Vành và môđun co rút cốt yếu

GVHD: TS. Trương Công Quỳnh

MỤC LỤC
Trang

Mục lục

1

Lời cảm ơn

2

Mở đầu

3

Chương 1: Các kiến thức mở đầu

6

Chương 2: Vành và môđun EC

10

Kết luận

23

Tài liệu tham khảo

25

SVTH: Bùi Tá Vĩnh Sa

Trang 1


Vành và môđun co rút cốt yếu

GVHD: TS. Trương Công Quỳnh

LỜI CẢM ƠN

Tơi xin chân thành bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến Tiến sĩ Trương Công
Quỳnh đã tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình thực hiện và hồn thành đề tài
này.
Xin cảm ơn các thầy cơ khoa Toán trường Đại học sư phạm- Đại học Đà
Nẵng và tập thể lớp 09ST đã giúp đỡ, đóng góp ý kiến và tạo điều kiện cho việc
hoàn chỉnh đề tài.
Đà Nẵng, ngày 27 tháng 5 năm 2013.

Bùi Tá Vĩnh Sa

SVTH: Bùi Tá Vĩnh Sa

Trang 2



Vành và môđun co rút cốt yếu

GVHD: TS. Trương Công Quỳnh

MỞ ĐẦU
Cùng với sự phát triển của toán học hiện đại nói chung, lý thuyết mơđun đã
được các nhà tốn học rất quan tâm và đã đạt được nhiều kết quả xuất sắc.
Khái niệm về môđun co rút cốt yếu và các vấn tổng quát về khái niệm này được
nhiều nhà Tốn học nghiên cứu, khái qt và lấy đó làm cơ sở để xây dựng các
khái niệm mới. Năm 2005, nhà Tốn học P.F. Smith gọi một mơđun M co rút cốt
yếu nếu với mọi môđun con cốt yếu N của M, tồn tại một đơn cấu đi từ M vào N.
Đây chính là động lực để xây dựng nên các khái niệm, tính chất của mơđun co rút
cốt yếu.
Với lí do trên, trong luận văn này thơng qua một số kết quả của lý thuyết vành
và lý thuyết môđun, đặc biệt là môđun co rút cốt yếu của tác giả P.F. Smith, chúng
tôi cố gắng làm rõ hơn các vấn đề của môđun co rút cốt yếu, mối quan hệ của
môđun co rút cốt yếu với các vấn đề quan trọng khác của lý thuyết mơđun.
Nội dung chính của luận văn gồm hai chương ngoài phần mở đầu, kết luận và
danh mục các tài liệu tham khảo:
Chương 1: Các kiến thức mở đầu
Chương 2: Vành và môđun co rút cốt yếu
Trong chương này, chúng tôi nghi n cứu một số vấn đề sau:

• Các ti u ch

để chứng minh một R-môđun phải M à EC: M là EC nếu và chỉ

nếu M đẳng cấu con với một môđun EC nếu và chỉ nếu M chứa một môđun con co

SVTH: Bùi Tá Vĩnh Sa


Trang 3


Vành và môđun co rút cốt yếu

GVHD: TS. Trương Công Quỳnh

rút cốt yếu N sao cho tồn tại một đơn cấu : M
cấu cốt yếu : M

•M
•

N nếu và chỉ nếu tồn tại một đơn

M’ với môđun co rút cốt yếu M’ nào đó (Mệnh đề 2.1).

i tổng trực tiếp các môđun EC à EC (Mệnh đề 2.2).

Mối i n hệ gi a môđun EC với môđun con cốt yếu, môđun con ất iến,

môđun thương, môđun co-Hopfian n a đơn, môđun h u hạn sinh: Cho M là một
môđun EC khác khơng. Khi đó: nếu N hoặc à mơđun con cốt yếu của M, hoặc là
môđun con ất biến dưới tự đơn cấu của M thì N cũng à một môđun EC. Nếu N là
môđun con của M sao cho ( )

( )

với m i đơn cấu


, thì

M/N là một môđun EC. M là co – Hopfian n a đơn nếu và chỉ nếu M có một
mơđun con co – Hopfian EC.

( ) là một iđ an n a đơn của R. M có mơđun con

khơng bất biến hồn tồn. Nếu M là h u hạn sinh thì M khơng chứa một tổng vơ
hạn của các mơđun con

• Mối

ất biến hồn tồn (Mệnh đề 2.3).

i n hệ gi a mơđun EC với môđun UC: Cho M là một tổng trực tiếp các

mơđun UC thì mơđun con khác 0 ất kỳ của M là một mơđun EC (Mệnh đề 2.7).

