MỤC LỤC
MỤC LỤC ................................................................................................................. 1
LỜI MỞ ĐẦU ............................................................................................................ 2
CHƯƠNG 1 : KHÔNG GIAN METRIC ................................................................. 4
1.1 KHÔNG GIAN METRIC ................................................................................. 4
1.2 KHÔNG GIAN TOPO ...................................................................................... 4
1.3 ÁNH XẠ LIÊN TỤC.......................................................................................... 8
1.4 CÁC TIÊN ĐỀ TÁCH ..................................................................................... 10
CHƯƠNG 2 : MỘT SỐ SUY RỘNG CỦA KHÔNG GIAN ĐỀU ........................ 13
2.1 MỘT SỐ QUY ƯỚC VÀ KÍ HIỆU................................................................. 13
2.2 KHƠNG GIAN ĐỀU, KHÔNG GIAN NỬA-ĐỀU VÀ KHÔNG
GIAN ĐỀU SUY RỘNG ................................................................................. 14
2.3 TOPO SINH BỞI CẤU TRÚC ĐỀU SUY RỘNG ......................................... 21
2.4 CÁC TIÊN ĐỀ TÁCH ..................................................................................... 24
2.5 ÁNH XẠ LIÊN TỤC ĐỀU .............................................................................. 27
KẾT LUẬN .............................................................................................................. 28
LỜI CẢM ƠN .......................................................................................................... 29
TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................................... 30

1


LỜI MỞ ĐẦU
Năm 1964, J. R. Isbell đã đưa ra khái niệm khơng gian đều nhờ các tính chất của phủ
nhằm mục đích mở rộng các bài tốn thác triển liên tục, đây là một trong những bài
toán trọng tâm của topo đại cương. Bằng cách suy rộng các tính chất phủ, các nhà tốn
học đã suy rộng khơng gian đều thành không gian nửa - đều và không gian đều suy
rộng. Qua đó, các tác giả đã thu được rất nhiều kết quả thú vị liên quan đến không gian
này cũng như liên quan đến bài toán thác triển liên tục. Đặc biệt, năm 1975, P. Rolics
đã thu được một mở rộng thực sự của định lí Ascoli cũng như nhận lại được một số mở
rộng của định lí này mà các tác giả khác đã đưa ra trước đó. Từ đó đến nay, các bài

tốn liên quan đến khơng gian đều và các suy rộng của nó đã được nhiều nhà toán học
trên thế giới quan tâm nghiên cứu và thu được nhiều kết quả to lớn đóng góp cho kho
tang tốn học thế giới.
Từ những lý do như trên cùng với sự định hướng của thầy giáo Lương Quốc Tuyển
chúng tôi đã quyết định chọn đề tài “ Một số suy rộng của không gian đều ” làm đề tài
khóa luận tốt nghiệp. Đề tài nhằm mục đích tìm hiểu các vấn đề như sau trong khơng
gian đều và các suy rộng của chúng:
1.

Khái niệm và các tính chất cơ bản của khơng gian đều và các không gian
đều suy rộng.

2.

Topo sinh bởi không gian đều và các không gian đều suy rộng.

3.

Các tiên đề tách trong không gian đều và các không gian đều suy rộng.

4.

Ánh xạ liên tục đều trong không gian đều và không gian đều suy rộng.

Với mục đích như trên khóa luận được chia thành 2 chương :
Chương 1: Cơ sở lý thuyết . Trình bày lại một số khái niệm và định nghĩa cơ bản của
topo đại cương để phục vụ cho việc chứng minh các định lý, mệnh đề …..ở chương
sau.

2



Chương 2 : Không gian đều, không gian nửa – đều và không gian đều suy rộng.
Đưa ra định nghĩa, định lí về khơng gian khơng gian đều, khơng gian nửa - đều, không
gian đều suy rộng và mối quan hệ giữa chúng.

3


CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1.1 Không gian metric
1.1.1 Định nghĩa khơng gian metric
Cho X ≠ ∅

và

d: X×X
(x, y)

⟶ ℝ
⟼

d (x, y)

Ta nói d là một metric trên X nếu nó thỏa các điều kiện :


d (x, y) ≥ 0 , ∀ x, y ∈ X.
d (x, y) = 0 ⇔ x = y.




d (x, y) = d (y, x) , ∀ x, y ∈ X.



d (x, z) ≤ d (x, y) + d (y, z) , ∀ x, y, z ∈ X.

Khi đó

- Cặp (X, d) được gọi là 1 không gian mêtric.
- d (x, y) được gọi là khoảng cách giữa x, y.
- Mỗi x ∈ X được gọi là 1 điểm ( hay là 1 phần tử ) của X.

Chú ý: Trên tập X có thể có nhiều metric khác nhau.
1.1.2 Định lí


Khơng gian con đóng của không gian metric đầy đủ là không gian con đầy
đủ.



1.2

Nếu M là khơng gian con đầy đủ trong X thì M – đóng.

Khơng gian topo


1.2.1 Định nghĩa khơng gian topo
Cho

là họ các tập con nào đó của X. Ta nói

là một topo trên X nếu

thỏa

mãn 3 điều kiện sau:

4


1)

∅, X ∈

2)

Gỉa sử {A }

3)

Nếu A, B ∈

∈⋋

⊂


. Khi đó, ∪

∈⋋

A ∈

⇒A∩B∈ .

Khi đó:


Cặp ( X, ) được gọi là 1 không gian topo.



Mỗi phần tử của X được gọi là 1 điểm của X.



