TRƯỜNG ………………….
KHOA……………………….

[\[\



Báo cáo tốt nghiệp

Đề tài:

TÌM HIỂU MẬT MÃ LƯỢNG TỬ







LI CM N


Trc ht em xin gi li cm n trân trng n TS. H Vn Hng, cùng PGS-
TS. oàn Vn Ban, các thy ã tn tình ch bo sa cha sai sót giúp em hoàn thành
khóa lun này.
Em xin trân trng cm n các thy cô giáo Trng i hc Công ngh - i hc
Quc gia Hà Ni. Phong cách ging dy, s ch bo nhit tình cng vi nhng kinh
nghim quý báu ca thy cô ã thc s em li cho em nhiu kin thc và cái nhìn mi
m. Giúp em sau khi ra trng s t tin hn trong công vic, trong ngh nghip mà mình
ã chn.

Xin chân thành cm n tt c chin hu ã cùng sát cánh trong sut thi gian
hc tp.

Hà Ni, tháng 5 nm 2010

Sinh viên


Phm Trng Sinh

















M U

Cùng vi s phát trin ln mnh ca ngành mt mã hc, các nhà mt mã hc ã
nghiên cu và a ra mt h mt mã mi mang tên “mt mã lng t”. Mt mã lng t

là h mt mã da trên các tính cht ca c hc lng t và không ph thuc vào bt c s
tính toán nào, do ó nó c cho là gii pháp chng li s tính toán ln ca máy tính
lng t. Mt mã lng t ã c chng minh có kh nng bo mt vô iu kin. Trên
th gii, ã có rt nhiu nc ang xây dng mng lng t nh M, Anh,…  Vit Nam
cng ã có nhiu  tài nghiên cu v mt mã lng t nhng do tính thi s ca nó, nên
tôi vn nghiên cu v mt mã lng t và chn nó làm  tài cho khóa lun này.
Chng 1: Mt mã lng t
Gii thiu s lc v mt mã lng t, lch s hình thành mt mã lng t. Các lý
thuyt v c hc lng t, tính toán lng t, t ó áp dng nó vào mt mã lng t.
Chng 2: Phân phi khóa lng t
Gii thiu v phân phi khóa lng t, tìm hiu các giao thc trong phân phi khóa
lng t. Chng minh kh nng an toàn vô iu kin ca các giao thc trong phân phi
khóa lng t. Cách xác nh gii hn li, các phng pháp “làm mn khóa” và “tng tính
bo mt”.
Chng 3: Thc trng công ngh mt mã lng t,  xut và xây dng
chng trình mô phng mt mã lng t
Gii thiu thc trng ca công ngh mt mã lng t trong thc t, các hng i,
 xut trong mt mã lng t. Xây dng chng trình mô phng phân phi khóa lng
t theo giao thc BB84.










MC LC


Chng 1. MT MÃ LNG T 1
1.1 GI I THI!U V" M#T MÃ L$%NG T& 1
1.2 LÝ THUY'T L$%NG T& 3
1.2.1 Bit lng t 3
1.2.2 (o lng lng t 5
1.2.3 Bt nh lng t 6
1.2.4 Liên kt lng t 7
1.2.5 (nh lý không th sao chép lng t 9
1.3 TÍNH TOÁN L$%NG T& 9
1.3.1 Mt s ký hiu toán hc 9
1.3.2 Bin )i bit lng t 10
1.3.3 Phép nhân trng thái lng t 10
1.3.4 (o lng lng t trên c s* toán hc 11
1.3.5 Trng thái Bell 12
1.3.6 Chng minh không th sao chép lng t 15
1.3.7 C)ng lng t 16
1.4 TRUY"N THÔNG L$%NG T& 18
1.5 MÃ HÓA SIÊU DÀY (+C 20
1.6 K'T CH$,NG 21
Chng 2. PHÂN PHI KHÓA LNG T 22
2.1 GI I THI!U V" PHÂN PH-I KHÓA L$%NG T& 22
2.2 CÁC GIAO TH.C PHÂN PH-I KHÓA L$%NG T& 25
2.2.1 Giao thc BB84 25
2.2.1.1 Quy c trong giao thc BB84 25
2.2.1.2 Phép o lng trong giao thc BB84 25
2.2.1.3 Các bc thc hin giao thc BB84 27
2.2.1.4 Kh nng tn công ca Nhân trong giao thc BB84 32
2.2.2 Giao thc B92 38
2.2.2.1 Các bc thc hin giao thc B92 40

2.2.2.2 Kh nng tn công ca Nhân trong giao thc B92 44
2.2.3 Giao thc EPR 47
2.2.3.1 Các bc thc hin giao thc EPR 49
2.2.3.2 Kh nng tn công ca Nhân trong giao thc EPR 50
2.2.4 Xác nh h s gii hn li
ε
51
2.2.5 Làm mn khóa và tng tính bo mt 51
2.2.5.1 Làm mn khóa 52
2.2.5.2 Tng tính bo mt 54
2.3 K'T CH$,NG 54
Chng 3. THC TRNG CÔNG NGH MT MÃ LNG T, XÂY
DNG CHNG TRÌNH MÔ PHNG MT MÃ LNG T VÀ 
XUT…………………………………………………………………………… 55
3.1 TH/C TR0NG CÔNG NGH! M#T MÃ L$%NG T& 55

3.2 CH$,NG TRÌNH MÔ PH1NG GIAO TH.C PHÂN PH-I KHÓA L$%NG T& 57
3.2.1 Mc ích mô phng 57
3.2.2 Giao thc truyn khóa lng t 58
3.2.3 Gii thiu chng trình 58
3.2.4 Kt Lun 67
3.3 (" XU2T .NG D3NG C4A M#T MÃ L$%NG T& 67
K T LUN 68
A. K'T QU5 (0T ($%C 68
B. H$ NG PHÁT TRI6N 68
C. Ý NGH7A 69
























Danh M!c Hình

Hình 1.1 Mô hình trao )i thông tin bí mt
Hình 1.2 Mô hình trao )i thông tin bí mt da trên c hc lng t
Hình 1.3 Hai trng thái c bn ca qubit
Hình 1.4 Hình c8u Bloch
Hình 1.5 Hai c s* quan trng ca qubit
Hình 1.6 Minh ha nh lý bt nh lng t
Hình 1.7 S 9 to c:p trng thái Bell
Hình 1.8 C)ng lng t Hadamard
Hình 1.9 C)ng lng t Cnot

Hình 2.1 Mô hình phân phi khóa
Hình 2.2 Mô hình phân phi khóa lng t
Hình 2.3 Bng chuyn )i bit và qubit trong giao thc BB84
Hình 2.4 Mô hình giao thc BB84
Hình 2.5 Bng giao c trong giao thc B92
Hình 2.6 C:p ôi không trc chu;n mà An s dng
Hình 2.7 Kt qu phép o lng ca Bình
Hình 2.8 S 9 trng thái ca qubit
Hình 2.9 Bng giao c trong giao thc EPR
Hình 2.10
S 9 trng thái ca Bình khi An gi qubit có trng thái
−

Hình 2.11
S 9 trng thái ca Bình khi An gi qubit có trng thái +
Hình 2.12 Bng c s* dùng  o lng ht liên i
Hình 2.13 S 9 thc hin E91








- 1 -
Chng 1. MT MÃ LNG T
1.1 GI"I THIU V MT MÃ LNG T
Mt mã lng t là công ngh cho phép bo mt thông tin truyn i b<ng truyn
thông quang, qua quang si cng nh qua không gian[1] (FSO - Free Space Optical

communications). Nó cho phép thông tin c bo mt "tuyt i", không ph thuc vào
 mnh ca máy tính,  ti tân ca dng c hay s xo quyt ca hacker. S bo mt
ca mt mã lng t b=t ngu9n t nh>ng quy lut không th phá b ca t nhiên mà * ây
là các tính cht ca c hc lng t, do ó nó c xem nh là mt s bo v mnh m?
nht có th cho d> liu.
Ngu9n gc ca mt mã lng t c a ra b*i Stephen Weisner[11], gi là
"Conjugate Coding" t 8u nh>ng nm 70. Sau ó, c công b vào nm 1983 trên tp
chí Sigact News b*i Bennett và Brassard, nh>ng ngi ã nghiên cu nh>ng ý t*ng ca
Weisner và phát trin chúng theo cách riêng ca mình. H cho ra "BB84", giao thc mt
mã lng t 8u tiên vào nm 1984, nhng mãi n tn nm 1991, thí nghim 8u tiên v
th thc này mi c thc hin thành công qua mt ng truyn 32 cm. Nh>ng giao
thng ngày nay ã c th nghim thành công trên quang si *  dài hàng trm km.
Hình di ây mô t mt giao thc ca mt mã, thông tin nhy cm có th c làm
ri lon b*i ngi gi (An) thành mt dng thông tin mà ngi ngoài không th nhn
bit. (iu này c thc hin b*i mt công thc toán hc, gi là thut toán mã hóa.
Ngi nhn c (Bình) s? có thut toán gii mã  tìm li d> liu ban 8u.


Hình 1.1: Mô hình trao i thông tin bí mt
( gi thông tin mt cách bí mt, khóa gii mã phi c truyn i mt cách bí mt.
Nhng khi ngi nhn nhn c mt khóa thì làm th nào xác minh c khóa này là
- 2 -
tht và nó c gi> bí mt? Trc ây, iu này là không th. Mt mã lng t gii quyt
vn  này! Nó cho phép ngi gi và ngi nhn xác minh tính bo mt ca tng khóa.
.ng dng trc tip nht ca mt mã lng t là quá trình truyn khóa bí mt. Ti
sao không dùng ng truyn lng t này  truyn trc tip thông tin c8n truyn i?
B*i vì lng thông tin trong mt ng truyn lng t không nhiu và tc  không cao.
Nh vào quá trình mã hóa mà s truyn thông tin này có th a n s bo mt cao cho
ng truyn khác có tc  trao )i thông tin cao hn rt nhiu.
Nguyên lí ca s trao )i thông tin lng t này da vào s quan sát các trng thái

lng t; nh>ng photon c truyn i c :t trong mt trng thái riêng bit b*i ngi
gi và sau ó c quan sát b*i ngi nhn. B*i theo thuyt tng i, nh>ng trng thái
lng t liên hp không th c quan sát cùng mt lúc. Tùy theo cách quan sát, giá tr
ca h o c s? khác nhau, nhng trong mt h các trng thái liên hp duy nht; ví d
nh phân cc ca photon c mô t b*i mt trong ba h khác nhau: phân cc ph@ng,
phân cc c8u hay phân cc elip. Nh vy, nu ngi gi và ngi nhn không tha thun
trc v h quan sát c s dng, ngi nhn có th tình c hy thông tin ca ngi
nhn mà không nhn c gì có ích.
Nh vy, s tip cn n gin nht v ng truyn lng t là: ngi gi mã hóa
thông tin b*i các trng thái lng t, ngi nhn quan sát các trng thái ó, sau ó nh
vào tha thun t trc v h quan sát, ngi gi và ngi nhn trao )i thông tin mt
cách úng =n.
Ta xét trng hp mt kênh truyn bo mt thông thng và có "ngi tn công *
gi>a" (man-in-the-middle attack). Trong trng hp này, ngi nghe lén (Nhân) c cho
là có kh nng iu khin kênh truyn, có th a thông tin vào và ly thông tin ra không
có thiu sót nào hay  trA nào. Khi An c g=ng thit lp khóa bí mt cùng Bình, Nhân
tham gia vào và tr li tin theo c hai hng, làm cho An và Bình t*ng r<ng h ang nói
chuyn vi nhau. Khi khóa bí mt c thit lp, Nhân nhn, sao chép và gi li thông tin
 m bo An và Bình nói chuyn vi nhau bình thng. Gi s r<ng thi gian x lí tín
hiu là  nhanh, Nhân có th nhn c toàn b khóa bí mt và do ó nhn c tt c
thông tin c truyn i gi>a An và Bình vi không mt phát hin nào. Nhng khi mt
mã lng t c áp dng trong các quy lut lng t; trng thái lng t ca photon
không th c sao chép. Nh vy, mt cách t nhiên, khi Nhân c g=ng ly thông tin mã
hóa b*i mt photon, s nghe lén này s? gây li * phía Bình. (iu này s? cho phép An và
- 3 -
Bình nhn bit c khi nào ng truyn ca h b tác ng b*i ngi nghe lén th ba,
khi ó h có th chuyn qua kênh truyn khác, hay n gin hn là làm trA ng truyn
li vi các khóa c thay )i liên tc.

Hình 1.2: Mô hình trao i thông tin bí mt da trên c hc lng t

Ngoài kh nng trao )i khóa nh các h mt mã thông thng, mt mã lng t
còn có kh nng phát hin s xut hin ca bên th ba tham gia vào phiên truyn khóa.
(ây là tính cht n)i tri so vi các h mt mã khác, cng vì có tính cht này hai bên trao
)i khóa dA dàng bit c khóa sau khi trao )i có thc s an toàn không.
1.2 LÝ THUY T LNG T
1.2.1 Bit lng t
Mt qubit (vit t=t ca quantum bit[7]) hay bit lng t là mt n v thông tin
lng t. Trong ó miêu t mt h c hc lng t có hai trng thái c bn thng c
ký hiu là 1 và 0 (c là két 0 và két 1) ho:c 0 và 1 (c là bra 0 và bra 1) tng
ng vi hai trng thái phân cc th@ng dc và phân cc th@ng ngang ca photon.


Hình 1.3: Hai trng thái c bn ca qubit
- 4 -
Khác vi mt bit c) in thông thng chB nhn mt trong hai giá tr 1 ho:c 0, mt
trng thái qubit thu8n túy là ch9ng chp lng t tuyn tính ca hai trng thái c bn trên.
Nh vy mt qubit c biu diAn:
10
βαψ
+=

Trong ó
α
và
β
c gi là biên  xác sut và giá tr chúng có th nhn là s
phc. ( n gin ngi ta thng biu diAn trng thái ca qubit di dang vector:
[
]
βαβαψ

=+= 10 ho:c






=+=
β
α
βαψ
10
Khi o lng
ψ
trong c s* c bn chB cho ta 1 vi xác sut là
2
α
ho:c cho
0
vi xác sut là
10
βαϕ
+=
, do ó ta có
1
22
=+
βα

Không gian trng thái ca b nh qubit có th miêu ta trên hình hc b<ng hình c8u

Bloch. Nó là không gian hai chiu, nghCa là trng thái lng t ca mt qubit có hai bc
t do. Mt b nh cha n qubit s? có
2
2
1
−
+n
bc t do.

Hình 1.4: Hinh cu Bloch
Trong khi c8u Bloch, tt c các trng thái ca qubit có th vit di dng liên hp
ch9ng chp ca 1 và 0 . Nh vy
ψ
c biu diAn:
1)
2
sin()sin(cos0)
2
cos(1)
2
sin(0)
2
cos(
θ
ϕϕ
θ
θ
θ
ψ
ϕ

ie
i
++=+=
Vi:
Π
≤
≤
θ
0 ,
Π
≤
≤
20
ϕ

Các giá tr ca (x, y, z) ti
ψ
trong hình c8u c tính:

φ
ϕθ
ϕ
θ
cos
sinsin
cossin
=
=
=
z

y
x

- 5 -
Trong mt mã lng t, ngoài hai trng thái c bn là
(
)
1,01 = và )0,1(0 = c
s dng chúng ta còn quan tâm n hai trng thái c bn khác ca lng t là:
)1,1(
2
1
)10(
2
1
=+=+ và )1,1(
2
1
)10(
2
1
−=−=− .
Trng thái
−
và
+
ca bit lng t tng ng vi s phân cc ca photon là phân
cc chéo
o
45 và

o
135 .
1.2.2 (o lng lng t
(o lng lng t là hành ng dùng các thit b trong lng t  quan sát trng
thái ca các photon phân cc. Trong mt mã lng t, o lng là mt hành ng không
th tách ri, da vào trng thái ca các pohoton phân cc o c mà ta quyt nh xem
bit c) in tng ng ca nó là 1 hay 0.
Mt khái nim chúng ta c8n quan tâm khi nguyên cu c hc lng t là c s*. C
s* c to thành t c:p ôi trc chu;n. (iu ó có nghCa là nu hai trng thái
ϕ
và
ψ

trong cùng c s*
∗
luôn có tích vô hng ca hai vector b<ng 0 hay 0=
ψϕ
. Mt trng
photon bt kD c o trong c s*
∗
thì kt qu o lng chB có th cho là
ϕ
ho:c
ψ
.
Xét bn thái c bn ca lng t va  cp * trên là −+ ,,0,1 , ta có 001 = .
Nh vy c:p
0,1
c gi là c:p ôi trc chu;n, c:p ôi này to lên c s*
⊕

gi là c
s* ngang. Tng t t −+ , cng là c:p ôi trc chu;n to lên c s* chéo
⊗
.


Hình 1.5: Hai c s quan trng ca qubit
Khi o lng lng t, mt photon phân cc c sinh ra trong c s* nào s? c
o lng úng trong c s* ó. Photon sinh ra trong c s*
⊕
và trng thái phân cc ca nó
- 6 -
là 0 (ho:c 1 ) thì sau khi ta o lng nó ta cng c trng thái phân cc là 0 (ho:c
1 ). Cng nh vy, photon sinh ra trong c s*
⊗
và trng thái phân cc ca nó là −
(ho:c
+
) thì sau khi ta o lng nó ta cng c trng thái phân cc là
−
(ho:c
+
).
1.2.3 Bt nh lng t
(nh lý bt nh lng t phát biu r<ng kt qu ca phép o lng mt photon
phân cc chB úng khi và chB khi tp hp các trng thái ca c s* o lng cha trng thái
ca nó[7].
(nh lý này cng nói r<ng, nu mt photon c to ra trong mt c s* và c o
lng * c s* khác thì kt qu là photon b phân cc trong c s* mi và kt qu ca phép
o lng là ngu nhiên.


Hình 1.6: Minh ha nh lý bt nh lng t
- 7 -
Ví d: Nu ta sinh ra 1 photon 0 (ho:c 1 ) và o lng nó trong c s*
⊗
thì kt
qu s? thu c là + ho:c − vi xác sut 50/50.
Nh vy, nu ai ó mun bit thông tin v mt qubit nào ó thì h phi bit c s*
mà nó c sinh ra. (ây là mt trong nh>ng tính cht quan trng trong c hc lng t
c s dng trong mt mã lng t.
1.2.4 Liên kt lng t
Liên kt lng t là hiu ng trong c hc lng t trong ó trng thái lng t ca
hai hay nhiu vt có th liên h vi nhau dù chúng có n<m cách xa nhau. (iu này nghCa
là phép o thc hin trên vt th này s? nh h*ng trc tip n trng thái lng t trên
vt th liên kt lng t vi nó[7].
Liên kt lng t thng c mô t vi hai photon có s liên h vi nhau, trng
thái ca photon này quyt nh trng thái ca photon kia. Nu o lng trng thái ca mt
photon thì ngay lp tc s? bit c trng thái ca photon có liên h vi nó. (iu này
cng có nghCa là nu ta buc photon này có trng thái nào ó thì lp tc photon kia cng
có trng thái tng ng.
S liên h gi>a hai photon chng t r<ng gi>a chúng có mt mi quan h tng tác
nào ó. Mi quan h tng tác này là mt h qu ca các nh lut trong c hc lng t.
Xét hai h thng lng t
A
H và
B
H

H thng g9m hai h thng
A

H và
B
H là
tích tensor ca các trng thái trong h thng
BA
HH
Θ
. Nh vy nu h thng
A
H có trng
thái
A
ψ
và h thng
B
H có trng thái
B
ψ
thì trng thái ca h thng hp thành là:
BA
ψψ
Θ , nh vy trng thái ca h thng tính theo công thc trên là trng thái có th
tách ri ho:c trng thái tích các h thng.
Vy hin tng liên kt lng t c th hin nh th nào? Gi s h thng
A
H
có
c s*
{
}

A
i và Gi s h thng
b
H có c s*
{
}
B
i . Trng thái ca h thng
BA
HH
Θ
c
biu diAn:

Θ=
ji
BA
ij
AB
jiC
,
ψ

Trong ó:
A
i
A
i
A
iC


=
ψ
và
B
j
B
j
B
iC

=
ψ
.
- 8 -
Trng thái
AB
ψ
c gi là có th tách ri c nu
B
j
A
iij
ccc = , và không th tách
ri c nu
B
j
A
iij
ccc ≠ .

Trng thái liên kt lng t là trng thái ca h thng không th tách ri c.
Trong mt mã lng t chúng ta s dng nhiu n trng thái Bell ca liên kt
lng t. Bn trng thái Bell ca hai qubit c gi> b*i An(chB s di A) và Bình(chB s
di B):
)0110(
2
1
)0110(
2
1
)1100(
2
1
)1100(
2
1
BABA
BABA
BABA
BABA
−=
+=
−=
+=
−
+
−
+
ψ
ψ

φ
φ

Ta s? xem xét ý nghCa ca các trng thái Bell trên. Xét trng thái
+
φ
:
Nu An o lng qubit mà anh ta n m gi trong c s
⊕
thì kt qu là ng!u nhiên 1
ho"c 0 vi xác sut nh nhau.
 Nu kt qu phép o lng ca An là 0 trng thái ca h thng lúc ó là
BA
00 .
 Nu kt qu phép o lng ca An là
1
trng thái ca h thng lúc ó là
BA
11
.
Sau ó Bình o lng qubit mà anh ta n m gi trong cùng c s mà An thì kt qu mà anh
ta nhn c ph# thuc vào trng thái ca h thng lúc ó:
 Nu trng thái ca h thng lúc ó là
BA
00
thì kt qu phép o lng ca An là
0 .
 Nu trng thái ca h thng lúc ó là
BA
11

thì kt qu phép o lng ca An là
1 .
Tính cht quan trng ca liên kt lng t là không th tách ri thành các thành
ph8n. (iu này có nghCa là không th tìm ra hai qubit
σ
và
σ
′
sao cho
+
=
′
Θ
φσσ
.
Xét v m:t mt mã, tính cht này là c s* hình thành giao thc phân phi khóa
lng t EPR mà chúng ta s? tìm hiu * nh>ng ph8n sau.
- 9 -
1.2.5 (nh lý không th sao chép lng t
(nh lý không th sao chép lng t là mt kt qu ca c hc lng t. (nh lý
phát biu r<ng, không th to bn sao ca mt qubit khi cha bit c s* mà qubit c8n sao
chép c to ra[7].
1.3 TÍNH TOÁN LNG T
1.3.1 Mt s ký hiu toán hc
Trong tính toán lng t, mt qubit 10
βαω
+= thng có th biu diAn di
hai dng.
 Dng th nht c là “ket”, ký hiu là







=
β
α
ω

 Dng th nht c là “bra”, ký hiu là
[
]
βαω
=
ωϕ
(vit t=t ca
ωϕ
) là tích ca ma trn 1x2 và ma trn 2x1. Ví d
10
11
βαϕ
+=
và
10
22
βαω
+=

[ ]

2121
2
2
11
ββαα
β
α
βαωϕ
+=






=
.
Chú ý r$ng: 10011 ===
ωω
và 01001 == tng t vi mi
ϕ
ta có
1=
ϕϕ

ωϕ
(vit t=t ca
ωϕ
Θ ) là phép nhân ca qubit trong lng t.
Cho ma trn











=
nnn
n
aa
aa
A



1
111
là ma trn vuông cp n trên trng s phc, và có
ijijij
ia
β
α
+
=

(

)
nji
≤
≤
,1












=
nnn
n
aa
aa
A



1
111
là ma trn liên hp ca A
ijijij

ia
βα
−=











=
T
nn
T
n
T
n
T
T
aa
aa
A



1

111
là ma trn chuyn ca ma trn A
ji
T
ij
aa =
- 10 -











=
++
++
+
nnn
n
aa
aa
A




1
111
là ma trn liên hp Hermitian
T
AA =
+
hay
jijiij
ia
βα
−=
+
.
1.3.2 Bin )i bit lng t
Trong c hc lng t, chúng ta có th bin )i photon phân cc t trng thái này
sang trng thái khác. S bin )i ca mt qubit
ϕ
thành
ϕ
′
c diAn t b*i “ma trn
n v bin )i” U.
ϕϕ
U=
′

Ma trn n v bin )i là nh>ng ma trn Pauli, tc là các ma trn U tha mãn iu
kin IUU =
+
, nghCa là

1−+
= UU .
Ví d:






=+=
β
α
βαϕ
10
Và






=
01
10
U



1.3.3 Phép nhân trng thái lng t
Trng thái ca mt h thng liên hp các qubit là tích tensor ca các trng thái qubit

có trong h thng liên hp ó. Nu h thng có n qubit vi trng thái riêng lE là
n
ϕϕϕϕ
, ,,
322
thì trng thái liên hp ca chúng s? là
n
ϕϕϕϕ

321
ΘΘΘ
Ví d: Trng thái ca mt h thng g9m 2 qubit: 10
1
ba +=
ϕ
và 10
2
dc +=
ϕ

thì trng thái ca h thng là:
11011000
21
bdbcadac
bd
bc
ad
ac
d
c

b
a
+++=












=






Θ






=Θ

ϕϕ

10
10
01
10
αβϕ
αβ
α
β
β
α
ϕϕ
+=
′

+=






=













==
′
 U
- 11 -
1.3.4 (o lng lng t trên c s* toán hc
(o lng lng t c mô t b*i tp hp
{
}
m
M (
mmm
aaM Θ= ,
m
a là trng thái
ca qubit sau khi thc hin phép o lng) ca toán t o lng. ChB s m là 8u ra có th
sy ra trong thí nghim. Nu trng thái ca qubit trc khi o lng là
ϕ
thì:
 Xác sut sy ra m sau thí nghim là
ϕϕ
mm
MMmp
+
=)( .

 Trng thái ca qubit sau phép o lng là:
ϕϕ
ϕ
mm
m
MM
M
+
.
 Tp hp
{
}
m
M phi m bo:

=
+
m
mm
IMM .
 Tng xác sut sy ra b$ng 1:


==
+
m m
mm
MMmP 1)(
ϕϕ
.


Ví d: Nu ta thc hin phép o lng 10
βαϕ
+= trong c s*
⊕
, tp hp ca
toán t o lng s? là
{
}
),(
10
MMM
m
=
vi:
[ ]






=






Θ=Θ=

00
01
0
1
0100
0
M và
[ ]






=






==
10
00
1
0
1011
1
M
IMMMMMM

m
mm
=






=+=
+++

10
01
1100

Xác sut sy ra sau thí nghim cho ta 0 là:
[ ]
2
00
00
01
)0(
αϕϕ
=













==
+
b
a
baMMp
Xác sut sy ra sau thí nghim cho ta 1 là:
[ ]
2
11
10
00
)1(
β
β
α
βαϕϕ
=













==
+
MMp

=+=+=
m
ppmp 1)1()0()(
22
βα
. Tha mãn t)ng xác sut b<ng 1.
Trng thái ca qubit sau o lng:
• Nu kt qu là 0 là 0
0
1
00
01
2
00
0
α
α
α
α
α

β
α
ϕϕ
ϕ
=






=












=
MM
M
t

- 12 -

• Nu kt qu là 1 là 1
1
0
10
00
2
00
0
β
β
β
β
β
β
α
ϕϕ
ϕ
=






=













=
MM
M
t



Ngoài ra, nu o lng
10
βαϕ
+=
trong c s* trc chu;n
10 bav +=
và
01 abv −=
′
(trong ó 1
22
=+ ba ). Ta có:
[ ]
0=−=







−
=
′
baab
a
b
bavv

v và v
′
là c:p trc chu;n ca mt c s* nào
ó.
[ ]






=







Θ=Θ
2
2
bab
aba
b
a
bavv

Và
[ ]






−
−
=






−
Θ−=
′
Θ

′
2
2
aab
abb
a
b
abvv
.
Ivvvv =






=
′
Θ
′
+Θ
10
01

Nh vy:
vabvba
vvvvvv
vvvvvvvv
vvvvvvvvI
′

−++=
′′
+
′
++=
′
Θ
′
+Θ+
′
Θ
′
+Θ=
+
′
Θ
′
+Θ=
′
Θ
′
+Θ==
)()(
)10()10(
)11()00(
)10)(()(
βαβα
βεβα
βα
βαϕϕϕ


T biu thc trên ta dA tính c xác sut o c v là
(
)
2
ba
βα
+ , và xác sut o
c v
′
là
(
)
2
ab
βα
− .
1.3.5 Trng thái Bell
Trng thái Bell là nh>ng trng thái ca liên kt lng t :t theo tên ca nhà khoa
hc J. S. Bell, c ng dng vào trong mt mã lng t[8].
( to ra liên kt lng t theo trng thái Bell ca hai photon phân cc trong phòng
thí nghim ngi ta dùng hai qubit 0=
ϕ
và 0=
ω

- 13 -
 Bin )i qubit
ϕ
thành

ϕ
′
qua






−
==
11
11
2
1
1
HU

( )
10
2
1
1
1
2
1
0
1
11
11

2
1
+=






=












−
==
′

ϕϕ
H
 Lúc này h thng hai qubit s? có trng thái
[ ]













=






=Θ






=Θ
′
=
0

1
0
1
2
1
01
01
2
1
01
1
1
2
1
ωϕδ

 Bin )i
δ
thành
δ
′
qua













==
0100
1000
0010
0001
2 not
CU




Nh vy ta ã to c c:p liên kt lng t có trng thái
+
φ
t hai qubit 0 .
Tng t th, t các c:p 8u vào khác ta s? to c các trng thái khác ca Bell:
( )
+
=+→
φ
1100
2
1
00 ;
( )
+

=+→
ψ
0110
2
1
10
( )
−
=−→
φ
1100
2
1
01 ;
( )
−
=−→
ψ
0110
2
1
11

Nh vy các c:p trng thái Bell ca hai qubit có th c to ra theo s 9:

Hình 1.7: S  to c"p trng thái bell

( )
+
=+=













=

























==
′

φδδ
1100
2
1
1
0
0
1
2
1
0
1
0
1
2
1
0100
1000
0010
0001

not
C
- 14 -
( chng minh s liên h lng t ca các trng thái Bell ta l8n lt thc hin phép
o lng
σ
và
+
φ
trên tp hp
{
}
),(
10
MMM
m
=
ca toán t o lng.
Trong ó













=
0000
0100
0000
0001
0
M và












=
1000
0000
0010
0000
1
M
 (o lng
σ
:

• Xác sut sy ra 0 sau o lng là:

[ ]
1
0
1
0
1
2
1
0000
0100
0000
0001
0101
2
1
)0(
00
=

























==
+
σσ
MMp
• Kt qu sy ra 0 sau o lng là:
σ
σσ
σ
=













=

























=
+
0
1
0
1
2
1
0
1
0
1
2
1
0000
0100
0000
0001
10
0
MM
M



(o lng
σ
trong c:p toán t o lng
{
}

),(
10
MMM
m
=
không làm thay )i
trng thái ca h thng, nghCa là phép o lng mt qubit trong c:p không làm nh h*ng
n qubit khác trong c:p ó.
 (o lng
+
φ
:
• Xác sut sy ra 0 sau o lng là:

[ ]
2
1
0
1
0
1
2
1
1
0
0
1
2
1
0000

0100
0000
0001
1001
2
1
)0(
00
=












=

























==
+++
φφ
MMp
- 15 -
• Kt qu sy ra 0 sau o lng là:
00
0
0
0
1
2
1
1

0
0
1
2
1
0000
0100
0000
0001
00
0
=












=

























=
+
σσ
σ
MM
M

• Tng t ta có: Kt qu ca phép o lng sy ra 1 là
2
1
và kt qu sau

phép o lng là 11


(o lng
σ
trong
{
}
),(
10
MMM
m
=
làm thay )i trng thái ca h thng, 8u
ra là 11 vi xác sut
2
1
và 00 vi xác sut
2
1
. (iu này có nghCa là phép o lng
mt qubit trong c:p làm nh h*ng n qubit còn li trong c:p ó


+
φ
là trng thái
ca photon phân cc trong hin tng liên kt lng t.
1.3.6 Chng minh không th sao chép lng t
Gi s có th sao chép c trng thái ca qubit

σ
mà ta cha bit thông tin b<ng
cách bin )i t trng thái
ϕ
khác v trng thái ca
σ
thông qua mt ma trn n v
bin )i U. Nh vy ta có:
BABA
U
σσϕσ
= (1)
Tng t ta cng có:

ABAB
U
ωωωϕ
= (2)
T (1) và (2):
BAABBAAB
UU
σσωωϕσωϕ
=

M:t khác ta có U là ma trn n v bin )i IUU
=


Do ó ta có
BAABBAAB

σσωωϕσωϕ
=
Li có
BAABAA
σσωωσωϕϕ
== 1
Nh vy 1=
BB
σω
ho:c 0=
AA
σω

BABA
U
ωωϕω
=
- 16 -


ω
và
σ
phi cùng c s*, tc là
σω
=
ho:c
ω
và
σ

cùng là hai trng
thái trc giao. Nh vy ta chB có th o lng c trng thái ca qubit khi bit c c
s* ca nó, ó chính là ni dung nh lý không th sao chép lng t.
1.3.7 C)ng lng t[7]
C)ng lng t là các ma trn bin )i. Nó thc hin phép bin )i t trng thái
lng t này sang trng thái lng t khác. C)ng lng t thng c biu diAn b<ng
các ma trn unitary, là ma trn tha mãn iu kin IUU
T
= .
C#ng Hadamard: là c)ng thc hin trên mt qubit. Nó bin )i trng thái lng t
t +→0 và −→1 . C)ng Hadamard c biu diAn b*i ma trn H:






−
=
11
11
2
1
H

Hình 1.8: Cng lng t Hadamard
C#ng Pauli-X: là c)ng thc hin trên mt qubit. Nó thc hin phép bin )i
01 → và 10 → . C)ng Pauli-X c biu diAn b*i ma trn X:







=
01
10
X
C#ng Pauli-Y: là c)ng thc hin trên mt qubit. Nó c biu diAn b*i ma trn Y:






−
=
0
0
i
i
Y
C#ng Pauli-Z: là c)ng thc hin trên mt qubit. Nó thc hin phép bin )i
00 → và 11 −→ . C)ng Pauli-X c biu diAn b*i ma trn Z:







−
=
10
01
Y
C#ng d$ch chuy%n pha: là c)ng thc hin trên mt qubit. Nó c biu diAn b*i ma
trn
(
)
θ
R :
( )






=
θ
θ
i
e
R
0
01

- 17 -
Trong ó
θ

là dch chuyn pha. Nó có th% nhn các giá tr khác nhau nh ,
2
,
4
,
8
π
π
π

C#ng hoán v$ thc hin trên hai qubit. Nó thc hin vic hoán v trng thái ca hai
qubit. C)ng dch chuyn pha c biu diAn b*i ma trn SWAP:












=
1000
0010
0100
0001
SWAP

C#ng iu khi%n thc hin trên hai qubit. C)ng iu khin n gin nht là
controlled-Not (CNot). C)ng CNot thc hin toán t not lên qubit th hai nu qubit th
nht là 1:












=
0100
1000
0010
0001
Cnot

Hình 1.9: Cng lng t Cnot

C#ng Toffoli thc hin trên 3 qubit. C)ng Toffoli thc hin Pauli-X trên qubit th
ba khi hai qubit 8u là 11 . Phép toán trên 3 qubit
σ
,
ϕ
,

ω
khi qua c)ng Toffoli
c vit di dng:



==
 →
ωϕσ
ϕσωϕσ
ωϕσ
,,
1,,
,,
NeuX
Toffoli

C#ng lng t ph# quát: Tp hp các c)ng lng t ph) quát là tp hp các c)ng
mà bt kD các hot ng có th có trên máy tính lng t có th gim bt, có nghCa là,
mi hot ng khác n nht có th diAn t nh là chui h>u hn các b này. V m:t k
thut, iu này là không th, vì s lng các c)ng lng t là không m c, trong khi
s lng các dãy h>u hn t mt tp h>u hn là m c. ( gii quyt vn n này
- 18 -
chúng ta chB yêu c8u bt kD hot ng c hc lng t có th xp xB b*i mt tp hp các
c)ng h>u hn
 Mt tp hp n gin ca 2 c)ng lng t ph) quát là c)ng Hadamard (H),
c)ng dch chuyn pha
(
)
4

π
R và c)ng CNot.
 Mt c)ng lng t ph) quát có th thc hin trên ba qubit là c)ng Deutsch
(
)
θ
D
:



==−+
→
cba
baneucbacbai
cba
,,
11,,)(sin,,)(cos
,,
θφ

• Chú ý r$ng cng toffili là mt trng hp ca cng Deutsch vi
2
π
θ
=
1.4 TRUYN THÔNG LNG T
Truyn thông lng t là công ngh s dng  truyn thông tin lng t t h
thng này n h thng khác thông qua trng thái Bell.
Gi s

ccc
01
βαϕ
+= là qubit mà An mun truyn n Bình. An và Bình cùng
chia sE nhau mt trng thái Bell. Trng thái Bell ó có th là:
)0110(
2
1
)0110(
2
1
)1100(
2
1
)1100(
2
1
BABA
BABA
BABA
BABA
−=
+=
−=
+=
−
+
−
+
ψ

ψ
φ
φ

Trong ó ch s A vit di là photon c n m gi bi An và B là photon n m gi bi
Bình.
Gi s trng thái Bell mà An và Bình chia sE là
+
φ
. Khi ó h thng lng t ca
A lúc ó là:
( )
( )
CBACBACBACBA
ccBABAC
AB
111011100000
2
1
10)1100(
2
1
βαβα
βαϕφ
+++=
+







+=Θ
+

Ta cng  ý thy r<ng:
- 19 -
)(
2
1
11
)(
2
1
01
)(
2
1
10
)(
2
1
00
−+
−+
−+
−+
−=
−=
+=

+=
φφ
ψψ
ψψ
φφ

Do ó ta có:
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
BB
AC
BB
AC
BB
AC
BB
AC
B
ACAC
B
ACAC
B

ACAC
B
ACAC
C
AB
10
2
1
10
2
1
10
2
1
10
2
1
11
00
2
1
βαψβαψ
βαφβαφ
φφβψψα
ψψβφφα
ϕφ
+−Θ++Θ+
−Θ++Θ=











−+−+
+++
=
=Θ
++
−+
−+−+
−+−+
+

Ta thc hin phép o lng h thng này trên c s* trng thái Bell. Kt qu ca
phép o lng là mt trong s bn trng thái Bell c ly t mt trong bn biu thc
trng thái sau:
(
)
BB
AC
10
βαφ
+Θ
+


(
)
BB
AC
10
βαφ
−Θ
−

(
)
BB
AC
10
βαψ
+Θ
+

(
)
BB
AC
10
βαψ
+−Θ
+

Ta chú ý r<ng An và Bình cùng chia sE trng thái Bell, o ó sau khi An o lng
c:p liên kt lng t b phá vF và trng thái ca qubit mà Bình n=m gi> lúc ó s? là mt
trong bn trng thái sau:

BB
10
βα
+
BB
10
βα
−
BB
10
αβ
+
BB
01
βα
+−