i
TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG
KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC VÀ MẦM NON
-----------------------

NGUYỄN NGỌC HIỀN

VỀ TẬP SỐ TỰ NHIÊN VÀ MỐI LIÊN HỆ
VỚI MỘT SỐ NỘI DUNG MƠN TỐN
Ở TIỂU HỌC

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Ngành: Giáo dục Tiểu học

Phú Thọ, 2020


ii

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG
KHOA GIÁO DỤC TIÊỦ HỌC VÀ MẦM NON

-----------------------

NGUYỄN NGỌC HIỀN

VỀ TẬP SỐ TỰ NHIÊN VÀ MỐI LIÊN HỆ
VỚI MỘT SỐ NỘI DUNG MƠN TỐN
Ở TIỂU HỌC

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Ngành: Giáo dục Tiểu học

NGƯỜI HƯỚNG DẪN: TS. NGUYỄN TIẾN MẠNH

Phú Thọ, 2020


iii

LỜI CAM ĐOAN
Kết quả nghiên cứu khóa luận: “Về tập số tự nhiên và mối liên hệ với
một số nội dung mơn Tốn ở Tiểu học” là thành quả của việc tự tìm hiểu, tự
nghiên cứu dưới sự chỉ bảo của giáo viên hướng dẫn và tham khảo những tài
liệu có liên quan.
Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi, không trùng
với đề tài của tác giả nào khác. Tất cả các số liệu và kết quả nghiên cứu trong
khóa luận này là trung thực.

Phú thọ, ngày…tháng…năm 2020
Người viết
Nguyễn Ngọc Hiền


iv

LỜI CẢM ƠN
Khóa luận: “Về tập số tự nhiên và mối liên hệ với một số nội dung
mơn Tốn ở Tiểu học” hồn thành là kết quả q trình học tập, nghiên cứu
của người thực hiện cùng với sự hướng dẫn tận tình của q thầy, cơ và sự
giúp đỡ của gia đình, bạn bè, đồng nghiệp.

Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Tiến Mạnh, người đã
tận tình hướng dẫn tơi trong suốt q trình nghiên cứu và hồn thành khóa
luận. Tơi xin trân trọng cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học Hùng Vương,
ban lãnh đạo khoa Giáo dục Tiểu học và Mầm non, cùng tồn thể các thầy cơ
trong khoa đã rất quan tâm, tạo mọi điều kiện cho tôi học tập và nghiên cứu.
Đồng thời tơi xin tỏ lịng biết ơn tồn thể gia đình, người thân, bạn bè đã
ln ủng hộ, động viên để tơi hồn thành tốt khóa luận của mình.
Mặc dù bản thân đã cố gắng, nỗ lực để hồn thành, song do thời gian và
năng lực có hạn nên khóa luận cịn nhiều hạn chế, thiếu sót. Tơi kính mong
nhận được sự chỉ bảo của q thầy cơ và các bạn để khóa luận được hồn
thiện hơn.
Tơi xin chân thành cảm ơn!
Phú thọ, ngày…tháng…năm 2020
Người viết
Nguyễn Ngọc Hiền


v
MỤC LỤC
TRANG PHỤ BÌA …………….....…………………………………………..i
LỜI CAM ĐOAN…………………………………………………..………..ii
LỜI CẢM ƠN……………………………………..………………………...iii
MỤC LỤC ………………………...………………………………………...iv
PHẦN MỞ ĐẦU… ……………………………………………..…………...1
1. Tính cấp thiết của đề tài ............................................................................. 1
2. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn.................................................................... 3
2.1. Ý nghĩa khoa học ....................................................................................... 3
2.2. Ý nghĩa thực tiễn ........................................................................................ 3
3. Mục tiêu nghiên cứu.................................................................................... 3
4. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................. 3

5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.............................................................. 4
5.1. Đối tượng nghiên cứu................................................................................. 4
5.2. Phạm vi nghiên cứu .................................................................................... 4
6. Phương pháp nghiên cứu............................................................................ 4
7. Cấu trúc khóa luận………………….…………………………………….4
PHẦN NỘI DUNG .......................................................................................... 5
CHƯƠNG 1: TẬP SỐ TỰ NHIÊN ................................................................ 5
1.1. Xây dựng tập hợp số tự nhiên theo bản số............................................ 5
1.1.1. Tập hợp tương đương .............................................................................. 6
1.1.2. Tập hợp vô hạn ...................................................................................... 13
1.1.3. Tập hợp hữu hạn.................................................................................... 13
1.1.4. Quan hệ thứ tự trên tập số tự nhiên….. ................................................. 14
1.2. Dãy số tự nhiên ....................................................................................... 16
1.2.1. Số kề sau................................................................................................ 17
1.2.2. Các tính chất .......................................................................................... 17
1.2.3. Dãy số tự nhiên ..................................................................................... 18
1.2.4. Tính vơ hạn của tập hợp số tự nhiên ..................................................... 19
1.3. Nguyên lí quy nạp và tính sắp thứ tự tốt ............................................. 20
1.3.1. Nguyên lí quy nạp ................................................................................. 20
1.3.2. Tính sắp thứ tự tốt ................................................................................. 22
1.3.3. Bộ phận bị chặn trên ............................................................................. 23
1.4. Xây dựng tập số tự nhiên theo tiên đề Peano ...................................... 24


vi
1.4.1. Hệ tiên đề Peano.................................................................................... 25
1.4.2. Mơ hình và hình thức thể hiện của tập số tự nhiên………..…………..27
1.5. Giải và khai thác một số bài tập liên quan. ......................................... 30
TIỂU KẾT CHƯƠNG 1 ............................................................................... 38
CHƯƠNG 2: CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP SỐ TỰ NHIÊN ............... 39