Mỗi U ∈

được gọi là một tập mở.

Nhận xét:
-

∅, X là các tập mở.

-


Hợp tùy ý các tập mở là tập mở.

-

Giao hữu hạn các tập mở là tập mở.

1.2.2 Định nghĩa lân cận
Cho ( X, ) là một không gian topo, A ⊂ X. Ta nói U là 1 lân cận nếu ∃ V ∈
sao cho : A ⊂ V ⊂ U.


Nếu A = { x } thì ta nói U là lân cận của x.



Nếu U mở ⇒ U được gọi là một lân cận mở của A.

Chú ý:
1) Nếu U mở ( U ∈

) thì U là lân cận mọi điểm thuộc nó.

2) Nếu U và V là các lân cận của A ⇒ U ∩ V cũng là một lân cận của A.
1.2.3 Định nghĩa tập đóng
A được gọi là đóng nếu X \ A là tập mở ( X \ A ∈

)

1.2.4 Định lý



∅, X là các tập đóng.



Giao tùy ý các tập đóng là đóng.



Hợp hữu hạn các tập đóng là đóng.

5


1.2.5 Định nghĩa bao đóng
Cho A ⊂ X. Khi đó, giao của tất cả các tập đóng trong X chứa A được gọi là
bao đóng của A. K/h: A , Cl (A)
Vậy: A = ∩ { F ⊂ X : A ⊂ F, X \ F ∈

}

1.2.6 Tính chất


A là một tập đóng và là tập đóng nhỏ nhất chứa A.



∅ = ∅, X = X




A đóng ⇔ A = A



A⊂A



A⊂B⇒A⊂B

1.2.7 Định lý
Cho X là một không gian topo, A, B ⊂ X. Khi đó,


(A) = A



A∪B =A∪B



A∩B ⊂A∩B

1.2.8 Định lý
Cho X là một không gian topo, A ⊂ X. Khi đó,
x ∈ A ⇔ ∀ lân cận U của x đều giao A ≠ ∅.
Chứng minh

Đk cần : Gỉa sử x ∈ A và U là một lân cận của x. Ta cần CMR : U ∩ A ≠ ∅.
Gỉa sử ngược lại: U ∩ A = ∅. Vì U là lân cận nên ∃ V – mở: x ∈ V ⊂ U
⇒V∩A=∅⇒A⊂X\V⇒A⊂X\
X\

= X \ V (V – mở ⇒ X \ V đóng ⇒

=X\V)

⇒ A ∩ V = ∅ >< x ∈ A ∩ V.
Đk đủ: Gỉa sử ∀ lân cận U của x ta đều có : U ∩ A ≠ ∅. CMR : x ∈ A.
Thật vậy, giả sử ngược lại: x ∉ A ⇒ x ∈ X \ A = U – mở

6


⇒ U là lân cận mở của x và U ∩ A = (X \ A ) ∩ A ⊂ (X \ A ) ∩ A = ∅
>< giả thiết.
1.2.9 Định nghĩa phần trong của tập hợp
Cho A là tập con của không gian topo X. Hợp của tất cả các tập mở nằm trong
A được gọi là phần trong của A.
K/h : A , int A
Vậy : int A = ∪ { B : B ⊂ A, B ∈

}

Chú ý:


int A là một tập mở và nó là tập mở lớn nhất nằm trong A.




int A ⊂ A



A mở ⇔ int A = A



Nếu A ⊂ B ⇒ int A ⊂ int B



int ∅ = ∅ , int X = X.

1.2.10 Định lí Cho X là một khơng gian topo, A, B ⊂ X. Khi đó:


int A = X \ X \ A



int ( A ∩ B ) = int A ∩ int B



int ( int A ) = int A.


Chứng minh:


int A ⊂ A ⇒ X \ A ⊂ X \ int A ⇒

⇒

\

\

⊂ X \ ınt A = X \ int A

∩ int A = ∅ ⇒ int A ⊂ X \ X \ A (*)

Ta có : X \ X \ A ⊂ X \ ( X \ A ) = A.
X \ X \ A là tập mở
Int A là tập mở lớn nhất nằm trong A.
⇒ X \ X \ A ⊂ int A (**)
Từ (*) và (**) suy ra đpcm.


A ∩ B ⊂ A ⇒ int (A ∩ B) ⊂ int A.
A ∩ B ⊂ B ⇒ int (A ∩ B) ⊂ int B.

7


⇒ int (A ∩ B) ⊂ int A ∩ int B. (*)
Ngược lại : int A ⊂ A , int B ⊂ B

⇒ int A ∩ int B là tập mở trong A ∩ B.
int (A ∩ B) là tập mở lớn nhất nằm trong A ∩ B
⇒ int A ∩ int B ⊂ int (A ∩ B) (**)
Từ (*) và (**) ⇒ int (A ∩ B) = int A ∩ int B.
1.2.11 Định nghĩa cơ sở
Cho ( X,

) là một không gian topo. Họ ℬ ⊂

nếu ∀ x ∈ X, ∀ U ∈

được gọi là một cơ sở của topo

sao cho : v ∈ U, ∃B ∈ ℬ sao cho x ∈ B ⊂ U.

1.2.12 Định nghĩa cơ sở lân cận
U là lân cận của x nếu ∃V ∈


: x ∈ V ⊂ U ( U không nhất thiết là tập mở )

Với mỗi x ∈ X, đặt :
( x ) = { U : U là một lân cận của x }
Ta nói

(x) ⊂

(x) là cơ sở lân cận tại x nếu ∀ U ∈

(x), ∃V ∈ (x) sao


cho V ⊂ U.


