GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC


KHÁI NIỆM HÀM SỐ?


1. Hàm số
Định nghĩa (hàm hợp)
Cho hai hàm g : X → Y ; f : Y → Z .
Khi đó tồn tại hàm hợp f g : X → Z .

h = f g = f ( g ( x))
Ví dụ.

g ( x) = x − 3; f ( x) = x 2

 f g ( x) = f ( g ( x) = f ( x − 3) = ( x − 3)

2

 g f ( x) = g ( f ( x)) = g ( x ) = x − 3
2

2


VÍ DỤ

Cho f ( x) = x ; g ( x) = 2 − x. Tìm các hàm sau và miền
xác định của nó: a) f g;

a) f g ( x) =

2− x = 4 2− x

b) g f ( x ) = 2 − x
c) f

b) g f ;

f ( x) = 4 x

d ) g g ( x) = 2 − 2 − x

c) f

f;

d) g g.


Định nghĩa (hàm 1 – 1)
Hàm y = f(x) được gọi là hàm 1 – 1, nếu x1  x2  D f
thì f ( x1)  f ( x2 ).

Hàm y = f(x) là hàm 1 – 1 khi và chỉ khi không tồn tại
đường thẳng nằm ngang cắt đồ thị nhiều hơn một điểm.


Ví dụ.


Hàm 1 – 1

Khơng là hàm 1 – 1


Định nghĩa (hàm ngược)
Cho y = f(x) là hàm 1 – 1 với miền xác định D và miền
giá trị E. Hàm ngược của y = f(x) là hàm từ E vào D,

ký hiệu x = f

−1

( y ), xác định bởi x = f

−1

( y )  y = f ( x).


Chú ý:
−1
a
=
f
(b)  b = f (a) , nên (a,b) thuộc đồ thị y = f(x)
Vì

khi và chỉ khi (b,a) thuộc đồ thị của f −1.



Đồ thị y = f(x) và đồ thị của f

−1

đối xứng nhau qua

qua đường thẳng y = x.
Ví dụ. Vẽ đồ thị của y = − x − 1 và đồ thị hàm ngược.


Tìm hàm ngược của: 𝑦 = 𝑓 𝑥 =

1
𝑥 2 +1

TH 𝑥 ≥ 0: f có TXD: [0,+∞) va TGT: (0,1]
𝑦=

1
𝑥 2 +1

2

⇒𝑥 +1=

Hàm ngược: 𝑓

−1


1
𝑦

2

1
𝑦

⇒𝑥 = −1⇒𝑥 =

𝑥 =

1
𝑥

− 1,

có TXD: (0,1] va TGT: [0,+∞)
TH 𝑥 < 0: f có TXD: (−∞, 0) va TGT: (0,1]
Hàm ngược: 𝑓

−1

𝑥 =−

1
𝑥

− 1,


có TXD: (0,1] va TGT: (−∞, 0)

1
𝑦

−1


Định nghĩa (hàm lượng giác ngược)
Xét hàm lượng giác y = sin x

 -  
Trên đoạn  ,  , y = sin x là hàm 1 – 1.
 2 2
Tồn tại hàm ngược, ký hiệu y = arcsin x


Định nghĩa (hàm lượng giác ngược)
Xét hàm lượng giác y = cos x

Trên đoạn

0, 

, y = cos x là hàm 1 – 1.

Tồn tại hàm ngược, ký hiệu y = arccos x


Hàm arcsin x

Miền xác định: [-1,1]

Miền giá trị:

 -  
,
 2 2 

Hàm luôn luôn tăng.
Hàm arccos x
Miền xác định: [-1,1]

Hàm luôn luôn giảm.

Miền giá trị:

0, 


Định nghĩa (hàm lượng giác ngược)
Xét hàm lượng giác y = tanx

  
Trên khoảng  − ,  , y = tan x là hàm 1 – 1.
 2 2
Tồn tại hàm ngược, ký hiệu y = arctanx


Định nghĩa (hàm lượng giác ngược)
Xét hàm lượng giác y = cot x


Trên khoảng

( 0, )

, y = cot x là hàm 1 – 1.

Tồn tại hàm ngược, ký hiệu y = arccot x


Hàm arctan x
Miền xác định: R

Miền giá trị:

 -  
 , 
 2 2

Hàm luôn luôn tăng.
Hàm arccotan x
Miền xác định: R

Hàm luôn luôn giảm.

Miền giá trị:

( 0, )



Định nghĩa (hàm Hyperbolic)
sin hyperbolic
cos hyperbolic
tan hyperbolic
cotan hyperbolic

e x − e− x
sinh( x) =
2
e x + e− x
cosh( x) =
2
sinh( x)
tanh( x) =
cosh( x)
cosh( x)
coth( x) =
sinh( x)


Hàm cho bởi phương trình tham số.
Cho hai hàm x = x(t), y = y(t) xác định trong một lân cận
V nào đó của điểm t0 .
Giả sử tồn tại hàm ngược của một trong hai hàm trên,
giả sử của x = x(t) là t = t(x).

Khi đó tồn tại hàm y = y(t(x)) và hàm này được gọi là hàm
cho bởi phương trình tham số: x = x(t) và y = y(t).



Ví dụ.

Hàm y = y(x) cho bởi phương trình tham số

 x = 2cos t
(1)

 y = 3sin t

x
 2 = cos t
(1)  
 y = sin t
 3

2

2

x
y

+
=1
4
9

Đây chính là phương trình của ellipse.



Ví dụ.

 x = R cos t

 y = R sin t

Phương trình tham số của đường
trịn tâm O bán kính R:
Phương trình tham số của đường
trịn tâm (a,b) bán kính R:

Phương trình tham số của ellipse

 x = a cos t

 y = b sin t

 x − a = R cos t

 y − b = R sin t

x

2

a2

+

y


2

b2

= 1 là


2. Giới hạn của hàm số
Định nghĩa.
Cho D là tập số thực. Điểm x0 được gọi là điểm tụ của
tập D nếu trong mọi khoảng ( x0 −  , x0 +  ) đều chứa vô
số các phần tử của tập D.
Ví dụ.

D = (0,1)

Điểm tụ của D là [0,1]

1

D =  ,n N 
D có duy nhất một điểm tụ là 0
n



n n +1
D = (−1)
, n  N  D có hai điểm tụ -1 và 1.

n+2




2. Giới hạn của hàm số
Định nghĩa. (ngôn ngữ  −  )
Cho a là điểm tụ của miền xác định.

lim f ( x) = L

x →a

   0

  0

x  D f , x − a   | f ( x) − L |  .
Chú ý:
Trong định nghĩa khơng địi hỏi là f(x) phải xác định tại a
Ví dụ.

lim

x→0

1 − cos x
x2

1

=
2

mặc dù hàm khơng
xác định tại x = 0.


2. Giới hạn của hàm số
Định nghĩa.

lim f ( x) = L

x→+

   0

A  0

x  D f , x  A | f ( x) − L |  .
Định nghĩa.

lim f ( x) = L

x→−

   0

B  0

x  D f , x  B | f ( x) − L |  .



lim f ( x) = L

x →+

thì f(x) trong
khoảng này

khi x trong khoảng
này


2. Giới hạn của hàm số
Định nghĩa.

lim f ( x) = +

x →a

 M  0

  0

x  D f ,| x − a |   f ( x)  M .
Định nghĩa.

lim f ( x) = −

x →a


 M  0

  0

x  D f ,| x − a |   f ( x)  M .