2.1. Phép cộng, phép trừ ............................................................................... 42
2.1.1. Hợp của các tập hữu hạn ....................................................................... 42
2.1.2. Sự tồn tại của hai tập hữu hạn khơng có phần tử chung có bản số bằng
hai số tự nhiên cho trước. ................................................................................ 44
2.1.3. Phép cộng và tính chất .......................................................................... 46
2.1.4. Phép trừ ................................................................................................. 48
2.2. Phép nhân................................................................................................ 48
2.2.1. Tích đề - các của tập hữu hạn................................................................ 48
2.2.2. Phép nhân và tính chất .......................................................................... 49
2.3. Phép chia ................................................................................................. 52
2.3.1. Phép chia hết ......................................................................................... 52
2.3.2. phép chia có dư ..................................................................................... 55
2.4. Mối quan hệ giữa các phép toán ........................................................... 56
2.4.1. Mối quan hệ giữa phép cộng và phép trừ .............................................. 56
2.4.2. Mối quan hệ giữa phép nhân và phép cộng, phép trừ ........................... 57
2.5. Giải và khai thác một số bài tập về phép toán trên tập số tự nhiên .. 60
TIỂU KẾT CHƯƠNG 2 ............................................................................... 68
CHƯƠNG 3: MỐI LIÊN HỆ VỚI MỘT SỐ NỘI DUNG MƠN TỐN Ở
TIỂU HỌC ..................................................................................................... 69
3.1. Mối liên hệ với dạy khái niệm số tự nhiên, so sánh hai số ................. 69
3.1.1. Phân tích cơ sở toán học ....................................................................... 69
3.1.2. Nội dung dạy khái niệm số tự nhiên, so sánh hai số ............................. 70
3.2. Mối liên hệ với dạy phép toán cộng, phép toán trừ ............................ 76
3.2.1. Phân tích cơ sở tốn học ....................................................................... 76
3.2.2. Nội dung dạy phép toán cộng, phép toán trừ ........................................ 78
3.3. Mối liên hệ với dạy phép toán nhân ..................................................... 79
3.3.1. Phân tích cơ sở tốn học ....................................................................... 79
3.3.2. Nội dung dạy phép toán nhân ............................................................... 81
3.4. Mối liên hệ với dạy phép toán chia ....................................................... 82



vii
3.4.1. Phân tích cơ sở tốn học ....................................................................... 82
3.4.2. Nội dung dạy phép toán chia................................................................. 83
3.5. Một số vướng mắc của học sinh trong quá trình học, làm bài liên
quan đến số tự nhiên ..................................................................................... 84
TIỂU KẾT CHƯƠNG 3 ............................................................................... 86
KẾT LUẬN .................................................................................................... 87
TÀI LIỆU THAM KHẢO …………………………………………………88


i


1
PHẦN MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết của đề tài
Bậc học tiểu học là bậc đặt ra nền móng cung cấp những tri thức khoa
học ban đầu về tự nhiên xã hội, trang bị các phương pháp kĩ năng ban đầu về
hoạt động nhận thức và hoạt động thực tiễn. Chất lượng giáo dục phụ thuộc
rất nhiều vào kết quả đào tạo ở Tiểu học. Mỗi môn ở Tiểu học đều góp phần
vào việc hình thành và phát triển những cơ sở ban đầu của nhân cách con
người Việt Nam. Trong các mơn học ở Tiểu học, mơn Tốn nắm vị trí vơ
cùng quan trọng. Các kiến thức, kĩ năng mơn Tốn có rất nhiều ứng dụng
trong đời sống. Giáo dục Việt Nam đang tập trung đổi mới, hướng tới một
nền giáo dục tiến bộ, hiện đại ngang tầm với các nước trong khu vực và toàn
thế giới. Nâng cao chất lượng dạy học nói chung, chất lượng dạy học tốn nói
riêng đang là yêu cầu cấp bách đối với ngành giáo dục nước ta hiện nay. Một
trong những nhiệm vụ và giải pháp giáo dục được đề ra là “Nâng cao chất
lượng giáo dục toàn diện. Đổi mới cơ cấu, tổ chức, nội dung, phương pháp

dạy và học theo hướng chuẩn hóa, hiện đại hóa, xã hội hóa. Phát huy trí sáng
tạo, khả năng vận dụng, thực hành của người học”. [2]
Giữa tốn học và thực tiễn có mối quan hệ mật thiết. Với vai trị đặc
biệt, tốn học trở nên thiết yếu đối với mọi ngành khoa học và có ứng dụng
rộng rãi trong rất nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ, sản xuất
và đời sống. Trong chương trình giáo dục phổ thơng tổng thể mục tiêu của
giáo dục phổ thông được chỉ rõ: “Giúp người học làm chủ kiến thức phổ
thông; Biết vận dụng hiệu quả kiến thức vào đời sống và tự học suốt đời”. [3]
Tốn khơng chỉ là mơn về con số, mơn tốn cịn giúp ta nhìn ra những
học sinh có tư duy logic, rành mạch, có năng lực. Từ đó giúp các em tiếp cận
và xử lí các lĩnh vực, các tình huống trong thực tế một cách dễ dàng hơn.
Ngồi ra, nó cịn có vai trị quan trọng trong việc rèn luyện và phát triển năng
lực tư duy, năng lực giải quyết vấn đề, năng lực giao tiếp, suy luận một cách
khoa học và có căn cứ.


