Trang |1

LỜI MỞ ĐẦU
Bài tốn tìm và phân loại tất cả các nhóm có cấp cho trước là một bài tốn khó
và đến nay vẫn cịn là một bài tốn mở. Để xây dựng một nhóm trừu tượng bậc hữu
hạn nhất định từ hai nhóm bất kỳ A và B , ta xây dựng thơng qua một số phương trình
giữa các phần tử bất biến của A , dạng phương trình phụ thuộc hồn tồn vào nhóm

B. Như một ứng dụng lý thuyết mở rộng nhóm của Otto Schreier, luận văn “ Phân loại
các p-nhóm cấp p 3 bằng cách ứng dụng lý thuyết mở rộng nhóm của Otto Schreier”
nhằm tìm hiểu về cách phân loại các nhóm khơng abel cấp p 3 .
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn được chia thành 2
chương, trong đó nội dung chính của luận văn được trình bày ở chương 2.
Phần đầu của chương 1, trình bày lại một số định nghĩa, khái niệm liên quan
phục vụ cho nội dung chính, phần cịn lại là xây dựng một số định lý mở rộng nhóm
của Otto Schreier làm cơ sở cho các phần sau.
Bài 1 chương II nêu một số định nghĩa về modulo M ma trận cột, modulo M
ma trận, modulo M ma trận chính quy,…đồng thời áp dụng phần 1và sử dụng tính
chất của modulo M ma trận để trình bày nội dung định lý I (định lý Schreier) và định
lý II. Bài 2 nêu ra cách phân loại tổng quát các nhóm A từ loại

 p , B A

từ loại

 p , p ,..., p  dựa vào đó áp dụng để phân loại các nhóm không Abel cấp p .
n

n

n

3

Cuối cùng, cho phép em được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo -Thạc sĩ
Nguyễn Viết Đức, người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em hồn thành khố luận này.
Nhân đây, xin cảm ơn Ban Giám Hiệu, các giảng viên Khoa Toán trường Đại học Sư
Phạm-Đại học Đà Nẵng đã tạo điều kiện thuận lợi cho em hồn thành khóa học và giúp
đỡ em trong quá trình học tập và thực hiện khố luận.
KHỐ LUẬN TỐT NGHIỆP

TRƯƠNG THỊ UN THƠ-09ST


Trang |2

Mặc dù bản thân đã rất cố gắng và được sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo
hướng dẫn, nhưng do năng lực và thời gian còn hạn chế nên khố luận khó tránh khỏi
những thiếu sót, rất mong nhận được sự góp ý tận tình của q thầy cơ và các bạn để
khố luận được hồn thiện hơn.

KHỐ LUẬN TỐT NGHIỆP

TRƯƠNG THỊ UYÊN THƠ-09ST


Trang |3

CHƢƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN
§1. MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA
1.1.1


Nhóm.

Cho G là tập khơng rỗng cùng với phép tốn hai ngơi “.”. (G,.) được gọi là
nhóm nếu chúng thoả 3 tính chất sau:
(i)

Với mọi x,y,z thuộc G thì  xy  z  x  yz  .

(ii) Tồn tại e thuộc G sao cho ex  xe  x,x  G.
(iii) Với mọi x thuộc G thì tồn tại y thuộc G sao cho xy  yx  e . Ta kí hiệu y là x 1 .
Để cho gọn ta có thể kí hiệu nhóm (G,.) là G. Nếu phép tốn hai ngơi trong
nhóm G có tính giao hốn thì G được gọi là nhóm Abel.
1.1.2 Nhóm con.
Cho G là nhóm, H là tập con khác rỗng của G. Nếu H cùng với phép toán cảm
sinh của phép tốn trong G lập thành một nhóm thì H được gọi là nhóm con của nhóm
G. Ta kí hiệu H  G.
1.1.3 Cấp của nhóm.
Cho G là nhóm. Khi đó cấp của nhóm G chính là lực lượng của G, kí hiệu là

G . Nếu G hữu hạn thì G được gọi là nhóm hữu hạn. Ngược lại G được gọi là nhóm
vơ hạn.
1.1.4 Nhóm con chuẩn tắc.
Cho G là nhóm và H là nhóm con của G.
H được gọi là nhóm con chuẩn tắc của G nếu x  G,h  H thì xhx1  H .

KHỐ LUẬN TỐT NGHIỆP

TRƯƠNG THỊ UYÊN THƠ-09ST



Trang |4

Ta kí hiệu H G.
Định lý 1:
Nếu A là một nhóm con chuẩn tắc của một nhóm X, thì:
(i) Quy tắc cho tương ứng với cặp (xA,yA) lớp trái xyA là một ánh xạ từ

X A X A  X A.
(ii) X A cùng với phép tốn hai ngơi

 xA, yA 

xyA là một nhóm, gọi là nhóm

thương của X trên A.
Định lý 2:
Giả sử A là một nhóm con của một nhóm X, các điều kiện sau là tương đương:
a) A là chuẩn tắc.
b) xA  Ax với mọi x  X .
1.1.5 p-nhóm.
Cho G là nhóm.
(i)

Nếu G là nhóm cấp p n với n là số tự nhiên, p là số nguyên tố thì G được gọi là pnhóm.

(ii) Nếu H là nhóm con của G và H là p-nhóm thì H được gọi là p-nhóm con của G.
(iii) Nếu G là nhóm cấp m.p n và  m, p   1 và H là nhóm con cấp p n của G thì H
được gọi là p-nhóm con Sylow của G.
Tính chất cơ bản của một p-nhóm:


 

i)

Nếu G  1 và G là một p-nhóm hữu hạn , thì  G có cấp khác 1.

ii)

Nếu H là nhóm con thực sự của G thì H  NG (H).

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP

TRƯƠNG THỊ UYÊN THƠ-09ST


Trang |5

iii) G là một nhóm có cấp là pr , r  1 thì G có một nhóm con chuẩn tắc có cấp là

pr 1.
1.1.6 Nhóm Xyclic.
Cho nhóm G=<S> thì tập S được gọi là tập sinh của G. Nếu G có tập sinh hữu
hạn {x1,x2,…,xn} thì G được gọi là nhóm hữu hạn sinh và ta kí hiệu là <x1,x2,…,xn>.
Ngược lại G được gọi là nhóm vơ hạn sinh. Nhóm G được gọi là nhóm xyclic nếu tồn
tại một phần tử a thuộc G sao cho G = <a>.
1.1.7 Nhóm con giao hốn tử.
Cho G là một nhóm. Với x, y  G , thì x 1y 1 xy được gọi là hoán tử của x và y
hay nói ngắn gọn là hốn tử. Ký hiệu  x , y  để chỉ hốn tử. Một nhóm con của G được
sinh bởi tập tất cả các hoán tử của G được gọi là nhóm con giao hốn tử ( hay nhóm

con dẫn xuất) của G và được kí hiệu là G ' . Ta có G '  G, G  .
Tính chất:
-

G ' Là nhóm con chuẩn tắc của G.

-

G là một nhóm, G ' là một nhóm con giao hốn tử của G khi đó G G ' là Abel.
1.1.8 Đồng cấu.
Định nghĩa:
Cho hai nhóm  G,. và  H ,. . Một tương ứng:

f : GH
x

f x

gọi là đồng cấu nhóm nếu:
(i) f là một ánh xạ.
(ii) f  x, y   f  x  f  y  , x, y  G .

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP

TRƯƠNG THỊ UYÊN THƠ-09ST


Trang |6

Nếu H  G thì f là tự đồng cấu.

Tính chất:
f : G  H là đồng cấu nhóm thì:

(i)

f 1G   1H

(ii)

f x 1  f  x 

  



1

.

Một đồng cấu nhóm với f là một đơn ánh, toàn ánh hay song ánh lần lượt được
gọi là một đơn cấu, toàn cấu hay đẳng cấu.
1.1.9 Đồng dƣ.
Cho a,b,m là các số nguyên, m  0 . Nếu a  b chia hết cho m thì a được gọi là
đồng dư với b modulo m , ký hiệu a  b mod m.

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP

TRƯƠNG THỊ UYÊN THƠ-09ST



Trang |7

§2. MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ MỞ RỘNG NHĨM CỦA OTTO SCHREIER
I.

MỞ RỘNG CỦA MỘT NHÓM THEO MỘT NHÓM BẤT KÌ

Cho hai nhóm A và B , tìm tất cả các nhóm B nhận A làm nhóm con chuẩn
tắc sao cho B A  B. Nói ngắn gọn là tìm tất cả các mở rộng B của A theo B .
Tiến hành phân tích B .
Chọn ánh xạ: t : B  B

B

t  B   B và t 1B   1B trong đó 1B là đơn vị của B.

Ta có: AB  BA (lớp kề của B theo A ),

BB  t  BB   AB ,B  A : BB  BBAB ,B .
Như vậy AB và BA cùng thuộc BA và ta có AB  BAB , E B  E với E  1B .
1

(Trong đó AB  B AB A ).
Bây giờ giả sử tồn tại nhóm B , câu hỏi đặt ra là các phần tử AB , AB',B'' phải thoả
mãn điều kiện gì để các mối quan hệ AB  BAB và B' B''  B' B''AB' B'' cùng các quan
hệ của A trong B được xác định.
Ta có: B'AB'' A  B' B'' A' B'' A''  B' B''AB' B'' A' B'' A'' .
Xem phần tử BA như cặp

 


B, A với B  B; A  A ,

từ

 

ta suy ra

B',A'B'',A''  B' B'',AB',B'' A' B'' A'' .

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP

TRƯƠNG THỊ UYÊN THƠ-09ST


Trang |8

Đầu tiên chúng ta xác định các điều kiện để các cặp B, A là một nhóm.
(i)

Phần tử đơn vị: EB  EB ,EA  .

(ii)

Tính chất kết hợp:
A',A'',A''',B',B'',B''' cho trước : B,AE,E  B,A

 II 


B,A ;B,AB,A  B,AB,A;B,A  I 
(iii)

Phần tử nghịch đảo:

A,B :

B,AB ,A  E,E

 

Suy ra B  B 1 ; A  AB

1

1

 III 

AB1,B1 .

Phân tích (I):

B, A ;B, AB, A  B, A B, A ;B, A





 BBB, ABB ,B  AB ,B AB A  A  BBB, AB ,BB ABB AB ,B A B A

B

 ABB ,B  AB ,B AB A  A  AB ,BB ABB AB ,B AB A.
B

1

Phân tích (II):

B, AE,E  B, A
 B, AB ,E AE   B, A
 2

 AB ,E AE  A.

Từ  2  với A  E thì AB,E  E.
Do đó AE  A.

 3

 4



Từ 1 cho B  E, B  B thì AB ,E AE A

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP




B

 AB AE ,B AB .

TRƯƠNG THỊ UYÊN THƠ-09ST


Trang |9

5 

Từ  3 và  4  ta có  AA   AB AE ,A AB



B

Cho A  A  E , từ  5  ta được AE ,B  E.
Và do đó  5    AA   AB AB .

 5

B



Áp dụng  5  ta được AA...A n




B

 AB AB

 

Với A  A; A  A1 từ  5  ta có AB



Từ 1 suy ra ABB ,B ABB,B AB
Thay

A 

B  E


B B

nếu không



B

 6

1


A

nB

.

  A1  .
B

 AB ,BB ABB AB ,B .

A

bởi

A,

B

bởi

1 


B ,

B

bởi


B :

7

 AB1,B ABB ABB .

Thay vào 1  suy ra:
ABB ,B ABB,B  AB ,BB AB ,B .

 8

Từ 1 và  2  bằng cách sử dụng E B  E ta được các kết quả từ  3 đến  8  ,
đảo lại dễ dàng chứng minh được từ  3 đến  8  kéo theo 1 , 2  và E B  E .
Như

vậy,

để

tập

các

B',A'B'',A''  B' B'',AB',B'' A' B'' A''

cặp

B, A dựa

vào


quan

hệ

là một nhóm với đơn vị E,E thì điều kiện

cần và đủ là các phần tử AB , AB ,B thoả mãn các công thức từ  3 đến  8  .

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP

TRƯƠNG THỊ UYÊN THƠ-09ST


T r a n g | 10

Bây giờ giả sử các công thức từ

B,EE,A  B,A

 3

đến

8

đã được thoả và

tức là một nhóm của các cặp B, A có thể được tạo ra từ các


phần tử B,E và E, A . Trong đó B là một nhóm của B , A là một nhóm của A.
Hơn nữa

E, AE, A  E, AA
 IV 
E, AB,E  B,EE, AB 
V 
B,EB,E  BB,EE, ABB  VI 
Có thể suy ra điều ngược lại từ  IV  , V  , VI  vì ta có mối quan hệ giữa các
nhóm như sau:

B,EE, AB,EE, A  B,EB,EE, ABE, A
 BB,EE, AB ,B E, AB A  B' B,EE, AB ,B A' B A .
Nói cách khác cơng thức  IV  , V  , VI  thể hiện cách xác định quan hệ của
nhóm.
Bây giờ chúng ta giả thiết

E,A  A; B,E  B

thì dẫn đến

 IV 

phải là

thành phần hợp thành của A và ta có:
Định lý I:
Khi các phần tử AB , AB ,B và các điều kiện

 AA


B

 AB AB .

A

(AB )B  AB1,B ABB ABB .

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP

E

 A

a

b 
TRƯƠNG THỊ UYÊN THƠ-09ST


T r a n g | 11

A

ABB ,B ABB,B  AB ,BB AB,B

B,E

 AE ,B  E 


c

Được thoả thì các hệ thức AB  BAB và B' B''  B' B''AB' B'' cùng với các hệ
thức của A luôn và chỉ luôn xác định một mở rộng của A theo B.
Bất kì sự mở rộng của A theo B có thể được định nghĩa bằng các mỗi quan hệ
ở trên.
II.

MỞ RỘNG CỦA MỘT NHĨM THEO TÍCH TRỰC TIẾP

Chúng ta bắt đầu từ tích trực tiếp 2 nhân tử. Nhân tử của A trong nhóm B
đẳng cấu với tích trực tiếp B = B1B2 .

B1 là phần tử bất kì của B1 và B2 là phần tử bất kì của B2 (tương tự B1' B1'' ... ).
Tương ứng với B1 trong nhóm A là B1 , B2 là B2 . Phần tử B  B1B2 tương ứng trong
A là B1B2  B .

Để xác định mối quan hệ của B , ta giả định:
AB1  B1 AB1 ; B1' B1''  B1' B1'' AB' , B''
1

1

B2 B1  B1B2 AB2 , B1
AB2  B2 AB2 ; B2' B2''  B2' B2'' AB' , B''
2

2


Từ đó: AB  AB1B2  B1 AB1 B2  B ( AB1 ) B2

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP

TRƯƠNG THỊ UYÊN THƠ-09ST


T r a n g | 12

B ' B ''  B1' B2' B1'' B2''  B1' B1'' B2' AB' , B'' B2''
2

1

 B B AB' , B'' B B A
' ''
1 1

1

'
2

1

B2''
B2' , B1''

''
2


 B B B B2'' ABB'2,BB2'' AB' , B'' ABB'2, B''
' ''
1 1

'
2

BB A
'

''

B2' B2''
B1' , B1''

'

''

1

1

''

2

2


2

1

B2''
B2' , B1''

AB' , B'' A
2

2

AB  ( AB1 ) B2 ; AB, B  ABB'2,BB2'' AB' ,B'' ABB'2,B''
'

''

1

1

''

2

2

2

1


Các phần tử phải thỏa điều kiện của định lí 1. Ở đây ta có thể giả định rằng

AB1 , AB1 , B1 và tương ứng AB2 , AB2 , B2 đáp ứng các điều kiện đã cho.
Ta có:
( AA) B  (( AA) B1 ) B2  ( AB1 AB1 ) B2  ( AB1 ) B2 ( AB1 ) B2 ;
AE  ( AE ) E  A.

 Thỏa điều kiện (a).
Áp dụng (b) cho B  B2 , B  B1 :

( AB2 ) B1  AB21,B1 ( AB1 ) B2 AB2 ,B1

(1)

(1) thỏa mãn. Sau đó:

( AB ) B  ((( AB1 ) B2 ) B1 ) B2  ( AB21, B1 (( AB1 ) B1 ) B2 AB2 , B1 ) B2
 ( ABB22, B1 ) 1 AB21, B2 ( ABB12,BB21 ) 1 ( AB1B1 ) B2 B2 ABB12,BB21 AB2 , B2 ABB22, B1
 AB1,B ABB AB, B

 (b) được thỏa mãn.
Áp dụng (c) cho B  B2 , B  B2, B  B1 :

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP

TRƯƠNG THỊ UYÊN THƠ-09ST


T r a n g | 13


AB2 B2 ,B1 ABB21 ,B2  AB2 ,B2B1 AB2 ,B1
Hoặc: AB2 B2 ,B1 ABB21 ,B2  AB2 ,B2 ABB22,B1 AB2 ,B1 (2)
Tương tự với B  B2 , B  B1, B  B1:

AB2 B1 ,B1 ABB21,B1  AB2 ,B1B1 AB1 ,B1
Hoặc: ABB12, B1 AB2 ,B1 ABB21,B1  AB2 ,B1B1 AB1 ,B1

(3)

(2) và (3) được thỏa mãn; sau đó ta có:

ABB,B ABB,B  ABB12BB12,BB12 AB2 B2 ,B2 ABB22B2 ,B1(( ABB12,BB21 ) B1) B2 ( ABB21,B2 ) B2 (( ABB22,B1 ) B1) B2

 ABB12BB12, BB12 AB2 B2 , B2 ABB22B2 , B1( ABB22B2 ,B1)1 AB21B2 ,B2 ( ABB11,B1 ) B2 B2B2 AB2 B2 ,B2 ABB22B2 ,B1( ABB21,B2 ) B2 ( ABB22,B1) 1
AB21, B2 ( ABB21,B1 ) B2 B2 AB2 ,B2 ABB22,B1
 ABB12BB12, BB12 ( ABB12BB12,BB12 )1 ABB12,BB21BB12 ABB12,BB21B2 AB2 B2 ,B2 ABB22B2 ,B1( ABB22B2 ,B1)1 ABB22,B2 ( ABB22,B1) B2 ABB22, B1( ABB22, B1)1 AB21, B2
( ABB22,BB2 )1 ((( ABB12, B1) B2B2 )1 ABB22BB12,B1ABB12,BB21AB2 ,B2 ABB22,B1

 ABB12,BB21BB12 ABB12,BB21B2 AB2 B2 ,B2 ABB22,B2 AB21,B2 ABB22,BB21AB2 ,B2 AB21,B2 ( ABB22,BB2 )1 AB21,B2B2 ( ABB12,BB21B2 )1 AB2 , B2B2
ABB22BB12, B1ABB12,BB21AB2 ,B2 ABB22,B1

 AB,BB AB,B .

AB,E  ABB12,E AB2 ,E ABE2 ,E  A; AE ,B  AEB,2B1 AE ,B2 AEB,2B1  E
Vậy (c) được thỏa mãn.
Do đó ta có:
Bổ đề: Các quan
hệ: AB1  B1 AB1 ; B1' B1''  B1' B1'' AB' , B'' ; AB2  B2 AB2 ; B2' B2''  B2' B2'' AB' ,B'' ; B2 B1  B1B2 AB2 , B1
1


KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP

1

2

2

TRƯƠNG THỊ UYÊN THƠ-09ST


T r a n g | 14

cùng với các quan hệ trong A xác định một và chỉ một mở rộng của A theo B1B2 ,
nếu các phần tử AB1 , AB1 , B1 và AB2 , AB2 , B2 thỏa các điều kiện của định lí 1 và AB2 , B1 thỏa
các phương trình (1), (2) , (3).
Bây giờ ta đi qua tích trực tiếp của 3 nhân tử, thiết lập B  B1B2B3 . Để xác
định quan hệ của B , ta có thể giả định:

ABi  Bi ABi ; BiBi  BiBiABi,Bi; Bi B j  B j Bi ABi ,B j

(i, j  1,2,3; i  j )

Rõ ràng, với mỗi i: các phần tử ABi , ABi , Bi thỏa mãn các điều kiện của định lí 1.
i, j (i  j ) ABi , B j thỏa (1), (2), (3). Để tìm điều kiện mà các phần tử

ABi , ABi , Bi phải đáp ứng, ta đặt B2B3  B0 và đưa tích về dạng 2 nhân tử. Cố định phần
tử B0  B2 B3 .
'


''

''

Ta có: AB0  ( AB2 ) B3 ; AB0 , B0  ABB'3,BB3'' AB' , B'' ABB'3,B''
2

2

3

3

3

2

AB0 ,B1  ABB23,B1 AB3 ,B1
Từ giả định đã nêu ở trên các phần tử AB0 , AB0 , B0 thỏa điều kiện của định lí 1.
Vậy chỉ cịn u cầu (1), (2), (3).
- Điều kiện (1):
Trong (1) thay chỉ số 2 bởi 0:

( AB0 ) B1  (( AB2 ) B3 ) B1  AB31, B1 (( AB2 ) B1 ) B3 AB3 , B1  AB31,B1 ( ABB23,B1 ) 1 (( AB1 ) B2 ) B3 ABB23,B1 AB3 ,B1
 AB01, B1 ( AB1 ) B0 AB0 , B1 .

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP

TRƯƠNG THỊ UYÊN THƠ-09ST



T r a n g | 15

Do đó (1) được thỏa mãn.
- Điều kiện 2:
Thay B0  B3 ; B0  B2 , ta có:

AB3B2 ,B1 ABB31,B2  AB3 ,B2 ABB32,B1 AB2 ,B1
ABB23,B1 AB3 ,B1 ABB31,B2  AB3 ,B2 ABB32,B1 AB2 ,B1

(4)

(4) được thỏa mãn, sau đó:

AB01B0 , B1 AB0 ,B0 ABB00, B1 AB0 ,B1  AB21B2 ,B1 ( ABB23BB23,B1 )1 ABB23 ,BB32 AB3 ,B3 ABB33,B2 (( ABB23 ,B1 ) B2 ) B3
.( ABB32, B1 ) B3 ABB23, B1 AB3, B1
 AB21B2 , B1 ( ABB23BB23, B1 )1 ABB23 ,BB32 AB3 ,B3 ABB33,B2 ( ABB33, B2 )1 AB31,B3 ( ABB22 ,B1 ) B3 B3 AB3 ,B3 ABB33,B2
.( ABB32, B1 ) B3 ABB23, B1 AB3, B1
 AB21B2 , B1 ( ABB23BB23, B1 )1 ABB23 ,BB32 ( ABB23 ,BB32 )1 ABB23BB23, B1 ( ABB21 , B2 ) B3 B3 ( ABB23 ,BB31 ) 1 AB3 , B3 ABB33, B2 ( ABB33,B2 ) 1
( ABB23 , B1 ) B3 ABB33,B1 ( ABB31, B2 ) B3 AB3,B1
 ( ABB23 ,BB32 ) B1 AB21B2 ,B1 ( ABB23,BB31 )1 ABB23,BB31 ( ABB23,BB32 )1 AB3 , B3 ABB33, B1 AB3, B1 ( ABB33, B2 ) B1
 ( ABB23 ,BB32 ) B1 ABB31,B3 ( ABB33,B2 ) B1  ABB01 ,B0 .

 Thỏa mãn điều kiện (2).
- Điều kiện (3) :
Điều kiện (3) cũng thỏa mãn, vì:

KHỐ LUẬN TỐT NGHIỆP


TRƯƠNG THỊ UYÊN THƠ-09ST


T r a n g | 16

AB0 B1 , B1 AB1 , B1 ( ABB01, B1 ) 1 AB01, B1  ABB23, B1B1 AB3 B1 , B1 AB1 , B1 ( ABB13,B1 ) 1 (( ABB23,B1 ) B1 ) 1 AB31,B1 ( ABB23,B1 ) 1
 ABB23, B1B1 ABB13, B1 AB3 , B1 ( AB3 ,B1 ) 1 (( ABB21,B1 ) B3 ) 1 ( ABB23, B1 ) 1
 ( AB2 , B1B1 AB1 , B1 ( ABB23, B1 ) 1 ( AB2 , B1 ) 1 ) B3
 ( ABB12, B1 ) B3  ABB10, B1.
Đã tìm được những điều kiện mà các phần tử phải thỏa mãn. Để rõ ràng hơn ta
đưa ra một định nghĩa mới. Sử dụng ABi ,B j  AB1j ,Bi với i  j . Khi các phần tử AB0 , B0
không xuất hiện định nghĩa này sẽ dẫn đến những nhầm lẫn.
Phương trình (1) có thể được viết lại như sau:

( ABi ) j  ABi1,B j ( A j ) Bi ABi ,B j
B

B

(i, j  1,2,3; i  j )

Các phương trình (2) và (3) có thể tóm tắt thành:

ABij,Bi  ABi1Bi,B j ABi ,Bi ABBii,B j ABi,B j (i, j  1,2,3; i  j )
B

Và (4) có dạng:

ABB13,B2 AB3 ,B2 ABB32,B1 AB2 ,B1 ABB21 ,B3 AB1 ,B3  E
Sau những chuẩn bị này dễ dàng đi đến trường hợp nhiều nhân tử. Đó là


B   Bi , trong đó i là bất kì và khơng cần phải là số nguyên.
i

Định lí II: Các quan hệ Bi1 ABi  ABi ; BiBi  BiBiABi,Bi; Bi B j  B j Bi ABi ,B j với
i  j cùng các quan hệ trong A luôn luôn xác định một mở rộng của A theo B , nếu

trong A tồn tại những quan hệ sau:

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP

TRƯƠNG THỊ UYÊN THƠ-09ST


T r a n g | 17

( AA) Bi  ABi ABi

( AE  A)

(a )

( ABi ) Bi  ABi1, Bi ABi Bi ABi , Bi

(b)

ABiBi, BiABBii, Bi  ABi , BiBiABi,Bi ( ABi ,E  AE ,Bi  E )

(c )


( ABi ) j  ABi1, B j ( A j ) Bi ABi , B j ( ABi , B j AB j , Bi  E ) (d )
B

B

ABij,Bi  ABi1Bi,B j ABi ,Bi ABBii,B j ABi,B j
B

ABB13,B2 AB3 ,B2 ABB32,B1 AB2 ,B1 ABB21 ,B3 AB1 ,B3  E

(e)
(f)

(i  j; j  k ; k  i)
Trên đây là điều kiện cần, nó dẫn đến mỗi một mở rộng của A theo B các phần
tử Bi , B j , Bk tạo ra sự mở rộng của A theo Bi , B j , Bk (i, j, k ) . Chứng minh các điều
kiện đủ thông qua phép quy nạp với một số hữu hạn các nhân tử. Giả sử

B  B1B2 ...Bs .
- Với s  1,2,3 , định lý đã được chứng minh.
- Giả sử đúng với s  1 .
Đặt Bs1Bs  B0 và B0  Bs 1Bs . Hơn nữa theo các mối quan hệ xác định:

AB0  ( ABs 1 ) Bs ; AB0 ,Bi  ABBss1 ,Bi ABs ,Bi ; ABi ,B0  ABi ,Bs ABBis,Bs 1

(i  1,2,..., s  2)

Ta phải chứng minh: các điều kiện (a)  ( f ) đúng đối với i, j, k  1,2,..., s ,
(i  j; j  k ; k  i) cũng như vậy với i, j, k  0,2,..., s  2 (i  j; j  k ; k  i) . Từ


(a)  (e) hiển nhiên đúng với s  3 . Cần chứng minh điều kiện ( f ) trong trường
hợp một trong bộ ba (i, j, k ) bằng 0. Vì ( f ) có tính đối xứng nên ta có thể giả định
k  0 . Vì vậy ta có:

KHỐ LUẬN TỐT NGHIỆP

TRƯƠNG THỊ UYÊN THƠ-09ST


T r a n g | 18

B

ABBi0, B j AB0 , B j AB0j, Bi AB j , Bi ABBji , B0 ABi , B0
 ( ABBis,B1 j ) Bs ABBss1 , B j ABs , B j ( ABBss1 , B j ) j ABsj, Bi AB j , Bi ABBji , Bs ( ABBjs , Bs 1 ) Bi ABi , Bs ABBis, Bs 1
B

B

 ( ABBis,B1 j ) Bs ABBss1 , B j ( ABsj1 , Bi ) Bs ABs , B j ABsj, Bi AB j , Bi ABBij , Bs ABi , Bs ( ABBij , Bs 1 ) Bs ABBis, Bs 1
B

B

 ( ABBis,B1 j ) Bs ABBss1 , B j ( ABsj1 , Bi ) Bs ABBjs , Bi ( ABBij , Bs 1 ) Bs ABBis, Bs 1  E Bs  E.
B

Trường hợp số nhân tử được thực hiện bởi nhận xét: lấy bất kì một phần tử của

B đều biểu diễn được thành tích hữu hạn các Bi .

Như vậy định lý 2 được chứng minh.
III.

MỞ RỘNG MỘT NHÓM VỚI CÁC NHÓM ABEL

Xét trường hợp đặc biệt, các nhân tử Bi của B là các nhóm xyclic, ni là cấp của

Bi , nếu nó là hữu hạn.
Đến bây giờ ta xem Bi như một phần tử bất kì, mà chính xác là một phần tử
được sinh bởi Bi . Thay Bix vào vị trí của Bi , khi đó các phần tử siêu việt Bix liên kết
x

ri  x 

x

trong nhóm con chúng ta kí hiệu bằng B i . Ta đặt Bi  Bi

, ở quan hệ này ri  x  là số

dư không âm nhỏ nhất của x mod ni , hoặc bằng x, với ni  0.
Bất kì mở rộng của A theo B đều được xác định theo quan hệ
1

ni

Bi ABi  ABi ; Bi  Ai ; Bi B j  B j Bi Ai , j

i  j  .


Sử dụng các điều kiện của định lý II để tìm các phần tử ABi , Ai , Ai , j . Với mục
x

B
đích này trước hết chúng ta tìm các phần tử A i ,AB x ,B x ,AB x ,B y dựa vào biểu diễn
i

i

i

j

ABi , Ai , Ai , j . Để rút gọn trường hợp ta xét các trường hợp ni khác nhau từ số 0. Các

trường hợp ni triệt tiêu làm tương tự.
KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP

TRƯƠNG THỊ UYÊN THƠ-09ST


T r a n g | 19

Đó là:
x1

x

 ri  x 


x

ABi  Bi ABi  Bi

r x

ABi ,

r x
 A   A  i 
Tương đương:  B x    Bi 
A i  A 


x

ri  x

x

Bi Bi  Bi

ri  x

Bi

ri  x ri  xri  x x

 Bi


.

Đặt: ri  x  ri  x   ri  x  x   ni di  x,x  .

di  x,x  có khả năng nhận các giá trị 0,1.
x

x

x x

Ta có: Bi Bi  Bi

Ai i 

d x ,x

.

Do đó AB x ,B x  Aidi  x ,x  .
 

i

i

x

x


x 

Để tính AB x ,B y ta đặt ABi ABi ...ABi
i

n

x

 ABi

 n

 Bix ... Bix

, trong đó cần quan tâm đến

j

 n



thứ tự của tổng các số mũ Bix  Bix  ...  Bix .Qua đó ta nhận được một cách đầy đủ

qua phép quy nạp đầu tiên:
Ta có:
y 1

r


E  B j  ... B j j

y

B j Bi B j  Bi Ai , j

 y  1

Nhờ đó chúng ta nâng lên luỹ thừa bậc ri  x  :
y 1

x

r

E  B j  ... B j j

y

B j Bi B j  Bi ( Ai , j
x

r

E  B j  ... B j j

 Bi ( Ai , j
KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP


 y  1

) i

 y  1

r x
ri  x  1 ... Bi  E

)Bi

,

TRƯƠNG THỊ UYÊN THƠ-09ST


T r a n g | 20

r

E  B j  ... B j j

Vì vậy AB x ,B y  ( Ai , j
i

 y  1

ri  x  1 ... Bi  E

)Bi


.

j

Tiến hành kiểm tra các điều kiện của định lý II để tìm ra các điều kiện ràng buộc
của ABi , Ai , Ai , j .
Áp dụng kết quả điều kiện  a  của định lý II:

 AA

Bi

A

 ABi ABi

Tổng quát 1 :  AA 

Bi x

E

 A .

1

 ABi ABi .
x


x

A

 A  A  


Điều kiện  b  có thể được viết:  B x  B x   1
x   x 
 A i  A i   A x x ABi A x x 
Bi ,Bi 


  Bi ,Bi
r  x  ri  x

i
 A
Hay  Bi 
A 

r  x x

i
 A
  Bi 
A 

r  x  ri  x 


i
 A
Ta có:  Bi 
A 

n di  x ,x 

i
 A
Do đó:  Bi 
A 

A


  di  x ,x di  x ,x  .
AAi
 Ai


r  x x 

i
 A
  Bi 
A 

n di  x ,x 

i

 A
 ABi 



.

A


   d  x ,x d  x ,x  .
A i

AAi i
 i


Lúc này  b  tương đương:
n

i
 A 
 A
 Bi    A1 AA 
A 
i
 i

 2


Điều kiện  c  :

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP

TRƯƠNG THỊ UYÊN THƠ-09ST


T r a n g | 21

x 

AB x B x ,B x ABBxi  ,B x  AB x ,B x B x AB x ,B x
i

i

i

i

Bix 

 ( Ai

i

i

di  x ,x


i

i

i

i

di  x ,x x  di  x ,x di  x x ,x
i

A

)

.

Lúc này dễ dàng chứng minh được:

di  x,x  x  di  x,x  di  x  x,x  di  x,x .
Và  c  tương đương với ABi  Ai

 3

(Các hạn chế AB x ,E  AE ,B x  E đã thoả mãn vì di  x,0  di  0,x   0 ).
i

i

Điều kiện đặc biệt của  d  : (ABi ) j  Ai, 1j (A j ) Bi Ai , j

B

 4  thoả mãn, sau đó với gợi ý từ 1
(ABi )

Bj y

E  B j ... B j

 (Ai , j

r j  y  1

i  j   4

B

qua phép quy nạp ta có:

E  B j ... B j

By

)1 (A j ) Bi Ai , j

r j  y  1

.

Với mọi y, ta chứng minh được:

x 1

(ABi )

Bj y

E  B j  ... B j

 ((Ai , j

r j  y  1

x2

) Bi

 ... E 1

B

x 1

y

E  B j  ... B j

) (A j ) Bi (Ai , j

r j  y  1


x 2

) Bi

 ... E

.

 2  x  ni 

Với

Nếu thay A bởi ABi ta nhận được:
x

(ABi )

Bj y

E  B j  ... B j

 ((Ai , j

E  B j  ... B j

 ((Ai , j

r j  y  1

E  B j  ... B j


(Ai , j

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP

r j  y  1

x2

) Bi

x2

) Bi

r j  y  1

B

y

x 1

E  B j  ... B j

) ((ABi ) j ) Bi (Ai , j

 ... E 1

x2


) Bi

 ... E 1

E  B j  ... B j

) ((Ai , j

r j  y  1

By

r j  y  1

x 2

) Bi

 ... E

E  B j  ... B j

) 1 (A j )Bi Ai , j

r j  y  1

) Bi

x 1


 ... E

TRƯƠNG THỊ UYÊN THƠ-09ST


T r a n g | 22

E  B j  ... B j

 ((Ai , j

r j  y  1

E  B j  ... B j

r j  y  1

(Ai , j

E  B j  ... B j

 ((Ai , j

x2

) Bi

r j  y  1


E  B j  ... B j

 ... E 1

x 1

E  B j  ... B j

) Bi (Ai , j
x 1

) Bi

r j  y  1

) ((Ai , j

r j  y  1

By

 ... E 1

x2

) Bi

x 1

x


 ... E

E  B j  ... B j

x

By

) Bi ) 1 (A j )Bi

) (A j )Bi (Ai , j

r j  y  1

) Bi

x 1

 ... E

.

Để  d  hoàn thành, ta chứng minh điều kiện:
E  ... B jy 1 Bix 1  ... E

(Ai , j

)


x 1

 (AiB, ij

4 

y 1
 ... E E  B j  ... B j



)

 i  j; 0  x  n , 0  y  n 
i

j

 

Cho x  1 và với đúng mọi y, chứng minh 4 cho x  x , và với mọi y. Ta có:
E  ... B jy 1 Bix 1  ... E

(Ai , j

)

x 1

B


x 1

x2

E  ... B jy 1 Bix 1

 (Ai , j
B y 1

x 1

)

x 1

x2

 AiB, ij (Ai , jj ) Bi ...(Ai , jj ) Bi (AiB, ij
 AiB, ij AiB, ij

 ... E

x 1

E  ... B jy  2 Bix  2  ... E

...(Ai , j

x 1


)

x2

 AiB, ij AiB, ij
x2

...(AiB, ij

x 1

 ... E

 ... E

x 1

(AiB, ij )
x 1

)

x2

x2

B

B jy 1


x 1

(AiB, ij )
x 1

B

 ... E 1

x2

EB

) (Ai , j j ) Bi

 ... E

x 1

x2

) (AiB, ij

x2

 ... E E  B j

)


x2

x 1

 ... E B j

x2

) (AiB, ij

x 1

) ...(AiB, ij )

B jy 1

x2

(AiB, ij

 ... E 1

)

y 1
 ... E E  ... B j

)

x2


B2

(AiB, ij ) j ((AiB, ij

y2
 ... E E  ... B j
1

)

x2

EB

B2

(AiB, ij ) j .((Ai , j j ) Bi

) (AiB, ij

)

 ... E 1

((AiB, ij

x2

(AiB, ij ) j (AiB, ij


)

E  ... B jy  2 Bix  2  ... E 1

x2

B jy 1

)

y 1
 ... E E  ... B j

((Ai , j

(AiB, ij ) j (AiB, ij

y 2
 ... E E  ... B j

 AiB, ij AiB, ij

B

(AiB, ij ) j (AiB, ij

E  ... B jy 1 Bix  2  ... E

(Ai , j


 ... E E  B j 1

)

)

y 1
 ... E E  ... B j

)

y 1
 ... E B j

)

x 1

 (AiB, ij

y 1
 ... E E  ... B j

)

.

Vậy lập luận tổng quát đã được chứng minh.
Các ràng buộc của  d  : Ai , j Aj ,i  E


 5

 

Sử dụng 4 để có đủ điều kiện hoàn thành  5 
Điều kiện  e  là :

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP

TRƯƠNG THỊ UYÊN THƠ-09ST


T r a n g | 23

r

E  ... B j j

 y  1

(Ai , j

ri  x   x   1
 ... E

) Bi

(Ai i 


y
d x ,x B j

)

 Ai i 

d x ,x 
r

E  ... B j j

r

E  ... B j j

 y  1

((Ai , j
 y  1

.(Ai , j

ri  x   1
 ... E

) Bi

x 


) Bi

ri  x   1
 ... E

) Bi

Xuất phát từ phần tử đơn vị di  x,x   0, sau đó cho di  x,x   1 ta có:
r

E  ... B j j

 y  1

(Ai , j

ri  x   x  1
 ... E

) Bi

(Ai )

B jy

r

E ... B j j

 Ai ((Ai , j


 y  1

ri  x  1
n  r x 
 ... Bi i i  

) Bi

x 

r

E  ... B j j

) Bi (Ai , j

 y  1

ni 1
 ... E

) Bi

Hoặc
r

E  ... B j j

 y  1


ri  x   x  1
 ... E

(Ai , j

) Bi

Do đó: (Ai )

B jy

 6

(Ai )

r

E  ... B j j

 Ai (Ai , j

r

E ... B j j

B jy

 Ai Ai1 (Ai , j


 y  1

ni 1
 ... E

) Bi

 y  1

ri  x   x  1
 ... E

) Bi

r

E ... B j j

 y  1

Ai (Ai , j

ni 1
 ... E

) Bi

 6

ni 1

 ...E

. Và đặc biệt: Ai j  Ai AiB, ij
B

 

thoả mãn, sau đó áp dụng 4 khái quát: (Ai )

B jy

r

E  ... B j j

 Ai (Ai , j

 y  1

.

ni 1
 ... E

) Bi

.

Điều kiện  f  là:
x 1


((AiB, ij

y 1
 ... E B j  ... E Bkz

)

x 1

.(AEj ,i... Bi )

E  ... B jy 1 Bkz 1  ... E

) (Ak , j

B jy 1  ... E

z 1

.((ABj ,kk

)

y 1
 ... E E  ... B j
Bix

)


x 1

z 1

((AkE,i... Bi ) Bk
z 1

) (AkB,ik

y
 ... E B j

) .

 ... E E  ... Bix 1

)

 E.

7 


0  x  n , 0  y  n , 0  z  n  .
i

j

k


Cho x  y  z  1 ta có:

AiB, kj Ak , j Ak ,ij Aj ,i AjB,ki Ai ,k  E.
B

7

 

 

Một lần nữa chúng ta thấy rằng 7 thoả mãn, 7 cũng được chứng minh
thoả mãn cho tất cả bộ ba  x, y,z  với 0  x  x; 0  y  y; 0  z  z.

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP

TRƯƠNG THỊ UYÊN THƠ-09ST


T r a n g | 24

Để một trong các số mũ, ví dụ như z có thể tăng lên 1 đơn vị (với điều kiện

z  1  nk ) chúng ta giả định:
E  ... B jy 1 Bix 1  ... E Bkz 1

((Ai , j

)


)

E  ... B jy 1 Bkz  ... Bk

(Ak , j

x 1

z 1

y
 ... E B j Bk

z 1

x 1

 ... E Bk

.((AkE,i... Bi ) Bk
.((AiE,k... Bk ) Bi

)

x 1

) ) .((AEj ,i ... Bi )

)


.

B jy 1  ... E Bk

z 1

) ((AEj ,k... Bk )

B jy 1  ... E B jy Bk

) )

 E Bk  E.

Do đó:
E  ... B jy 1 Bix 1  ... E Bkz 1

((Ai , j

)

x 1

)

z 1

.(AkE,i... Bi ) Bk
x 1


.AiB,ki

 ... E

y
 ... E B j

x 1

(AiB,ki

E  ... B jy 1 Bkz  ... Bk

(Ak , j

)

B y 1  ... E

) .Aj ,kj

 ... E Bk  ... Bkz

)

E  ... B jy 1

.Ak , j

x 1


((AEj ,i... Bi )

B jy 1  ... E Bk

x 1

B y 1  ... E Bk  ... Bkz Bix

) AkE,i... Bi ((Aj ,kj

)

)

 E.

Bây giờ bằng cách giả định:
B y 1 ... E

Aj ,kj

x 1

((AEj ,i... Bi )

B jy 1 ... E Bk

x 1


x 1

By

B y 1 ... E E ... Bix 1

) AkE,i... Bi  (AkE,i... Bi ) j (Aj ,ij

Đưa kết quả này vào phương trình cuối cùng ta được

 x, y,z  1 . Bằng cách kết hợp các kết quả trong trường hợp

)

7 


B y 1 ... E Bix

(Aj ,kj

) .

cho ba biến

ni triệt tiêu, chúng ta có

được:
Định lý III:
Các mối quan hệ Bi1 ABi  ABi ; Bini  Ai ; Bi B j  B j Bi Ai , j


i  j 

Cùng các mối quan hệ của A luôn luôn xác định mở rộng của A với các nhóm
Abel từ cơ sở ni  khi A thoả mãn các quan hệ:

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP

TRƯƠNG THỊ UYÊN THƠ-09ST


T r a n g | 25

 AA 

Bi

 ABi A Bi

n

i
 A 
 A 

 A1 AA 
 ABi 


i

 i
Bi
A  Ai

(ABi ) j  Ai, 1j (A j )Bi Ai , j
B

B

ni 1
 ...E

Ai j  Ai AiB, ij
B

AiB, kj Ak , j Ak ,ij Aj ,i AjB,ki Ai ,k  E
B

i 

a
b
c

A

i,j

Aj ,i  E   d 


e
f

j; j  k; k  i  .

Trong trường hợp này cả hai mối quan hệ xác định như  b  và  e  để kiểm tra
những phương trình trong đó bao gồm trường hợp ni bị triệt tiêu.

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP

TRƯƠNG THỊ UYÊN THƠ-09ST