CHủ Đề :

Hệ PHƯƠNG TRìNH HAI ẩN

i - Mục tiêu CA CH :

- Học sinh có kĩ năng giải hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn bằng các phơng pháp: thế, cộng đại
số.
- Giải các hệ phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối hoặc giải và biện luận hệ phơng trình.
- áp dụng giải hệ phơng trình để giải phơng trình hoặc tìm iu kin ca tham s tha mãn
yêu cầu cho trước
- Học sinh biết một vài kĩ năng để giải một số loại hệ phương trình bậc cao hai ẩn, giải hệ
phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối, có chứa căn thức.

II/ CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn:
- Định nghĩa: Cho hai phương trình bậc nhất hai ẩn: ax + by = c và a’x + b’y = c’. Khi đó ta có
 ax+by=c(1)
(I )

a
'
x

b
'
y

c
'(2)


hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn:
- Nếu hai phương trình ấy có nghiệm chung (x0;y0) thì được gọi là nghiệm của hệ (I)
- Nếu hai phương trình ấy khơng có nghiệm chung thì ta nói hệ vơ nghiệm
2. Quan hệ giữa số nghiệm của hệ và đường thẳng biểu diễn tập nghiệm:
- Phương trình (1) được biểu diễn bởi đường thẳng (d)
- Phương trình (2) được biểu diễn bởi đường thẳng (d’)
a b

a
'
b '  hệ có nghiệm duy nhất

* Nếu (d) cắt (d)
a b c
 
a
'
b ' c '  hệ vô nghiệm

* Nếu (d) // (d’)
a b c
 
a
'
b ' c '  hệ có vơ số nghiệm.

* Nếu (d) trùng (d’)
3. Hệ phương trình tương đương:
Hai hệ phương trình được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm.
4. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng, phương pháp thế

a/ Quy tắc thế ( Sgk Toán 9-T2-Tr 13)
b/ Quy tắc cơng đại số ( Sgk Tốn 9-T2-Tr 16)
c/ Phương pháp dùng định thức: (Để nhớ định thức ta nhớ câu: Anh Bạn Cầm Bát Ăn Cơm)
Từ hệ phương trình (I) ta có:

D

a

b

a' b'

ab ' a ' b;

Dx 

c

b

c' b'

cb ' c ' b

Dy 

a

a' c'


Dy
Dx
và y =
D
D
- Nếu D 0 , thì hệ phương trình có một nghiệm duy nhất:
- Nếu D = 0 và Dx 0 hoặc Dy 0 , thì hệ phương trình vơ nghiệm
- Nếu D = Dx = Dy = 0, thì hệ phương trình có vơ số nghiệm
x

III/ CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

c

ac ' a ' c




Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

1.

Giải và biện luận.

mx  2 y 2m

Bài toán 1 : Giải và biện luận hệ :  x  y 3


(1)
(2)

Giải
Các bạn có thể chọn một trong ba phương pháp:
* Cách 1: Phương pháp thế
Ta có: Từ (2)  y = 3 - x. Thế vào (1) ta được:
Pt (1)  mx + 2(3 - x) = 2m (m - 2)x = 2m - 6 (3).
+ Nếu m - 2 = 0  m = 2 thì (3) trở thành 0 = - 2, vơ nghiệm (khơng được nói là phương
trình... vơ lí !).

2m  6
+ Nếu m - 2  0  m  2 thì (3)  x = m  2
Thay vào (2) ta được:

m
2m  6
(2)  : y = 3 - m  2 = m  2
m
2m  6
Hệ có nghiệm duy nhất : (x;y) = ( m  2 ; m  2 ).

* Cách 2: Phương pháp định thức:
Từ hệ phương trình ta có:
m 2
D
m.1  1.2 m  2
1 1
Dx 
Dy 


- Nếu D  0

m–2

0

2m 2
2m.1  3.2 2m  6
3 1
m 2m
1

3

m.3  1.2m 3m  2m m

 m 2

Suy ra hệ phương trình có một nghiệm duy nhất:

x

D
Dx 2m  6
m

;y y 
D
m 2

D m 2

- Nếu D = 0  m – 2 = 0  m=2
 Dx 2.2  6  4 0( Dy 2 0)
 hệ phương trình vô nghiệm  - LK:….

2. Nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước.
Những yêu cầu về nghiệm thường gặp :
- Nghiệm của hệ thỏa mãn những bất đẳng thức.
- Nghiệm của hệ thỏa mãn một hệ thức.
- Nghiệm của hệ là những số nguyên.


3x  2 y m (1)

:  x  my 3 (2)

Bài tốn 2 : Tìm m để hệ
có nghiệm thỏa mãn x > 0 và y > 0.