2
Học Tốn khơng chỉ giải quyết những vấn đề trước mắt mà cịn có khả
năng giải quyết những nhiệm vụ lâu dài, những vấn đề phức tạp trong quá
trình học tập và trong cuộc sống. Ở Tiểu học, nội dung kiến thức là những
kiến thức mở đầu, tuy sơ giản nhưng lại là kiến thức nền tảng cho quá trình
học tập sau này. Học sinh được làm quen với toán học từ những ngày đầu đến
trường. Thực tế giáo dục đã xây dựng các nội dung phù hợp với tâm sinh lí
học sinh bao gồm 5 chủ đề kiến thức lớn đó là:
- Những kiến thức về số học
- Các yếu tố đại số
- Các yếu tố hình học (…)
- Phép đo đại lượng
- Giải tốn có lời văn
Trong đó phần số học về số tự nhiên đóng vai trị quan trọng. Được

giảng dạy nhiều trong chương trình mơn tốn, nó xuyên suốt từ buổi đầu lớp 1
đến hết bậc học Tiểu học. Ngày nay, số tự nhiên được sử dụng mọi lúc, mọi
nơi trong đời sống xã hội: Trong giao dịch mua bán, thư tín, điện thoại, sinh
hoạt hàng ngày.
Việc dạy cho học sinh tiểu học nắm được các kiến thức liên quan đến số
tự nhiên một cách vững vàng là vô cùng cần thiết. Là một sinh viên sư phạm
Tiểu học, em luôn trăn trở làm thế nào để tìm hiểu nội dung dạy học số tự
nhiên trong mơn tốn ở Tiểu học một cách đầy đủ, chính xác và gắn liền với
nội dung mơn tốn đã được học ở bậc Đại học. Chương trình học ở bậc Đại
học chúng ta đã được tìm hiểu một cách rõ ràng, hệ thống và nhận thức một
cách đúng hơn về tầm quan trọng của mơn tốn nói chung và số tự nhiên nói
riêng.
Với tư cách là một giáo viên Tiểu học trong tương lai, tôi cần phải vận
dụng được các kiến thức mình đã học và đặc biệt là ở đại học để phân tích nội
dung, chương trình sách giáo khoa ở Tiểu học thì mới có thể đạt hiệu quả tối
ưu trong dạy và học mơn tốn ở nhà trường Tiểu học. Chính những lí do trên,


3
tôi chọn đề tài: “Về tập số tự nhiên và mối liên hệ với một số nội dung mơn
Tốn ở Tiểu học” nhằm giúp giáo viên có cái nhìn rõ hơn về cơ sở toán học
của tập số tự nhiên và việc dạy học số tự nhiên trong chương trình mơn Tốn
ở Tiểu học.
2. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
2.1. Ý nghĩa khoa học
Làm rõ thêm cơ sở toán học của tập số tự nhiên thơng qua việc phân
tích, khai thác những vấn đề lí thuyết, bài tập và mối liên hệ với một số nội
dung mơn Tốn ở Tiểu học.
2.2. Ý nghĩa thực tiễn
Trên cơ sở phân tích làm rõ mối liên hệ giữa cơ sở toán học của tập số

tự nhiên với một số nội dung môn Tốn ở Tiểu học, khóa luận có thể được sử
dụng như một tài liệu tham khảo hữu ích dành cho giáo viên, sinh viên ngành
Giáo dục Tiểu học.
3. Mục tiêu nghiên cứu
Phân tích, khai thác những kiến thức và bài tập liên quan vấn đề xây
dựng tập số tự nhiên, các phép toán trên tập số tự nhiên và chỉ ra mối liên hệ
của chúng với một số nội dung thuộc chủ đề số và phép tính trong mơn Tốn
ở Tiểu học.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tìm hiểu, tiếp cận số tự nhiên qua hệ tiên đề, bản số (tùy mục đích)
- Nghiên cứu cơ sở tốn học về các vấn đề: tập hợp tương đương, tập hợp
hữu hạn, tập hợp vô hạn.
- Nghiên cứu vấn đề xây dựng tập số tự nhiên theo bản số, theo hệ tiên đề
Peano, quan hệ thứ tự trên tập số tự nhiên, các phép toán trên tập số tự
nhiên.
- Khai thác những bài toán liên quan đến: tập hợp tương đương, tập hợp
hữu hạn, tập hợp vơ hạn, các phép tốn trên tập số tự nhiên.


4
- Phân tích làm rõ sự thể hiện cơ sở toán học của tập số tự nhiên đối với
những nội dung liên quan trong mơn Tốn ở Tiểu học: khái niệm số tự
nhiên.
- So sánh hai số, phép toán cộng, phép toán trừ, phép toán nhân, phép toán
chia.
5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
5.1. Đối tượng nghiên cứu
Tập số tự nhiên (khái niệm, quan hệ thứ tự, các phép tốn).
5.2. Phạm vi nghiên cứu
Khóa luận giới hạn việc nghiên cứu các những tính chất cơ bản đầu tiên

