ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA TOÁN HỌC

LÊ VĂN ĐƠNG
Đề tài:

PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN SĨNG VÀ ỨNG DỤNG

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP
NGÀNH ĐÀO TẠO: TOÁN ỨNG DỤNG

Giảng viên hướng dẫn: TS. CHỬ VĂN TIỆP

Đà Nẵng, tháng 04 năm 2019


Lời cảm ơn
Lời đầu tiên của khóa luận tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy
Chử Văn Tiệp đã tận tình hướng dẫn tác giả trong suốt q trình thực
hiện để tác giả có thể hồn thành được khóa luận này.
Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến tất cả các thầy cô
đã tận tình dạy bảo tác giả trong suốt thời gian học tập tại Khoa Toán.
Đồng thời, tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn đến các bạn trong lớp 15CTUD
đã nhiệt tình giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập tại lớp.
Vì thời gian và kiến thức cịn hạn chế nên mặc dù bản thân đã cố gắng
hết sức nhưng bài luận văn vẫn không thể tránh khỏi thiếu sót. Tác giả
kính mong nhận được những ý kiến đóng góp q báu từ các thầy, cơ và
các bạn để khóa luận được hồn thiện hơn.
Tác giả
Lê Văn Đơng

MỤC LỤC
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Chương 1. Cơ sở lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1. Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2. Phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai . . . . . 6
1.3. Bài toán dây rung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Chương 2. Phương trình truyền sóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1. Phương trình truyền sóng một chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2. Bài toán biên hỗn hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3. Bài toán Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4. Phương pháp tách biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.5. Phương trình truyền sóng nhiều chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.6. Một số ví dụ minh họa trong 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47
Phụ lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56


1

Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Phương trình đạo hàm riêng được nghiên cứu lần đầu tiên vào giữa thế
kỷ 18 trong các cơng trình của những nhà tốn học như Euler, Dalambert,
Lagrange và Laplace như là một công cụ quan trọng để mơ tả các mơ hình
của vật lý và cơ học (xem [1, 2, 5, 7]). Đến giữa thế kỷ 19, phương trình
đạo hàm riêng trở thành cơng cụ mạnh dùng trong những lĩnh vực toán
học khác nhau của toán lý thuyết và đặc biệt là trong các bài toán thực
tiễn. Rất nhiều bài toán của những lĩnh vực khác nhau như: thủy động

học, điện học, nhiệt học, quang học, lý thuyết đàn hồi, v.v... đều có thể
nghiên cứu bằng các cơng cụ giống nhau - phương trình đạo hàm riêng.
Trong các loại phương trình đạo hàm riêng, phương trình truyền sóng
đóng một vai trị quan trọng bởi vì sóng là hiện tượng rất phổ biến trong
tự nhiên ví dụ như sóng nước, sóng âm thanh, sóng siêu thanh, sóng điện
từ, sóng ánh sáng, sóng hấp dẫn, sóng lượng tử. Giải phương trình truyền
sóng và nghiên cứu tính chất nghiệm của nó giúp chúng ta hiểu và giải
thích được rất nhiều hiện tượng vật lý trong cuộc sống thường ngày như
hiện tượng phản xạ âm thanh, sự lan truyền của sóng nước, hiện tượng
giao thoa ánh sáng, hiện tượng sóng dừng, cấu tạo hộp cộng hưởng của
cây đàn, cây sáo trong âm nhạc v.v... cho đến những bài tốn khó hơn của
vật lý hiện đại chẳng hạn sóng vật chất trong cơ học lượng tử.
Bởi những lý do như trên, chúng tôi đã quyết định nghiên cứu và tham
khảo một số tài liệu về phương trình truyền sóng và chọn đề tài: "Phương
trình truyền sóng và ứng dụng" làm đề tài khóa luận tốt nghiệp.


2

2. Mục đích nghiên cứu
Thực hiện đề tài “Phương trình truyền sóng và ứng dụng”, em hướng
đến mục đích là rèn luyện khả năng tiếp cận, tìm hiểu và nghiên cứu một
vấn đề Tốn học cịn khá mới đối với bản thân. Từ đó, hình thành khả
năng trình bày một vấn đề Toán học trừu tượng một cách logic và có hệ
thống. Khóa luận nhằm nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm của các
bài toán biên và bài tốn Cauchy, tính trơn của nghiệm, cách giải và các
ứng dụng của phương trình truyền sóng. Thực hiện bài luận văn này, em
có cơ hội tìm hiểu về những vấn đề về phương trình đạo hàm riêng mà bản
thân chưa được học và làm quen với cách nghiên cứu khoa học một vấn
đề của Toán học.

3. Đối tượng nghiên cứu
Phương trình truyền sóng, các bài tốn giá trị ban đầu và bài toán biên
bài toán Cauchy và nghiệm cổ điển trong một và nhiều chiều.
4. Phạm vi nghiên cứu
Đề tài được hoàn thành dựa trên nền tảng kiến thức của Giải tích, Giải
tích số, Phương trình vi phân, Phương trình đạo hàm riêng. Trên cơ sở
dịch, đọc và tìm hiểu các kiến thức trong các tài liệu [1, 4, 5, 6, 8, 9] một
số tài liệu liên quan, từ đó sắp xếp hệ thống lại kiến thức, chứng minh chi
tiết một số định lý, bổ đề, hệ quả, giải các ví dụ minh họa để hồn thành
việc nghiên cứu.
5. Phương pháp nghiên cứu
Khóa luận được nghiên cứu dựa trên các phương pháp:
- Sưu tầm các tài liên quan đến đề tài bao gồm các sách kinh điển bằng
tiếng Việt cũng như các tài liệu mới bằng tiếng Anh
- Đọc dịch, tổng hợp, trình bày lại theo chủ đề, bổ sung các chi tiết, các
ví dụ minh họa.
- Trao đổi, thảo luận với cán bộ hướng dẫn.


3

6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
6.1. Khóa luận góp phần bổ sung thêm các tính chất, cách giải các bài
toán Cauchy, bài toán giá trị ban đầu và bài tốn biên.
6.2. Khóa luận có thể sử dụng làm tài liệu tham khảo và tài liệu tự học
cho sinh viên ngành toán và ngành vật lý đang nghiên cứu về mảng này.
7. Cấu trúc khóa luận
Khóa luận này được chia thành hai chương và một phụ lục:
Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ bản được sử dụng để cho chương
sau.

Chương 2 trình bày về bài tốn phương trình truyền sóng trong khơng
gian một chiều và nhiều chiều, sự tồn tại, duy nhất và sự ổn định nghiệm
của các bài toán Cauchy, bài toán giá trị ban đầu và giá trị biên, công
thức nghiệm cổ điển và các ví dụ minh họa trong đó có sử dụng phần mềm
Matlab để so sánh với nghiệm số.
Phụ lục trình bày code matlab sửa dụng trong khóa luận.


4

Chương 1

Cơ sở lý thuyết
Trong chương này, chúng tơi trình bày một số kiến thức về phương trình
đạo hàm riêng (PTĐHR), các khái niệm và các tính chất trong chương này
được chúng tơi trình bày nhằm phục vụ cho việc chứng minh các kết quả
chính của chương sau. Chi tiết có thể tham khảo các tài liệu sau [1, 5, 8]

1.1

Một số khái niệm cơ bản

Phương trình đạo hàm riêng là phương trình nêu lên mối quan hệ giữa
ẩn hàm là một hàm nhiều biến, các biến độc lập và (một số hữu hạn) các
đạo hàm riêng của nó. Ta sử dụng một số kí hiệu sau:

• Biến độc lập: x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn .
• Ẩn hàm: u(x) = u(x1 , . . . , xn ).
• Đạo hàm riêng: Sử dụng khái niệm đa chỉ số α = (α1 , . . . , αn ) trong
đó αi là các số nguyên không âm, và |α| := α1 + . . . + αn , ta ký hiệu

∂ |α| u(x)
.
Dα u(x) = α1
∂x1 · · · ∂xαnn
Với m là một số nguyên không âm, ta ký hiệu Dm u(x) là vectơ đạo
hàm riêng cấp m của hàm u(x). Trường hợp m = 1 ta có
∂u
∂u
Du =
,...,
.
∂x1
∂xn
Đơi khi ta cũng sử dụng các ký hiệu tương đương
∂u
∂u
∂ 2u
ux =
, uy =
, uxy =
,....
∂x
∂y
∂x∂y


5

Cho k là một số nguyên dương và Ω là một tập mở trong Rn .
Định nghĩa 1.1.1. Phương trình vi phân đạo hàm riêng (gọi tắt là phương

trình đạo hàm riêng) cấp k là phương trình có dạng

F (x, u(x), Du(x), . . . , Dk u(x)) = 0, x ∈ Ω.

(1.1)

Ở đây F là một hàm nhiều biến thể hiện mối liên hệ giữa ẩn hàm, các
biến độc lập và các đạo hàm riêng của ẩn hàm, có cấp cao nhất là k .
Ví dụ 1.1.2.

• Phương trình Laplace:
∆u = uxx + uyy + uzz = 0.

• Phương trình truyền nhiệt (hoặc khuyếch tán) :
ut − ∆u = 0.
• Phương trình truyền sóng được D’Alembert đưa ra vào năm 1752:
utt − ∆u = 0.
Định nghĩa 1.1.3 (Nghiệm của PTĐHR). Giả sử hàm v : Ω → R có đạo
hàm riêng đến cấp k . Hàm v(x) được gọi là nghiệm của phương trình đạo
hàm riêng (1.1) nếu thỏa mãn

F (x, v(x), Dv(x), . . . , Dk v(x)) = 0. x ∈ Ω.
Định nghĩa 1.1.4 (Phân loại phương trình ĐHR). Ta có thể phân loại
phương trình ĐHR như sau.
i) Phương trình ĐHR (1.1) được gọi là tuyến tính nếu nó có dạng

aα (x)Dα u = f (x),
|α|≤k

trong đó aα (x), f (x) là các hàm số đã cho. Phương trình tuyến tính

này được gọi là thuần nhất nếu f ≡ 0.
ii) Phương trình ĐHR (1.1) được gọi là nửa tuyến tính nếu nó có dạng

aα (x)Dα u + a0 (x, u, Du, . . . , Dk−1 u) = 0.
|α|=k

iii) Phương trình ĐHR (1.1) được gọi là tựa tuyến tính nếu nó có dạng

aα (x, u, Du, . . . , Dk−1 u)Dα u + a0 (x, u, Du, . . . , Dk−1 u) = 0.
|α|=k


6

iv) Phương trình ĐHR (1.1) được gọi là phương trình phi tuyến hồn tồn
nếu nó phụ thuộc khơng tuyến tính vào các đạo hàm bậc cao nhất.

1.2

Phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai

Trong phần này, chúng ta sẽ liệt kê ba lớp đặc biệt của phương trình
đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai là: phương trình elliptic, hyperbolic và
parabolic với các đại diện của chúng là phương trình Laplace, phương trình
truyền sóng và phương trình truyền nhiệt.
Định nghĩa 1.2.1. Phương trình ĐHR cấp hai dạng
n
n
∂ 2u
= f (x, u, ux1 , . . . , uxn )

aij (x)
∂x
∂x
i
j
i=1 j=1

(1.2)

được gọi là phương trình đạo hàm riêng nửa tuyến tính cấp hai.
Đặc biệt phương trình (1.2) được gọi là tuyến tính nếu nó viết được dưới
dạng
n
n
n
∂u
∂ 2u
+
+ c(x)u = g(x).
bk (x)
aij (x)
∂x
∂x
∂x
i
j
k
i=1 j=1
k=1


Trong trường hợp n = 2 phương trình (1.2) trở thành
∂ 2u
∂ 2u
∂ 2u
∂u ∂u
a11 2 + 2a12
+ a22 2 = f x, y, u, ,
.
∂x
∂x∂y
∂y
∂x ∂y
Sử dụng phép đổi biến sau
ξ = ξ(x, y),

(1.3)

η = η(x, y),
trong đó các hàm ξ, η ∈ C 2 (Ω) thỏa mãn:
∂(ξ, η)
ξ ξ
= ηx ηy = 0 trên Ω.
x
y
∂(x, y)
Mục đích của phép đổi biến trên là đưa phương trình (1.3) về dạng mới
trong đó ít nhất một hệ số bằng khơng.
Tính tốn trực tiếp ta có
∂u ∂u ∂ξ ∂u ∂η
=

+
,
∂x
∂ξ ∂x ∂η ∂x

∂u ∂u ∂ξ ∂u ∂η
=
+
∂y
∂ξ ∂y ∂η ∂y


7

và

∂ 2 u ∂ξ ∂η ∂ 2 u ∂η 2
+2
+
+
∂ξ∂η ∂x ∂x ∂η 2 ∂x
∂u ∂ 2 ξ ∂u ∂ 2 η
+
,
+
∂ξ ∂x2 ∂η ∂x2
∂ 2u
∂ 2 u ∂ξ ∂ξ
∂ 2 u ∂ξ ∂η ∂ξ ∂η
= 2

+
+
∂x∂y
∂ξ ∂x ∂y ∂ξ∂η ∂x ∂y ∂y ∂x
∂u ∂ 2 η
∂ 2 u ∂η ∂η ∂u ∂ 2 ξ
+
+
,
+ 2
∂η ∂x ∂y ∂ξ ∂x∂y ∂η ∂x∂y
∂ 2 u ∂ 2 u ∂ξ 2
∂ 2 u ∂ξ ∂η ∂ 2 u ∂η 2
= 2
+2
+
+
∂y 2
∂ξ
∂y
∂ξ∂η ∂y ∂y ∂η 2 ∂y
∂u ∂ 2 ξ ∂u ∂ 2 η
+
+
.
∂ξ ∂y 2 ∂η ∂y 2
Khi đó phương trình (1.3) trở thành
∂ 2u
∂ 2u
∂ 2u

∂u ∂u
+ a22 2 = F ξ, η, u, ,
a11 2 + 2a12
∂ξ
∂ξ∂η
∂η
∂ξ ∂η
với
∂ξ 2
∂ξ ∂ξ
∂ξ 2
a11 =a11
+ 2a12
+ a22
,
∂x
∂x ∂y
∂y
∂ξ ∂η ∂ξ ∂η
∂η ∂ξ
∂ξ ∂η
+ a12
+
+ a22
,
a12 =a11
∂x ∂x
∂x ∂y ∂y ∂x
∂y ∂y
∂η ∂η

∂η 2
∂η 2
+ 2a12
.
a22 =a11
+ a22
∂x
∂x ∂y
∂y
Gọi z = ϕ(x, y) là một ngiệm phương trình ĐHR cấp một sau
∂z 2
∂z ∂z
∂z 2
a11
+ 2a12
= 0.
+ a22
∂x
∂x ∂y
∂y
Khi đó phép đổi biến:
∂ 2u ∂ 2u
= 2
∂x2
∂ξ

∂ξ
∂x

2


ξ =ϕ(x, y)
η =η(x, y),
làm cho a11 = 0. Tương tự phép đổi biến:

ξ =ξ(x, y)
η =ϕ(x, y),

(1.4)


8

làm cho a22 = 0. Mặt khác, giải phương trình (1.4) tương đương với giải
phương trình vi phân thường sau:

a11 (dy)2 − 2a12 dy dx + a22 (dx)2 = 0..

(1.5)

Phương trình trên có thể viết dưới dạng
dy
dy 2
− 2a12 + a22 = 0.
a11
dx
dx
Giải phương trình (1.5) sẽ cho ta tích phân tổng quát

ϕ(x, y) = C,

được gọi là đường cong đặc trưng (hay đặc trưng) của phương trình (1.4).
Khi đó hàm z = ϕ(x, y) là một nghiệm của phương trình (1.4). Do đó
phương trình (1.5) cịn được gọi là phương trình đặc trưng. Để tìm các
đường cong đặc trưng, ta xét biệt thức ∆ = a212 − a11 a22 . Có ba trường
hợp sau xảy ra:

• Nếu ∆ > 0 thì phương trình (1.5) có hai đường cong đặc trưng thực
phân biệt. Khi đó (1.3) được gọi là phương trình hyperbolic.
• Nếu ∆ = 0 thì phương trình (1.5) chỉ có một đường cong đặc trưng
thực. Khi đó (1.3) được gọi là phương trình parabolic.
• Nếu ∆ < 0 thì phương trình (1.5) có hai đường cong đặc trưng phức
liên hợp. Khi đó (1.3) được gọi là phương trình eliptic.
Ta biết rằng nếu một hàm liên tục nhận giá trị dương tại một điểm thì nó
nhận giá trị dương trong một lân cận của điểm đó. Do đó, ta có thể chia
tồn bộ mặt phẳng thành ba tập rời nhau. Ta gọi miền hyperbolic của
phương trình (1.3) là tập các điểm trong mặt phẳng R2 mà tại đó (1.3)
là phương trình hyperbolic. Ta có định nghĩa tương tự cho miền parabolic
và elliptic.

1.3

Bài tốn dây rung

Có rất nhiều hiện tượng vật lý dẫn tới phương trình truyền sóng, ví dụ
dao động của sóng âm, sóng nước,v.v.... Sau đây, ta xây dựng một mơ hình
dẫn đến phương trình truyền sóng. Đó là bài toán dao động của một sợi
dây.


9


Xét một sợi dây nhỏ, căng, với chiều dài L ở trạng thái cân bằng nằm
dọc theo trục x trong mặt phẳng xu với hai đầu cố định (0, 0) và (L, 0).
Nếu sợi dây bị kéo và thả ra ở thời điểm t = 0, nó sẽ dao động trong mặt
phẳng xu. Ký hiệu u(x, t) là vị trí của một điểm trên sợi dây trên hoặc
dưới trục x ở thời điểm t. Gọi T1 và T2 là các lực căng tại hai đầu mút

T2

θ2

θ1
T1

của đoạn dây. Theo định luật II Newton:

T1 − T2 = ma.
Hình chiếu vng góc lên hai trục là

|T2 | cos θ2 − |T1 | cos θ1 and

|T2 | sin θ2 − |T1 | sin θ1 ,

tương ứng. Vì

|T2 | cos θ2 = |T1 | cos θ1 = T.

(1.6)

Áp dụng định luật II Newton ta có


|T2 | sin θ2 − |T1 | sin θ1 = ρ∆s utt (x, t),

(1.7)

trong đó ∆s là chiều dài của đoạn dây và x hoành độ của trọng tâm sợi
dây. Khi đó,

x < x < x + ∆x.
Ta biết

x+∆x

1 + u2x (σ, t) dσ;

∆s =
x

Do độ dốc của sợi dây nhỏ ta có thể xấp xỉ
x+∆x

∆s ≈

1 dσ = ∆x,
x


10

vì vậy (1.7) trở thành


|T2 | sin θ2 − |T1 | sin θ1 = ρ∆x utt (x, t).
Do đó

|T2 | sin θ2 − |T1 | sin θ1
= ρutt (x, t).
∆x
Sử dụng (1.6), chia hai về cho T ta có
ρ
tan θ2 − tan θ1
= utt (x, t).
(1.8)
∆x
T
Vì tan θ1 = ux (x, t) và tan θ2 = ux (x + ∆x, t), phương trình (1.8) tương
đương với
ρ
ux (x + ∆x, t) − ux (x, t)
= utt (x, t).
∆x
T
Cho ∆x → 0 ta có
ρ
uxx (x, t) = utt (x, t),
T
hay
utt = a2 uxx ,
với a2 = T /ρ.



11

Chương 2

Phương trình truyền sóng
Trong chương này, chúng tơi trình bày một số kiến thức về phương trình
truyền sóng trong khơng gian một và nhiều chiều. Nội dung chính được
tổng hợp từ các tài liệu [1, 3, 4, 5, 8, 9]

2.1

Phương trình truyền sóng một chiều

Đầu tiên, chúng ta xét bài tốn dao động của sợi dây vơ hạn sau:
2
∂ 2u
2∂ u
−a
= f (x, t), ∀x ∈ (−∞, +∞), ∀t > 0,
∂t2
∂x2
u(x, 0) = ϕ(x), ∀x ∈ (−∞, +∞),
(2.1)
∂u
(x, 0) = ψ(x), ∀x ∈ (−∞, +∞),
∂t
trong đó f (x, t), ϕ(x) và ψ(x) là các hàm liên tục trên miền xác định của
chúng. Hàm u = u(x, t) là hàm chưa biết của bài toán và biểu thị biên độ
dao động tại thời điểm t, ở vị trí x.
Chúng ta phân tích bài tốn Cauchy (2.1) thành hai bài tốn sau:

2
∂ 2u
2∂ u
−a
= 0, ∀x ∈ (−∞, +∞), ∀t > 0,
∂t2
∂x2
u(x, 0) = ϕ(x), ∀x ∈ (−∞, +∞),
∂u
(x, 0) = ψ(x), ∀x ∈ (−∞, +∞),
∂t
và
2
∂ 2u
2∂ u
−a
= f (x, t), ∀x ∈ (−∞, +∞), ∀t > 0,
∂t2
∂x2
u(x, 0) = 0, ∀x ∈ (−∞, +∞),
∂u
(x, 0) = 0, ∀x ∈ (−∞, +∞).
∂t

(2.2)

(2.3)


12


Mệnh đề 2.1.1. Nếu hàm số u1 (x, t) là một nghiệm của bài toán (2.2)
và hàm số u2 (x, t) là một nghiệm của bài tốn (2.3) thì hàm số

u(x, t) = u1 (x, t) + u2 (x, t), ∀x ∈ (−∞, +∞), ∀t > 0,

(2.4)

là một nghiệm của bài toán (2.1).
Chứng minh. Đầu tiên, cần xác minh các điều kiện ban đầu

u(x, 0) = u1 (x, 0) + u2 (x, 0) = ϕ(x) + 0 = ϕ(x),
∂u
∂u1
∂u2
(x, 0) =
(x, 0) +
(x, 0) = ψ(x) + 0 = ψ(x),
∂t
∂t
∂t
sử dụng tính tuyến tính của đạo hàm và lấy đạo hàm 2.4 chúng ta thu
được
2
2
2
∂ 2u
∂ 2 u1
∂ 2 u2
2∂ u

2 ∂ u1
2 ∂ u2
−a
=
−a
−a
+
∂t2
∂x2
∂t2
∂x2
∂t2
∂x2
= 0 + f (x, t) = f (x, t).

Tiếp theo, ta giải bài toán (2.2) và (2.3) dựa trên Mệnh đề 2.1.1 ta có
được nghiệm của bài tốn (2.1)
Định lí 2.1.2. Hàm số U (x, t) được xác định bởi

U (x, t) =

x+a(t−τ )

t

1
2a

f (ξ, τ )dξ dτ,
x−a(t−τ )


0

là một nghiệm của bài toán (2.3).
Chứng minh. Ta có

1
U (x, 0) =
2a

0

x+a(0−τ )

f (ξ, τ )dξ dτ = 0.
0

x−a(0−τ )

(2.5)


13

Lấy đạo hàm theo t đối với U (x, t) ta được

∂U (x, t)
1
=
∂t

2a
1
=
2a

x
x

1
f (ξ, t)dξ +
2a

t
0

∂
∂t

x+a(t−τ )

f (ξ, τ )dξ dτ
x−a(t−τ )

t

a[f (x + a(t − τ ), τ ) + f (x − a(t − τ ), τ )]dτ
0

1
+

2a

t
0

x+a(t−τ )
x−a(t−τ )

∂f (ξ, τ )
dξ dτ
∂τ

1 t
[f (x + a(t − τ ), τ ) + f (x − a(t − τ ), τ )]dτ.
=
2 0
Cho t = 0, ta được
1 0
∂U
[f (x + a(0 − τ ), τ ) + f (x − a(0 − τ ), τ )]dτ = 0.
(x, 0) =
∂t
2 0
Lấy đạo hàm tiếp một lần nữa theo t
∂ 2U
1
(x,
t)
=
[f (x + a.0, t) + f (x − a.0, t)]

∂t2
2
1 t ∂
+
[f (x + a(t − τ ), τ ) + f (x − a(t − τ ), τ )] dτ,
2 0 ∂τ
do đó,
a t ∂f (x+a(t−τ ), τ ) ∂f (x−a(t−τ ), τ )
∂ 2U
(x, t) = f (x, t)+
−
dτ.
∂t2
2 0
∂(x+a(t−τ ))
∂(x−a(t−τ ))
Bây giờ ta lấy đạo hàm (2.5) theo x, ta được
x+a(t−τ )
∂U (t, x)
1 t ∂
f (ξ, τ )dξ dτ =
=
∂x
2a 0 ∂x
x−a(t−τ )
1 t
=
[f (x + a(t − τ ), τ ) − f (x − a(t − τ ), τ, )]dτ.
2a 0
Tiếp tục, lấy đạo hàm một lần nữa theo x ta được

∂ 2 U (x, t)
1 t ∂
=
[f (x + a(t − τ ), τ ) − f (x − a(t − τ ), τ )] dτ
∂x2
2a 0 ∂x
1 t ∂f (x + a(t − τ ), τ ) ∂(x + a(t − τ ))
=
2a 0
∂(x + a(t − τ ))
∂x
∂f (x − a(t − τ ), τ ) ∂(x − a(t − τ ))
−
dτ,
∂(x − a(t − τ ))
∂x


14

do đó

t

∂ 2 U (x, t) 1
=
∂x2
2a

0


∂f (x+a(t−τ ), τ ) ∂f (x−a(t−τ ), τ )
−
dτ.
∂(x+a(t−τ ))
∂(x−a(t−τ ))

Vậy
2
∂ 2 U (x, t)
2 ∂ U (x, t)
−
a
= f (x, t),
∂t2
∂x2
do đó, U (x, t) thỏa mãn phương trình (2.3).

Ví dụ 2.1.3. Giải phương trình sau
2

utt − a2 uxx = −2(2x2 − 1)e−x , x ∈ R, t > 0,
u(x, 0) = 0, x ∈ R,
ut (x, 0) = 0, x ∈ R.
Ta có

1
u(x, t) =
2a


t
0

x+a(t−τ )

2

−2(2ξ 2 − 1)e−ξ dξdτ

x−a(t−τ )
t
x+a(t−τ )

1
2
(2ξ 2 − 1)e−ξ dξdτ.
a 0 x−a(t−τ )
Sử dụng công thức tích phân từng phần ta có
=−

2

(2ξ 2 − 1)e−ξ dξ =
=

2

e−ξ dξ

2


2

2

2ξ 2 e−ξ dξ −

2ξ 2 e−ξ dξ − ξe−ξ +

2

2ξ 2 e−ξ dξ

2

= −ξe−ξ .
Từ đó, ta có
1
u(x, t) =
a
1
=
a

t

ξe−ξ

2


x+a(t−τ )

dτ
x−a(t−τ )

0
t

2

2

(x + a(t − τ ))e−(x+a(t−τ )) − (x − a(t − τ ))e−(x−a(t−τ )) dτ

0
2

2

t

1 e−(x+a(t−τ ))
e−(x−a(t−τ ))
=
+
a
2a
2a
0
1

2
2
2
2
= 2 e−x + e−x − e−(x+at) − e−(x−at)
2a
1
2
2
2
= 2 2e−x − e−(x+at) − e−(x−at) .
2a


15

t=3

t=2

t=1

t=0

Hình 2.1: Nghiệm u(x, t) =

1
2a2

2


2

2

2e−x − e−(x+at) − e−(x−at)

ứng với t = 0, 1, 2, 3 và a = 1

Ví dụ 2.1.4. Giải phương trình sau

utt − 4uxx = sin(x) cos(t), x ∈ R, t > 0,
u(x, 0) = ut (x, 0) = 0, x ∈ R.
Ta có

u(x, t) =
=
=
=
=
=
=

1 t x+2(t−τ )
sin(ξ) cos(τ ) dξdτ
4 0 x−2(t−τ )
1 t
cos x − 2(t − τ ) − cos x + 2(t − τ ) cos(τ ) dτ
4 0
1 t

sin(x) sin(2(t − τ )) cos(τ ) dτ
2 0
t
1
sin(x) [sin(2(t − τ ) + τ ) + sin(2(t − τ ) − τ )] dτ
4
0
t
1
sin(x) [sin(2t − τ ) + sin(2t − 3τ )] dτ
4
0
τ =t
1
1
sin(x) cos(2t − τ ) + cos(2t − 3τ )
τ =0
4
3
1
sin(x) cos(t) − cos(2t) .
3


16

·10−4

2
0

−2

−2

6
4

0
2

x
Hình 2.2: Nghiệm u(x, t) =

1
3

2
0

t

sin(x) cos(t) − cos(2t) trên [−π, π] × (0; π]

Định lí 2.1.5. Nghiệm của bài tốn (2.2) được cho bởi cơng thức
1 x+at
1
ψ(s)ds.
u(x, t) = [ϕ(x + at) + ϕ(x − at)] +
2
2a x−at

Chứng minh. Đầu tiên, ta biến đổi bài toán (2.2)1 về dạng chính tắc.
Ta có phương trình đặc trưng:
dx 2
− a2 = 0.
dt
Từ đó ta thu được các đường đặc trưng

x + at = C1 ,
x − at = C2 ,
trong đó C1 và C2 là hằng số. Sau đó chúng ta đổi biến

ξ = x + at,
η = x − at.
Chú ý rằng phép biến đổi là khơng suy biến vì:
∂(ξ, η)
a −a
= 2a > 0.
= 1 1
∂(x, t)
Sử dụng phép đổi biến trên thì phương trình (2.2)1 trở thành
∂ 2u
= 0,
∂ξ∂η


17

điều đó nghĩa là,
∂ ∂u
∂u

=0⇒
= γ(ξ), γ ∈ C 1 ((−∞, +∞)).
∂η ∂ξ
∂ξ
Tích phân theo η cho 2 vế ta được

u(ξ, η) =

γ(ξ)dξ + β(η) = α(ξ) + β(η),

trong đó α là nguyên hàm của hàm γ bất kì.
Giả sử α và β thuộc lớp C 2 . Từ đó ta có

u(x, t) = α(x + at) + β(x − at),
trong đó các hàm α và β được xác định bởi điều kiện ban đầu

ϕ(x) = u(x, 0) = α(x) + β(x),
∂u
ψ(x) =
(x, 0) = aα (x) − aβ (x).
∂t
Các hệ trên tương đương với:
α(x) + β(x) = ϕ(x),
1 x
ψ(s)ds + C,
α(x) − β(x) =
a 0
ở đây C là một hằng số bất kỳ. Nghiệm của hệ trên là:
1 x
C

ϕ(x)
+
ψ(s)ds + ,
α(x) =
2
2a 0
2
x
ϕ(x)
1
C
β(x) =
−
ψ(s)ds − ,
2
2a 0
2
và từ đó ta được
ϕ(x + at)
C
1 x+at
u(x, t) =
+
ψ(s)ds +
2
2a 0
2
x−at
1
ϕ(x − at)

C
+
−
ψ(s)ds −
2
2a 0
2
1
1 x+at
= [ϕ(x + at) + ϕ(x − at)] +
ψ(s)ds.
2
2a x−at
Từ đó, đây là kết quả cần tìm.
Nhận xét 2.1.6. Từ các kết quả trên, ta suy ra nghiệm của bài toán (2.1)
là

1
1
u(x, t) = [ϕ(x + at) + ϕ(x − at)] +
2
2a

x+at

ψ(s)ds
x−at


18


+

1
2a

x+a(t−τ )

t

f (ξ, τ )dξ dτ.

(2.6)

x−a(t−τ )

0

Công thức trên được gọi là công thức D’Alembert. Nghiệm u(x, t) chỉ phụ
thuộc vào vế phải f (x, t) trong miền tam giác ∆(x, t) và các giá trị ban
đầu ϕ, ψ trên đáy của tam giác. Ngoài ra với mỗi điểm (x0 , 0) các giá trị
ban đầu sẽ ảnh hướng đến giá trị của u tại các điểm (x, t) thỏa mãn

x0 − at < x < x0 + at.
Từ nhận xét trên, ta có các định nghĩa sau:
Định nghĩa 2.1.7 (Miền phụ thuộc và miền ảnh hưởng).

• Tam giác
∆(x, t) = {(ξ, τ ) : |ξ − x| ≤ a(t − τ ), 0 < τ < t}
được gọi là tam giác phụ thuộc của nghiệm u tại điểm (x, t).


• Đoạn [x − at, x + at] được gọi là điểm phụ thuộc của nghiệm u tại
điểm (x, t).
• Miền {(x, t) : x0 − at < x < x0 + at, t > 0} được gọi là miền ảnh
hưởng của nghiệm tại (x0 , 0).
τ
(x, t)

τ)

ξ=

t−
a(

x−

x+

a(
t−

τ)

ξ=

(x − at, 0)

∆(x, t)


(x + at, 0)

(x0 , 0)

ξ

Hình 2.3: Miền phụ thuộc và miền ảnh hưởng của nghiệm

Công thức D’Alembert chứng minh sự tồn tại nghiệm sau
Định lí 2.1.8 (Sự tồn tại nghiệm). Nếu hàm f (x, t) ∈ C 0 (R × (0, ∞)),

ϕ(x) ∈ C 2 (R) và hàm ψ(x) ∈ C 1 (R), thì bài tốn khơng thuần nhất dao


19

động của sợi dây vơ hạn có nghiệm cổ điển dạng (2.6).
Định lí 2.1.9 (Tính duy nhất nghiệm). Bài tốn khơng thuần nhất của
phương trình truyền sóng của sợi vơ hạn (2.1) có nghiệm duy nhất.
Chứng minh. Giả sử phản chứng bài tốn có hai nghiệm cổ điển u1 (x, t)
và u2 (x, t) khi đó
2
∂ 2 ui
2 ∂ ui
−
a
= f (x, t), ∀x ∈ (−∞, +∞), ∀t > 0,
∂t2
∂x2
ui (x, 0) = ϕ(x), ∀x ∈ (−∞, +∞),

∂ui
(x, 0) = ψ(x), ∀x ∈ (−∞, +∞),
∂t
với i = 1, 2. Ta xác định hàm v(x, t) bởi

(2.7)

v(x, t) = u1 (x, t) − u2 (x, t).
Khi đó

2
2
2
∂ 2 u1
∂ 2v
∂ 2 u2
2∂ v
2 ∂ u1
2 ∂ u2
−a
= 2 −a
=
−a
∂t2
∂x2
∂t
∂x2
∂t2
∂x2
= f (x, t) − f (x, t) = 0,


trong đó ta sử dụng (2.7)1 . Do đó

v(x, 0) = u1 (x, 0) − u2 (x, 0) = ϕ(x) − ϕ(x) = 0,
∂v
∂u1
∂u2
(x, 0) =
(x, 0) −
(x, 0) = ψ(x) − ψ(x) = 0,
∂t
∂t
∂t
trong đó ta sử dụng các điều kiện ban đầu (2.7)2 và (2.7)3 .
Do đó hàm v thỏa mãn nghiệm của bài tốn (2.1) trong đó f (x, t)= ϕ(x)
= ψ(x) = 0 và sau đó theo (2.6) ta có
v(x, t) = 0 ⇒ u1 (x, t) = u2 (x, t),
và định lý đã được chứng minh.
Định lí 2.1.10 (Sự ổn định nghiệm). Ký hiệu u1 (x, t) và u2 (x, t), tương
ứng là các nghiệm của bài toán:
2
∂ 2 ui
2 ∂ ui
−a
= fi (x, t), ∀x ∈ (−∞, +∞), ∀t > 0,
∂t2
∂x2
ui (x, 0) = ϕi (x), ∀x ∈ (−∞, +∞),
∂ui
(x, 0) = ψi (x), ∀x ∈ (−∞, +∞),

∂t

(2.8)


20

với i = 1, 2. Khi đó với ε > 0 bất kỳ, ∃δ = δ(ε) > 0 sao cho nếu

|f (x, t)| = |f1 (x, t) − f2 (x, t)| < δ,
|ϕ(x, t)| = |ϕ1 (x, t) − ϕ2 (x, t)| < δ,

(2.9)

|ψ(x, t)| = |ψ1 (x, t) − ψ2 (x, t)| < δ,
thì

|u(x, t)| = |u1 (x, t) − u2 (x, t)| < ε.
Chứng minh. Dựa trên Định lý 2.1.8 và 2.1.9 nghiệm cổ điển của bài toán
(2.8) là hàm ui (x, t) được cho bởi
1
1 x+at
ui (x, t) = [ϕi (x + at) + ϕi (x − at)] +
ψi (s)ds
2
2a x−at

1
+
2a


t

x+a(t−τ )

fi (ξ, τ )dξ dτ,
0

x−a(t−τ )

với i = 1, 2. Trừ hai nghiệm, ta được
1
u1 (x, t) − u2 (x, t) = [ϕ1 (x + at) − ϕ2 (x + at)]
2
1
1 x+at
[ψ1 (s) − ψ2 (s)] ds
+ [ϕ1 (x − at) − ϕ2 (x − at)] +
2
2a x−at

+

t

1
2a

x+a(t−τ )


[f1 (ξ, τ ) − f2 (ξ, τ )] dξ dτ.
0

x−a(t−τ )

Áp dụng bất đẳng thức tam giác và bất đẳng thức tích phân ta có:
1
|u1 (x, t) − u2 (x, t)| ≤ |ϕ1 (x + at) − ϕ2 (x + at)|
2
1
1 x+at
+ |ϕ1 (x − at) − ϕ2 (x − at)| +
|ψ1 (s) − ψ2 (s)| ds
2
2a x−at

1
+
2a

t

x+a(t−τ )

|f1 (ξ, τ ) − f2 (ξ, τ )| dξ dτ.
0

x−a(t−τ )



21

Sử dụng giả thuyết (2.9) ta suy ra
δ
δ δ
|u1 (x, t) − u2 (x, t)| ≤ + +
2 2 2a

δ
+
2a

t
0

x+a(t−τ )
x−a(t−τ )

=δ 1+t+
Chọn T sao cho

x+at

ds
x−at

δ
dξ dτ = δ + δt +
2a


t2
2

≤δ 1+T +

T2
2

t

2a(t − τ )dτ
0

.

T2
ε
1+T +
< ,
2
δ

khi đó ta có

|u1 (x, t) − u2 (x, t)| < ε.

Ví dụ 2.1.11. Xét phương trình (2.1) với f (x, t) = 0, u(x, 0) = H(x +
1) − H(x − 1) và ut (x, 0) = 0, trong đó H(x) là hàm Heaviside.
Áp dụng cơng thức D’Alembert ta có nghiệm của phương trình
1

u(x, t) = [H(x + ct + 1) + H(x − ct + 1) − H(x + ct − 1) − H(x − ct − 1)] .
2

Hình 2.4: Nghiệm u(x, t) =

2.2

1
[H(x + ct + 1) + H(x − ct + 1) − H(x + ct − 1) − H(x − ct − 1)]
2

Bài toán biên hỗn hợp

Cho Ω là một miền bị chặn trong không gian Rn với biên ∂Ω có mặt
phẳng tiết diện thay đổi một cách liên tục hầu khắp nơi. Ta ký hiệu


22

TT = (0, T ] và TT = [0, T ] với T > 0.
Xét bài toán biên sau
∆u(x, t) − utt (x, t) = f (x, t), ∀(x, t) ∈ Ω × TT ,
u(x, t) = α(x, t), ∀x ∈ ∂Ω × TT ,
u(x, 0) = ϕ(x), ∀x ∈ Ω,

(2.10)

ut (x, 0) = ψ(x), ∀x ∈ Ω,
trong đó f, α, ϕ và ψ là các hàm cho trước liên tục trên miền xác định
của chúng.

Định nghĩa 2.2.1. Nghiệm cổ điển của bài toán (2.10) là hàm số u =

u(x, t) thỏa mãn các điều kiện sau:
• u là hàm liờn tc trờn ì TT ;
ã o hm uxi xi và utt là các hàm liên tục trên Ω × TT ;
• u thỏa mãn phương trình (2.10)1 , điều kiện biên (2.10)2 và điều kiện
ban đầu (2.10)3 và (2.10)4 .
Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp năng lượng để chỉ ra bài tốn (2.10)
có nghiệm duy nhất.
Định lí 2.2.2. Bài tốn (2.10) có nhiều nhất một nghiệm cổ điển.
Chứng minh. Giả sử rằng bài tốn (2.10) có hai nghiệm u1 (x, t) và u2 (x, t).
Đặt

v(x, t) = u1 (x, t) − u2 (x, t).
Dễ dàng kiểm tra được hàm v thỏa mãn các điều kiện đặt trên nghiệm
cổ điển, vì hàm u1 (x, t) và u2 (x, t) được giả sử có nghiệm cổ điển. Vì thế,
hàm v thỏa mãn bài toán sau:

∆v(x, t) − vtt (x, t) = 0, ∀(x, t) ∈ Ω × TT ,
v(x, t) = 0, ∀(x, t) ∈ ∂Ω × TT ,
v(x, 0) = 0, ∀x ∈ Ω,
vt (x, 0) = 0, ∀x ∈ Ω.

(2.11)