Không gian X được gọi là không gian thỏa tiên đề đếm được thứ nhất nếu
∀ x ∈ X đều có cơ sở lân cận đếm được.

1.3

Ánh xạ liên tục

1.3.1 Định nghĩa
Ánh xạ f : ( X,

) → ( Y,

f ( ), ∃ lân cận V của

) được gọi là liên tục tại

nếu ∀ lân cận của

sao cho: f (V) ⊂ U.

f được gọi là liên tục trên X ( liên tục ) nếu nó liên tục ∀ x ∈ X

8


1.3.2 Định lí

) → (Y,

f : (X,

) liên tục ⇔ ∀ U ∈

(U) ∈

ta đều có :

Chứng minh:
Đk cần: Gỉa sử f liên tục và U ∈
Thậy vậy, lấy bán kính x ∈

(U) ∈

. CMR :

.

(U) ⇒ f (x) ∈ U – mở ⇒ U là lân cận của f( x ) .

Vì f – liên tục nên ∃ lân cận V của x sao cho : f (x) ∈ f (V) ⊂ U
⇒x∈V⊂
Đk đủ:

(f (V)) ⊂

Gỉa sử ∀ U ∈


(U)
, ta có

(U) ∈

. Ta CMR f – liên tục.

Thật vậy, lấy bán kính x ∈ X và U là lân cận bán kính của f(x)
⇒ ∃ W – mở sao cho: f (x) ∈ W ⊂ U ⇒ W ∈
(W) ⇒ x ∈

Đặt V =

⇒

(W) ∈

.

(W) = V ∈

⇒ V là lân cận của x.
(W)) = W ⊂ U

f (V) = f(

⇒ f liên tục tại x, ∀ x ∈ X ⇒ f – liên tục.
1.3.3 Định lí
Cho f : (X,


) → (Y,

) . Khi đó, các khẳng định sau là tương đương

1.

f – liên tục.

2.

Tạo ảnh của tập mở là tập mở, nghĩa là :
(U) ∈

3.

,∀U∈

Tạo ảnh của tập đóng là đóng , nghĩa là:
Nếu F – đóng trong Y ⇒

4.

∀ A ⊂ X ta có : f ( A ) ⊂

(F) đóng trong X.
(A)

9



5.

∀ B ⊂ Y ta có :

6.

∀ B ⊂ Y ta có : int

(

)⊂

(B)

(B)⊂

(int

)

1.3.4 Định lý:
Ánh xạ f : X → Y đóng ⇔ ∀ y ∈ Y, ∀ lân cận U của

( ), ∃ lân cận V của y

(V) ⊂ U

sao cho :

1.4 Các tiên đề tách

1.4.1 Định nghĩa
Cho khơng gian topo X. Ta nói X là T - không gian nếu ∀x, y ∈ X sao cho x ≠ y.
∃ các lân cận

của x và

của y sao cho:

∉
∉
X là T - không gian ⇔ ∀ x ∈ X, tập {x} là đóng.

1.4.2 Định lí

Chứng minh
Đk cần: Gỉa sử X là T - không gian và x ∈ X. Ta CMR: {x} – đóng
⇔ X \ {x} là mở. Thật vậy, lấy y ∈ X \ {x} ⇒ x ≠ y. Vì X là T - khơng gian
⇒ ∃ lân cận U của y sao cho: x ∉ U ⇒ y ∈ U ⊂ X \ {x} ⇒ X \ {x} – mở
⇒{x}– đóng.
Gỉa sử {a} – đóng, ∀ a ∈ A. Ta CMR: X là T - không gian.

Đk đủ:

Thật vậy, giả sử: x, y ∈ X, x ≠ y. Khi đó:
-

{y}– đóng ⇒ x ∈ X \ {y} – mở. Đặt

= X \ {y} – mở ⇒


là lân cận

{x} – đóng ⇒ y ∈ X \ {x} – mở. Đặt V = X \ {x} – mở ⇒

là lân cận

của x và
-

của y và

∉

∉

Vậy X là T - không gian.

10


1.4.3 Định nghĩa
Không gian topo X được gọi là T - không gian hoặc không gian Hausdorff nếu
với ∀ x, y ∈ X sao cho x ≠ y, ∃ các lân cận U của x, V của y sao cho U ∩ V = ∅
1.4.4 Định nghĩa
Không gian topo X được gọi là chính quy nếu ∀ x ∈ X, ∀ tập đóng F ⊂ X sao
cho:

∉ F, ∃ các lân cận mở U của x, V của y sao cho: U ∩ V = ∅. X được gọi

là T - khơng gian nếu X là khơng gian chính quy và T - khơng gian.

1.4.5 Định lí
X là khơng gian chính quy ⇔ ∀ x ∈ X và ∀ lân cận mở U của x, ∃ lân cận V của
x sao cho : x ∈ V ⊂

⊂ U.

Chứng minh:
Đk cần: Gỉa sử X – chính quy và x ∈ U – mở. Đặt F = X \ U ⇒

F − đóng
∉F

Vì X – chính quy nếu ∃ các lân cận mở của x, W của F sao cho: V ∩ W = ∅.
Khi đó, x ∈ V ⊂ X \ W đóng ⊂ U ⇒ x ∈ V ⊂
Đk đủ:

⊂

\

= X \ W ⊂ U.

Gỉa sử ∀ x ∈ U – mở , ∃ lân cận V của x : x ∈ V ⊂ V ⊂ U. Ta CMR: X

là khơng gian chính quy.
Thật vậy, giả sử x ∉ F – đóng. Đặt W = X \ F – mở ⇒ W là lân cận mở của x
⇒ ∃ lân cận V của x sao cho : x ∈ V ⊂
Đặt U = X \

⊂ W.


⇒ U là lân cận mở của F và U ∩ W = ∅. Vì V là lân cận của x nên

∃ lân cận V của x sao cho : V ⊂ V.

Ta có :

∈ V
F ⊂ − mở
Vậy X là khơng gian chính quy.
∩ V ⊂
∩ =∅

11


1.4.6 Định nghĩa
Khơng gian topo X được gọi là hồn tồn chính quy nếu ∀ x ∈ X, ∀ F – đóng
trong X sao cho: x ∉ F , ∃ hàm liên tục f : X → ℝ sao cho:
X được gọi là T

( )=0
| =1

– không gian nếu X là khơng gian hội tụ chính quy và T -

khơng gian

12



CHƯƠNG 2. KHÔNG GIAN ĐỀU, KHÔNG GIAN NỬA
ĐỀU VÀ KHÔNG GIAN ĐỀU SUY RỘNG.

2.1 Một số quy ước và ký hiệu
1. Cho X là một tập hợp, x ∈ X, A, B ⊂ X và cho

và ℬ là các họ nào đó gồm

các tập con của X.
∪

= ∪ {A / A ∈

∩

= ∩ {A / A ∈

},
},

∨ ℬ = {A ∪ B / A ∈

, B ∈ ℬ}

∧ ℬ = {A ∩ B / A ∈

, B ∈ ℬ},

˄ B = {A ∩ B / A ∈


}

< ℬ ⇔ với mỗi A ∈
St (B ,

) = ∪ {A ∈

St ( x,

) = St ({x} ,
(B,

) = St(

là phủ của X ⇔ ∪

thì tồn tại B ∈ ℬ sao cho A ⊂ B
/A∩B ≠ ∅}
) = ∪ {A ∈

(B,

),

/ x ∈ A}

)

=X


2. Gỉa sử X là không gian topo và Y ⊂ X. Khi đó,
A = bao đóng của A trong X.
B = là bao đóng của B ⊂ Y trong không gian con Y.

13


A = {A / A ∈

}

là một phủ mở (tương ứng, phủ đóng ) của X trong A ⇔ ∪
mỗi phần tử của

= X và

là mở ( tương ứng, đóng ) trên X.

3. Gỉa sử f : X → Y là ánh xạ và

là họ gồm các tập con nào đó trong X và ℬ

là họ gồm gồm các tập con nào đó trong Y. Khi đó,
f ( ) = { f (A) / A ∈
(ℬ) = {

},

(B) / B ∈ ℬ)


2.2 Không gian đều, không gian nửa đều và không gian đều suy
rộng
2.2.1 Định nghĩa
Gỉa sử ф là họ gồm các phủ nào đó của X,
1. ℬ được gọi là mịn của

nếu ℬ <

2. ℬ được gọi là sao-mịn của

.

nếu {St( B, ℬ) / B ∈ ℬ)} <

3. ℬ được gọi là sao-mịn địa phương của
sao cho St (B,

, ℬ ∈ ф . Khi đó,

.

nếu mỗi B ∈ ℬ, tồn tại

∈ф

) ⊂ A.

2.2.2 Nhận xét
Mịn ⇒ sao-mịn ⇒ sao-mịn địa phương.

2.2.3 Định nghĩa
Gỉa sử ɸ là họ khác rỗng gồm các phủ nào đó của X thỏa mãn các điều kiện sau
(1) Nếu
(2) Nếu

,

∈ ф thì tồn tại ℬ ∈ ф sao cho ℬ <

∈ ф và ℬ là một phủ nào đó của X sao cho

(U) Với mỗi

˄
< ℬ thì ℬ ∈ ф .

∈ ф, tồn tại ℬ ∈ ф sao cho ℬ là một sao-mịn của

.

14


Khi đó,
a) ф được gọi là một cấu trúc đều trên X.
b) Tập hợp X cùng với một cấu trúc đều trên X được gọi là không gian đều
và ký hiệu (X, ф)
2.2.4 Định nghĩa
Gỉa sử ф là họ khác rỗng gồm các phủ nào đó của X thỏa mãn các điều kiện sau
∈ ф thì tồn tại ℬ ∈ ф sao cho ℬ <


(1) Nếu

,

(2) Nếu

∈ ф và ℬ là một phủ nào đó của X sao cho

(SU) Với mỗi

˄
< ℬ thì ℬ ∈ ф

∈ ф, tồn tại ℬ ∈ ф là một sao-mịn địa phương của .

Khi đó,
a) ф được gọi là một cấu trúc nửa-đều trên X.
b) Tập hợp X cùng với một cấu trúc đều trên X được gọi là không gian nửađều và ký hiệu (X, ф) .
2.2.5 Định nghĩa
Gỉa sử B ⊂ X. Khi đó, tập hợp
Int ф B = { x ∈ X / tồn tại

∈ ф sao cho St(x,

) ⊂ B} được gọi là phần trong

của B đối với ф.
2.2.6 Định nghĩa
Gỉa sử ф là họ khác rỗng gồm các phủ nào đó của X thỏa mãn các điều kiện sau

∈ ф thì tồn tại ℬ ∈ ф sao cho ℬ <

(1) Nếu

,

(2) Nếu

∈ ф và ℬ là một phủ nào đó của X sao cho

(GU) Với mỗi

∈ ф, họ { Int ɸA / A ∈

sao cho ℬ là mịn của { Int ɸA / A ∈

˄
< ℬ thì ℬ ∈ ф

} là một phủ của X và tồn tại ℬ ∈ ф
}

15


Khi đó,
a) ф được gọi là một cấu trúc đều suy rộng trên X.
b) Tập hợp X cùng với một cấu trúc đều trên X được gọi là không gian đều
suy rộng và ký hiệu (X, ф).
2.2.7 Mệnh đề

Đối với tập hợp X, các khẳng định sau là đúng.
1) Mỗi không gian đều là không gian nửa đều.
2) Mỗi không gian nửa đều là không gian đều suy rộng.
Chứng minh
1. Vì (X, ф) là khơng gian đều nên với mỗi
một sao-mịn của

∈ ф, tồn tại ℬ ∈ ф sao cho ℬ là

. Mà theo nhận xét 2.2.2 ta có ℬ là sao-mịn của

suy ra ℬ là sao-mịn địa phương của

thì

. Vậy ta suy ra (X, ф) là không gian

nửa đều.
2. Gỉa sử ф là cấu trúc nửa đều trên X và ℬ ∈ ф là một sao-mịn địa phương
của

trong. Khi đó, với mỗi B ∈ ℬ thì tồn tại

St(B,

) ⊂ A. Điều này chứng tỏ rằng B ⊂ Int ɸA. Do vậy, ℬ là mịn của

{Int ɸ A / A ∈

∈ ф, A ∈


sao cho

}.

2.2.8 Định nghĩa
1. Một họ con ɸ của cấu trúc đều suy rộng ф được gọi là một cơ sở của ф nếu
mỗi

∈ ф, tồn tại ℬ ∈ ɸ sao cho ℬ <

, và một cơ sở con của ф nếu

họ
{

˄ …….˄

/

∈ ф, i = 1,.., n }

là một cơ sở cho ф.
2. Một họ ф khác rỗng gồm các phủ nào đó của X được gọi là cơ sở đều suy
rộng ( tương ứng, cơ sở nửa-đều hoặc cơ sở đều ) nếu ф thỏa mãn (1) và
(GU) ( tương ứng, (SU) hoặc (U) ).

16



2.2.9 Mệnh đề
1. Mỗi cơ sở của cấu trúc đều là cơ sở đều .
2. Mỗi cơ sở của một cấu trúc nửa-đều là một cơ sở nửa-đều.
3. Mỗi cơ sở của một cấu trúc đều suy rộng là một cơ sở đều suy rộng.
Chứng minh
1. Gỉa sử ɸ là cơ sở của cấu trúc đều ф. Ta chứng minh rằng ɸ là cơ sở đều.
Thật vậy,
a) Gỉa sử
tại

∈ ɸ . Khi đó,

,

∈ ф sao cho

<

ℬ ∈ ɸ sao cho ℬ <

∈ ф. Bởi vì ф là cấu trúc đều nên tồn

,

. Hơn nữa, vì ɸ là cơ sở của ф nên tồn tại

˄

. Do vậy, thỏa điều kiện (1) của định nghĩa cấu trúc


đều.
b) Gỉa sử

∈ ɸ . Bởi vì ɸ ⊂ ф nên

∈ ф. Mặt khác, vì ф là cấu trúc đều

suy ra ф là cấu trúc đều suy rộng nên {Int ɸ A / A ∈

} phủ X và tồn tại

ℬ ∈ ф thỏa mãn
ℬ < {Int ф A / A ∈

}

Hơn nữa, vì ɸ là cơ sở của ф nên tồn tại
< {Int ф A / A ∈
Suy ra
của

là mịn của

∈ ɸ sao cho

< ℬ. Suy ra,

}

mà theo nhận xét 2.2.2 ta suy ra được


là sao mịn

.

Do vậy, ɸ thỏa mãn điều kiện (U) của định nghĩa cấu trúc đều.
2. Gỉa sử ɸ là cơ sở của cấu trúc nửa-đều ф. Ta chứng minh rằng ɸ là cơ sở
nửa-đều. Thật vậy,
a) Gỉa sử
tồn tại

,

∈ ɸ . Khi đó,

∈ ф sao cho

<

tại ℬ ∈ ɸ sao cho ℬ <

,
˄

∈ ф. Bởi vì ф là cấu trúc nửa-đều nên
. Hơn nữa, vì ɸ là cơ sở của ф nên tồn

. Do vậy, thỏa điều kiện (1) của định nghĩa cấu

trúc nửa-đều.


17


b) Gỉa sử

∈ ɸ . Bởi vì ɸ ⊂ ф nên

∈ ф. Mặt khác, vì ф là cấu trúc nửa-

đều suy ra ф là cấu trúc đều suy rộng nên {Int ɸ A / A ∈

} phủ X và tồn tại

ℬ ∈ ф sao cho
ℬ < {Int ф A / A ∈

}

Hơn nữa, vì ɸ là cơ sở của ф nên tồn tại
< {Int ф A / A ∈
Suy ra

là mịn của

địa-phương của

∈ ɸ sao cho

< ℬ. Suy ra,


}

mà theo nhận xét 2.2.2 ta suy ra được

là sao mịn

.

Do vậy, ɸ thỏa mãn điều kiện (SU) của định nghĩa cấu trúc nửa-đều.
3. Gỉa sử ɸ là cơ sở của cấu trúc đều suy rộng ф. Ta chứng minh rằng ɸ là
cơ sở đều suy rộng. Thật vậy,
a) Gỉa sử

,

rộng nên tồn tại

∈ ɸ . Khi đó,

,

∈ ф. Bởi vì ф là cấu trúc đều suy

∈ ф sao cho

<

˄


ф nên tồn tại ℬ ∈ ɸ sao cho ℬ <

. Hơn nữa, vì ɸ là cơ sở của

. Do vậy, thỏa điều kiện (1) của định

nghĩa cấu trúc đều suy rộng.
c) Gỉa sử

∈ ɸ . Bởi vì ɸ ⊂ ф nên

suy rộng nên {Int ф A / A ∈

∈ ф. Mặt khác, vì ф là cấu trúc đều

} phủ X và tồn tại ℬ ∈ ф sao cho

ℬ < {Int ф A / A ∈

}

Hơn nữa, vì ɸ là cơ sở của ф nên tồn tại
< {Int ф A / A ∈

∈ ɸ sao cho

< ℬ, kéo theo

}


Do vậy, ɸ thỏa mãn điều kiện (GU) của định nghĩa cấu trúc đều suy rộng.
2.2.10 Định lí
Gỉa sử ф là một cơ sở đêu suy rộng trên X và A, B ⊂ X. Khi đó, các khẳng định
sau đây là đúng.
1. Int ф A ⊂ A.
2. Nếu A ⊂ B, thì Int ф A ⊂ Int ф B.

18


3. Int ф ( A ∩ B ) = Int ф A ∩ Int ф B.
4. Int ф ( Int ф B ) = Int ф B.
Chứng minh
1. Gỉa sử x ∈ Int ф A. Khi đó, tồn tại
x ∈ St(x,

∈ ф sao cho St(x,

) ⊂ A. Bởi vì

) nên ta suy ra x ∈ A. Vậy Int ф A ⊂ A.

2. Gỉa sử x ∈ Int ф A. Khi đó, tồn tại
nên suy ra St(x,

∈ ф sao cho St(x,

) ⊂ B. Vì x ∈ St(x,

) ⊂ A. Bởi vì A ⊂ B


) nên suy ra x ∈ B. Do vậy,

x ∈ Int ф B.
3. Gỉa sử x ∈ Int ф ( A ∩ B ). Khi đó, tồn tại

∈ ф sao cho St(x,

) ⊂ A ∩ B.

Do đó,
St(x,

) ⊂ A và St(x,

) ⊂ B.

Suy ra x ∈ Int ф A và x ∈ Int ф B. Do vậy, x ∈ Int ф A ∩ Int ф B
Ngược lại, giả sử x ∈ Int ф A ∩ Int ф B. Suy ra x ∈ Int ф A và x ∈ Int ф B. Khi đó,
tồn tại

,

∈ ф sao cho
St(x,

) ⊂ A và St(x,

)⊂B


Bởi vì ф thỏa mãn tính chất (1) của định nghĩa cấu trúc đều suy rộng nên tồn tại
ℬ ∈ ф sao cho ℬ <
St(x, ℬ) ⊂ St(x,

˄
˄

. Do đó,
) ⊂ St(x,

) ∩ St(x,

) ⊂ A ∩ B.

Vì x ∈ St(x, ℬ) nên suy ra x ∈ A ∩ B. Do đó, x ∈ Int ф ( A ∩ B ).
4. Với

∈ ф, đặt
Int ф

= {Int ф A / A ∈

}

Khi đó, theo điều kiện (2) và (GU) trong định nghĩa cấu trúc đều suy rộng ta suy
ra Int ф

∈ ф. Bây giờ, ta chứng minh rằng
St (x, Int ɸ ) ⊂ Int ɸ [St(x,


)]

Thật vậy, giả sử y ∈ St (x, Int ɸ ). Khi đó, tồn tại A ∈
Bởi vì y ∈ Int ф A nên tồn tại

sao cho x, y ∈ Int ф A.

∈ ф sao cho St(y, ) ⊂ A.

19


Mặt khác, vì x ∈ Int ф A ⊂ A nên ta có
St(y, ) ⊂ A ⊂ St(x,
Điều này chứng tỏ y ∈ Int ɸ [St(x,

)

)]. Do vậy,

St (x, Int ɸ ) ⊂ Int ɸ [St(x,
Gỉa sử x ∈ Int ф B. Khi đó, tồn tại

)]

∈ ф sao cho St(x,

) ⊂ B. Do vậy, nhờ bao

hàm thức trên ta suy ra

St(x, Int ɸ

) ⊂ Int ɸ [ St(x,

)] ⊂ Int ɸ B

Do vậy,
Int ɸ B ⊂ Int ɸ (Int ɸ B).
2.2.11 Ví dụ
(a) Cho (X,d) là một khơng gian metric. Với mọi ɛ > 0, đặt
(ɛ) = {U (x; ɛ) / x ∈ X },
trong đó
U (x; ɛ) = {y ∈ X / d (x, y) < ɛ}
Bởi vì U (y;

ɛ)

U (x;

ɛ) ≠ ∅, kéo theo U (y;

St(U (x;

ɛ) , ( ɛ) ) ⊂ U (x; ɛ) ∈

Do đó,

( ɛ ) là một sao-mịn của

Bởi vậy, ɸ (d) = {


ɛ) ⊂ U (x; ɛ). Suy ra

(ɛ).
(ɛ).