của quan hệ thứ tự, các phép toán trên tập số tự nhiên mà chúng liên quan trực
tiếp đến chương trình mơn Toán ở Tiểu học.
6. Phương pháp nghiên cứu
Để thực hiện các nhiệm vụ và mục tiêu đặt ra của khóa luận, tôi dựa
vào một số kiến thức cơ bản của tốn học, bao gồm: lí thuyết tập hợp và ánh
xạ, phép tốn trên tập số tự nhiên. trước hết, tơi nghiên cứu và tìm hiểu về: Cơ
sở tốn học của tập số tự nhiên (khái niệm, quan hệ thứ tự, các phép tốn);
Nội dung chương trình mơn tốn ở tiểu học; Một số tài liệu mơn tốn ở tiểu
học (sách giáo khoa, sách bài tập,…). Tiếp theo, tơi phân tích, khai thác
những vấn đề lí thuyết và bài tập liên quan đến số tự nhiên để làm rõ hơn cơ
sở toán học, lịch sử toán học của khái niệm số tự nhiên, trên cơ sở đó chỉ ra
mối liên hệ, sự thể hiện của những vấn đề cơ sở toán học này trong nội dung
mơn tốn ở Tiểu học.
7. Cấu trúc khóa luận
Ngồi phần mở đầu và phần kết luận, nội dung chính của khóa luận
được chia thành 3 chương.
+ Chương 1: Xây dựng tập số tự nhiên
+ Chương 2: Các phép toán trên tập số tự nhiên
+ Chương 3: Mối liên hệ với một số nội dung dạy học toán ở tiểu học


5
PHẦN NỘI DUNG
CHƯƠNG 1: TẬP SỐ TỰ NHIÊN
1.1.

Xây dựng tập hợp số tự nhiên theo bản số
Cách tiếp cận theo bản số này được nhà tâm lý học Piaget đưa ra trong

tác phẩm “La genèse du nombre chez l ‘enfant” (sự phát triển số của trẻ).

Cách tiếp cận của ông dựa trên nền tảng logic. Luận điểm chính của ơng là kết
hợp cả hai quan điểm về số: quan hệ thứ tự và lớp. Theo ơng: “Thật là khơng
chính xác nếu xây dựng số tự nhiên chỉ dựa vào một trong hai số thứ tự hay
bản số. Thay vì vậy, số tự nhiên có thể đồng nhất cả hai: thứ tự và bản số”.
một số điều rút ra từ quan điểm của Piaget.
Đầu tiên, ông giả định Russell đúng khi ông cho số tự nhiên đồng nhất
với bản số. Có các nguyên nhân để nghi ngờ rằng sự kết nối giữa số và tính
chất cùng số lượng của các lớp riêng biệt như lý thuyết của Frege và Russell.
Piaget không ủng hộ các tranh luận này. Thứ hai, mặc dù khái niệm số được
suy ra từ khái niệm số giữa các lớp, nhưng điều đó khơng phải là tất cả những
gì nó có liên quan. Thứ ba, ngồi tương ứng ra, cũng nên giới thiệu thứ tự như
là khái niệm cơ bản trong lý thuyết. Điều này sẽ cho mỗi số hạng trong lớp
bất kỳ là số thứ tự. Bằng cách phát hiện ra quy luật là: mỗi cặp số hạng của
các lớp khác nhau phải có cùng số thứ tự. Chúng ta chắc chắn rằng, với hai
lớp có cùng số phần tử đã cho, mỗi số hạng trong lớp này sẽ được ghép đôi
một và chỉ một số hạng trong lớp cịn lại và ngược lại. Khi đó, số tự nhiên sẽ
lấy nghĩa của hai cách tiếp cận kia.
Bản số của một tập hợp hữu hạn được gọi là một số tự nhiên. Tập hợp
các số tự nhiên được kí hiệu là N . Như vậy, nếu x là số tự nhiên thì tồn tại
một tập hữu hạn x sao cho CardX = x .
Ở Tiểu học, trong môn toán khái niệm số tự nhiên được xây dựng dựa
theo tinh thần của lí thuyết tập hợp và sử dụng các hình ảnh trực quan để giới
thiệu về từng lớp các tập hợp có từng phần tử (Lớp các tập hợp có cùng lực
lượng) từ đó giới thiệu khái niệm ban đầu về số.


6
Số liền trước thêm một đơn vị thành số liền sau. người đầu tiên tiếp cận
số tự nhiên theo lối này chính là nhà tốn học Cantor. Trong khi, cách tiếp cận
quan hệ đồng nhất số tự nhiên với số thứ tự, cách tiếp cận bản số lại đồng

nhất số tự nhiên với bản số. Bản số của một tập hợp hữu hạn là một số tự
nhiên. Như vậy, nếu a là số tự nhiên thì tồn tại một tập hữu hạn A, sao cho:
a = CardA. trong quá trình phát triển lý thuyết tập hợp, Cantor phát minh ra
khái niệm bản số trong những năm từ 1874 đến 1884.
Đầu tiên, ông thiết lập bản số như là công cụ để so sánh các tập hợp
hữu hạn. Ví dụ, các tập hợp 1,3,5 và 2,3,4 khơng bằng nhau, nhưng có
cùng số phần tử, tức là 3. Bên cạnh đó, ơng đưa ra khái niệm phép tương ứng
1-1. Phép tương ứng này cho phép chứng minh hai tập hợp hữu hạn có cùng
bản số nếu có một tương ứng 1-1 giữa các phần tử của các tập hợp. Khi sử
dụng tương ứng 1-1 này, ông chuyển từ khái niệm này sang các tập hợp vô
hạn, tức tập hợp các số tự nhiên n = 1,2,3,....
Khái niệm về bản số: để mở rộng khái niệm "số" phần tử của một tập
hữu hạn, Cantor đã đưa ra khái niệm bản số của một tập hợp để đặc trưng cho
“số lượng” các phần tử của tập hợp đó. Mỗi tập hợp có một bản số. Bản số
của tập hợp A kí hiệu là |A| hoặc CardA; bản số của hai tập hợp A và B là
bằng nhau, |A| = |B|, khi và chỉ khi A và B tương đương với nhau, nghĩa là có
một song ánh từ tập hợp A đến tập hợp B.
1.1.1. Tập hợp tương đương
Định nghĩa 1.1.1.1: Các tập hợp tương đương, còn gọi là tập hợp đẳng
lực, là các tập hợp mà giữa các phần tử của chúng có thể thiết lập quan hệ
tương đương, tức quan hệ tương ứng 1 - 1 hay cịn gọi là song ánh.
Ta nói tập hợp A tương đương với tập hợp B, nếu có một song ánh f từ A lên
B và viết là A ~ B .
Như vậy: A ~ B khi và chỉ khi tồn tại một song ánh f : A → B
Ví dụ 1.1.1.1:


7
Tập hợp A các ngón tay của bàn tay phải tương đương với tập hợp B các ngón
tay của bàn tay trái. Thật vậy, tương ứng f: A → B cho tương ứng ngón cái với

ngón cái, ngón trỏ với ngón trỏ, ngón giữa với ngón giữa, ngón áp út với ngón
áp út và ngón út với ngón út, rõ ràng là một song ánh 1:1 từ A lên B
Ví dụ 1.1.1.2:

A
M

B

M’

C

Xét tam giác ABC . kí hiệu [AB] và [CB] tương ứng là tập hợp các điểm
của cạnh AB và CB.
Ta có [AB] ~ [CB].
Thật vậy, xét ánh xạ f : [AB] → [CB] xác định như sau: với mọi điểm M trên
cạnh AB, đặt:
C khi M = A

f ( x) =  B khi M = B
( M # A, M # B)
 M ’ sao cho MM ’ / / AC;


Rõ ràng f là một song ánh
 Đoạn thẳng tương đương đoạn thẳng

c)
Ta có: AB ~ AE


B

CD ~ AE (song song bằng nhau)

nên AB ~ CD
A

E

C

D


8
Ví dụ 1.1.1.3:

M

O

A

M’

B

̂ các điểm của nửa đường trịn đường kính AB và tập
Xét tập hợp 𝐴𝐵

̂ ~ [AB]. Thật vậy, ta xét
hợp [AB] các điểm của đoạn thẳng AB. Ta có 𝐴𝐵
̂ → [ab] xác định như sau: với mọi điểm x của nửa đường tròn
ánh xạ f : 𝐴𝐵
đường kính AB ta đặt f(M) = M’, trong đó M’ là chân đường vng góc hạ từ
điểm M đến AB.
Rõ ràng f là một song ánh
Ví dụ 1.1.1.4: Cung trịn tương đương đoạn thẳng tùy ý.

m

AmB ~ CD

Vì AmB ~ AB

 AmB ~ CD

AB ~ CD

A

B
D
C

Ví dụ 1.1.1.5:
a) Nửa đường tròn tương đương đoạn thẳng
m

A


R

B
C D
n
O

AmB ~ [AB] ~ [AO]
AnB ~ [CD]
(O; R) ~ [AO]  (C; D)  AB
[AB] ~ ( AmB)  (O; R)
 AmB ~ CD ;  AnB ~ CD

n


9
b) Đường tròn tương đương đoạn thẳng CD tùy ý

( O; R )

(

)

= AmB  AnB \ {A, B} .

(ta bỏ {A, B} vì A, B lấy 1 lần: hợp rời nhau)
vậy ( O; R ) = AmB  AnB (A, B lấy 2 lần, trùng lặp: hợp không rời nhau)

AmB ~ AB ~ AO
AmB ~ AB ~ CD

(

)

⇒ AmB  AnB \ {A, B} ~ tập con của AO  CD  AB ~ tập con của AB
vậy ( O; R ) ~ tập con của AB

⇒ ( O; R ) ~ AB

mà AB ~ AmB là tập con của ( O; R )
mà AB ~ mọi đoạn CD ⇒ ( O; R ) ~ CD tùy ý
Ví dụ 1.1.1.6: Đường tròn tương đương đường tròn.
R’

(O; R ) → (O; R’)
M

O

M’

R

(Như hình vẽ O, M, M’ thẳng hàng)

M1’
M1

A

mM
O

M’

M

O’

M2
M2’
Vị tự tâm A , tỉ số k =

AO '
AO

M M
M’
m’


10

M1’

M1

O’


O
M

M’
M2’

M2

(O; R ) ~ (O '; R )

: bằng nhau

tịnh tiến theo Vecto OO '

f = TOO '

Vậy 2 đường trịn ln tương đương (cùng bản số)
Ví dụ 1.1.1.7: Đa giác tương đương đường thẳng
A2

A3
B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7

A1

A4

A6
A1 A2

A2 A3
A3 A4
A5 A6
A6 A1

~
~
~
~
~

A5

B1 B2
B2 B3
B3 B4
B5 B6
B6 B1

vậy A1 A2 A3 A4 A5 A6 ~ B1B2 B3 B4 B5 B6
Ví dụ 1.1.1.8: Mặt cầu tương đương 2 hình trịn
Nửa mặt cầu tương đương hình trịn
Mặt cầu bằng hợp 2 nửa mặt cầu tương đương với 2 hình trịn (lấy rời nhau)
Ví dụ 1.1.1.9: Mặt cầu tương đương tập con mặt phẳng
(Vì mặt cầu tương đương 2 hình trịn, 2 hình trịn là tập con mặt phẳng)
Ví dụ 1.1.1.10: Mặt phẳng tương đương mặt cầu bỏ đi 1 điểm
(Mặt phẳng tương đương tập con mặt cầu)


