i

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG
KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC VÀ MẦM NON
-----------------------

TRẦN THANH LOAN

LÍ THUYẾT CHIA HẾT TRONG TẬP SỐ
TỰ NHIÊN VÀ MỐI LIÊN HỆ VỚI MỘT SỐ
NỘI DUNG MÔN TỐN Ở TIỂU HỌC

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
NGÀNH: GIÁO DỤC TIỂU HỌC

Phú Thọ, 2021


ii

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG
KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC VÀ MẦM NON
-----------------------

TRẦN THANH LOAN

LÍ THUYẾT CHIA HẾT TRONG TẬP SỐ
TỰ NHIÊN VÀ MỐI LIÊN HỆ VỚI MỘT SỐ
NỘI DUNG MÔN TỐN Ở TIỂU HỌC

PHẦN MỞ ĐẦU

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
NGÀNH: GIÁO DỤC TIỂU HỌC

GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN: TS. NGUYỄN TIẾN MẠNH

Phú Thọ, 2021


iii

LỜI CẢM ƠN
Trải qua thời gian nghiên cứu và thực hiện, đến nay đề tài khóa luận tốt
nghiệp: “ Lí thuyết chia hết trong tập số tự nhiên và mối liên hệ với một số
nội dung mơn tốn ở Tiểu học” của em đã hồn thành. Để có được kết quả như
ngày hôm nay là nhờ sự hướng dẫn trực tiếp, chỉ bảo tận tình của giáo viên
hướng dẫn, các thầy cô giáo trong khoa Giáo dục Tiểu học và Mầm non, thư
viện trường Đại học Hùng Vương đã tận tình giảng dạy, giúp đỡ em trong suốt
quá trình học tập, nghiên cứu và bảo vệ tốt khóa luận của mình.
Đặc biệt em xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành nhất tới Ts.Nguyễn Tiến
Mạnh người đã trực tiếp hướng dẫn và giúp đỡ em trong suốt thời gian nghiên
cứu và hồn thành khóa luận này. Do thời gian thực hiện q trình nghiên cứu
cịn hạn chế nên đề tài chắc chắn khơng tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy, em
rất mong nhận được những ý kiến trao đổi, đóng góp tận tình của thầy cơ giáo và
các bạn.
Những ý kiến trao đổi, đóng góp của thầy cơ và các bạn sẽ giúp cho khóa luận
của em được hồn thiện hơn. Em xin kính chúc các thầy cơ giáo ln mạnh
khỏe, hạnh phúc để tiếp tục dìu dắt chúng em trên con đường học tập và nghiên
cứu khoa học.
Em xin chân thành cảm ơn!


Sinh viên

Trần Thanh Loan


iv

LỜI CAM ĐOAN
Em xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Tiến Mạnh, khóa
luận tốt nghiệp “Lí thuyết chia hết trong tập số tự nhiên và mối liên hệ với
một số nội dung mơn Tốn ở Tiểu học” được hoàn thành theo sự nhận thức
vấn đề của riêng tác giả, khơng trùng với bất kì khóa luận nào khác.
Trong q trình làm khóa luận, em đã kế thừa những thành tựu của các nhà
khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Phú Thọ,

tháng

năm 2021

Sinh viên

Trần Thanh Loan


v

DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT
GV


Giáo viên

HS

Học sinh

SGK

Sách giáo khoa

TDTG

Thặng dư thu gọn


vi

PHẦN MỞ ĐẦU .........................................................................................................................................1
1.Tính cấp thiết của đề tài. ....................................................................................................................1
2. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn. ..........................................................................................................2
2.1. Ý nghĩa khoa học. .............................................................................................................................2
2.2. Ý nghĩa thực tiễn ...............................................................................................................................2
3. Mục tiêu nghiên cứu. ..........................................................................................................................3
4. Nhiệm vụ nghiên cứu. ........................................................................................................................3
5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu. ....................................................................................................3
5.1. Đối tượng. .........................................................................................................................................3
5.2. Phạm vi nghiên cứu. ..........................................................................................................................3
6. Phương pháp nghiên cứu. ..................................................................................................................3
7. Cấu trúc của đề tài. ............................................................................................................................4

PHẦN NỘI DUNG .................................................................................................................................5
CHƯƠNG 1. LÍ THUYẾT CHIA HẾT TRONG TẬP SỐ TỰ NHIÊN ............................................5
1.1. Quan hệ chia hết và phép chia có dư. ............................................................................................5
1.1.1. Quan hệ chia hết. ..........................................................................................................................5
1.1.2. Phép chia với dư. ........................................................................................................................ 11
1.2. Ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất. .............................................................................. 12
1.2.1. Ước chung lớn nhất. .................................................................................................................. 12
1.2.2. Bội chung nhỏ nhất.................................................................................................................... 15
1.3. Số nguyên tố và định lí cơ bản của số học. ................................................................................. 17
1.3.1. Số nguyên tố. .............................................................................................................................. 17
1.3.2. Định lí cơ bản của số học ............................................................................................................ 18
1.3.3. Hàm  ( n ), hàm  ( n ) và hàm euler  ( n ) .............................................................................. 19
1.4. Quan hệ đồng dư. ......................................................................................................................... 24
1.4.1. Định lí Euler và định lí Fermat. ................................................................................................ 24
1.4.2. Ứng dụng quan hệ đồng dư trong bài toán chia hết. ................................................................... 26
1.4.3. Ứng dụng quan hệ đồng dư trong bài tốn tìm số dư. ................................................................. 30
1.4.4. Ứng dụng quan hệ đồng dư trong nhận biết các dấu hiệu chia hết. ....................................... 32
TIỂU KẾT CHƯƠNG 1 ..................................................................................................................... 34
CHƯƠNG 2. KHAI THÁC MỘT SỐ DẠNG TỐN VỀ LÍ THUYẾT CHIA HẾT TRONG TẬP
SỐ TỰ NHIÊN .................................................................................................................................... 35
2.1. Giải và khai thác một số dạng toán về dấu hiệu chia hết. ......................................................... 35
2.1.1. Dạng 1: tìm số các số có k chữ số phân biệt được thành lập từ những chữ số cho trước thỏa
mãn điều kiện chia hết. ........................................................................................................................ 35
2.1.2. Dạng 2: thay các kí hiệu bởi chữ số thích hợp để được số tự nhiên thỏa mãn các điều kiện
chia hết.................................................................................................................................................. 41
2.1.3. Dạng 3: thay các kí hiệu bởi chữ số thích hợp để được số tự nhiên thỏa mãn các điều kiện
chia có dư. ............................................................................................................................................ 45