• Mối

i n hệ gi a môđun EC với môđun tự do: Cho vành R bất kỳ thì m i R-

mơđun EC không suy biến đẳng cấu với một môđun con của một mơđun tự do
(Định lý 2.10).

• Mối

i n hệ gi a vành EC phải và phần t ch nh quy phải: Một vành R là EC


phải nếu và chỉ nếu m i iđ an phải cốt yếu chứa một phần t chính quy phải của R
(Bổ đề 2.12).

SVTH: Bùi Tá Vĩnh Sa

Trang 4


Vành và môđun co rút cốt yếu

GVHD: TS. Trương Công Quỳnh

CHƯƠNG I: KIẾN THỨC MỞ ĐẦU
Trong chương I này, chúng tôi n u n các khái niệm để phục vụ cho chương
sau.
Trong toàn bộ luận văn này, ta quy ước vành R có đơn vị khác khơng, được
ký hiệu là 1 và khơng nhất thiết giao hốn.
Định nghĩa 1.1: Cho R là vành bất kỳ và M là R-môđun phải. M được gọi là co
rút nếu với m i môđun con khác không N của M, tồn tại một đơn cấu
Định nghĩa 1.2: Cho môđun M và

.

. Môđun con N được gọi là cốt yếu trong

M nếu với mọi môđun con K khác khơng của M ta ln có

. Kí hiệu

. Nếu N à môđun con cốt yếu của M thì ta nói M là mở rộng cốt yếu của

N.
Định nghĩa 1.3: Một R-môđun phải M được gọi là EC (co rút cốt yếu) (essentially
compressible) nếu với m i môđun con cốt yếu N của M, tồn tại một đơn cấu
.
Định nghĩa 1.4: Ta nói rằng một R-mơđun phải M à đẳng cấu con với một Rmôđun

nếu tồn tại các đơn cấu

và

.

Định nghĩa 1.5: Một R-môđun phải N được gọi là M-sinh nếu tồn tại một toàn cấu
đi từ

( )

đến N cho tập chỉ số I nào đó.

Định nghĩa 1.6:
Ta kí hiệu: ,

SVTH: Bùi Tá Vĩnh Sa

- là tập tất cả các môđun con của các M-sinh môđun.

Trang 5


Vành và môđun co rút cốt yếu


GVHD: TS. Trương Công Quỳnh

Nếu N là một môđun con cốt yếu của một mơđun nội xạ E trong ,

- thì

được gọi là bao M -nội xạ của N. Kí hiệu: ̂.
Định nghĩa 1.7: R-môđun phải M được gọi là co-Hopfian nếu m i đơn cấu của M
là một đẳng cấu.
Định nghĩa 1.8: Một R-môđun phải M được gọi là một môđun đều nếu giao của
hai môđun con khác không bất kỳ của M là khác không.
Định nghĩa 1.9: Một môđun khác không

à đơn nếu nó khơng có mơđun con

khơng tầm thường nào.
Nếu M là một tổng trực tiếp các môđun con đơn, nghĩa à

thì M được gọi à mơđun n a đơn.
Định nghĩa 1.10: Môđun M được gọi là nội xạ (injective) nếu với m i đơn cấu
f : K  N , m i đồng cấu g : K  M thì tồn tại một đồng cấu f : N  M sao cho
f f  g.

Định nghĩa 1.11: Cho vành R.
Một phần t x thuộc R à ũy inh nếu

SVTH: Bùi Tá Vĩnh Sa

với số nguy n dương n nào đó.


Trang 6


Vành và môđun co rút cốt yếu

GVHD: TS. Trương Công Quỳnh

Một iđ an phải được gọi à ũy inh nếu m i phần t của nó à ũy inh.
Định nghĩa 1.12: Một R-mơđun phải M có chiều Goldie h u hạn là n nếu tồn tại
(

*

+) à các môđun con đều của M và

à môđun con cốt

yếu của M.
Định nghĩa 1.13: Cho M là một R-môđun phải, S là một tập con khác r ng của M.
( )

Ta ký hiệu:

*

+,

( )


*

+.

Định nghĩa 1.14: Cho R là một vành. Một R-môđun phải M khác không được gọi
là nguyên tố nếu

( )

( ) với mọi môđun con khác không N của M.

Định nghĩa 1.15: Một R-module phải M được gọi là UC (co rút đều) (uniform
compressible) nếu với m i môđun con đều N của M, tồn tại một đơn cấu

.

Định nghĩa 1.16: Cho M là một R-môđun phải.
( )

*

+.

Môđun M được gọi là suy biến nếu

( ), không suy biến nếu ( )

.

Định nghĩa 1.17: Một R-môđun phải M được gọi là có đủ đều nếu m i mơđun con

khác khơng của M chứa một môđun con đều.
Định nghĩa 1.18: Cho vành R. Iđ an phải I của vành R được gọi à iđ an phải cực
tiểu nếu

và mọi iđ an phải của R chứa trong I khác 0 đều bằng I. Nói cách

khác là khơng có iđ an phải nào của R chứa trong I khác I và khác 0.
Định nghĩa 1.19: Tổng của tất cả các iđ an phải cực tiểu của vành R là một iđ an
phải của R và được gọi à đế phải của vành R, kí hiệu

SVTH: Bùi Tá Vĩnh Sa

(

).

Trang 7


Vành và môđun co rút cốt yếu

GVHD: TS. Trương Công Quỳnh

Định nghĩa 1.20: Cho R à một vành. R được gọi à vành EC phải nếu
Định nghĩa 1.21: Một phần t c của R được gọi à ch nh quy phải nếu
h

: Với m i iđ an I của R, tập các phần t c trong R sao cho

t ch nh quy phải của vành thương ⁄ được k hiệu à


SVTH: Bùi Tá Vĩnh Sa

à EC.
( )

.

à một phần

( ).

Trang 8


Vành và môđun co rút cốt yếu

GVHD: TS. Trương Công Quỳnh

HƯƠNG II: VÀNH VÀ MƠĐUN EC

Trong chương này chúng tơi tiến hành làm rõ mối liên hệ gi a môđun co rút
cốt yếu với môđun đơn, môđun n a đơn, môđun nguyên tố, môđun n a nguyên tố,
môđun co-Hopfian, môđun h u hạn sinh, tổng trực tiếp các môđun, chiều Goldie
h u hạn của môđun, môđun đều, môđun co rút đều, môđun tự do.
Mệnh đề 2.1: Các điều kiện sau là tương đương đối với mỗi R-môđun phải
M
a. M là EC.
b. M đẳng cấu con với một môđun EC.
c. M chứa một môđun con co rút cốt yếu N sao cho tồn tại một đơn cấu :

M

N.

d. Tồn tại một đơn cấu cốt yếu : M

M’ với môđun co rút cốt yếu M’ nào

đó.
Chứng minh:
(a) ⇒(b): M là EC thì tồn tại

à đơn cấu suy ra M đẳng cấu con với

M.
(b) ⇒(c): Giả s tồn tại một môđun co rút cốt yếu M’ đẳng cấu con với M. Khi đó
tồn tại các đơn cấu:

và

. Đặt

(

). Ta có N

N là EC. Thật vậy: với m i N’ à môđun con cốt yếu của N, và N’

SVTH: Bùi Tá Vĩnh Sa


N

M và

M nên N’

Trang 9


Vành và môđun co rút cốt yếu

GVHD: TS. Trương Công Quỳnh

à môđun con cốt yếu của M. Suy ra tồn tại đơn cấu
(

)
Xét

(do M là EC) hay

à đơn cấu. Vậy N là EC.
. Khi đó

và

à đơn cấu.

(c) ⇒(a): Với m i L à môđun con cốt yếu của M. Khi đó L
yếu của N. Thật vậy : với B


N, B

0 thì B

khác N là EC nên tồn tại một đơn cấu:

:N

Xét : L
x

và

(d) ⇒(b): Ta có

L
N

N) = (B

L)

N

0. Mặt

N.
L


x

là một đơn cấu. Vậy M là EC.

là ánh xạ bao hàm, thì
(a) ⇒(d): Xét

(L

N à mơđun con cốt

:M

M, ta được điều phải chứng minh.

à đơn cấu. Vì

à đơn cấu cốt yếu nên (M) là

môđun con cốt yếu của M’. Mặt khác, M’ là EC nên tồn tại một đơn cấu
( ).