11

Cho mặt phẳng ( )
Mặt cầu ( S ) tâm O , tiếp xúc ( ) .
M  ( ) :

từ đỉnh p nối m cắt ( S ) tại M’

Tương ứng M ⟶ M’ cho ta song ánh
Từ () → ( s ) \  p → bỏ đi p
vậy () → ( s ) \  p
Ngoài ra cịn có các tập hợp tương đương như :tập hợp số chẵn và tập
hợp số lẻ, tập hợp số dương và tập hợp số âm, tập hợp các điểm trên một cung
tròn mở và tập hợp các điểm trên một đường thẳng.
Định lí sau cho ta thấy quan hệ tương đương giữa các tập hợp đúng là
một quan hệ hai ngơi tương đương trên lớp các tập hợp.
Định lí: Quan hệ tương đương giữa hai tập hợp thỏa mãn 3 tính chất:
phản xạ, đối xứng, bắc cầu.
Chứng minh:
(1). Tính chất phản xạ:
Với mọi tập hợp a, ta ln có A ~ A
Chứng minh: vì ánh xạ đồng nhất idA : A → A là một song ánh, nên ta luôn có
A ~ A với mọi tập hợp A
(2). Tính chất đối xứng:
Với mọi tập hợp a, b, nếu A ~ B thì B ~ A
chứng minh: nếu A ~ B thì theo định nghĩa, tồn tại một song ánh f: A → A .
khi đó ánh xạ ngược f –1 : B → A cũng là một song ánh. vậy B ~ A
(3). Tính chất bắc cầu:
Với mọi tập hợp A, B, C, nếu A ~ B và B ~ C thì A ~ C
Chứng minh: nếu A ~ B và B ~ C theo định nghĩa, tồn tại các song ánh
f : A → B và g : B → C . khi đó ánh xạ tích g º f : A → C cũng là một song ánh.
vậy A ~ C .



12
Đối với học sinh tiểu học, mới chỉ hình thành các khái niệm đầu tiên về
tập hợp, phần tử của tập hợp thông qua việc kể tên đồ vật của tập hợp sau đó
dùng các từ quen thuộc, tương đương để nói về tập hợp.
Ví dụ: “Có 6 con vịt hợp thành một đàn vịt”
Định lí Cantor: Với hai tập hợp A và B bất khì ln xảy ra một trong
hai trường hợp sau:
1)

A tương đương với một bộ phận của B

2)

B tương đương với một bộ phận của A

Nếu xảy ra đồng thời cả hai trường hợp trên thì a tương đương với b.
Chú ý: A tương đương với bộ phận B’ của tập hợp của B, nghĩa là tồn tại một
song ánh f từ A đến B’. Khi đó, nếu coi f là một ánh xạ từ A vào B thì f là một
đơn ánh. Ngược lại, nếu có một đơn ánh f: A → B , thì đặt B ' = f ( A)  B ta có
A ∼B’.
Do đó, định lí Cantor có thể được phát biểu như sau:
Với hai tập hợp A và B bất kì, ln xảy ra một trong hai trường hợp sau:
1) Có một đơn ánh từ A đến B
2) Có một đơn ánh từ B đến A
Nếu xảy ra đồng thời cả hai trường hợp thì có một song ánh từ A đến B
Chú ý: A tương đương với bộ phận B’ của tập hợp của B, nghĩa là tồn
tại một song ánh f từ A đến B’. Khi đó, nếu coi f là một ánh xạ từ A vào B thì
f là một đơn ánh. Ngược lại, nếu có một đơn ánh f: A → B , thì đặt

B ' = f ( A)  B

ta có: A ∼B’.

Như vậy mệnh đề “A tương đương với một bộ phận của B”, có thể diễn đạt
theo một cách khác là: “Tồn tại một đơn ánh từ A đến B”.
Chú ý: nếu A và B là hai tập hợp không tương đương nhau thì từ định
lí Cantor sẽ xảy ra một và chỉ một trong hai trường hợp sau:
1) A tương đương với một bộ phận thực sự của B
2) B tương đương với một bộ phận thực sự của A


13
Khái niệm về một tập hợp, tập hợp tương đương được thể hiện rõ trong việc
hình thành các số.
Ví dụ:
Ở bài “ các số 1, 2, 3”, khi giới thiệu về số 1, sách giáo khoa đưa ra các tập
hợp khác nhau nhưng cùng một lực lượng (cùng số lượng là một) hay cùng
một bản số như: các tập “ con chim”; “em bé”; “chấm trịn”; “con tính”.
Trong mơn tốn ở lớp 1, nội dung ánh xạ cũng được giới thiệu ở mức độ đơn
giản nhất thơng qua việc hình thành cho các em khái niệm “tương ứng 1-1”
giữa các phần tử của hai tập hợp. Ví dụ, trong bài nhiều hơn, ít hơn, khi học
sinh so sánh “số thìa” và “số bát” bằng cách đặt một chiếc thìa vào trong một
chiếc bát tức là học sinh đã thiết lập được tương ứng 1-1. Đây chính là việc
xác lập một đơn ánh từ tập “số thìa” lên tập “số bát”
1.1.2. Tập hợp vô hạn
Định nghĩa 1.1.2.1: Tập hợp tương đương với một bộ phận thực sự của
nó được gọi là một tập hợp vơ hạn.
Ví dụ 1.1.2.1:
D