vii

2.2. Các bài tốn về vận dụng tính chất chia hết của một tổng và một hiệu. ................................. 49
2.3. Tìm chữ số tận cùng. ...................................................................................................................... 53
2.3.1. Dạng 1: xác định số chẵn, số lẻ. ................................................................................................ 53
2.3.2. Dạng 2: xác định một chữ số tận cùng. ..................................................................................... 55
2.4. Vận dụng tính chất chia hết và chia có dư để giải bài tốn có lời văn. .................................... 59
2.5. Dạng tốn về tìm thương, số chia, số dư trong phép chia euclid. .................................................. 63
TIỂU KẾT CHƯƠNG 2 ..................................................................................................................... 66
CHƯƠNG 3. MỐI LIÊN HỆ VỚI MỘT SỐ NỘI DUNG MƠN TỐN Ở TIỂU HỌC ............... 67
3.1. Liên hệ với dạy học về phép chia. ............................................................................................... 67
3.1.1. Phân tích cơ sở tốn học. .......................................................................................................... 67
3.1.2. Liên hệ với dạy học phép chia hết. ............................................................................................ 74
3.1.3. Liên hệ với dạy học phép chia có dư. ........................................................................................ 79
3.2 liên hệ với dạy học các dấu hiệu chia hết. ................................................................................... 84
3.2.1. Liên hệ với dạy học dấu hiệu chia hết cho 2. ............................................................................ 86
3.2.2. Liên hệ với dạy học dấu hiệu chia hết cho 5. ............................................................................ 87
3.2.3. Liên hệ với dạy học dấu hiệu chia hết cho 3. ............................................................................ 88
3.2.4. Liên hệ với dạy học dấu hiệu chia hết cho 9. ............................................................................ 89
3.3. Liên hệ với dạy học một số dạng bài tập. ................................................................................... 90
TIỂU KẾT CHƯƠNG 3 ...................................................................................................................... 100
KẾT LUẬN ........................................................................................................................................ 101
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................................................ 102


1

PHẦN MỞ ĐẦU
1.Tính cấp thiết của đề tài.
Tốn học ra đời gắn liền với đời sống con người và lịch sử phát triển của xã
hội, nó có một ý nghĩa lý luận và thực tiễn vô cùng to lớn và quan trọng. Tốn
học là một mơn khoa học gây nhiều hứng thú cho học sinh, nó là một mơn học

khơng thể thiếu trong quá trình học tập, nghiên cứu và cả trong cuộc sống hàng
ngày. Khả năng giáo dục nhiều mặt của mơn tốn ở tiểu học là vơ cùng to lớn.
Nó có nhiều khả năng để phát triển tư duy logic, bồi dưỡng và phát triển những
thao tác trí tuệ cần thiết để nhận thức thế giới hiện thực như: Trừu tượng hóa,
khái qt hóa, phân tích và tổng hợp, so sánh, dự đốn, chứng minh và bác bỏ.
Nó có vai trị quan trọng trong rèn luyện phương pháp suy nghĩ, suy luận, giải
quyết vấn đề có căn cứ khoa học, tồn diện, chính xác; có tác dụng trong việc
phát triển trí thơng minh, tư duy độc lập, linh hoạt, sáng tạo trong việc hoàn
thành và rèn luyện trong mọi lĩnh vực hoạt động của con người góp phần giáo
dục ý chí và những đức tính tốt như: Cần cù, nhẫn nại, có ý thức vượt qua khó
khăn,…
Giáo dục Tiểu học là bậc học nền tảng của hệ thống giáo dục quốc dân. Mục
tiêu của giáo dục Tiểu học được xác định : “Giáo dục Tiểu học nhằm giúp học
sinh hình thành những cơ sở ban đầu cho sự phát triển đúng đắn và lâu dài về
đặc điểm trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ, đạo đức và các kĩ năng cơ bản để học sinh
tiếp tục bậc học trung học cơ sở”. Ở bậc Tiểu học các em được học đầy đủ 9
mơn trong đó tốn học đóng vai trò quan trọng và cần thiết. Những tri thức,
những kĩ năng và phương pháp tốn học đã trở thành cơng cụ để học tập các
mơn học khác. Mơn tốn ở Tiểu học bao gồm 5 chủ đề chính và nội dung trọng
tâm được xác định là các kiến thức và kĩ năng cơ bản về số học. Các kiến thức
số học bao gồm ( Số tự nhiên, dãy số, số thập phân) được xây dựng theo quan
điểm đồng tâm và được phân bố theo các khối lớp một cách hợp lí, phù hợp với
đặc điểm sinh lí, lứa tuổi và nhận thức của các em.


