PHÒNG GD&ĐT NAM ĐÀN
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9
NĂM HỌC 2018 – 2019
Mơn thi: TỐN 9
ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1 (5 điểm ): Cho biểu thức: A =
a, Rút gọn biểu thức A.
b, Tính giá trị của A khi
.
c, Tìm giá trị của x để A có giá trị nguyên.
Bài 2 (4,5 điểm ):
a, Chứng minh
thì
b, Giải phương trình
c, Tìm số tự nhiên có 4 chữ số vừa là số chính phương vừa là 1 lập phương.
Bài 3 (4 điểm ):
a, Tìm các số thực x để
và
đồng thời là các số nguyên.
b, Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn: a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức
+3
Bài 4 (6,5 điểm ):
1, Cho ABC vuông tại A, có trung tuyến AM, đường cao AH. Trên cùng 1
nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm A vẽ 2 tia Bx, Cy cùng vng góc với BC.
Qua A kẻ đường thẳng vng góc với AM, cắt Bx và Cy lần lượt tại P và Q.
Chứng minh:
a, AP = BP và AQ = CQ.
b, PC đi qua trung điểm của AH.
c, Khi BC cố định, BC = 2a, điểm A chuyển động sao cho góc BAC bằng 90 .
Tìm vị trí điểm H trên đoạn thẳng BC để diện tích
nhất.Tìm giá trị lớn nhất đó.
ABH đạt giá trị lớn
2, Chứng minh rằng: Nếu tất cả các cạnh của 1 tam giác nhỏ hơn 1 thì diện
tích tam giác nhỏ hơn
.
Họ và tên thí sinh ...................................................... SBD.........
HƯỚNG DẪN CHẤM TỐN 9 NĂM HỌC: 2018-2019
THỨ
TỰ
a (2đ)
Bài 1
(5đ)
,
ĐIỂ
M
0,5đ
Rút gọn được:
1,5đ
Ý
b
(1,5đ)
NỘI DUNG
ĐKXĐ:
1đ
Thay vào A tính được
0,5đ
(1)
c
(1,5đ)
a
(1,5đ)
b
(1,5đ)
Bài 2
(4,5đ)
c
(1,5đ)
Bài 3
0,5đ
thỏa mãn ĐK
a (2đ)
0,5đ
Mà
Thay A vào (1) tìm được
Lập luận
và 3
Mà 2 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau
Vậy
ĐK
. Chuyển vế, 2 vế khơng âm bình phương
ta có
Để PT có nghiệm thì
Đối chiếu ĐK => x = 2 thỏa mãn bài tốn
Gọi số chính phương cần tìm
Vì
vừa là số chính phương vừa là 1 lập
phương =>
với
Vì
=> y là số chính phương
Mà 1000
9999
10
và y chính phương
Tìm được y=16 =>
= 4096
Đặt
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
. Từ (1) =>
(4đ)
Thay vào (2) =>
Biến đổi đưa về
Vì
=>
=> m = n
=>
Với m = n =4 =>
m=n=
Vì a,b,c là các số thực dương và a + b + c = 1
Áp dụng BĐT Cơ-si ta có:
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
1đ
+3
b (2đ)
( Do a + b + c = 1 )
=>
Bài 4
(6,5đ)
0,5đ
1a
(2đ)
1b
(1,5đ)
0,5đ
Vẽ đúng hình
0,5đ
Do ABC vng tại A nên MA=MB=MC
Từ đó các cặp tam giác vng sau bằng nhau:
(cạnh huyềncạnh góc vuông)
=> PA=PB; QA=QC
Gọi giao điểm của PC và AH là I
Vì IA//QC và QA=QC nên ta có:
0,5đ
1đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Mặt khác ta có:
( Vì AI//QC );
Từ đó ta có:
( Vì IH//PB)
, suy ra IH=IA (vì PA=PB)
0,5đ
0,25đ
Ta có
Lại có
vng tại A có AH là đường cao
( Hệ thức trong tam giác vuông )
=>
1c
(1,5đ)
0,25đ
0,5đ
0,25đ
Suy ra
Giá trị lớn nhất của
0,25đ
khi BH = 3HC
hay
2,
(1đ)
Vẽ tam giác ABC đường cao BH
Gọi A là góc nhỏ nhất của
=>
Ta có
Do đó
Chú ý: Thí sinh làm bài theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
1đ