A

C

B

Nếu A và B là hai điểm phân biệt trên một mặt phẳng thì tập hợp [AB]
các điểm của đoạn thẳng AB là một tập vô hạn. Thật vậy, lấy một điểm C
nằm giữa A và B (C ≠ A, C ≠ B) và một điểm D nằm ngoài AB. Rõ ràng tập
hợp [AC] các điểm của đoạn AC là một bộ phận thực sự của tập hợp [AB].
Mặt khác, [AB] ~ [AD] và [AC] ~ [AD], từ đó suy ra [AB] ~ [AC].
Vậy ta có thể phát biểu như sau: Tập hợp A là một tập hợp vơ hạn nếu có
một đơn ánh f từ A đến A sao cho f không phải là một toàn ánh.
1.1.3. Tập hợp hữu hạn


14
Một tập hợp không phải là tập hợp vô hạn được gọi là một tập hợp hữu
hạn. Nói cách khác: Tập hợp A được gọi là tập hợp hữu hạn nếu a khơng
tương đương với bất kì tập con thực sự nào của A. Hay, tập hợp A là hữu hạn
nếu mọi đơn ánh f từ A đến A là tồn ánh.
Ví dụ 1.1.2.2:
- Tập rỗng là một tập hữu hạn, vì nó khơng có một tập con thực sự (bộ phận
thực sự) nào, do đó nó khơng thể tương đương với một bộ phận thực sự nào.
- Tập đơn tử {a} là hữu hạn, vì chỉ có một đơn ánh duy nhất: f : a → {a} và
hiển nhiên đơn ánh này là một tồn ánh.
Các tính chất của tập hợp hữu hạn:
Tính chất 1: Tập hợp tương đương với một tập hữu hạn là một tập hữu hạn
Tính chất 2: Tập hợp con của một tập hữu hạn là hữu hạn

Tính chất 3: Nếu A và B là hai tập hợp hữu hạn và A ~ B thì A \ B ~ B \ A
Tính chất 4: Giả sử A là một tập hợp hữu hạn A1, A2 là hai bộ phận của A.
Nếu A1 ~ A2 thì ta cũng có A\ A1 ~ A\ A2
Tính chất 5: Hợp của hai tập hợp hữu hạn là một tập hợp hữu hạn
1.1.4. Quan hệ thứ tự trên tập số tự nhiên
Giả sử a, b là hai số tự nhiên thuộc N, khi đó, tồn tại các tập hợp A và
B sao cho a = CardA, b = CardB ta nói a nhỏ hơn hoặc bằng b, và viết a ≤ b,
nếu A tương đương với một bộ phận của B. Khi a ≤ b và a ≠ b ta viết a < b.
Mặt khác, theo định lí Cantor, giữa hai tập hợp A và B bất kì ta ln có hoặc
A tương đương với một bộ phận của B, hoặc B tương đương với nột bộ phận
của A. Vậy, với hai số tự nhiên a và b bất kì ta ln có hoặc a ≤ b hoặc b ≤ a,
và quan hệ thứ tự là một quan hệ toàn phần trên N.
Như ta đã biết, mệnh đề “ A tương đương với một bộ phận của B” có
thể diễn đạt theo một cách khác là “ có một đơn ánh từ A đến B”. Do đó dịnh
nghĩa trên có thể phát biểu lại như sau: Với a = CardA, b = CardB , ta nói a
nhỏ hơn hoặc bằng b nếu có một đơn ánh f: A → B .


15
Mặt khác, khi có một đơn ánh f từ A đến B thì A ' = f ( A)  B và A ∼
A’, nghĩa là ta có thể coi a = CardA’ với A '  B . Vì vậy ta có thể nói: với
a, b  N , a  b nếu tồn tại các tập hợp hữu hạn A, B sao cho A ⊂ B và

a = CardA, b = CardB . Định nghĩa trên không phụ thuộc vào việc chọn các

tập hợp A, B.
Thật vậy, giả sử A’, B’ là hai tập hợp hữu hạn sao cho tồn tại các tập
hợp A’ và B’ sao cho a = CardA’, b = CardB’ . Khi đó A  A’, B  B’ . Do đó tồn
tại các song ánh f : A ' → A và g : B ' → B . Nếu A tương đương với một bộ phận
của B, nghĩa là tồn tại một đơn ánh, h : A → B ta có sơ đồ sau:

f
h
g
A ' ⎯⎯
→ A ⎯⎯
→ B ⎯⎯
→B'

Đặt φ = g (h f ) thì rõ ràng φ là một song ánh từ A’ đến B’. Như vậy,
nếu A tương đương với một bộ phận của B thì với mọi tập hợp A’, B’ mà ta
có: a = CardA’, b = CardB’ ta cũng có A’ tương đương với một bộ phận của
B’.
Ví dụ 1.1.2.3:
Ta biết 0 = Card là một số tự nhiên. Vì  là tập hợp con của mọi tập
hợp nên 0  a với mọi số tự nhiên a.
Quan hệ là một quan hệ thứ tự toàn phần trong tập hợp các số tự nhiên.
Chứng minh: Trước hết ta kiểm tra rằng quan hệ thỏa mãn các yêu cầu của
một quan hệ thứ tự.
- Tính chất phản xạ: ∀a ∈ N, a ≤ a. Thật vậy, vì a ∈ N nên tồn tại một tập
hợp hữu hạn A sao cho a = CardA . Và ta ln có A  A , do đó a  a theo
định nghĩa.
- Tính chất phản đối xứng: a, b  N nếu a  b và b  a thì a = b . Thật
vậy, giả sử a = CardA, b = CardB . Từ giả thiết a  b suy ra A tương
đương với một bộ phận của B. Từ giả thiết b  a suy ra B tương đương
với một bộ phận của A. Nhưng khi đó theo định lí Cantor ta có A ~ B
hay a = b .