2

Trong sách giáo khoa toán Tiểu học, “phép chia” bắt đầu xuất hiện ở lớp 2 và
đến lớp 4 thì các dấu hiệu chia hết cho 2, 5, 3 và 9 được giới thiệu cho học sinh.
Các “Dấu hiệu chia hết” là phần rất quan trọng và không thể thiếu vì nó là cơ sở

để giải rất nhiều dạng tốn ở Tiểu học như: Viết các số tự nhiên theo dấu hiệu
chia hết, dùng dấu hiệu chia hết để điền vào chữ số chưa biết, các bài toán về
vận dụng tính chất chia hết của một tổng và một hiệu, vận dụng tính chất chia
hết và chia có dư để giải bài tốn có lời văn,…Các tính chất và dấu hiệu chia hết
giúp các em dễ dàng vận dụng để thực hiện các phép tính trên số tự nhiên một
cách nhanh và chính xác.
Dạng tốn chia hết rất phong phú và đa dạng, có ý nghĩa rất quan trọng đối
với các em học sinh, phải bằng cách giải thông minh, tìm ra các biện pháp hữu
hiệu và phù hợp với trình độ kiến thức tốn học ở bậc học để giải quyết loại toán
này. Với ý nghĩa như vậy, việc hướng dẫn học sinh nắm được lí thuyết, phương
pháp giải các bài toán về phép chia hết là vấn đề quan trọng
Do vai trị khoa học của lí thuyết chia hết trong tốn học và trong dạy học,
chúng tơi chọn đề tài: “Lí thuyết chia hết trong tập số tự nhiên và mối liên hệ
với một số nội dung môn toán ở Tiểu học”.
2. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn.
2.1. Ý nghĩa khoa học.
Làm rõ thêm cơ sở toán học của lí thuyết chia hết trong tập số tự nhiên
thơng qua việc phân tích, khai thác những vấn đề lí thuyết, bài tập và mối liên hệ
với một số nội dung trong mơn Tốn ở Tiểu học.
2.2. Ý nghĩa thực tiễn
Trên cơ sở phân tích làm rõ mối liên hệ giữa cơ sở tốn học của lí thuyết
chia hết với một số nội dung trong mơn Tốn ở Tiểu học, khóa luận có thể được
sử dụng như một tài liệu tham khảo hữu ích dành cho giáo viên, sinh viên ngành
Giáo dục Tiểu học.


3

3. Mục tiêu nghiên cứu.
Phân tích, khai thác những kiến thức dạng tốn liên quan đến lí thuyết chia

hết và chỉ ra mối liên hệ của chúng với một số nội dung trong mơn Tốn ở Tiểu
học.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu.
- Nghiên cứu cơ sở toán học về các vấn đề: Quan hệ chia hết và phép chia có
dư; Ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất; Số nguyên tố và Định lí cơ bản
của số học; Quan hệ đồng dư.
- Khai thác một số bài tốn về lí thuyết chia hết trong tập số tự nhiên như:
Giải và khai thác một số dạng toán về dấu hiệu chia hết; Các bài tốn về vận
dụng tính chất chia hết của một tổng và một hiệu; Tìm chữ số tận cùng; Vận
dụng tính chất chia hết và chia có dư để giải các bài tốn có lời văn; Dạng tốn
về tìm thương, số chia, số dư trong phép chia Euclid.
-

Phân tích làm rõ sự thể hiện cơ sở tốn học của lí thuyết chia hết với một

số nội dung mơn toán ở Tiểu học: Liên hệ với dạy học về phép chia; Liên hệ với
dạy học các dấu hiệu chia hết; Liên hệ với dạy học một số dạng bài tập.
5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.
5.1. Đối tượng.
Lí thuyết chia hết
5.2. Phạm vi nghiên cứu.
Khóa luận giới hạn việc nghiên cứu lí thuyết chia hết trên tập số tự nhiên
liên quan đến chương trình mơn tốn ở Tiểu học.
6. Phương pháp nghiên cứu.
Để thực hiện các nhiệm vụ và mục tiêu đặt ra của khóa luận, chúng tơi sử
dụng các kiến thức về một số lĩnh vực của tốn học như: lí thuyết chia hết và
chia có dư trên tập số tự nhiên, Định lí Euler, Định lí Fermat. Đầu tiên chúng tơi
nghiên cứu và tìm hiểu về: Lí thuyết chia hết trên tập số tự nhiên, ứng dụng của
quan hệ đồng dư trong bài toán chia hết và tìm số dư, ứng dụng của định lí Euler
và định lí Fermat, nội dung chương trình mơn tốn ở tiểu học, một số tài liệu

mơn tốn ở Tiểu học (SGK, sách bài tập,…). Tiếp theo, chúng tơi phân tích,


4

khai thác những vấn đề lí thuyết và bài tập liên quan đến lí thuyết chia hết, trên
cơ sở đó chỉ ra mối liên hệ, sự thể hiện của cơ sở tốn học này trong nội dung
mơn Tốn ở Tiểu học.
7. Cấu trúc của đề tài.
Ngoài phần mở đầu, bảng các kí hiệu, chữ viết tắt, danh mục bảng biểu, mục
lục, kết luận kiến nghị và tài liệu tham khảo, phần nội dung gồm 3 chương:
CHƯƠNG 1. LÍ THUYẾT CHIA HẾT TRONG TẬP SỐ TỰ NHIÊN.
CHƯƠNG 2. KHAI THÁC MỘT SỐ DẠNG TỐN VỀ LÍ THUYẾT CHIA
HẾT TRONG TẬP SỐ TỰ NHIÊN.
CHƯƠNG 3. MỐI LIÊN HỆ VỚI MỘT SỐ MỘI DUNG MƠN TỐN Ở TIỂU
HỌC.


5

PHẦN NỘI DUNG
CHƯƠNG 1. LÍ THUYẾT CHIA HẾT TRONG TẬP SỐ TỰ
NHIÊN
1.1. Quan hệ chia hết và phép chia có dư.
1.1.1. Quan hệ chia hết.
1.1.1.1. Định nghĩa về chia hết.
 Định nghĩa: “Cho a và b là hai số tự nhiên, b ≠ 0. Ta nói rằng a chia hết
cho b nếu có một số tự nhiên q sao cho a = bq. Số tự nhiên q gọi là thương
trong phép chia a cho b. Nếu a chia hết cho b, ta kí hiệu là a ⋮ b, khi đó ta cũng
nói là b chia hết a và kí hiệu là b|a”[12].

