , x2  y2 , x3  y3 , x4  y4 
Vì

 x1  y1    x2  y2    x3  y3    x1  x2  x3    y1  y2  y3   0  0  0
Và

 x1  y1    x2  y2    x3  y3   2  x4  y4 
  x1  x2  x3  2 x4    y1  y2  y3  2 y4 
00 0
Do đó u  v  W1 (1)
ta có: u    x1 ,  x2 ,  x3 ,  x4 

Mặt khác  

Vì

 x1   x2   x3    x1  x2  x3   .0  0

Và  x1   x2   x3  2 x4    x1  x2  x3  2 x4   .0  0
Do đó: u  W1. (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra W1 là khơng gian con của

4

.

b) Tìm một cơ sở của W1.
Ta có x1  x2  x3 và x1  x2  x3  2 x4 nên:

 x1 , x2 , x3 , x4    x1 , x2 , x1  x2 ,

x1  x2  x3 

2



  x1 , x2 , x1  x2 , x1    x1 ,0, x1 , x1    0, x2 , x2 ,0 
 x1 1,0,1,1  x2  0,1,1,0  .

Vậy hệ gồm 2 vectơ u  1,0,1,1 và v   0,1,1,0  là tập sinh của W1.

1 0 1 1 
 Khi đó r  A  2  Số dòng của A.

0 1 1 0

Xét ma trận A  

Suy ra hệ gồm 2 vectơ u và v là độc lập tuyến tính.
Vậy nó là một cơ sở của W1.
b) Cơ sở không gian vectơ đa thức một biến
i) Cơ sở tự nhiên: {1, X , X 2 ,..., X n1 , X n }


21

Không gian vectơ Pn  X  gồm đa thức không và các đa thức f ( X ) 

X 

với deg f ( X )  n có một cơ sở là F  {1, X , X 2 ,..., X n1 , X n }. Thật vậy,
mọi đa thức f ( X ) 

 X , f ( X )  a0  a1 X  ...  an1 X n1  an X n

{1, X , X 2 ..., X n1 , X n } là hệ sinh của Pn  X .
Mặt khác theo mục 2.2.1 ta lại có {1, X , X 2 ,..., X n1 , X n } là hệ ĐLTT.
Vậy F là cơ sở của Pn  X .

F gọi là cơ sở tự nhiên của Pn  X . Vậy dim 



n


 X   n  1.



ii) Cơ sở Taylor: 1, X  a,  X  a  ,...,  X  a  ... (1)
2

n

Để chứng minh (1) là cơ sở ta chứng minh:
* Tính độc lập tuyến tính
Xét:

0  1 ( X  a)  ...  n  X  a   0 (*)
n

 n X n  n1 X n1  ...  1 X  0  0
 n  0
Thay vào (*) : 0  1 ( X  a )  ...  n1 ( X  a ) n1  0
Lập luận tương tự ta có n1  0
Tiếp tục quá trình này ta được: 0  1  ...  n  0.
* Hệ sinh:
Lấy đa thức f ( X )  K  X . Giả sử f  X  có dạng:

f  X   an X n  an1 X n1  ...  a1 X  a0
+ Tìm n : Chia f  X  cho  X  a  thương là n và dư là f1  X 
n

f  X   n  X  a   f1  X 

n

Trong đó f1  X   bn1 X n1  ...  b1 X  b0
+ Tìm n1 : Chia f1  X  cho  X  a 

n1

nên