(ɛ) / ɛ > 0} là cơ sở của một cấu trúc đều trên X. Ta nói

rằng ɸ (d) là metric đều được sinh bởi d và ký hiệu là ф(d).
(b) Cho ℝ là tập số thực và d là metric Euclitd trên ℝ, nghĩa là
d (x, y) = | x-y| với mọi x, y ∈ X
Sử dụng các kí hiệu như (a), và với mỗi n = 1, 2, …, ta đặt.
= { U (n + k;

(1-2

) ) : k = 1, 2,….} ∪

(1/2 ) .

Khi đó, với mỗi m > k+2, ta có
St(U(n + k;

(1 - 2 )),

)

U (( n-1) + ( k + 1);

(1 - 2


(

)

))

20


St( U (x; 2

) ⊂ U( x; 2

),

(

)

) cho m > max (x + 1, n).

Bây giờ, nếu ta đặt
ф={
thì

/ n = 1, 2,…},
là một sao-mịn địa phương của

. Do đó, ф là một cơ sở của cấu trúc


nửa-đều ф’ trên ℝ. Tuy nhiên, ф’ không là một cấu trúc đều.

2.3 Topo sinh bởi cấu trúc đều suy rộng
2.3.1 Định lí
Gỉa sử ф là cơ sở đều suy rộng trên tập hợp X. Đặt
(ф) = {G ⊂ X / Int ɸG = G}.
Khi đó, (ф) là một topo trên X.
Chứng minh
Ta có,
(1.1) Bởi vì,
Int ɸ ∅ = {x ∈ X / tồn tại

∈ ф sao cho St(x,

) ⊂ ∅} = ∅

∈ ф sao cho St(x,

) ⊂ X} = X

nên ∅ ∈ (ф)
Hơn nữa, vì
Int ɸ X = {x ∈ X / tồn tại
nên X ∈ (ф)
(1.2) Gỉa sử {{Gα }

∈ᴧ

} ⊂ (ф). Khi đó, với mọi


Int ɸ Gα = {x ∈ X / tồn tại

α

∈ ᴧ, ta có

∈ ф sao cho St(x,

α)

⊂ Gα } = Gα .

Ta chứng minh rằng
Int ɸ ∪

∈ᴧ

Gα ={x ∈ X /tồn tại

∈ ф sao cho St(x,

)⊂∪

∈ᴧ

Gα }=∪

∈ᴧ


Gα

21


a) ∪

∈ᴧ

Gα ⊂ Int ɸ ∪

Gα . Thật vậy, giả sử x ∈ ∪

∈ᴧ

α ∈ ᴧ sao cho x ∈ Gα , kéo theo tồn tại
St(x,

α)

⊂ Gα ⊂ ∪

Do vậy, x ∈ Int ɸ ∪
b)

Int ɸ ∪

∈ᴧ

∈ᴧ


Gα .

Gα ⊂ ∪

∈ᴧ

sao cho St(x,
x∈∪

∈ᴧ

∈ᴧ

α

Gα . Khi đó, tồn tại

∈ ф sao cho

Gα

Gα . Gỉa sử x ∈ Int ɸ ∪

) ⊂ ∪

∈ᴧ

∈ᴧ


∈ᴧ

Gα . Khi đó, tồn tại

Gα . Hơn nữa, vì x ∈ St(x,

∈ф

) nên ta suy ra

Gα .

(1.3) Gỉa sử A, B ∈ (ф). Khi đó,
Int ɸA = A , Int ɸB = B.
Ta chứng minh rằng
Int ɸ(A ∩ B) = A ∩ B
Thât vậy,
a)

Int ɸ(A ∩ B) ⊂ A ∩ B. Gỉa sử x ∈ Int ɸ (A ∩ B). Khi đó, tồn tại
cho St(x,

) ⊂ A ∩ B. Mặt khác, vì x ∈ St(x,

∈ ф sao

) nên ta suy ra x ∈ A ∩ B.

b) A ∩ B ⊂ Int ɸ(A ∩ B). Gỉa sử x ∈ A ∩ B. Khi đó, vì x ∈ A nên tồn tại
∈ ф sao cho St(x,

cho St(x,
sao cho ℬ <
St(x, ℬ) ⊂ St(x,

) ⊂ A. Mặt khác, vì x ∈ B nên tồn tại

∈ ф sao

) ⊂ B. Hơn nữa, vì ф là cấu trúc đều suy rộng nên tồn tại ℬ ∈ ф
˄
˄

. Do đó,
) ⊂ St(x,

) ⊂ St(x,

) ⊂ A ∩ B.

Vì x ∈ St(x, ℬ) nên ta suy ra x ∈ A ∩ B. Do đó, x ∈ Int ɸ(A ∩ B).
Từ chứng minh trên ta suy ra rằng (ф) là một topo trên X.
2.3.2 Định nghĩa
Cho không gian (X, ф). Khi đó, (ф) được gọi là topo trên X được sinh bởi ф.
2.3.3 Định lí
Gỉa sử (X, ф) là một khơng gian đều suy rộng. Khi đó, các tính chất sau là đúng
trong khơng gian topo (X, (ф))

22



1. {St(x,

)/

∈ ф} là một cơ sở cho lân cận tại x với mọi x ∈ X.

2. Nếu B ⊂ X, thì B = ∩{St (B,

∈ ф)

)/

Chứng minh
(1) Gỉa sử x ∈ X, ta chứng minh rằng họ
{St(x,

∈ ф}

)/

Là cơ sở lân cận tại x. Thật vậy,
(1.1) Mỗi phần tử của họ {St(x,
giả sử

)/

∈ ф} là một lân cận của x. Thật vậy,

∈ ф. Khi đó, theo định lí 2.2.10 ta suy ra Int ɸA là tập hợp mở


và
Int ɸA = A ⊂ St(x,
Hơn nữa, vì x ∈ A nên ta suy ra St(x,

)
) là lân cận của x.

(1.2) Gỉa sử G ⊂ X là tập mở và x ∈ G. Khi đó, vì Int ɸG = G nên tồn tại
∈ ф sao cho St(x,
Do vậy, {St(x,
(2)

)/

)⊂G

∈ ф} là cơ sở lân cận tại x.

Theo (1) và tính chất bao đóng ta suy ra
B = {x ∈ X / St (x,

Bởi vì St (x,
{x ∈ X / St (x,

) ∩ B ≠ ∅ với mọi

) ∩ B ≠ ∅ khi và chỉ khi x ∈ St (B,
) ∩ B ≠ ∅ với mọi

Do vậy, B = ∩{St (B,


)/

∈ ф}

) nên

∈ ф} = ∩{St (B,

)/

∈ ф)

∈ ф)

2.3.4 Mệnh đề
Mỗi cấu trúc đều suy rộng ф trên tập hợp X có một cơ sở ɸ bao gồm các phủ
mở của (X, (ф)).
Chứng minh
Đặt

Int ɸ

= { Int ɸA / A ∈

ɸ = { Int ɸ

/

}


∈ ф}

23


Khi đó,
1. Với mỗi

∈ ф, nếu ta lấy ℬ = Int ɸ

2.2.10(1) ta suy ra ℬ <

∈ ɸ , thì sap dụng định lí

. Do đó, ɸ là cơ sở của ф.

2. Theo định lí 2.2.10(4) và định nghĩa (ф) ta có Int ɸA = A.
Suy ra ∪ Int ɸA = A. Vậy ta có mỗi Int ɸ

là một phủ mở của không gian

(X, (ф)).
Do vậy, ɸ là cơ sở của ф bao gồm các phủ mở của không gian (X, (ф)).
2.3.5 Mệnh đề
Nếu ф là một cấu trúc nửa-đều trên X, thì họ
{S (x,

)/


∈ ф)}

là cơ sở lân cận tại x trong (X, (ф)) với mọi x ∈ X.
Chứng minh
Gỉa sử

∈ ф. Gọi

,

là sao-mịn địa phương của

đó, với mỗi x ∈ X, tồn tại A ∈

và

trong ф. Khi

sao cho x ∈ A . Lấy ℬ ∈ ф, A ∈

cho St( A , ℬ ) ⊂ A , và lấy ℬ ∈ ф, A ∈

sao

sao cho St ( A , ℬ ) ⊂ A. Do đó,

với mỗi ℬ ∈ ф thỏa mãn ℬ < ℬ ˄ ℬ , ta có
S (x, ℬ) ⊂ St(St(A , ℬ ), ℬ ) ⊂ St( A , ℬ ) ⊂ A ⊂ St(x,

).


Do vậy, nhờ định lí 2.3.3(1) ta suy ra điều phải chứng minh.

2.4 Các tiên đề tách
2.4.1 Định nghĩa
Gỉa sử ф là một cấu trúc đều ( cấu trúc nửa-đều hoặc cấu trúc đều suy rộng )
trên tập hợp X.
1. Ф được gọi là T nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau.
( T ) Với bất kì x, y ∈ X, x ≠ y, tồn tại

∈ ф sao cho y ∉ St(x,

)

24


2. Ф được gọi là Hausdorff nếu nó thỏa điều kiện
(H) Với bất kì x, y ∈ X, x ≠ y, tồn tại
St(x,

) ∩ St(y,

∈ ф sao cho

) = ∅.

2.4.2 Định lí
Gỉa sử (X, ф) là một khơng gian đều suy rộng. Khi đó, các tính chất sau đây là
đúng trong khơng gian topo (X, (ф)).

1. Nếu ф là

, thì (X, (ф)) là

-khơng gian.

2. Nếu ф là Hausdorff, thì (X, (ф)) là không gian Hausdorff.
Chứng minh
(1) Gỉa sử ф là T . Ta chứng minh rằng (X, (ф)) là T -không gian.
Thật vậy, giả sử x, y ∈ X sao cho x ≠ y. Khi đó, vì ф là T nên tồn tại

,ℬ∈ф

sao cho
y ∉ St(x,

) và x ∉ St(y, ℬ)

Mặt khác, theo định lí 2.3.3(1), St(x,

) là lân cận của x không chứa y và

St(y, ℬ) là lân cận của y không chứa x. Do vậy, (X, (ф)) là T -không gian.
(2)

Gỉa sử ф là Hausdorff. Ta chứng minh rằng (X,

(ф)) là không gian

Hausdorff .

Thật vậy, giả sử x, y ∈ X sao cho x ≠ y. Khi đó, vì ф là Hausdorff nên tồn tại
, ℬ ∈ ф sao cho
St(x,

) ∩ St(x, ℬ) = ∅.

Hơn nữa, theo định lí 2.3.3(1), St(x,

) là lân cận của x và St(x, ℬ) là lân cận

của y. Do vậy, (X, (ф)) là không gian Hausdorff.
2.4.3 Định nghĩa
Không gian topo X được gọi là chính quy yếu nếu mỗi x ∈ X và với mọi lân cận
mở G của x ta đều có { } ⊂ G.

25