Ví dụ: 35 = 7.5 vậy 35 ⋮ 7 hay 7 | 35.
Dựa vào cách ghi số của một số tự nhiên trong hệ g – phân, ta tìm thấy dấu
hiệu chia hết cho một số tự nhiên a đặc biệt nào đó, dựa vào các chữ số của số bị
chia. Để đơn giản ta giới hạn việc trình bày trong hệ thập phân.
Cho hai số tự nhiên a và b trong đó b khác số 0, ta ln tìm được hai số tự
nhiên q và r duy nhất sao cho:
a = b × q + r (0 ≤ r < b)
Nếu r = 0 thì ta có phép chia hết.
Ví dụ: Phép chia 12 cho 3 là phép chia hết: 12 chia cho 3 được 4.
 Tính chất:
“Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho c thì a chia hết cho c”[16].
Chứng minh
Vì a ⋮ b nên có q ∈ N để a = bq
Vì b ⋮ c nên có p ∈ N để b = cp
Từ đó a = bq = c (pq). Theo định nghĩa ta có a ⋮ c.
Nếu a ⋮ b, a ⋮ b, … , a ⋮ b và x , x , … , x là những số tự nhiên tùy ý thì ta
có:
a x +a x +⋯+a x ⋮ b


6

Chứng minh
Theo giả thiết tồn tại các số
q , q , … , q ∈ N sao cho a = bq , … , a = bq
Từ đó a x + a x + ⋯ + a x = b(q x + q x + ⋯ + q x )
Và điều này lại chứng tỏ a x + a x + a x ⋮ b
Hệ quả: Trong một đẳng thức
a + a + ⋯+a = m + m + ⋯+ m
Nếu đã biết tất cả các số hạng, trừ một số hạng nào đó, chia hết cho b thì

chính số hạng còn lại cũng chia hết cho b.
1.1.1.2. Dấu hiệu chia hết cho 2 và 5.
Số tự nhiên a chia hết cho 2 ( tương ứng cho 5) khi và chỉ khi chữ số hàng
đơn vị của nó chia hết cho 2 ( tương ứng cho 5). Cụ thể:
a) Số tự nhiên a chia hết cho 2 khi và chỉ khi nó có chữ số hàng đơn vị là 0,
2, 4, 6 hoặc 8.
b) Số tự nhiên a chia hết cho 5 khi và chỉ khi chữ số hàng đơn vị cùa nó là 0
hoặc 5.
Chứng minh
Giả sử 𝑎 = 𝑐 𝑐
Hay 𝑎 = 10(𝑐 10

… 𝑐 𝑐 Khi đó có thể viết 𝑎 = 𝑐 10 + ⋯ + 𝑐 10 + 𝑐
+𝑐

10

+ ⋯ + 𝑐 ) + 𝑐 = 10. 𝑞 + 𝑐

Vì 10 chia hết cho 2 và 5 nên điều kiện cần và đủ để a chia hết cho 2 (hoặc 5)
là:
c chia hết cho 2 (hoặc 5).Đpcm.
1.1.1.3. Dấu hiệu chia hết cho 3 và 9.
Một số chia hết cho 3 (tương ứng chia hết cho 9) khi và chỉ khi tổng các chữ
số đó chia hết cho 3 (tương ứng cho 9).
Chứng minh
Trước hết nhận xét rằng một lũy thừa bất kì của 10 chia cho 3 hoặc cho 9 đều
có dư bằng 1. Thật vậy, theo cơng thức nhị Niutơn ta có:
10 = (9 + 1) = 9 + 𝑐 9
Hay


+⋯+𝑐

9+1


7

10 = 9. (9

+𝑐 9

+⋯+𝑐

) + 1 = 9. 𝑞 + 1.

Vì vậy với số tự nhiên a ta có thể viết:
𝑎 = 𝑐 10 + 𝑐

10

= 𝑐 (9. 𝑞 + 1) + 𝑐

+ ⋯ + 𝑐 . 10 + 𝑐
(9. 𝑞

+ 1) + ⋯ + 𝑐 (9 + 1) + 𝑐

Hay
𝑎 = 9(𝑐 𝑞 + 𝑐


+ ⋯ 𝑐 ) + (𝑐 + 𝑐

𝑞

= 9. 𝑞 + (𝑐 + 𝑐

+ ⋯+ 𝑐 + 𝑐 )

+ ⋯ + 𝑐 + 𝑐 ).

Đẳng thức cuối cùng chứng tỏ rằng a chia hết cho 3 (tương ứng cho 9) khi và
chỉ khi 𝑐 + 𝑐

+ ⋯ + 𝑐 + 𝑐 chia hết cho 3 (tương ứng cho 9).Đpcm.

Ví dụ:
a) Chia hết cho 3.
15 có tổng các chữ số: 1 + 5 = 6 chia hết cho 3 ⇒ 15 chia hết cho 3
138 có tổng các chữ số là: 1 + 3 + 8 = 12 chia hết cho 3 ⇒ 138 chia hết cho 3
b) Chia hết cho 9.
18 có tổng các chữ số: 1 + 8 = 9 chia hết cho 9 ⇒ 18 chia hết cho 9
189 có tổng các chữ số là: 1 + 8 + 9 = 18 chia hết cho 9 ⇒ 189 chia hết cho 9
1.1.1.4. Dấu hiệu chia hết cho 4 và 25.
Số tự nhiên a chia hết cho 4 (hoặc 25) khi và chỉ khi số tạo bởi hai chữ số cuối
cùng của nó tạo thành số chia hết cho 4 (hoặc 25).
Chứng minh
Thật vậy, số tự nhiên a = c c
𝑎 = 𝑐 10 + 𝑐
= 10 (𝑐 10


… c c được viết thành
10

+ ⋯ + 𝑐 10 + 𝑐 . 10 + 𝑐

+ ⋯ + 𝑐 ) + 𝑐 10 + 𝑐 = 100. 𝑞 + 𝑐 . 10 + 𝑐

Vì 100 chia hết cho 4 và 25 nên a chia hết cho 4 (hoặc 25) khi và chỉ khi
c . 10 chia hết cho 4 (hoặc 25) nghĩa là khi và chỉ khi c c chia hết cho 4 (hoặc
25).Đpcm
Quy tắc cơ bản để xét chia hết cho 4 là nếu số tạo thành bởi hai chữ số tận
cùng của một số chia hết cho 4 thì số ban đầu chia hết cho 4; điều này là do 100
chia hết cho 4 và do đó việc thêm vào hàng trăm, hàng nghìn, v.v. chỉ đơn giản