Giải
Nhân hai vế của (2) với -3, ta có:
(2)  -3x - 3my = -9 (3)
Cộng từng vế của (1) và (3) dẫn đến : - 2y - 3my = m - 9
 (2 + 3m)y = 9 - m (4)
2
+ Nếu 2 + 3m = 0  m = 3 thì (4) trở thành 0 = 29/3 vô nghiệm.
2
9 m
+ Nếu 2 + 3m  0 ; m  3 thì : (4)  y = 2  3m

m2  6
9 m
Thế vào (1) ta có : 3x – 2. 2  3m = m  x = 2  3m

Khi đó x > 0 và y > 0

2
2
  m9
3
Kết hợp với điều kiện có nghiệm là m  3
Tóm lại : Hệ có nghiệm thỏa mãn x > 0 và y > 0 khi và chỉ khi -2/3 < m < 9
 x   m  1 y 1 (1)

(2)
4 x  y  2

Bài toán 3 : Cho hệ :
a) Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm x, y ngun.
b) Tìm m sao cho nghiệm của hệ thỏa mãn x2 + y2 = 0,25.
Giải
a) Từ (2) m   y = 4x + 2 nên thế vào (1) ta có :
x + (m + 1) (4x + 2) = 1
 (4m + 5)x = -2m - 1 (3)
+ Nếu 4m + 5 = 0  m = - 5/4 thì (3) vơ nghiệm.
+ Nếu 4m + 5  0  m - 5/4 thì (3)

 x

 2m  1

4m  5

 2m  1
6
Thế vào (2) thì : y = - 4. 4m  5 + 2 = 4m  5

Trước hết ta thấy : Vì m nguyên nên 4m + 5 là số nguyên lẻ.
Do đó : y nguyên  4m + 5 là ước số lẻ của 6
 4m + 5  { -1;1;-3;3}  m  {-3/2;-1;-2;-1/2}


- Với m = - 1 thì x = 1 ; y = 6 thỏa mãn.
- Với m = - 2 thì x = - 1 ; y = - 2 thỏa mãn.
Tóm lại : Hệ có nghiệm x và y là số nguyên m = - 1 hoặc m = - 2.
b) Ta có x2 + y2 = 0,25 [ - (2m + 1)/(4m + 5)]2 + [ -6/(4m + 5)]2
= 1/4 4(2m + 1)2 + 4.36 = (4m + 5)2 khi và chỉ khi m = 123/24

LOẠI : Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ:
DẠNG 1:

1 1
 x  y 1

a/
 3  4 5
 x y

6 5
 x  y 3


b/
 9  10 1
 x y

1 1 1
 x  y 4

c/
10  1 1
 x y

1 1
 x  y 24

d /
 2 3
 x y

 1
x 2 

e/
 2 
 x  2

1
8

 x y  12 1


g/
 1 5
 x y  12

9
 4

 2 x  1 y  1 1

h/
 3  2 13
 2 x  1 y  1 6

4
5


 x  3 y 1

f /
 5  1  29
 x  3 y  1 20
1
 1

 x  1 y  2 2

i/
 2  3 1
 y  2 x  1


7 x 2  13 y  39
j/ 2
 5 x  11 y 33

 2 x 2  3 y 2 36
k/ 2
2
3 x  7 y 37

3x 2  y 2 5
l/ 2
2
 x  3 y 1

*/ DẠNG 2:

1
2
y 1
3
1
y 1


y
 2x
 x  1  y  1 2

a/

 x  3 y  1

 x 1 y 1
7
5
9



x y2 x y 1 2

c/
3
2


4

 x y 2 x y  1

5
 4

 2 x  3 y 3 x  y  2

b/
5
 3 
21


3
x

y
2
x

3
y

x
x

 y y  12 1

d /
 x  x 2

 y  12 y

6
 3

 2 x  y x  y  1

e/
 1  1 0

 2x  y x  y


5
5
 4


 x  y  1 2x  y  3 2

f /
1
7
 3



 x  y  1 2x  y  3 5

xy
5
 xy


 xy
xy 2

g/
 x  y  xy 10

x y 3
 xy


3y
 2x
 y  1  x  1 1

h/
 2 y  5 x 2

x 1 y 1

LOẠI : Hệ có chứa căn thức:
Lưu ý: - Trước khi giải hệ phải đặt điều kiện cho các căn thức có nghĩa
- Sau khi giải xong cần đối chiếu với điều kiện trên
Bài tập1:
Giải các hệ phương trình sau ( Đặt ẩn phụ
 3 x  y 5
 x  3  2 y  1 2
a/
c/
2 x  3 y 18 2 x  3  y  1 4