16
- Tính chất bắc cầu: a, b, c  N nếu a  b và b  c thì a  c . Thật vậy, giả

sử a = CardA, b = CardB, c = CardC . Từ giả thiết a  b và b  c suy ra
có các đơn ánh f và g như sau:
f
g
A ⎯⎯
→ B ⎯⎯
→C

Khi đó, rõ ràng g f là một đơn ánh từ A đến C. Vậy a  c . Như vậy quan
hệ ≤ (nhỏ hơn hoặc bằng) là một quan hệ thứ tự trên N . Mặt khác, theo định
lí Cantor, giữa hai tập hợp A và B bất kì ln có hoặc A tương đương với một
bộ phận của B, hoặc B tương đương với một bộ phận của A. Vậy, với hai số
tự nhiên a và b bất kì ln có hoặc a  b hoặc b  a , nghĩa là quan hệ ≤ là
một quan hệ thứ tự tồn phần trên N .
Ở chương trình tốn Tiểu học, kiến thức về so sánh hai số tự nhiên
được hình thành dần dần qua các vòng số 10, 100 rồi đến so sánh hai số tự
nhiên bất kì, từ đó đi đến tìm ra kĩ thuật so sánh hai số tự nhiên. Do tư duy
của học sinh tiểu học còn ở mức độ cụ thể nên hình thành kiến thức so sánh
hai số tự nhiên thông qua phương tiện cụ thể, trực quan đặt tương ứng 1 : 1
trên sơ đồ Ven để các em dễ hình dung. Tuy nhiên, kiến thức này chỉ thích
hợp với số bé trong vịng 10. Dạy học về xếp các số tự nhiên từ bé đến lớn
và từ lớn đến bé. Các bài tập về xếp các số tự nhiên được hướng dẫn thực
hiện theo quy trình sau:
- Trước tiên tìm số bé \lớn nhất trong các số đã cho và loại số đó ra khỏi
nhóm
- Tìm tiếp số bé \lớn nhất trong các số cịn lại, loại số đó ra khỏi nhóm.
- Tiếp tục như vậy cho đến khi xếp xong thứ tự từ bé đến lớn hoặc từ lớn
đến bé.
Ví dụ 1.1.2.4: Hình vẽ bên phải có 3 hình tam giác, hình vẽ bên trái có 2 hình
tam giác. số tam giác ở hình bên phải nhiều hơn số tam giác ở hình bên trái.

Vì vậy, ta có: 3 lớn hơn 2, hay viết 3 > 2.
1.2. Dãy số tự nhiên


17
Các số tự nhiên xếp thành dãy, số đứng đầu tiên là số 0, liền theo đó là
số 1 rồi tới 2, 3 … tập hợp số tự nhiên là tập hợp rời rạc, vì khi sắp thứ tự các
số tự nhiên ta có quan niệm về hai số tự nhiên liền nhau (giữa chúng không
thể chen vào một số tự nhiên khác).
1.2.1. Số kề sau
Hai số tự nhiên hơn kém nhau 1 đơn vị. thao tác cộng 1 vào một số tự
nhiên bất kì cho ta số tự nhiên liền sau nó, thao tác trừ 1 vào một số tự nhiên
bất kì cho ta số tự nhiên liền trước nó. Giả sử a, b  N , a  b và A, B là hai tập
hợp hữu hạn sao cho A  B và có a = CardA, b = CardB . Ta nói b là số kề
sau của a nếu A \ B là một tập đơn tử hay Card( B \ A ) =1 Số kề sau của a kí
hiệu là a’. Khi b là số kề sau của a ta cũng nối a là số kề trước của b và viết là
a = b’. Số tự nhiên b là số kề sau của số tự nhiên a nếu:
1) a  b , do đó có các tập hợp hữu hạn A, B sao cho A  B và
a = CardA, b = CardB
2) B \ A là một tập đơn tử
Ví dụ 1.2.1.1: Số 1 là số kề sau số 0. thật vậy, ta đã biết 0  1 = Card và
  a và a \  =

a

Sau khi học về các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 10, học sinh học được khái
niệm “ số liền trước”, “số liền sau” và các quan hệ đó được cụ thể hóa về mặt
định lượng bằng khái niệm “thêm 1” và “bớt 1”
1.2.2. Các tính chất
Tính chất 1: Mỗi số tự nhiên có đúng một số kề sau

Nội dung của tính chất này gồm hai phần:
+ Tồn tại: Mỗi số tự nhiên đều có số kề sau
+ Duy nhất: Số kề sau của một số tự nhiên là duy nhất
Chứng minh sự tồn tại: Giả sử N , a = CardA . Lấy phần tử x A , đặt A’ = A
thì A’ là một tập hợp hữu hạn vì rõ ràng A’ = A , đồng thời A \ A = x là một
tập đơn tử. Vì vậy, đặt b = CardA’ thì b là một số tự nhiên kề sau của a.