8

là thêm một số khác chia hết cho 4. Nếu bất kỳ số nào kết thúc bằng một số có
hai chữ số mà ta biết là chia hết cho 4 (ví dụ: 24, 04, 08, v.v.), thì số tự nhiên sẽ
chia hết cho 4 bất kể số nào đứng trước hai chữ số cuối cùng.
Ngồi ra, người ta có thể chỉ cần chia đơi số đã cho, sau đó kiểm tra kết quả
để tìm xem nó có chia hết cho 2. Nếu đúng, số ban đầu chia hết cho 4. Ngoài ra,
kết quả của phép chia này cũng giống như lấy số ban đầu chia cho 4.
Ví dụ: Quy tắc chung
2092 (Số ban đầu)
2092 (Chỉ lấy hai chữ số cuối của số, loại bỏ đi các chữ số khác)
92 ÷ 4 = 23 (Kiểm tra xem số đó có chia hết cho 4 khơng)
2092 ÷ 4 = 523 (Nếu số thu được chia hết cho 4 thì số ban đầu chia hết cho 4)
Cách khác

1720 (Số ban đầu)
1720 ÷ 2 = 860 (Chia số ban đầu cho 2)
860 ÷ 2 = 430 (Kiểm tra xem kết quả vẫn cịn có chia hết cho 2 khơng)
1720 ÷ 4 = 430 (Nếu kết quả chia hết cho 2 thì số ban đầu chia hết cho 4)
Ví dụ:
Với trường hợp phép chia hết cho 4 ta phải xét 2 trường hợp gồm:
 Nếu số lớn hơn 99:
Một số chia hết cho 4 khi 2 chữ số cuối của số đó là số 0 hoặc tổng 2 số cuối
cùng chia hết cho 4.
Ví dụ: 14676 chia hết cho 4 vì 2 chữ số cuối cùng 76 tạo thành một số chia hết
cho 4 (76/4 = 19). Số 345 200 cũng chia hết cho 4 vì 2 chữ số cuối là số khơng.
Nếu

số nhỏ hơn 99:

Số chỉ chia hết cho 4 khi ta nhân đôi chữ số hàng chục và cộng thêm chữ số
hàng đơn vị, nếu kết quả này chia hết cho 4 thì số ban đầu sẽ chia hết cho 4.
Ví dụ: số 64, số hàng chục ở đây là 6, chúng ta cần nhân đôi số này và cộng
thêm chữ số cuối: 2 × 6 + 4 = 16, 16 chia hết cho 4 do đó 64 chia hết cho 4.
Hoặc số 96 = 9 × 2 + 6 = 24 : 4 = 6 nên 96 chia hết cho 4.
Số 47 = 4 × 2 + 7 = 15 khơng chia hết cho 4 nên 47 không chia hết cho 4.


9

1.1.1.5.Dấu hiệu chia hết cho 11.
“Số tự nhiên a chia hết cho 11 khi và chỉ khi tổng các chữ số hàng chẵn trừ
các chữ số hàng lẻ (hoặc ngược lại) là bội của 11”[16].
Chứng minh
Trước hết ta nhận xét rằng một lũy thừa của 10 sẽ có dạng 11q hoặc 11q−1.

Thật vậy:
10 = (11 − 10) = 11 − 𝑐 11
10 = 11. (11

− 𝑐 11

+ ⋯ + (−1)

+ ⋯ + (−1)

𝑐

𝑐

11 + (−1)

) + (−1)

= 11. 𝑞 + (−1) .
Như vậy 10 = 11. q + 1 nếu n chẵn và 10 = 11. q − 1 nếu n lẻ.
Do đó số tự nhiên a = c c

… c c có thể viết thành

𝑎 = 𝑐 + 𝑐 (11 − 1) + 𝑐 (11𝑞 + 1) + ⋯ + 𝑐 (11𝑞 + (−1) )
Hay a = (c + c + ⋯ ) − (c + c + ⋯ ) + 11q.
Lưu ý nếu phép trừ trên không thực hiện được trong N thì ta đổi vai trị của
tổng chữ số hàng chẵn và tổng chữ số hàng lẻ.
Đẳng thức cuối cùng chứng tỏ a chia hết cho 11 khi và chỉ khi
(c + c + ⋯ ) − (c + c + ⋯ ) chia hết cho 11. Đpcm.

Ví dụ: Số 9873215 chia hết cho 11 vì:
(5 + 2 + 7 + 9) − (1 + 3 +8) = 23 − 12 = 11.
1.1.1.6. Một số dấu hiệu chia hết mở rộng
Dấu hiệu chia hết cho 4.
- Các số có hai chữ số tận cùng tạo thành số chia hết cho 4 thì chia hết cho 4.
- Các số chia hết cho 4 thì hai chữ số tận cùng của nó tạo thành số chia hết
cho 4.
Dấu hiệu chia hết cho 25.
- Các số có hai chữ số tận cùng tạo thành số chia hết cho 25 thì chia hết cho
25.
- Các số chia hết cho 25 thì chữ số tận cùng của nó tạo thành số chia hết cho
25.


10

Dấu hiệu chia hết cho 8.
- Các số có ba chữ số tận cùng tạo thành số chia hết cho 8 thì chia hết cho 8.
- Các chữ số chia hết cho 8 thì ba chữ số tận cùng của nó tạo thành số chia hết
cho 8.
Dấu hiệu chia hết cho 125.
- Các số có ba chữ số tận cùng tạo thành số chia hết cho 125 thì chia hết cho
125.
- Các số chia hết cho 125 thì ba chữ số tận cùng của nó tạo thành số chia hết
cho 125.
Dấu hiệu chia hết cho 11.
- Các số có hiệu giữa tổng các chữ số hàng chẵn và tổng các chữ số hàng lẻ
chia hết cho 11 thì chia hết cho 11.
- Các số chia hết cho 11 khi hiệu giữa tổng các chữ số hàng chẵn và tổng các
chữ số hàng lẻ của nó chia hết cho 11.