7

 x 7 

3
x

2
y


6


b/
d /
 x  y 4,5
 5



 x 7

 x  y  1 1

y  x  1 1
Bài 2: Giải hệ phương trình sau: 
HD


ĐK: x 0 và y 0
x  y  1 1, y  x  1 1,
Từ đk suy ra:
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = 0
Đ/s: x = y = 0

4
5

y 6 3
3

1
2
6
y 6


ĐỀ BÀI:
Câu 1 : Hãy khoanh tròn vào chữ cái đứng trước mỗi câu trả lời đúng:
1/ Phương trình nào sau đây là phương trình bậc nhất hai ẩn:
A. xy + x = 3
B. 2x – y = 0
C. x + y = xy

D. Cả 3 phương
trình trên

mx  2 y 1

2/ Giá trị nào của m và n thì hệ phương trình  x  ny  2 nhận cặp số (-2; - 1) là nghiệm?

A. m = 2 ; n = 0

B. m = -1/2 ; n = 1

C. m = 1/2 ; n = 0

3/ Công thức nghiệm tổng quát của phương trình x – 2y = 0 là:
A. (x  R; y = 2x)
B. (x  R; y = x/2)
C. (x = 2; y  R)


D. m = 1/2 ; n = 1
D. (x = 0; y  R)

4/ Hình vẽ sau đây biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trìnhy nào:
A. 2x – 0y = - 4
B. 0x + 3y = - 6
C. 0x – y = - 2
D. -3x + 0y = - 6
O

x

-1

3 x  2 y 12

5/ Hệ phương trình 2 x  5 y  11 có nghiệm là:

A. (x; y) = (-3; 2)

B. (x; y) = (3; -2)

-2

C. (x; y) = (2; - 3)

D. (x ; y) = (-2 ; 3)

a 2 x  y 1


6/ Giá trị nào của a thì hệ  x  y a có vô số nghiệm?

A. a = 1

B. a = - 1

C. a = 1 hoặc a = - 1

D. Một kết quả khác

7/ Hệ phương trình nào sau đây có một nghiệm?
 y 2 x  1

A.  y 2 x  3

 y  x  5

B.  y  x  5

0 x  2 y 1

C. 0 x  4 y 3

 2 x  0 y 3

D.  x  0 y  1

8/ Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng x – y = 1 và 2x + 3y = 7 là:
A. (-1 ; - 2)

B. (1; 0)
C. (-2 ; - 3)
D. (2 ; 1)
9/ Cặp số (1; - 2) là nghiệm của phương trình nào sau đây:
A. 3x – 2y = 7
B. 0x – 2y = 4
C. 3x + 0y = 3

D. Cả 3 phương
trình trên
10/ Đường thẳng đi qua hai điểm A (1; 3) và B (2; 2) có phương trình là:
A. y = x + 3
B. y = 2 x + 2
C. y = - x + 4
D. y = - 4x – 1
Trả lời câu hỏi 11, 12 với đề toán sau: “Một hình chữ nhật có chiều dài lớn hơn chiều rộng
3m, nếu tăng thêm mỗi chiều 3 m thì diện tích hình chữ nhật tăng thêm 90m 2. Tính chu vi hình
chữ nhật”
11/ Nếu gọi chiều rộng hình chữ nhật là x (m) (x > 0) và gọi chiều dài của hình chữ nhật là y
(m) (y> 3) thì hệ phương trình lập được là:


 y x  3

A.  x  y 81

 y x  3

B.  x  y 27


12/ Chu vi hình chữ nhật đó là:
A. 66 m
B. 78 m

x y  3

C.  x  y 87

 y x  3

D.  x  y 30

C. 86 m

D. 54 m

Câu 2 : Giải các hệ phương trình sau:

3 x  y 5
a) 
 2 x  3 y 18

2 x  5 y 11
b) 
3x  4 y 5

10
 14
 x  y  2  x  y  1 9


c) 
3
2


4
 x  y  2 x  y  1

Câu 3 :
Hai xe lửa khởi hành đồng thời từ hai ga cách nhau 750 km và đi ngược chiều nhau, sau 10
giờ chúng gặp nhau. Nếu xe thứ nhất khởi hành trước xe thứ hai 3 giờ 45 phút thì sau khi xe
thứ hai đi được 8 giờ chúng gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi xe.
 x  my m  1

Câu 4: : Cho hệ phương trình : mx  y 3m  1 (m là tham số)

Tìm giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn x + y < 0

ĐÁP ÁN :
Câu 1:


1

2

3

4


5

6

7

8

9

10

11

12

B

C

A

B

C

A

B


D

D

C

B

D

Câu

Nội
dung

2

Giải
các
hệ
phươ
ng
trình
sau:
3x  y 5
a) 
2 x  3 y 18

9 x  3 y 15


2 x  3 y 18

11x 33

3 x  y 5

 x 3

3 x  y 5

 x 3

3.3  y 5

 x 3

 y  4

 x 3

 y 4

Vậy
hệ pt
có
nghiệ
m là
(x; y)
=
(3;4)

 2 x  5 y 11
b) 
3 x  4 y 5



6 x  15 y 33

6 x  8 y 10

 23 y 23

2 x  5 y 11

 y  1

2 x  5 y 11

 y  1

2 x  5( 1) 11

 y  1

 2 x 6

 y  1

 x 3


Vậy
hệ pt
có
nghiệ
m là
(x; y)
= (3;
-1)
10
 14
 x  y  2  x  y  1 9

c) 
3
2


4
 x  y  2 x  y  1

(ĐK:
x – y
+ 2
 0;
x+y
–1 
0)
Đặt
1
1

a ;
b
x y2
x y 1

(*)
Ta có
hệ pt:


14a  10b 9

3a  2b 4

14a  10b 9

15a  10b 20

29a 29

3a  2b 4

a 1

2b 1

a 1

b 1/ 2


Thay
a = 1;
b =
1/2
vào
(*) ta
có:
1

 x  y  2 1


1
 1

 x  y  1 2

 x  y  2 1

 x  y  1 2

 x  y  1

 x  y 3

2 x 2

 x  y 3

 x 1


 y 2

(T/m
ĐK)
Vậy
hệ pt
có
nghiệ
m là


3

(x; y)
= (1;
2)
Đổi 3
giờ
45
phút
=
3,75
giờ
Gọi
vận
tốc
xe
lửa
thứ

nhất
là x
(km/
h) (x
> 0)
Gọi
vận
tốc
xe
lửa
thứ
hai là
y
(km/
h) (y
>0)
Quãn
g
đườn
g xe
lửa
thứ
nhất
đi
trong
10
giờ
là:
10x
(km)



Qn
g
đườn
g xe
lửa
thứ
hai đi
trong
10
giờ
là:
10y
(km)
Vì
hai
xe đi
ngượ
c
chiều
và
gặp
nhau
nên
ta có
pt:
10x +
10y =
750

(1)
Vì xe
thứ
nhất
khởi
hành
trước
xe
thứ
hai 3
giờ
45
phút
nên
khi
gặp
nhau
thì


thời
gian
xe
thứ
nhất
đã đi
là: 8
+
3,75
=

11,75
(giờ)
Quãn
g
đườn
g xe
thứ
nhất
đã đi
là:
11,75
x
(km)
Quãn
g
đườn
g xe
thứ
hai
đã đi
là: 8y
(km)
Ta có
pt:
11,75
x +
8y =
750
(2)
Từ

(1)
và
(2) ta
có hệ
pt:


10 x  10 y 750

11,75 x  8 y 750

 x  y 75

11,75 x  8 y 750

8 x  8 y 600

11,75 x  8 y 750

 3, 75 x  150

 x  y 75

 x 40

 y 35

Đối
chiếu
với

ĐK
ta có
x =
40; y
= 35
đều
thỏa
mãn
điều
kiện
Vậy
vận
tốc
xe
thứ
nhất
là 40
km/h;
Vận
tốc
xe
lửa
thứ
hai là
35
km/h
4

 x  my m  1


mx  y 3m  1



 x m  1  my

 m( m  1  my )  y 3m  1


 x m  1  my
 2
2
 m  m  m y  y 3m  1

 x m  1  my

2
2
(1  m ) y  m  2m  1

 x m  1  my


 (m  1)2
y


1  m2



(ĐK:
m 
 1)

 x m  1  my


(m  1) 2
y


m2  1


 x m  1  my

m 1

 y  m  1

m 1

 x m  1  m. m  1

 y m  1
m 1



m 2  2m  1  m 2  m

x


m 1

 y m  1

m 1

3m  1

 x  m  1

 y m  1
m 1


Để
hệ pt
có
nghiệ
m (x;


y)
thỏa
mãn
x+y
< 0
thì

3m  1 m  1

0
m 1 m 1

4m
0
m 1

TH1:
 4m  0
m  0


m  1  0
m   1
 -1

< m
< 0
(thỏa
mãn
ĐK
m 
 1)
TH2:
 4m  0


m  1  0


(vơ
lý)
Vậy
với
-1 <
m <
0 thì
hệ pt
có
nghiệ
m
duy
nhất
(x; y)
thỏa
mãn
x+y
<0

m  0

m   1