CHUYÊN ĐỀ: PHÉP NHÂN ĐƠN THỨC – ĐA THỨC
A. Tóm tắt lí thuyết
1. Quy tắc nhân đơn thức với đa thức
Muốn nhân 1 đơn thức với một đa thức ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức
rồi cộng các tích với nhau.

A( B + C ) = AB + AC
2. Quy tắc nhân đa thức với đa thức
Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhẫn mỗi hạng tử của đa thức này với từng
hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.

( A + B ) ( C + D ) = AC + AD + BC + BD
B. Bài tập
Dạng 1. Thực hiện phép tính
Bài 1. Thực hiện phép nhân:

1.

2.

3.

( −2 x) ( x3 − 3 x 2 − x + 1) = −2 x 4 + 3 x3 + 2 x 2 − 2 x

2
1  1 
1

3
4
2

 −10 x + y − z ÷ − xy ÷ = 5 x − 2 xy + xyz
5
3  2 
5

3 x 2 ( 2 x 3 − x + 5 ) = 6 x 5 − 3 x 3 + 15 x 2

( 4 xy + 3 y − 5 x ) x 2 y = 4 x3 y 2 + 3x 2 y 2 − 5 x 3 y
4.

( 3x
5.

2

 4 
y − 6 xy + 9 x )  − xy ÷ = −4 x 3 y 2 + 8 x 2 y 2 − 12 x 2 y
 3 


6.

7.

8.

9.

1
− xz ( −9 xy + 15 yz ) + 3 x 2 ( 2 yz 2 − yz ) = −5 xyz 2 + 6 x 2 yz 2

3

(x

3

( 2x

+ 5 x 2 − 2 x + 1) ( x − 7 ) = x 4 − 2 x 3 − 37 x 2 + 15 x − 7
2

− 3 xy + y 2 ) ( x + y ) = 2 x 3 − x 2 y − 2 xy 2 + y 3

( x − 2 ) ( x 2 − 5 x + 1) − x ( x 2 + 11) = −7 x 2 − 2

10.

( x 2 − 2 xy + 2 y 2 ) ( x + 2 y ) − ( x 2 + 4 y 2 ) ( x − y )  2 xy = −12 x 2 y 3 + 2 x 3 y 2 + 16 xy 4



Bài 2. Thực hiện phép tính:

a.

−3ab ( a 2 − 3b )

b.

2


− 2 xy + y 2 ) ( x − 2 y )

12a 2b ( a − b ) ( a + b )

( x + y + z) ( x − y + z)
c.

e.

(x

d.

( 2x

2

− 3x + 5) ( x2 − 8 x + 2 )

Dạng 2. Tìm x
Bài 1. Tìm x, biết:
5 x ( 12 x + 7 ) − 3 x ( 20 x − 5 ) = −100

a.

0, 6 x ( x − 0,5 ) − 0,3x ( 2 x + 1,3 ) = 0,138

b.
6 x ( 5 x + 3) + 3 x ( 1 − 10 x ) = 7


c.

( 3x − 3) ( 5 − 21x ) + ( 7 x + 4 ) ( 9 x − 5) = 44
d.

( x + 1) ( x + 2 ) ( x + 5 ) − x ( x + 8) = 27
2

e.

f.

1 2 1
 1
x −  x − 4 ÷. x = −14
4
2
 2


3 ( 1 − 4 x ) ( x − 1) + 4 ( 3x − 2 ) ( x + 3 ) = −27

g.

h.

( x + 3) ( x 2 − 3x + 9 ) − x ( x − 1) ( x + 1) = 27

Dạng 3. Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức

Bài 1. Tính giá trị biểu thức:
A = x ( x − y) + y ( x + y)

a.

b.

tại

1
x=− ,y=3
2

B = 5 x ( 4 x 2 − 2 x + 1) − 2 x ( 10 x 2 − 5 x − 2 )

x=

C = 5x ( x − 4 y ) − 4 y ( y − 5x )

c.

d.

e.

với
D = 6 xy ( xy − y 2 ) − 8 x 2 ( x − y 2 )

với


với

x = 15

−1
1
;y=−
5
2
1
x= ;y=2
2

1

E = ( y 2 + 2 ) ( y − 4 ) − ( 2 y 2 + 1)  y − 2 ÷
2


y=−
với

2
3

Dạng 4. Bài toán chứng minh
Bài 1. Chứng tỏ các đa thức sau không phụ thuộc vào biến:

a.


x ( 2 x + 1) − x 2 ( x + 2 ) + ( x 3 − x + 3)
4 ( x − 6 ) − x 2 ( 2 + 3 x ) + x ( 5 x − 4 ) + 3 x 2 ( x − 1)

b.

( 3x − 5) ( 2 x + 11) − ( 2 x + 3) ( 3x + 7 )
c.

( x − 5 ) ( 2 x + 3) − 2 x ( x − 3) + x + 7
d.
Bài 2. Chứng minh các đẳng thức sau:


a ( b − c ) − b ( a + c ) + c ( a − b ) = −2bc

a.

b.

a ( 1 − b ) + a ( a 2 − 1) = a ( a 2 − b )
a ( b − x) + x ( a + b) = b ( a + x)

c.

d.

( a + b + c ) ( a 2 + b 2 + c 2 − ab − bc − ca ) = a3 + b3 + c3 − 3abc
( 3a + 2b − 1) ( a + 5) − 2b ( a − 2 ) = ( 3a + 5 ) ( a + 3) + 2 ( 7b − 10 )

e.

Dạng 5. Bài toán liên quan với nội dung số học
Bài 1. Tìm 3 số chẵn liên tiếp , biết rằng tích của hai số đầu ít hơn tích của hai số cuối 192 đơn
vị.
Bài 2. Tìm 4 số tự nhiên liên tiếp, biết rằng tích của hai số đầu ít hơn tích của hai số cuối 146
đơn vị.
C. Bài tập nâng cao
f ( x ) = 3x 2 − x + 1

Bài 1. Cho các đa thức:

g ( x) = x −1

và

f ( x ) .g ( x )

a. Tính

f ( x ) .g ( x ) + x 2 1 − 3.g ( x )  =
b. Tìm x để
M=

Bài 2. Cho biểu thức:

5
2

3 
1  1 432
4

. 2 +
.
−
÷−
229 
433  229 433 229.433

Tính giá trị của M.
Bài 3. Tính giá trị của biểu thức:


N = 3.

1 1
4 118
5
8
.
−
.5
−
+
117 119 117 119 117.119 39

Bài 4. Tính giá trị của các biểu thức:
a.
b.

A = x5 − 5x 4 + 5x3 − 5 x 2 + 5 x − 1


tại

x=4

B = x 2006 − 8.x 2005 + 8.x 2004 − ... + 8 x 2 − 8 x − 5

Bài 5. a. CMR với mọi số nguyên n thì:

(n

2

tại

x=7

+ 3n − 1) ( n + 2 ) − n3 + 2

chia hết cho 5

( 6n + 1) ( n + 5 ) − ( 3n + 1) ( 2n − 5 )
b. CMR với mọi số nguyên n thì:

( −2 + x ) ( −2 + x ) ( −2 + x ) ( −2 + x ) = 1
2

Bài 6. Nếu

chia hết cho 2.


2

2

2

thì x bằng bao nhiêu?

Bài 7. Chứng minh rằng:
a.
b.

817 − 279 − 913
122 n +1 + 11n+ 2

chia hết cho 405

chia hết cho 133

Bài 8. Tính giá trị của biểu thức:

M = x10 − 25 x 9 + 25 x8 − 25 x 7 + ... − 25 x3 + 25 x 2 − 25 x + 25

x = 24

2bc + b 2 + c 2 − a 2 = 4 p ( p − a )

a +b+c = 2p
Bài 9. Cho


với

. CMR

xy − 2
Bài 10. Cho x là số gồm 22 chữ số 1, y là số gồm 35 chữ số 1. CMR:
Bài 11. Cho các biểu thức:

A = 5x + 2 y

B = 9x + 7 y
;

chia hết cho 3.


a. Rút gọn biểu thức:

7 A − 2B
5x + 2 y

b. CMR: Nếu các số nguyên x, y thoả mãn
17

9x + 7 y
chia hết cho 17 thì

Bài 12. Tính giá trị các biểu thức sau:
a.
b.


A = x3 − 30 x 2 − 31x + 1

x = 31

, tại

B = x 5 − 15 x 4 + 16 x 3 − 29 x 2 + 13x

tại

x = 14

D. Bài tập tổng hợp
Bài 1. Làm tính nhân:

a.

c.

e.

3 x ( 5 x 2 − 2 x − 1)

b.

1 2  3 2 2 
x y  2 x − xy − 1÷
2
5




d.

1 2 2 3
4 
xy  x − xy + y 2 ÷
2 3
4
5 

(x

2

− 2 xy + 3) ( − xy )

2
x ( 1, 4 x − 3,5 y )
7

( 1 + 2 x − x ) .5 x
2

f.

Bài 2. Đơn giản biểu thức rồi tính giá trị của chúng:

a=


3 ( 2a − 1) + 5 ( 3 − a )

a.

với

−3
2

25 x − 4 ( 3x − 1) + 7 ( 5 − 2 x )

x = 2,1

b.

với
4a − 2 ( 10a − 1) + 8a − 2

c.

a = −0, 2
với

b=

12 ( 2 − 3b ) + 35b − 9 ( b + 1)

d.


với

1
2

cũng chia hết cho


Bài 3. Thực hiện phép tính sau:

a.

b.

c.

d.

3 y 2 ( 2 y − 1) + y − y ( 1 − y + y 2 ) − y 2 + y
2 x 2 .a − a ( 1 + 2 x 2 ) − a − x ( x + a )
2 p. p 2 − ( p 3 − 1) + ( p + 3) .2 p 2 − 3 p 5
− a 2 ( 3a − 5 ) + 4a ( a 2 − a )

Bài 4. Chứng minh rằng giá trị các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x:

a.

b.

x ( 2 x + 1) − x 2 ( x + 2 ) + ( x 3 − x + 3)

x ( 3 x 2 − x + 5 ) − ( 2 x 3 + 3x − 16 ) − x ( x 2 − x + 2 )

Bài 5. Chứng minh rằng các biểu thức sau đây bằng 0:
x ( y − z) + y ( z − x) + z ( x − y)

a.

x ( y + z − yz ) − y ( z + x − zx ) + z ( y − x )

b.

Bài 6. Thực hiện phép tính:

a.

c.

( 5 x − 2 y ) ( x 2 − xy + 1)
1 2 2
x y ( 2x + y ) ( 2x − y )
2

( x − 1) ( x + 1) ( x + 2 )
b.

d.

( x − 7 ) ( x − 5)
e.
Bài 7. Chứng minh:


f.

1

 x − 1÷( 2 x − 3)
2

1 
1

 x − ÷ x + ÷( 4 x − 1)
2 
2



a.

( x − 1) ( x 2 − x + 1) = x 3 − 1

b.

(x

3

+ x 2 y + xy 2 + y 3 ) ( x − y ) = x 3 − y 3

Bài 8. Thực hiện phép nhân:


a.

b.

( x + 1) ( 1 + x − x 2 + x3 − x 4 ) − ( x − 1) ( 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 )

( 2b

2

− 2 − 5b + 6b3 ) ( 3 + 3b 2 − b )

Bài 9. Viết các biểu thức sau dưới dạng đa thức:

( 2a − b ) ( b + 4a ) + 2a ( b − 3a )
a.

( 3a − 2b ) ( 2a − 3b ) − 6a ( a − b )
b.
5b ( 2 x − b ) − ( 8b − x ) ( 2 x − b )

c.
2 x ( a + 15 x ) + ( x − 6a ) ( 5a + 2 x )

d.
Bài 10. Chứng minh rằng giá trị các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến y:

( y − 5) ( y + 8) − ( y + 4 ) ( y − 1)
a.


b.

y 4 − ( y 2 − 1) ( y 2 + 1)

Bài 11. Tìm x, biết

( 2 x + 3) ( x − 4 ) + ( x − 5 ) ( x − 2 ) = ( 3x − 5 ) ( x − 4 )
a.

( 8 x − 3) ( 3x + 2 ) − ( 4 x + 7 ) ( x + 4 ) = ( 2 x + 1) ( 5x − 1)
b.
2 x 2 + 3 ( x − 1) ( x + 1) = 5 x ( x + 1)

c.

d.

( 8 − 5 x ) ( x + 2 ) + 4 ( x − 2 ) ( x + 1) + ( x − 2 ) ( x + 2 ) 


4 ( x − 1) ( x + 5 ) − ( x + 2 ) ( x + 5 ) = 3 ( x − 1) ( x + 2 )

e.