Trong các bài toán nâng cao về chia hết, học sinh Tiểu học khơng chỉ gặp các
bài tốn về các dấu hiệu chia hết cho 2; 5; 3; 9; 4; 25; 8; 125; 11 mà các em cịn
thường gặp các bài tốn chia hết cho 6; 12; 15; 18; 24; 36; 45; 99. Đối với các
bài toán này, đầu tiên học sinh cần đi tìm điều kiện chia hết cho các số trên. Khi
tìm điều kiện chia hết cho một số, ta phải phân tích số đó thành tích của các số,
sao cho các số này chỉ chia hết cho 1 và chính nó. Khi đó, ta có:
6=2x3

12 = 3 x 4

15 = 3 x 5

24 = 3 x 8

36 = 4 x 9

45 = 5 x 9

18 = 2 x 9
99 = 9 x 11

Như vậy, ta có điều kiện chia hết cho 6; 12; 15; 18; 24; 36; 45; 99 cụ thể như
sau:
-

Điều kiện chia hết cho 6

Một số tự nhiên chia hết cho 6 khi số đó chia hết cho cả 2 và 3.
-


Điều kiện chia hết cho 12.

Một số tự nhiên chia hết cho 12 khi số đó chia hết cho cả 3 và 4.
-

Điều kiện chia hết cho 15.

Một số tự nhiên chia hết cho 15 khi số đó chia hết cho cả 3 và 5.


11

-

Điều kiện chia hết cho 18.

Một số tự nhiên chia hết cho 18 khi số đó chia hết cho cả 3 và 6.
-

Điều kiện chia hết cho 24.

Một số tự nhiên chia hết cho 24 khi số đó chia hết cho cả 3 và 8.
-

Điều kiện chia hết cho 36.

Một số tự nhiên chia hết cho 36 khi số đó chia hết cho cả 4 và 9.
-

Điều kiện chia hết cho 45.


Một số tự nhiên chia hết cho 45 khi số đó chia hết cho cả 5 và 9.
-

Điều kiện chia hết cho 99.

Một số tự nhiên chia hết cho 99 khi số đó chia hết cho 9 và 11.
1.1.2. Phép chia với dư.
 Định lí: Với bất kì hai số tự nhiên a, b, b ≠ 0. Tồn tại duy nhất các số tự
nhiên q và r sao cho:
𝑎 = 𝑏𝑞 + 𝑟, 0 ≤ 𝑟 ≤ 𝑏
Chứng minh
a) Tồn tại. Xét tập hợp:
M = {x ∈ N | bx ≤ a}
Rõ ràng M là tập con của N có các tính chất:


M ≠ ∅ vì 0 ∈ M



M bị chặn trên vì rõ ràng x ≤ a với mọi x ∈ M.

Vậy M có số lớn nhất chẳng hạn đó là q, điều này có nghĩa là q ∈ M nhưng
q + 1 không thuộc M hay: bq ≤ a ≤ b(q + 1)0 = bq + b
Đặt r = a − bq thì ta có:
a = bq + r và 0 ≤ r ≤ b.
b) Duy nhất: Giả sử có hai cặp số q, r và q , r mà:
a = bq + r 0 ≤ r ≤ b
a = bq + r 0 ≤ r ≤ b

Từ đó suy ra bq + r = bq + r
Nếu q ≠ q thì ta có thể giả sử q > q hay q = q + m


12

Với m ∈ N, m ≠ 0. Thay vào đẳng thức trên, ta được:
bq + bm + r = bq + r hay r = bm + r ≥ b. Mâu thuẫn.
Vậy q = q và do đó cũng có r = r
 Định nghĩa: Đẳng thức a = bq + r, 0 ≤ r ≤ b gọi là phép chia có dư của a
cho b, q gọi là số thương hụt, r gọi là số dư của phép chia a cho b.
Chú ý: Phép chia hết là trường hợp đặc biệt của phép chia có dư khi số dư
r = 0.
Ví dụ: phép chia 7 cho 2 là phép chia có dư: 7 chia cho 2 được 3 (dư 1).
Trong một phép chia có dư thì:
+ Số dư bao giờ cũng nhỏ hơn số chia
+ Trong phép chia có số chia là a (a >1) thì số dư lớn nhất là a − 1.
+ Số dư nhỏ nhất trong phép chia có dư là 1
+ Số bị chia ln lớn hơn số chia
+ Muốn tìm số bị chia = (Thương x Số chia) + Số dư
+Muốn tìm số chia = (Số bị chia − Số dư) : Thương.
1.2. Ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất.
1.2.1. Ước chung lớn nhất.
1.2.1.1. Ước và bội.
1. Cho hai số tự nhiên a và b, b ≠ 0. Khi a chia hết cho b, ta cịn nói a là bội
của b, hay b là ước của a.
2. Ước chung và bội chung.


Nếu số tự nhiên b là ước đồng thời của các số a , a , … , a thì b gọi là một


ước chung của a , a , … , a .


