Χηυψν đề 1 : ΝΗℜΝ ĐA THỨC

∗ KIẾN THỨC CƠ BẢN
− Muốn νην một đơn thức với một đa thức, τα νην đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi
cộng χ〈χ τχη lại với νηαυ. Α Β  Χ  D   ΑΒ  ΑΧ  ΑD
− Muốn νην một đa thức với một đa thức, τα νην mỗi hạng tử của đa thức ν◊ψ với từng hạng
tử của đa thức κια rồi cộng χ〈χ τχη τm được với νηαυ.

Α  Β Χ  D  Ε   ΑΧ  ΑD  ΑΕ  ΒΧ  ΒD  ΒΕ
ΧℑΧ DẠNG ΤΟℑΝ ςℵ PHƯƠNG ΠΗℑΠ GIẢI
Dạng 1) Τνη γι〈 trị của biểu thức Α(ξ, ψ) tại ξ = ?, ψ = ?
Phương πη〈π :
− Τηαψ trực tiếp.
− Ρτ gọn rồi τηαψ γι〈 trị.
ς dụ : Χηο biểu thức Ε  ξ 6  6ξ 5  6ξ 4  6ξ 3  6ξ 2  6ξ  6
Ηψ τνη γι〈 trị của biểu thức với ξ = 5.
Giải . Χ〈χη 1 : Τηαψ ξ = 5 ϖ◊ο Ε τα được : Ε  56  6.55  6.54  6.53  6.52  6.5  6
 56  (5  1).55  (5  1).54  (5  1).53  (5  1).52  (5  1).5  6
 56  56  55  55  54  54  53  53  52  52  5  6

1

Χ〈χη 2 : Dο ξ = 5 νν 6 = ξ + 1
Ε  ξ 6  (ξ  1)ξ 5  (ξ  1)ξ 4  (ξ  1)ξ 3  (ξ  1)ξ 2  (ξ  1)ξ  ξ  1
 ξ6  ξ6  ξ5  ξ5  ξ 4  ξ 4  ξ3  ξ3  ξ 2  ξ 2  ξ  ξ  1

1

Dạng 2) Τνη γι〈 trị của biểu thức biết điều kiện đã χηο
Phương πη〈π :
− Biến đổi biểu thức để sử dụng điều kiện hoặc xuất hiện điều kiện.

− Biến đổi cả biểu thức ϖ◊ điều kiện.
ς dụ : Χηο biểu thức D 
Đặt α 

4 
2011 
1
2
6033
.

3

2015 
2013  2015 2013 2013.2015

1
2011
ϖ◊ β 
2015
2013

α) Ρτ gọn D τηεο α ϖ◊ β
Giải :

Nhận ξτ

β) Τνη γι〈 trị của

1

D

2
2011
6033
1 2011
;
 1
 3.
.
2013
2013 2013.2015
2015 2013

Dο đó : D  4α 3  β   α 1  β   3αβ  12α  4αβ  α  αβ  3αβ  13α
β)

1 2015

 155
D
13

Dạng 3) Chứng mινη γι〈 trị của biểu thức κηνγ phụ thuộc ϖ◊ο γι〈 trị của biến.
Phương πη〈π : ℑπ dụng χ〈χ θυψ tắc νην, χηια, cộng, trừ đa thức để biến đổi, kết quả của
biểu thức λ◊ hằng số.
∗ ΒℵΙ TẬP TỰ LUYỆN
Β◊ι tập 1 : Χηο Α  ξ 2  ξ  3 ; Β  2ξ 2  3ξ  5 ; Χ  4ξ 2  4ξ  15
α) Τνη D = ΑΒ – Χ
β) Τνη γι〈 trị của D biết ξ  2  1

1
ThuVienDeThi.com


Β◊ι tập 2. Χηο α + β + χ = − 6 ; αβ + βχ + χα = 11 ϖ◊ αβχ = − 6 .
Ηψ τνη γι〈 trị của biểu thức Ε  (ξ  α)(ξ  β)(ξ  χ) với ξ  2
Β◊ι tập 3. Τνη γι〈 trị của χ〈χ đa thức :
α) φ (ξ)  ξ 6  50ξ 5  50ξ 4  50ξ 3  50ξ 2  50ξ  50 tại ξ = 49
β) γ(ξ)  1969  80ξ  80ξ 2  80ξ 3  80ξ 4  ...  80ξ1968  ξ1969 tại ξ = 79
Β◊ι tập 4. Chứng mινη rằng γι〈 trị của χ〈χ đa thức σαυ κηνγ phụ thuộc ϖ◊ο ξ :
α) η(ξ)  (ξ  1)(ξ 2  ξ  1)  (ξ  1)(ξ 2  ξ  1)
β) κ(ξ)  2ξ(4ξ  1)  8ξ 2 (ξ  1)  (2ξ)3  2ξ  3
Β◊ι tập 5. Τνη Μ 

1  2
1 
2  1974 1946
3

 1 
.


1 

1975  1945  1945  1975  1975 1945 1975.1945

Χηυψν đề 2 : PHƯƠNG ΠΗℑΠ GIẢI ΧℑΧ DẠNG ΤΟℑΝ ĐA THỨC
Ι. Kiến thức cơ bản
Πηπ χηια đa thức:

−Χηο ηαι đa thức φ (ξ ), γ (ξ ) ∈ ϒ ξ , γ (ξ ) ≠ 0 . Κηι đó, tồn tại δυψ nhất một cặp đa thức
θ (ξ ), ρ (ξ ) σαο χηο φ (ξ ) = γ (ξ ).θ (ξ ) + ρ (ξ ), τρονγ đó:
0 ≤ bậc r (x ) < bậc g (x )

Nếu ρ (ξ ) = 0 , τα được φ (ξ ) = γ (ξ ).θ (ξ ) τη τα ν⌠ι φ (ξ ) χηια hết χηο γ (ξ ), tức λ◊:
φ (ξ )Μγ (ξ ) ⇔ ∃θ (ξ ) σαο χηο φ (ξ ) = γ (ξ ).θ (ξ ).

− Định λ Βεζουτ (Bơdu):
Dư của πηπ χηια đa thức φ (ξ ) χηο ξ − α λ◊ γι〈 trị φ (α ).
-Sơ đồ Ηορνερ (Ηοοχνε): Χηο đa thức φ (ξ ) = αν ξ ν + αν − 1ξ ν − 1 + ... + α1ξ + α0

(αν ≠ 0) χηια χηο ξ −

α dư λ◊ φ (α ), thương θ (ξ ) χ⌠ bậc ν−1 với θ (ξ ) = βν − 1ξ ν − 1 +

βν − 2ξ ν − 2 + ... + β1ξ + β0 . Τρονγ đó βι , ι = 0, ν − 1 được τνη bằng sơ đồ Ηοοχνε:

α

αν
αν=βν−1

αν−1
αβν−1+αν−1=βν−2

….
…..

α1
αβ1+α1=β0


α0
αβ0+α0=φ(α)

ΙΙ. Χ〈χ dạng β◊ι tập ϖ◊ phương πη〈π giải:
1. Ξ〈χ định đa thức:
1.1. Phương πη〈π:
−Dνγ định λ Βεζουτ.
−Dνγ phương πη〈π hệ số bất định: τα ξ〈χ định sự biểu diễn ηαι đa thức bằng νηαυ bằng
χ〈χη giải hệ phương τρνη sơ cấp.
1.2. ς dụ:
ς dụ 1: Τm đa thức φ (ξ ), biết rằng φ (ξ ) χηια χηο ξ − 1 ϖ◊ ξ − 3 đều χ⌠ dư λ◊ 2 ϖ◊
φ (ξ ) χηια χηο ξ 2 − 4ξ + 3 được thương λ◊ ξ + 1 ϖ◊ χ∫ν dư.

Giải:

Τα χ⌠: φ (ξ ) χηια ξ − 1 dư λ◊ 2 νν φ (ξ ) = (ξ − 1)γ (ξ ) + 2 . Συψ ρα: φ (1) = 2 . (1)
φ (ξ ) χηια ξ − 3 dư λ◊ 2 νν φ (ξ ) = (ξ − 3)γ (ξ ) + 2 . Συψ ρα: φ (3) = 2 . (3)
2
ThuVienDeThi.com


Mặt κη〈χ: φ (ξ ) χηια χηο ξ 2 − 4ξ + 3 được ξ + 1 ϖ◊ χ∫ν dư νν:
φ (ξ ) = (ξ 2 − 4ξ + 3)(ξ + 1) + αξ + β

Dο đó: φ (1) = α + β ϖ◊ φ (3) = 3α + β . (3)
Kết hợp (1), (2) ϖ◊ (3) τα được hệ phương τρνη:
 α + β = 2
 α = 0


⇔ 

 3α + β = 2
 β = 2


Vậy φ (ξ ) = ξ 2 − 4ξ + 3 (ξ + 1) + 2 .

(

)

ς dụ 2: Chứng mινη rằng đa thức φ (ξ ) = (ξ + 1)(ξ + 2)(ξ + 3)(ξ + 4) + 1 χ⌠ thể biểu
diễn dưới dạng βνη phương của một ταm thức bậc ηαι.
Giải:
Χ〈χη 1: (Dνγ phương πη〈π hệ số bất định).
2

Ξτ φ (ξ ) = (ξ + 1)(ξ + 2)(ξ + 3)(ξ + 4) + 1 = (ξ 2 + αξ + β)

(

)(

)

(

2


)

⇔ ξ 2 + 3ξ + 2 ξ 2 + 7ξ + 12 + 1 = ξ 2 + αξ + β

⇔ ξ 4 + 7ξ 3 + 12ξ 2 + 3ξ 3 + 21ξ 2 + 36ξ + 2ξ 2 + 14ξ + 24 + 1 = ξ 4 + αξ 2 + β2 + 2αξ 3 + 2βξ 2 + 2αβξ
⇔ ξ 4 + 10ξ 3 + 35ξ 2 + 50ξ + 24 = ξ 4 + α 2ξ 2 + β2 + 2αξ 3 + 2βξ 2 + 2αβξ
⇔ 10ξ 3 + 35ξ 2 + 50ξ + 24 + 1 = 2αξ 3 + α 2 + 2β ξ 2 + 2αβξ + β2

(

)

Đồng nhất χ〈χ hệ số, τα được:
 2α = 10

 α 2 + 2β = 35
 α = 5

⇔ 
 2αβ = 50
 β = 5

 2
 β = 25
2

Vậy φ (ξ ) = (ξ 2 + 5ξ + 5) (χ⌠ dạng βνη phương của ταm thức).
Χ〈χη 2: (biến đổi biểu thức).
Τα χ⌠: φ (ξ ) = (ξ + 1)(ξ + 2)(ξ + 3)(ξ + 4) + 1
(ξ + 2)(ξ + 3)+ 1

= 
(ξ + 1)(ξ + 4)




2
2
= ξ + 5ξ + 4 ξ + 5ξ + 6 + 1

(
= (ξ
= (ξ

)(

)

)(

)

2

2

+ 5ξ + 5 − 1 ξ + 5ξ + 5 + 1 + 1

2


+ 5ξ + 5 − 1 + 1 = ξ 2 + 5ξ + 5

2

)

(

2

)

2

Vậy φ (ξ ) = (ξ 2 + 5ξ + 5) (χ⌠ dạng βνη phương của ταm thức).
ς dụ 3: α) Τm điều kiện để đa thức φ (ξ ) = αξ 3 + βξ 2 + χξ + δ λ◊ lập phương của một nhị
thức bậc nhất.
β) Τm một đa thức bậc bốn φ (ξ ) σαο χηο φ (ξ )− φ (ξ − 1) = ξ 3 .
Giải:

χ) Từ đó συψ ρα χνγ thức lập phương của ν số νγυψν tố đầu τιν.

α) Giả sử:

3

φ (ξ ) = (Αξ + Β )

⇔ αξ 3 + βξ 2 + χξ + δ = Α 3ξ 3 + 3Α 2Βξ 2 + 3ΑΒ 2ξ + Β 3
3

ThuVienDeThi.com


Συψ ρα: α = Α 3; β = 3Α 2Β ; χ = 3ΑΒ 2; δ = Β 3
Dο đó: Α = 3 α ; Β = 3 δ . Τηαψ ϖ◊ο đẳng thức χ∫ν lại τα được:
β = 33 α2 . 3 δ ; χ = 33 α . 3 δ 2
β3 = 27α 2δ; χ 3 = 27αδ 2

Ηαψ

Vậy điều kiện để đa thức φ (ξ ) λ◊ lập phương của một nhị thức bậc nhất λ◊ β3 = 27α 2δ; χ3 = 27αδ 2
.
β) Giả sử đa thức bậc bốn χ⌠ dạng:

φ (ξ ) = αξ 4 + βξ 3 + χξ 2 + δξ + ε

4

3

2

Συψ ρα: φ (ξ − 1) = α (ξ − 1) + β (ξ − 1) + χ (ξ − 1) + δ (ξ − 1) + ε
= αξ 4 + (− 4α + β)ξ 3 + (6α − 3β + χ)ξ 2 + (− 4α + 3β − 2χ + δ )ξ + α − β + χ − δ + ε

Dο đó: φ (ξ )− φ (ξ − 1) = 4αξ 3 − (6α − 3β)ξ 2 − (− 4α + 3β − 2χ)ξ − (α − β + χ − δ )
Ξτ: φ (ξ )− φ (ξ − 1) = ξ 3
⇔ 4αξ 3 − (6α − 3β)ξ 2 + (4α − 3β + 2χ)ξ − (α − β + χ − δ ) = ξ 3

 α = 1

 4α = 1

4


1
 − (6α − 3β) = 0

β=
⇔ 
Συψ ρα: 
2
 4α − 3β + 2χ = 0


χ = 1
 − (α − β + χ − δ ) = 0 
4
 δ = 0

1
1
1
Vậy đa thức cần τm φ (ξ ) = ξ 4 + ξ 3 + ξ 2 + ε; ε ∈ ϒ .
4
2
4
3
χ) Τα χ⌠:
φ (1)− φ (0) = 1


φ (2)− φ (1) = 23

............................
φ (ν )− φ (ν − 1) = ν 3

Cộng vế τηεο vế χ〈χ đẳng thức τρν τα được:
φ (ν )− φ (0) = 13 + 23 + ... + ν 3

1 4 1 3 1 2
ν + ν + ν + ε; φ (0) = ε
4
2
4
1
1
1
Συψ ρα: 13 + 23 + ... + ν 3 = ν 4 + ν 3 + ν 2 .
4
2
4
3
ς dụ 4: α) Τm đa thức φ (ξ ) = ξ + πξ + θ σαο χηο κηι χηια χηο (ξ − 1) ϖ◊ (ξ + 1) τη lần lượt

ς φ (ν ) =

χ⌠ dư λ◊ 2 ϖ◊ 1.
β) Τm đa thức bậc βα σαο χηο κηι χηια χηο (ξ − 1), (ξ + 1) ϖ◊ ξ − 2 , τα đều được dư
λ◊ 7, biết rằng φ (ξ ) χηια hết χηο 2ξ − 1.
Giải:

α) ς φ (ξ ) = ξ 3 + πξ + θ χηια χηο ξ − 1 dư 2 νν τα χ⌠:
φ (1) = 1 + π + θ = 2

(1).
4
ThuVienDeThi.com


Tương tự: φ (ξ ) = ξ 3 + πξ + θ χηια χηο ξ − 1 dư 1 νν τα χ⌠:
φ (− 1) = − 1 − π + θ = 1

(2)


 π = − 1
 π + θ = 1
2.
Từ (1) ϖ◊ (2) συψ ρα: 
⇔ 
 − π + θ = 2

3

 θ =
2

1
3
Vậy φ (ξ ) = ξ 3 − ξ + .
2

2

β) Χ〈χη 1: Giả sử đa thức bậc βα χ⌠ dạng φ (ξ ) = αξ 3 + βξ 2 + χξ + δ .
Τα χ⌠: φ (1) = 7 ⇒ α + β + χ + δ = 7
φ (− 1) = 7 ⇒ − α + β − χ + δ = 7

φ (2) = 7 ⇒ 8α + 4β + 2χ + δ = 7
1
1
1
1

φ  
= 0 ⇒ α + β + χ + δ = 0 ⇔ α + 2β + 4χ + 8δ = 0

2

8

4

2

Κηι đó τα χ⌠ hệ phương τρνη:

 α = − 56

9
 α + β + χ + δ = 7


112

 β = 9
 − α + β − χ + δ = 7
⇔


 8α + 4β + 2χ + δ = 7

56

 χ =
9
 α + 2β + 4χ + 8δ = 0

49
 δ = −

9
56 3 112 2 56
49
Vậy φ (ξ ) = −
ξ +
ξ +
ξ−
.
9
9
9
9


Χ〈χη 2:
ς đa thức bậc βα κηι χηια χηο (ξ − 1), (ξ + 1) ϖ◊ ξ − 2 , τα đều được dư λ◊ 7 νν τα χ⌠:
φ (ξ ) = α (ξ − 1)(ξ + 1)(ξ − 2) + 7 .
1

Mặt κη〈χ: φ  
= 0 . Συψ ρα:

1
1
 −

φ  
=
α

2

2


1
 +

1

2



1

 − 2


+ 7= 0
1


2





2
1 3 − 3
9
56

α+ 7= 0 ⇔ α= − 7 ⇔ α= −
.
⇔ − . .  


2 2  2 
8
9

Dο đó: φ (ξ ) = −


56
56 3 112 2 56
49
ξ − 1)(ξ + 1)(ξ − 2) + 7 = −
ξ +
ξ +
ξ−
(
9
9
9
9
9

2) Τm dư τρονγ πηπ χηια:
3.1.Phương πη〈π:
− Dνγ định λ πηπ χηια χ⌠ dư.
− Dνγ định λ Bơdu.
− Πην τχη đa thức.
3.2.ς dụ:
ς dụ 1. Ξ〈χ định đa thức dư của πηπ χηια đa thức:
Π (ξ )  ξ  ξ 3  ξ 9  ξ 27  ξ 81
Χηο đa thức Θ(ξ )  ξ 2  1

(23 χηυψν đề giải 1001 β◊ι το〈ν sơ cấp)
5
ThuVienDeThi.com



Giải:
Τα χ⌠
Π (ξ )  ξ  ξ 3  ξ 9  ξ 27  ξ 81
 (ξ 3  ξ )  (ξ 9  ξ )  (ξ 27  ξ )  (ξ 81  ξ )  5ξ
 ξ(ξ 2  1)  ξ(ξ 8  1)  ξ(ξ 26  1)  ξ(ξ 80  1)  5ξ

Vậy đa thức dư λ◊ Ρ(ξ )  5ξ
ς dụ 2. Χηο φ(ξ) λ◊ đa thức bậc 3; γ(ξ) χ⌠ dạng ξ 2  αξ  β . φ(ξ) ϖ◊ γ(ξ) χηια χηο ξ  1
đều dư 1, χηια χηο ξ  2 dư 2. φ(ξ) χηια χηο (ξ  1)(ξ  2) được thương λ◊ ξ  1 ϖ◊ χ∫ν dư.
α) Τm dư τρονγ πηπ χηια φ(ξ) χηο γ(ξ).
β) Τm φ(ξ).
Giải:
α) Τα χ⌠ φ (ξ )  γ(ξ )(ξ  1)  χξ  δ
(1)
Τηεο định λ Bơ δυ τα χ⌠:
 φ (1)  γ(1)  1

 φ (2)  γ(2)  2

(2)

Từ (1) ϖ◊ (2) συψ ρα
1  2  χ  δ

2  6  2χ  δ
χ  3

δ  2

Vậy dư của πηπ χηια φ(ξ) χηο γ(ξ) λ◊ Ρ(ξ )  3ξ  2

β)Τα χ⌠
γ(1)  1

γ(2)  2
1  α  β  1

4  2α  β  2
α  β  0

2α  β  2
α  2

β  2
 γ(ξ )  ξ 2  2ξ  2

Συψ ρα

φ (ξ )  γ(ξ )(ξ  1)  Ρ(ξ )
 (ξ 2  2ξ  2)(ξ  1)  3ξ  2
 ξ 3  ξ 2  3ξ  4

3) Τm điều kiện để φ(ξ) χηια hết χηο γ(ξ)
4.1.Phương πη〈π:
− Χηια trực tiếp φ(ξ) χηο γ(ξ) rồi χηο đa thức dư ρ(ξ) = 0
− Dνγ phương πη〈π hệ số bất định.
4.2.ς dụ:
6
ThuVienDeThi.com