Khi đó ’ : M’

Xét đơn cấu ’ : (M)

M

(m)


m

M à đơn cấu. Vậy M’ đẳng cấu với M.

Mệnh đề 2.2: Mỗi tổng trực tiếp các môđun EC là EC.
Chứng minh:

SVTH: Bùi Tá Vĩnh Sa

Trang 10


Vành và môđun co rút cốt yếu

Giả s M =

, với

GVHD: TS. Trương Công Quỳnh

(

) à môđun EC, với I là tập chỉ số nào đó. Với

m i L à mơđun con cốt yếu của M thì L
i

là EC nên tồn tại đơn cấu

I . Mà


=∑

Xét tương ứng
(

•

x,y

:M

:

L

, với m i

.

L xác định bởi (∑

∑

)

(

), với


).
M : x= ∑

( ) , i I hay ∑

•

à mơđun con cốt yếu của

, y= ∑

mà: x=y thì

( )= ∑

( ) do đó

M : x+y = ∑ (

x,y

∑ , ( )
=∑

(

•

x,y
( ), i


( )- = ∑

) thì

, ( ) - = ,∑

M :

(x) = (y) thì ∑

I hay

, i

, i I suy ra

(x) = (y). Vậy

(

( )+∑

)=∑

=

) = ∑

( )= (x)+ (y) và

( )-r = (x)r. Vậy
( )=∑

( )=

là ánh xạ.
(

) =

r

R : (xr)

à đồng cấu.
( )

( ). Suy ra

I do đó x = y. Do đó

à đơn cấu.

Vậy M là EC.
Mệnh đề 2.3: Cho M là một mơđun EC khác khơng. Khi đó:
a. Nếu N hoặc là môđun con cốt yếu của M, hoặc là môđun con bất biến dưới tự
đơn cấu của M thì N cũng là một mơđun EC.
b. Nếu N là môđun con của M sao cho ( )

( )


với mỗi đơn cấu

, thì M/N là một mơđun EC.

SVTH: Bùi Tá Vĩnh Sa

Trang 11


Vành và môđun co rút cốt yếu

GVHD: TS. Trương Công Quỳnh

c. M là co – Hopfian nửa đơn nếu và chỉ nếu M có một mơđun con co – Hopfian
EC.
( ) là một iđêan nửa đơn của R.

d.

e. M có mơđun con khơng bất biến hồn tồn.
f. Nếu M là hữu hạn sinh thì M khơng chứa một tổng vơ hạn của các mơđun con
bất biến hồn tồn.
Chứng minh:
a.

• Xét trường hợp N

à môđun con cốt yếu của M, với M là một môđun EC khác


không. Với m i N’ à mơđun con cốt yếu của N thì N’ cũng à mơđun con cốt yếu
của M. Vì M là EC nên tồn tại đơn cấu
bởi

( )

n

N à đơn cấu. Suy ra

• Xét trường hợp N
N. K

à đơn cấu. Vậy N là EC.

M sao cho

và

à môđun con cốt yếu của

trong M. Theo giả thiết, tồn tại một đơn cấu f:
tự đơn cấu của M nên ( )
nhúng trong
b. Với m i

, xác định

bất biến dưới tự đơn cấu của M và K à môđun con cốt yếu của


ồn tại N’

M. Suy ra

. Ta có

. Suy ra ( )

à mơđun con cốt yếu của
. Và do đó

là cốt yếu

. Vì N bất biến với m i
. Do đó f(N), N được

. Vậy N là EC.
, L chứa N sao cho

SVTH: Bùi Tá Vĩnh Sa

à môđun con cốt yếu của

Trang 12


Vành và môđun co rút cốt yếu

GVHD: TS. Trương Công Quỳnh


Dễ dàng kiểm tra L à môđun con cốt yếu của M. Theo giả thiết, tồn tại một đơn
cấu

( )

. Vì

định bởi: ̅ (

)

( )
( )

nên ánh xạ cảm sinh ̅

xác

à đơn cấu. Vậy

, với m i

là EC.

c. • Điều kiện cần là hiển nhiên.

• Ngược lại, m

i co – Hopfian EC mơđun à n a đơn. Do đó theo (a), M có một


đế cốt yếu. Vậy M là n a đơn.
( ) thì A là iđ an chính của R. Gọi B là iđ an bất kỳ của R sao cho

d. Cho

*

. Đặt
tồn tại

*

+. Nếu

+ sao cho

và do đó

thì

. Trong trường hợp này

và

. Do đó L à mơđun con cốt yếu của M. Theo giả thiết,

và

. Ta có (


tồn tại một đơn cấu
Do đó

và

)

( )

, với

.

. Vậy A là iđ an n a đơn.

e. Giả s N à môđun con bất biến hoàn toàn của M. Theo giả thiết, tồn tại một
môđun con L của N và một đẳng cấu
( ̂ ). Do đó:
( ̂)

( )

( ̂)

̅( )

.
̅( )

có thể mở rộng thành ̅

. Từ đó suy ra

̂

.

… à một tổng trực tiếp bất kỳ của các môđun con bất biến

f. Giả s

hồn tồn của M. Khi đó tồn tại một môđun con K của M sao cho

và

là một môđun con cốt yếu của M. Theo giả thiết, tồn tại một đơn cấu
. Từ đó M h u hạn sinh.
Chúng ta có thể giả s rằng ( )

SVTH: Bùi Tá Vĩnh Sa

, với

nào đó.

Trang 13


Vành và môđun co rút cốt yếu

Theo giả thiết,


GVHD: TS. Trương Công Quỳnh

(

)

Vậy

( )

(

)

.

.

Mệnh đề 2.4: Cho M là một mơđun EC trên một vành giao hốn R. Khi đó chiều
Goldie của

( ).

là hữu hạn, với

Chứng minh:
Giả s N là một S – môđun con của M và
định bởi:


( )

, với

. Ta định nghĩa

xác

. Do đó

. Vì R giao hốn nên

( )

.

Suy ra N à mơđun con hồn tồn ất biến của M. Theo Mệnh đề 2.3 (f) ta có điều
phải chứng minh.
( ). Nếu

Mệnh đề 2.5: Cho M là một môđun EC hữu hạn sinh với

là một môđun nguyên tố thì với mỗi mơđun con U khác 0 của M, tồn tại một số
(

nguyên dương n và
∑

( ). Hơn nữa,


chỉ nếu

)(

khơng suy biến thì

) sao cho M có thể nhúng vào
có chiều Goldie hữu hạn nếu và

có một mơđun con đều.

Chứng minh:

• Cho U là một mơđun con
Đặt

∑* ( ) ⁄

ất kỳ khác 0 của M.
+. Dễ dàng kiểm tra N là một mơđun con khác 0 bất

biến hồn tồn của M. Mặt khác, tồn tại một mơđun con K của M sao cho:
cốt yếu trong M. Theo giả thiết, tồn tại một đơn cấu
với

là phép chiếu chính tắc. Khi đó ( )

SVTH: Bùi Tá Vĩnh Sa

. Ta đặt

(

)

là
,

. Theo điều

Trang 14


Vành và môđun co rút cốt yếu

kiện nguyên tố trên

GVHD: TS. Trương Công Quỳnh

là phần t 0 của S. Suy ra ( )

thì

(

hạn sinh nên tồn tại một số nguy n dương n và
cho: ( )

• Giả s

( )


là h u

)(

) sao

( )

không suy biến. Nếu U à đều, ta định nghĩa ánh xạ:

( )

( )

(

( )

)

(

)

( ) xác định bởi:
(

)


(

), với

(

)

là một đơn cấu.

Rõ ràng
Lưu

( )

. Vì

mơđun

( )

có chiều Goldie là n. Ngồi ra, R-mơđun

suy biến. Theo [2,1.10 và 5.10 (1)] thì ∑

( )⁄

( )

( )⁄


là khơng

có chiều Goldie

h u hạn và M cũng vậy.
Ta cũng được biết rằng, m i mơđun có chiều Goldie h u hạn có một mơđun con
đều. Do đó M có chiều Goldie h u hạn nếu và chỉ nếu M có một mơđun con đều.
Mệnh đề 2.6: Cho một môđun
đều

(

là một tổng trực tiếp các môđun con

). Cho N là môđun con khác 0 bất kỳ của M. Khi đó tồn tại một tập

con I’ của I và một đơn cấu cốt yếu

.

Chứng minh:

• Nếu

thì N là một mơđun con cốt yếu của M. Kết quả của

mệnh đề là hiển nhiên.

SVTH: Bùi Tá Vĩnh Sa


Trang 15


Vành và mơđun co rút cốt yếu

• Giả s

, với

⁄

)

. Chú ý rằng I’’ là một tập con chính của I

là một tập hợp khác .
là phép chiếu chính tắc. Khi đó

Xét

(

cấu (vì
*

nào đó. Theo bổ đề Zorn, tồn tại một tập con cực

(


đại I’’ của I sao cho
và do đó

GVHD: TS. Trương Cơng Quỳnh

)+

(

)

và do đó

là một đơn

, theo cách chọn I’’ thì

). Lấy
( )

. Suy ra ( )

Vậy ( ) là một môđun con cốt yếu của

.

.

Mệnh đề 2.7: Cho M là một tổng trực tiếp các môđun UC. Khi đó mơđun con khác
0 bất kỳ của M là một môđun EC.

Chứng minh: Dùng Bổ đề 1.7 và Mệnh đề 1.2, 1.4(a)
Mệnh đề 2.8: Cho ̂ là một mơđun EC. Khi đó:
là một mơđun nửa đơn hoặc

a. Hoặc

sao cho mỗi
một mơđun con của
b. Nếu
c. ̂

có một dãy giảm dần vô hạn

là một môđun con cốt yếu của

là

đẳng cấu với ̂ .
là mơđun nửa đơn.

có DCC trên hạng tử trực tiếp thì
( ̂)

và mỗi

, với mơđun con co rút cốt yếu L nào đó.

Chứng minh:
a. Giả s


̂ là EC và khơng n a đơn. Khi đó:

với ̂ . Vì
cốt yếu chính

khơng n a đơn n n

khơng n a đơn. Do đó:

. Lại do điều kiện EC của

SVTH: Bùi Tá Vĩnh Sa

có một mơđun con

,

đẳng cấu

có 1 mơđun con

có một môđun con

đẳng cấu

Trang 16


Vành và môđun co rút cốt yếu


với

. Nhưng từ

GVHD: TS. Trương Công Quỳnh

không M – nội xạ (nếu không

à môđun con

),

. Tiếp tục tiến hành như vậy ta thu được 1 dãy giảm dần vô hạn

riêng của

b. Hiển nhiên do (a).
( ̂ ), khi đó tồn tại một mơđun con K của ̂ sao cho

c. Cho

là

cốt yếu trong ̂ . Theo giả thiết, N có một mơđun con A đẳng cấu với ̂ . Vì A là
M-nội xạ nên tồn tại một môđun con B của N sao cho
( )

( )

( ) (

̂⁄

( ). Do đó
). Vì

( )

̂ , ̂

. Ta lại có
( )

, với

. Suy ra

, với mơđun con L nào đó. Vậy

là một mơđun EC theo Mệnh đề 1.4(b).

Định lý 2.9: Các điều kiện sau là tương đương với mỗi môđun M
a. M là EC.
b.

, với

c. M đẳng cấu con với

là môđun nửa đơn và
, với


là một môđun với đế 0.

là một môđun EC không suy biến và

là

một môđun EC suy biến.
Chứng minh:
(b)⇒(a) và (c)⇒(a) được chứng minh bởi Mệnh đề 1.1 và 1.2
(a)⇒(b): Cho M là một môđun EC và

là một môđun con cốt yếu. Theo giả thiết, tồn tại một đơn

của M sao cho
cấu

( ), khi đó tồn tại 1 mơđun con K

. Đặt

SVTH: Bùi Tá Vĩnh Sa

( ( )), ta có

( )

. Vì S là n a đơn n n

Trang 17



Vành và môđun co rút cốt yếu

GVHD: TS. Trương Công Quỳnh

( )

với mơđun con L nào đó của S. Do đó

. Suy

ra U là hạng t trực tiếp của ( ). Vì M đẳng cấu với ( ) nên tồn tại một môđun
con N’ của M sao cho
( ) và

(a)⇒(c): Cho
M. Môđun

. Theo Mệnh đề 1.4, N’ là EC.
là cốt yếu trong M với mơđun con L nào đó của

là EC theo mệnh đề 1.4(a) và

một đơn cấu

đẳng cấu con với M (vì tồn tại

). Theo Mệnh đề 1.4,


⁄

và

à các môđun

EC.
Định lý 2.10: Cho vành R bất kỳ, mỗi R-môđun EC không suy biến đẳng cấu với
một môđun con của một môđun tự do.
Chứng minh:
Cho M là một môđun EC không suy iến khác không bất kỳ. Theo bổ đề Zorn, tồn
là một môđun con cốt yếu của

iđ an phải của R và tồn tại một iđ an phải
phải cốt yếu của R. Cho

(

, đặt

. Với

) sao cho ∑

(

tại một tập chỉ số I và nh ng phần t khác khơng

). Khi đó


của R sao cho
. Khi đó

sao cho

iđ an phải cốt yếu nào đó của R. Vì M là khơng suy biến nên
. Do đó

à mơđun con cốt yếu của

được xác định bởi
cấu. Cuối cùng ưu
với môđun con
( )

rằng

( )

(

. Lưu

là các

là một iđ an
với E là
và
th m rằng ánh xạ


) hiển nhiên là một đẳng

là một môđun con cốt yếu của M và đẳng cấu

của môđun tự do

( )

. Vì M là EC nên tồn tại một đơn cấu

. Vậy ta có điều phải chứng minh.

SVTH: Bùi Tá Vĩnh Sa

Trang 18


Vành và môđun co rút cốt yếu

GVHD: TS. Trương Công Quỳnh

Định lý 2.11: Các điều kiện sau là tương đương với mỗi môđun khác không M trên
vành R bất kỳ.
a.

không suy biến, là EC và có đủ đều.

b.

đẳng cấu con với một tổng trực tiếp


suy biến

(

) của R sao cho

không của R với mỗi

của các iđêan phải đều không

không chứa một iđêan phải lũy linh khác

.

c. M không suy biến và M nhúng trong một tổng trực tiếp của các R-môđun phải
UC.
Chứng minh:
(a)⇒(b): Theo bổ đề Zorn, tồn tại một tập cực đại các môđun con xyc ic đều
(

sao cho ∑

) của

môđun con cốt yếu của
Đặt

là trực tiếp. Dễ dàng kiểm tra rằng


. Với

, đặt

, tồn tại

là một

sao cho

.

( ). Chú ý rằng U là một R-môđun không suy iến sao cho C là một

iđ an cốt yếu của R. Do đó tồn tại một iđ an phải khác khơng A của R sao cho
. Lưu

rằng

và A là một iđ an phải đều không suy biến của R.

Cho B là một iđ an phải của R sao cho
sao cho

và

. Do đó A khơng chứa một iđ an

và ta có


phải ũy inh khác khơng của R. Vì vậy, với m i
đều không suy biến
không của R và

của R sao cho

. Theo Mệnh đề 2.3(d),
, thì tồn tại một iđ an phải

khơng chứa một iđ an phải ũy inh khác

đẳng cấu với một môđun con khác không của

đẳng cấu với một môđun cốt yếu của

. Suy ra

. Vì M là EC nên tồn tại một đơn cấu

. Điều này chứng minh được (b).

SVTH: Bùi Tá Vĩnh Sa

Trang 19


Vành và môđun co rút cốt yếu

GVHD: TS. Trương Công Quỳnh


(b)⇒(c): Giả s rằng (b) thỏa mãn, rõ ràng

là không suy biến. Chúng ta cần chỉ

là R-môđun phải cốt yếu với m i

ra rằng

. Nếu B à môđun con khác khơng của A thì theo giả thiết,
sao cho

và đặt

. Vì vậy giả s

. Khi đó tồn tại

được xác định bởi:

. Suy ra ánh xạ

( )

là một đồng cấu khác không. Chú ý rằng đồng cấu khác không bất kỳ
đi từ một môđun đều đến một môđun không suy iến là một đơn cấu. Điều này
chứng tỏ rằng A à môđun co rút.
(c)⇒(a): Nếu m là phần t khác không bất kỳ của M thì mR có thể được nhúng
trong một tổng trực tiếp h u hạn của các môđun đều và do đó mR chứa một mơđun
con đều. Suy ra M có đủ đều. Cuối cùng, M là EC theo Mệnh đề 2.7.
Bổ đề 2.12: Một vành R là EC nếu và chỉ nếu mỗi iđêan phải cốt yếu chứa một

phần tử chính quy phải của R.
Chứng minh:

• Giả s

R là vành EC. Gọi I là một iđ an phải cốt yếu của R. Khi đó
. Do đó tồn tại một đơn cấu

con cốt yếu của
( )
( )

.
+

Ta

()

có

*

+

*

(vì
+


*

à mơđun

là EC). Ta đặt
( )

+=*

. Suy ra i là chính quy. Vậy m i iđ an phải cốt

yếu của R đều có chứa một phần t chính quy.

• Cho vành R. Gọi I là một iđ

an phải cốt yếu của R. Theo giả thiết, I chứa một

phần t chính quy c. Xét tương ứng

SVTH: Bùi Tá Vĩnh Sa

xác định bởi: ( )

.

Trang 20


Vành và mơđun co rút cốt yếu


mà
hay ( )

)

hay (

thì

)

suy ra

( ). Vậy f là ánh xạ.
thì (

(

GVHD: TS. Trương Cơng Quỳnh

(

Ta có

)

(

)
)


*

(

)

( )

( ) và

( ) . Vậy f à đồng cấu.
( )

+

*

+

( )

. Do đó f

à đơn cấu.
Vậy

là EC hay R là EC.

Mệnh đề 2.13: Cho R là một vành EC phải. Khi đó:

a. Mỗi iđêan của R là một R-môđun EC.
b. Mỗi môđun con cốt yếu của một môđun tự do là một môđun EC.
c. Nếu A là iđêan bất kỳ của R với

SVTH: Bùi Tá Vĩnh Sa

thì ⁄

khơng là một mơđun EC.

Trang 21


Vành và môđun co rút cốt yếu

GVHD: TS. Trương Công Quỳnh

KẾT LUẬN
Luận văn đã tìm hiểu và hệ thống hóa được một số kết quả sau:
1. Trình ày định nghĩa và một số tính chất của vành và mơđun co rút cốt
yếu.
2. Nghi n cứu một số kết quả của mơđun EC:

• Các ti u ch

để chứng minh một R-mơđun phải M à EC: M là EC nếu và chỉ nếu

M đẳng cấu con với một môđun EC nếu và chỉ nếu M chứa một môđun con co rút
cốt yếu N sao cho tồn tại một đơn cấu : M
cốt yếu : M


•M

N nếu và chỉ nếu tồn tại một đơn cấu

M’ với môđun co rút cốt yếu M’ nào đó (Mệnh đề 2.1).

i tổng trực tiếp các mơđun EC à EC (Mệnh đề 2.2).

• Mối

i n hệ gi a môđun EC với môđun con cốt yếu, môđun con ất iến, môđun

thương, môđun co-Hopfian n a đơn, môđun h u hạn sinh (Mệnh đề 2.3).

•

Mối i n hệ gi a môđun EC với môđun UC: Cho M là một tổng trực tiếp các

mơđun UC thì mơđun con khác 0 ất kỳ của M là một mơđun EC (Mệnh đề 2.7).

•

Mối i n hệ gi a môđun EC với môđun tự do: Cho vành R bất kỳ thì m i R-

mơđun EC không suy biến đẳng cấu với một môđun con của một môđun tự do
(Định lý 2.10).

SVTH: Bùi Tá Vĩnh Sa


Trang 22


Vành và mơđun co rút cốt yếu

•

GVHD: TS. Trương Cơng Quỳnh

Mối i n hệ gi a vành EC phải và phần t ch nh quy phải: Một vành R là EC

phải nếu và chỉ nếu m i iđ an phải cốt yếu chứa một phần t chính quy phải của R
(Bổ đề 2.12).

SVTH: Bùi Tá Vĩnh Sa

Trang 23


Vành và môđun co rút cốt yếu

GVHD: TS. Trương Công Quỳnh

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1].

F. Cedo, D. Herbera, The Ore condition for polynomial and

power series rings, Comm. Algebra 23 (14) (1995) 5131-5159.

[2].

A.W.

Chatters,

C.R.

Hajarnavis,

Rings

with Chain

Conditions, Pitman, Boston, 1980.
[3].

N.V. Dung, D.V. Huynh, P.F. Smith, R. Wisbauer,

Extending Modules, Longman, Harlow, 1994.
[4].

K.R. Goodearl, R.B. Warfield Jr, An Introduction to Non-

commutative Noetherian Rings, London Math. Soc. Stud. Texts,
vol. 16, 1989.
[5].

P.F. Smith, Essentially compressible modules and rings,


Journal of Algebra 304 (2006) 812-831.
[6].

Nguyễn Xuân Tuyến - L Văn Thuyết, Đại số trừu tượng,

NXB Giáo dục, 2005.

SVTH: Bùi Tá Vĩnh Sa

Trang 24