Nếu số tự nhiên a là bội đồng thời của các số b , b , … , b thì a gọi là một

bội chung của b , b , … , b .
1.2.1.2. Ước chung lớn nhất.
Giả sử a , a , … , a là những số tự nhiên khơng đồng thời bằng 0. Khi đó tập
hợp M các ước chung của a , a , … , a khác rỗng và bị chặn trên. Thật vậy, vì ta


13

ln có 1 ∈ M và tập hợp M bị chặn trên bởi số khác 0 nhỏ nhất trong các số
a , a , … , a . Do đó tồn tại số lớn nhất trong các ước chung của a , a , … , a .
1. Định nghĩa: Số lớn nhất d trong các ước chung của a , a , … , a gọi là
ước chung lớn nhất của các số đó và kí hiệu là:
d = ƯCLN (a , a , … , a )
2. Ví dụ: a = 16, a = 15
Tập hợp các ước chung của a , a gồm: 1,3. Vậy
3 = ƯCLN (6,15)
a = 60, a = 42
Tập M các ước chung của a , a là M = {1, 2, 3, 6}
Vậy 6 = ƯCLN (60, 42)
3. Số nguyên tố cùng nhau và số nguyên tố sánh đôi.
-

Nếu ƯCLN (a , a , … , a ) = 1 thì ta nói rằng các số a , a , … , a nguyên


tố cùng nhau.
-

Nếu ƯCLN (a , a ) = 1 với mọi chỉ số i, j = 1, 2,…,n ; i ≠ j thì ta nói

a , a , … , a là nguyên tố sánh đôi hay đôi một nguyên tố cùng nhau.
Ví dụ: 3 và 4 là nguyên tố cùng nhau
2,6,5 nguyên tố cùng nhau nhưng không nguyên tố sánh đôi
3,5,7 nguyên tố sánh đôi.
Chú ý: Rõ ràng các ngun tố sánh đơi thì ngun tố cùng nhau, nhưng ngược
lại có những nguyên tố cùng nhau nhưng khơng ngun tố sánh đơi.
1.2.1.3. Các tính chất của ƯCLN.
a) Tính chất 1: Nếu b\a thì ƯCLN(a, b) = b
Thật vậy theo giả thiết thì b là một ước chung của a và b và rõ ràng mọi ước
chung của a và b đều không vượt quá b. Vậy b là ƯCLN của a và b.
b) Tính chất 2: Nếu a = bq + r thì ƯCLN(a, b) = ƯCLN(b, r)


14

Chứng minh
Để chứng minh đẳng thức trên, ta chỉ cần chứng minh hai tập hợp các ước
chung của a, b và của b, r trùng nhau. Khi đó, hai phần tử lớn nhất của hai tập
hợp ấy cũng trùng nhau.
Giả sử d là một ước chung của a và b, khi đó d cũng là ước của r = a – bq và
do đó d là một ước chung của b và r. Ngược lại, nếu 𝛿 là một ước chung của b
và r thì cũng là ước của a = bq + r. Do đó 𝛿 là một ước chung của a và b.
c) Tính chất 3:



Nếu m là một số tự nhiên khác 0 thì ƯCLN(am, bm) = m.ƯCLN(a, b)



Nếu 𝛿 là một ước chung của a và b thì
ƯCLN

a b
1
, = . ƯCLN(a, b)
δ δ
δ
Chứng minh



Nhân hai vế của các đẳng thức (1) trong thuật toán Ơclit thực hiện giữa a

và b ta được thuật toán Ơclit giữa am và bm và số dư khác 0 cuối cùng của thuật
toán này là m. r . Vậy
ƯCLN (am, bm) = m. r = m. ƯCLN(a, b) (*)


Theo (*) ta có
a b
a b
ƯCLN = δ , δ = δƯCLN ,
δ δ
δ δ


(∗∗)

Từ đó ta suy ra đẳng thức cần chứng minh.
Hệ quả: giả sử d là một ước chung của a và b, điều kiện cần và đủ để d là
ƯCLN của a, b là

và

nguyên tố cùng nhau.
Chứng minh

Nếu d = ƯCLN(a,b) theo (**) ta có
𝑎 𝑏
Ư𝐶𝐿𝑁(𝑎, 𝑏)
Ư𝐶𝐿𝑁( , ) =
=1
𝑑 𝑑
𝑑
Ngược lại nếu ƯCLN

,

= 1 theo (∗) ta có:

a b
a b
ƯCLN(a, b) = ƯCLN d. , d.
= d. ƯCLN( , ) = d
d d
d d



15

1.2.2. Bội chung nhỏ nhất.
1.2.2.1. Định nghĩa:
- Cho a1, a2,…an là các số tự nhiên khác 0. Khi đó tập hợp các bội chung của
a1, a2,…an khác rỗng vì rõ ràng tích a1, a2,…an là một bội chung của các số này.
Do đó tồn tại số nhỏ nhất trong các bội chung của a1, a2,…an. Ta có định nghĩa.
- Định nghĩa: “Số nhỏ nhất trong các bội chung của a1, a2,…an gọi là bội
chung nhỏ nhất của chúng và kí hiệu là BCNN(a1, a2,…an)”[15].
- Ví dụ: a = 2, a = 4, a = 6. Các bội chung của a1, a2, a3 là 12, 24, 36,
48,…Trong đó 12 là số nhỏ nhất, vậy 12 = BCNN(2, 4, 6).
1.2.2.2. Công thức xác định BCNN của hai số.
Cơng thức: Để tìm BCNN của hai số a và b ta có cơng thức sau:
BCNN(a, b) =

ab
ƯCLN(a, b)

Chứng minh
Kí hiệu d = ƯCLN(a,b), a = da1, b = db1 ta có a1, b1 nguyên tố cùng nhau.
Giả sử M là một bội chung tùy ý của a, b và M = ak, ta có 𝑎𝑘 ⋮ 𝑏
𝑆𝑢𝑦 𝑟𝑎 𝑎 𝑘 ⋮ 𝑏 . Nhưng a1, b1 nguyên tố cùng nhau, nên suy ra k ⋮
b . Đặt k = b t, ta có M = ab t =

t

Nghĩa là mọi bội chung của a và b đều có dạng


t. Mặt khác, rõ ràng số m =

là một bội chung của a và b, do đó đẳng thức trên chứng tỏ m là số nhỏ nhất
trong các bội chung của a, b. Vậy:
ab
. Đpcm
d
- Hệ quả: Phép chứng minh trên còn cho phép ta rút ra kết luận: “BCNN của
BCNN(a, b) =

a và b là một bội chung và là ước của mọi bội chung của hai số đã cho”[15].
- Áp dụng: Tìm BCNN(12,18)
ƯCLN (12,18) = 6
Vậy BCNN(12,18) =

12.18
= 36
6


16

1.2.2.3. Tính chất của BCNN.
- Tính chất 1. Tập hợp các bội chung của a và b trùng với tập hợp các bội
của BCNN(a, b). (Theo chứng minh trên).
- Tính chất 2. Nếu a và b nguyên tố cùng nhau thì một số tự nhiên c chia
hết đồng thời cho a và b sẽ chia hết cho tích ab.
- Tính chất 3.
a) BCNN(am,bm) = m.BCNN(a,b).
b) Nếu 𝛿 là một ước chung của a và b thì

BCNN

a b
1
, = BCNN(a, b)
δ δ
δ
Chứng minh

a) Ta có
BCNN(am, bm) =
=m

am. bm
am. bm
=
ƯCLN(am, bm) m. ƯCLN(a, b)

ab
= m. BCNN(a, b)
ƯCLN(a, b)

b) BCNN(a, b) = BCNN δ. , δ.

