- Trang chủ >>
- Khoa Học Tự Nhiên >>
- Vật lý
Lý thuyết Nhóm trong Vật lý
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (101.49 KB, 3 trang )
Bài thi Giữa kỳ Lý thuyết Nhóm
Mã học phần: PHY10503
Họ và tên: Phạm Thế Hiếu
MSSV: 19130159
Ngày 15 tháng 11 năm 2021
Cho ma trận
0
R = 0
1
−1
0
0
0
0
0
(1)
1
Chứng minh bằng quy nạp
R2j
1
= (−1)j 0
0
0
0
0
0
0
1
(j = 1, 2, ...)
(2)
Với j = 1 ta có:
0
R2 = RR = 0
1
0
0
0
0
−1
0 0
1
0
0
0
0
1
R2 = (−1)1 0
0
−1
−1
0 = 0
0
0
0
0
0
0 0
0 0
0 −1
0
0
1
(3)
Như vậy ta thấy, với j = 1, thỏa mãn (2)
Giả sử (2) là đúng với j thì nó cũng đúng với j + 1, ta xét:
R2(j+1) = R2j+2 = R2j R2 =
1 0 0
1
= (−1)j 0 0 0 (−1)1 0
0 0 1
0
1 0 0
= (−1)j+1 0 0 0
0 0 1
0
0
0
Như vậy (2) cũng đúng với j + 1, do đó (2) đúng với mọi j
1
0
0
1
(4)
2
Suy ra R2j+1 = (−1)j R (j
Ta có:
1
R2j+1 = R2j R = (−1)j 0
0
= 1, 2, ...)
0
0
0
0
0
0 0
1
1
0
0
0
−1
0
0 = (−1)j 0
0
1
→ R2j+1 = (−1)j R
0
0
0
−1
0
0
(5)
3
Tính ma trận: exp(θR) (θ là tham số thực)
Khai triển Taylor hàm Exponential, ta được:
∞
exp(θR) =
j=0
(θR)j
=
j!
∞
∞
(θR)2j
(θR)2j+1
+
(2j)!
(2j + 1)!
j=0
j=0
(6)
Xét tổng thứ nhất:
(θR)2j
∞
j=0
2j
0 0
0 0
0 1
1 0
(−1)j 2j
0 0
θ
(2j)!
0 0
1
= θ2j (−1)j 0
0
(θR)
=
(2j)!
∞
j=0
(7)
0
0
1
(8)
∞
Mà cos x =
∞
→
j=0
1
(θR)2j
= cos θ 0
(2j)!
0
(−1)j 2j
x
(2j)!
j=0
0 0
cos θ
0 0 = 0
0 1
0
0
0
0
0
0 cos θ
(9)
Xét tổng thứ hai:
(θR)2j+1 = θ2j+1 (−1)j R
∞
j=0
(θR)2j+1
=
(2j + 1)!
∞
j=0
∞
(−1)j 2j+1
θ
R
(2j + 1)!
(−1)j 2j+1
x
(2j + 1)!
j=1
0
0 − sin θ
2j+1
(θR)
0
0
= sin θR = 0
(2j + 1)!
sin θ 0
0
(10)
(11)
Mà sin x =
∞
j=0
2
(12)
∞
∞
(θR)2j
(θR)2j+1
+
(2j)!
(2j + 1)!
j=0
j=0
cos θ 0
0
0
0
0 + 0
= 0
0
0 cos θ
sin θ
cos θ 0 − sin θ
0
0
= 0
sin θ 0 cos θ
exp(θR) =
3
0 − sin θ
0
0
0
0
(13)