= δ BCNN( , )

Từ đó suy ra đẳng thức cần chứng minh.
- Tính chất 4. Giả sử m là một bội chung của a và b. Điều kiện cần và đủ để
m là BCNN(a, b) là


và

nguyên tố cùng nhau.
Chứng minh

a) Điều kiện cần: Giả sử m = BCNN(a, b), nếu
ƯCLN

,

= d ≠ 1 thì m =

Mâu thuẫn. Vậy

và

sẽ là một bội chung của a và b và m1 < m.

nguyên tố cùng nhau.

b) Điều kiện đủ: Giả sử
m m
ƯCLN
,
= 1 và m = BCNN(a, b). khi đó ta có m ⋮ m
a b
chẳng hạn m = m d. Từ đó suy ra


17


1 = ƯCLN

m m
m
m
m m
,
= ƯCLN
. d,
. d = d. ƯCLN( , )
a b
a
b
a b

Vậy d = 1. Đpcm.
1.3. Số nguyên tố và định lí cơ bản của số học.
1.3.1. Số nguyên tố.
1.3.1.1. Định nghĩa.
- Một số tự nhiên lớn hơn 1 và khơng có ước tự nhiên nào khác ngồi 1 và
chính nó được gọi là số ngun tố.
Ký hiệu P là tập hợp các số nguyên tố. Khi đó:
𝑃 = {P ∈ N| P nguyên tố}
- Số tự nhiên lớn hơn 1mà không là số nguyên tố gọi là hợp số
- Ước của số tự nhiên khác 1 và khác chính nó được gọi là ước thực sự
Khi đó định nghĩa số nguyên tố có thể được phát biểu lại như sau: “Số tự nhiên
lớn hơn 1 được gọi là số ngun tố nếu nó khơng có ước thực sự”[14].
* Nhận xét:
- Số 1 và số 0 đều không phải là số nguyên tố mà cũng không phải là hợp số

(số 1 chỉ có một ước số, số 0 có vơ số ước số).
- Mỗi số tự nhiên n ∈ N ∗ có một và chỉ một trong ba khả năng: n =1; n là số
nguyên tố; n là hợp số.
1.3.1.2. Một số định lí cơ bản về số nguyên tố.
a) Bổ đề 1: Mọi số nguyên tố lớn hơn 1 đều chia hết cho ít nhất một số
nguyên tố.
Chứng minh
Ta chứng minh bằng quy nạp
+ Với n = 2, do 2 là số nguyên tố nên bổ đề đúng
+ Xét n > 2 và giả sử bổ đề đúng với mọi số nguyên lớn hơn 1 và nhỏ hơn n.
Ta sẽ chứng minh bổ đề đúng với n.
Nếu n là số nguyên tố thì n ⋮ n và bổ đề đúng.
Nếu n là hợp số thì n có ước dương a với a ≠ 1 và a ≠ n.
Giả sử n = a.b


18

Nếu a > n thì từ b ≥ 1 ta có n = a.b > n.1= n, mâu thuẫn. Vậy 1< a < n.
Theo giả thiết quy nạp, a có ước nguyên tố p. Từ p | a, a | n suy ra p | n.
Vậy bổ đề đúng với mọi n > 1.
b) Định lí Euclid.
Tồn tại vơ hạn các số nguyên tố.
Chứng minh
Giả sử chỉ có hữu hạn các số nguyên tố là 𝑝 , 𝑝 , … , 𝑝 .
Khi đó đặt N = 𝑝 . 𝑝 … 𝑝 + 1, thì theo bổ đề (a), N chia hết cho một số
ngun tố p nào đó (vì N > 1). Số nguyên tố p này bắt buộc phải là một trong
các số 𝑝 , do chỉ có n số nguyên tố 𝑃 , 𝑃 , … , 𝑃 mà thôi. Tuy nhiên, theo định
nghĩa của N, N không thể chia hết cho số 𝑝 nào cả. Mâu thuẫn này cho ta điều
phải chứng minh.

c) Cho số tự nhiên a và một số nguyên tố p. Khi đó p | a hoặc (a, p) = 1.
Chứng minh
Gọi d = (a, p) => d | p với p là số nguyên tố. Từ đó hoặc d = 1 hoặc
d = p.
+ Nếu d = 1 thì (a, p) = 1
+ Nếu d = p thì p | a.
d) Nếu một số nguyên tố p chia hết tích của nhiều số ngun tố thì nó phải
trùng với một trong các số ngun tố đó.
1.3.2. Định lí cơ bản của số học
“Mọi số tự nhiên a > 1 đều phân tích được thành tích những thừa số nguyên
tố và sự phân tích đó là duy nhất nếu khơng kể đến thứ tự của các thừa số”[12].
Chứng minh
a) Sự phân tích được.
Giả sử 𝑎 ∈ N, a > 1. Khi đó bổ đề (a) a có ít nhất một ước ngun tố p1 nào
đó và ta có a = p1. a1, a1 ∈ N
Nếu a1 = 1 thì a = p1 là cách phân tích tầm thường của a
Nếu a1> 1 theo lý luận trên, a1 có ước nguyên tố p2 nào đó và ta có: