TIỂU LUẬN môn học THIẾT kế lọc số và BIẾN đổi WAVELET đề tài THIẾT kế bộ lọc FIR THÔNG dải BẰNG PHƯƠNG PHÁP cửa sổ
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (661.64 KB, 31 trang )
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
— oOo —
TIỂU LUẬN MÔN HỌC
THIẾT KẾ LỌC SỐ VÀ BIẾN ĐỔI WAVELET
ĐỀ TÀI: THIẾT KẾ BỘ LỌC FIR THÔNG DẢI
BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỬA SỔ
Người hướng dẫn :
Học viên thực hiện :
Đà Nẵng, tháng 11/2005
Tiểu luận: Thiết kế lọc FIR thông dải bằng phương pháp cửa sổ
Trang 2
LỜI MỞ ĐẦU
Xử lý tín hiệu số (Digital Signal Processing — DSP) đã trở thành một môn học
cơ sở cho nhiều ngành khoa học, kỹ thuật như: Điện, Điện Tử, Tin học, Viễn thơng,
Tự động hố ... Xử lý tín hiệu số được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực và thiết
bị như: CD, VCD, DVD, camera, scanner, y khoa ..., trong các hệ thống truyền hình
số, thơng tin địa lý, bản đồ số, viễn thơng ..v.v..
Phép xử lý cơ bản nhất của DSP là lọc, và các hệ thống được đề cập đến nhiều
nhất trong xử lý tín hiệu số là các bộ lọc số (Digital Filter). Nếu xét về đáp ứng xung
có thể chia các bộ lọc số thành 2 loại chính là bộ lọc có đáp ứng xung hữu hạn FIR
(Finite Impulse Response) cịn gọi là lọc khơng đệ quy, và bộ lọc có đáp ứng xung vơ
hạn IIR (Infinte Impulse Response) cịn gọi là lọc đệ quy. Xét về đáp ứng tần số biên
độ có thể chia các bộ lọc, FIR hay IIR, thành 4 loại cơ bản: thông thấp, thông cao,
thông dải và chắn dải. Các bộ lọc này có thể được thiết kế bằng những phương pháp
sau đây: Phương pháp cửa sổ (Window Design Techniques), Phương pháp lấy mẫu
tần số (Frequency Sampling Design Techniques) và Phương pháp xấp xỉ tối ưu cân
bằng gợn sóng (Optimal Equiripple Design Techniques). Mỗi phương pháp đều có
những đặc điểm và ưu khuyết điểm riêng.
Trong khuôn khổ của bài tiểu luận môn học, tôi xin phép được trình bày bài tốn
thiết kế bộ lọc FIR thông dải bằng phương pháp cửa sổ. Nội dung tiểu luận được chia
thành 3 phần:
Phần 1. Cơ sở lý thuyết
Phần 2. Thiết kế lọc FIR thông dải bằng phương pháp cửa sổ
Phần 3. Kết luận
Phần 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1.1. Dần nhập
Việc thiết kế một bộ lọc số tiến hành theo 3 bước:
• Đưa ra các chỉ tiêu: Trước khi thiết kế một bộ lọc chúng ta cần xác định các chỉ
tiêu. Các chỉ tiêu được xác định bởi các ứng dụng cụ thể khác nhau.
•
Tìm các xấp xỉ: Một khi chỉ tiêu đã được xác định, ta sử dụng các khái niệm và
công cụ toán học khác nhau để tiến tới biểu diễn và tính gần đúng cho bộ lọc
với tập các chỉ tiêu đã cho. Và đây là chủ đề chính của việc thiết kế lọc số.
•
Thực hiện bộ lọc: Kết quả của các bước trên cho mô tả dưới dạng một phương
trình sai phân, hoặc một hàm hệ thống H(z), hoặc một đáp ứng xung h(n). Từ
các mô tả này chúng ta có thể thi hành bộ lọc bằng phần cứng hoặc phần mềm
mơ phỏng trên máy tính.
Trong những
phần tiếp sau đây, để mô tả các chỉ tiêu của bộ lọc chúng ta sẽ xem xét việc thiết kế
một bộ lọc thơng thấp như một ví dụ cơ sở. Có 2 nhóm chỉ tiêu: Các chỉ tiêu tuyệt đối
(Absolute Speciíications) và các chỉ tiêu tương đối (Relative Speciíications - DB).
Hình 1.1 Các chỉ tiêu của bộ lọc FIR: các chỉ tiêu tuyệt đối và tương đối
Trong đó:
• Band [0, Wp] được gọi là dải thông, và 81 là dung sai (gợn sóng) được chấp
nhận trong đáp ứng dải thơng lý tưởng.
• Band [ws, ri] được gọi là dải chắn, và 82 là dung sai ở dải chắn.
• Band [wp, ws] được gọi là dải chuyển tiếp, và khơng có ràng buộc nào về đáp
ứng biên độ trong dải này
Các chỉ tiêu tương đối gồm có:
• Rp: Độ gợn sóng trong dải thơng tính theo dB.
• As : Suy hao trong dải chắn tính theo dB.
Quan hệ giữa các chỉ tiêu này như sau:
1 - ^„...
p = -20log10 1-|1 > 0 («0)
(1.1)
^7
s = —20log10 1—2— > 0 (>>1)
(1.2)
R
A
Các chỉ tiêu trên được đưa ra đối với bộ lọc FIR thông thấp, và tất nhiên đối với các
bộ lọc khác như thông cao HPF (High Pass Filter), thông dải BPF (Band Pass Filter)
đều có thể được định nghĩa tương tự. Tuy nhiên, các tham số thiết kế quan
trọng
nhất
là các dung sai dải tần và các tần số cạnh-dải (tolerance or ripples and
band-edge
frequencies). Bởi vậy, trong phần 1 về cơ sở lý thuyết này chúng ta chỉ tập
trung
vào
bộ lọc FIR thông thấp. Việc thiết kế cụ thể cho bộ lọc FIR thông dải bằng kỹ
thuật
cửa
sổ sẽ được phát triển trên cơ sở lọc thông thấp và sẽ được mô tả chi tiết
trong phần 2.
Việc thiết kế và thực hiện lọc FIR có những thuận lợi sau đây:
• Đáp ứng pha là tuyến tính.
• Dễ thiết kế do không gặp các vấn đề ổn định (lọc FIR ln ổn định).
• Việc thực hiện rất hiệu quả
• Có thể sử dụng DFT để thực hiện
Đáp ứng pha là tuyến tính (linear phase response) mang lại những thuận lợi sau:
• Bài tốn thiết kế chỉ gồm các phép tính số học thực chứ khơng cần phép tính
số học phức.
• Bộ lọc pha tuyến tính khơng có méo trễ nhóm và chỉ bị trễ một khoảng khơng
đổi.
• Đối với bộ lọc có chiều dài M (hoặc bậc M-1) số phép tốn có bậc M/2 như
đã khảo sát trong thực hiện bộ lọc có pha tuyến tính.
1.2. Cấu trúc của bộ lọc FIR
Một bộ lọc đáp ứng xung hữu hạn với hàm hệ thống có dạng:
H(z) = b0 + b1Z-1 + - + bM-1Z1-M = £bnz -n
(1.3)
n=0
Như vậy đáp ứng xung h(n) là:
h(n) =
0 < n < M -1
(1.4)
else
Và phương trình sai phân là:
y(n) = b0x(n) + b1x(n -1) + • - + bM-1x(n - M +1)
(1.5)
Đây chính là tích chập tuyến tính của các dãy hữu hạn.
Bậc của bộ lọc là M-1, trong khi chiều dài của bộ lọc là M (bằng với số lượng các
hệ số). Các cấu trúc bộ lọc FIR luôn luôn ổn định, và tương đối đơn giản hơn so với
các cấu trúc bộ lọc IIR. Hơn thế nữa, các bộ lọc FIR có thể được thiết kế để có một
đáp ứng pha tuyến tính và đó là điều cần thiết trong một số ứng dụng.
Chúng ta sẽ xem xét lần lượt các cấu trúc của bộ lọc FIR sau đây:
a. Cấu trúc dạng trực tiếp
Phương trình sai phân được thực hiện bởi một dãy liên tiếp các bộ trễ do khơng có
đường phản hồi:
y(n) = b0x(n) + b1X(n -1) + • • + bjM-1X(n - M +1)
(1.6)
Do mẫu thức bằng đơn vị nên ta chỉ có một cấu trúc dạng trực tiếp duy nhất. Cấu
trúc dạng trực tiếp được cho trong hình 1.2 với M = 5:
x(n)
y(n)
Hình 1.2 Cấu trúc lọc FIR dạng trực tiếp
b. Cấu trúc dạng ghép tầng:
Hàm hệ thống H(z) được biến đổi thành các tích của các khâu bậc 2 với các hệ số
thực. Các khâu này được thực hiện ở dạng trực tiếp và bộ lọc tổng thể có dạng ghép
tầng của các khâu bậc 2.
-1
H(z) = b0 + b1Z 1 + • • • + bM-1Z1 M = b0
K
= 0n
b
+
(1
+...+bM-1
b0
+
B
k,1Z
(1.7)
B
k,2Z
)
k=1
K
M
trong đó = , 2Bk,1 và Bk,2 là các số thực đại diện cho các hệ số của các khâu bậc
2. Cấu trúc dạng ghép tầng được cho trong hình 1.3 với M = 7:
Hình 1.3 Cấu trúc lọc FIR dạng ghép tầng
x(n)
<>------>------- » >
V/'1
,.
>1’1
> < Z-1 _
í
i
>---->----1
ý’1
r -1
z
M
^2-^
B,,
.---ỉ^2
M
---->
—
1
BS1
’'Z1 —>
B„
w
z
—
y(n)
c. Cấu trúc dạng pha tuyến tính:
Đối với các bộ lọc chọn tần, người ta mong muốn có đáp ứng pha là hàm tuyến tính
theo tần số, nghĩa là:
/H(e') [}<./.(•> -K<®
trong đó p = 0 hoặc ± 2 và a là một hằng số.
Đối với bộ lọc FIR nhân quả có đáp ứng xung trong khoảng [0, M-1], thì các điều
kiện tuyến tính là:
h(n) = h(M -1 - n); p = 0,0 < n < M -1
(1.9)
h(n) = —h(M — 1 — n); p = ±K /2, 0 < n < M — 1
(1.10)
Xét phương trình sai phân được cho trong phương trình (1.5) với đáp ứng xung đối
xứng trong phương trình (1.9), ta có:
y(n) = b0x(n) + b1x(n -1) -I---------F b1x(n - M + 2) + b0x(n - M +1)
= b0[x(n) + x(n - M +1)] + b1[x(n -1) + x(n - M + 2)] -I—
Sơ đồ khối thực hiện phương trình sai phân trên được mơ tả trong hình 1.4 dưới đây
đối với cả M lẻ và M chẵn:
Đối với M lẻ: M = 7, còn đối với M chẵn: M = 6
Hình 1.4 Cấu trúc lọc FIR pha tuyến tính với các hệ số M chẵn và lẻ
Rõ ràng, với cùng một bậc của bộ lọc (cùng M) cấu trúc pha tuyến tính sẽ tiết kiệm
được 50% các bộ nhân so với cấu trúc dạng trực tiếp.
1.3. Các đặc tính của bộ lọc FIR pha tuyến tính
Trong phần này chúng ta sẽ thảo luận về hình dạng của đáp ứng xung, đáp ứng tần
số trong hàm hệ thống của các bộ lọc FIR pha tuyến tính.
Cho h(n), trong đó 0 < n < M - 1, là đáp ứng xung có chiều dài M thì hàm truyền hệ
thống là:
H(z) = Eh(n)z = z
-n
-(M-1)
Eh(n)zM-1-n
n=0
n=0
(1.11)
có (M-1) điểm cực ở gốc (trivial poles) và M-1 điểm không nằm ở vị trí bất kỳ trên
mặt phẳng z. Đáp ứng tần số là:
H(ejo) = £h(n)e-jon, -n<ữ
(1.12)
n=0
a. Đáp ứng xung h(n):
Chúng ta có thể đưa ra ràng buộc pha tuyến tính:
(1.13)
zn(ej”) =-ao, -K
trong đó: a là một hằng số trễ pha. Ta đã biết rằng h(n) phải đối xứng, nghĩa là:
......................................... .
_ M -1
h(n) = h(M -1 - n),0 < n < M -1, a = ^2~
...........
(1.14)
Do đó h(n) là đối xứng theo a, là chỉ số đối xứng. Có hai kiểu đối xứng:
M -1
• M lẻ: Trong trường hợp này,
a
= —2— là một số nguyên. Đáp ứng xung
được mô tả trong hình 1.5 dưới đây:
Hình 1.5 Đáp ứng xung đối xứng, M lẻ
M
I./-7O' m
.y. 1
-V
^ 111/v
19‘1\ /*. . Ấ
/V TA r
• M chẵn: Trong trường hợp này, a. = —2— không phải là một sô nguyên. Đáp
ứng xung được mô tả bằng hình 1.6 dưới đây:
Symmetric Impulse Response: M even
□
M/2-1 M/2
M-1
Hình 1.6 Đáp ứng xdhg đối xứng, M chẵn
Ta cũng có bộ lọc FIR pha tuyến tính loại hai nếu ta yêu cầu đáp ứng pha /H( ej“)
thoả mãn điều kiện:
/H(e" ) = p-aro với -n«ữ<%
(1.15)
Đáp ứng pha là đường thẳng nhưng không đi qua gôc. Trong trường hợp này a
không phải là hằng sô trễ pha, nhưng:
d/H(ej ) =-a
do
(1.16)
là hằng sô, chính là trễ nhóm (a là một hằng sơ trễ nhóm). Trong trường hợp này, các
tần sơ được làm trễ với một tôc độ không đổi. Nhưng một sô tần sơ có thể được làm trễ
với tơc độ lớn hon hoặc nhỏ hon.
Đơi với kiểu pha tuyến tính này, có thể thấy rằng:
M
h(n) = -h(M -1 -n), 0 < n < M -1 và a = -A, p = ±|
(1.17)
Điều này có nghĩa rằng đáp ứng xung h(n) là phản đơi xứng (antisymmetric). Chỉ sơ
Mộtlàlần nữa chúng ta lại có 2 kiểu, cho M lẻ và M chẵn.
đôi xứng.vẫn
M -1
=
được
mơ tả bằng
hình
dưới ơ.
đây:
2
M
lẻ: Trong
trường
hợp1.7
này,
là một số ngun. Đáp ứng xung
Hình 1.7 Đáp ứng xung phản đối xứng, M lẻ
Lưu ý rằng mẫu h(a) tại a. = M2 1 phải bằng 0, nghĩa là, hí —2~- ì = 0
M -1
• M chẵn: Trong trường hợp này, a. = —2— không phải là một số nguyên. Đáp
ứng xung được mô tả trong hình 1.8.
Hình 1.8 Đáp ứng xung phản đối xứng, M chẵn
b. Đáp ứng tần số H(ej®):
Khi tổ hợp hai loại đối xứng và phản đối xứng với M chẵn và M lẻ, ta có bốn kiểu
lọc FIR pha tuyến tính. Đáp ứng tần số của mỗi kiểu có biểu thức và hình dạng riêng.
Để nghiên cứu các đáp ứng pha của các kiểu này, ta viết biểu thức của H(e j“) như sau:
H(ejm) = Hr(ejm)ej(p-“m); p = ±2,a. = M2~1
trong đó Hr(e'“) là hàm đáp ứng độ lớn chứ không phải là hàm đáp ứng biên độ. Đáp
ứng độ lớn là một hàm thực, có thể vừa dương vừa âm, khơng giống đáp ứng biên độ
luôn luôn dương. Đáp ứng pha kết hợp với đáp ứng biên độ là một hàm không liên tục,
trong khi kết hợp với đáp ứng độ lớn là một hàm tuyến tính liên tục.
• Bộ lọc FIR pha tuyến tính Loại-1 (Type 1): Đáp ứng xung đối xứng, M lẻ
là một biến nguyên, và h(n) = h(M -1 - n),
Trong trường hợp này p = 0,
0 < n < M -1, thì ta có thể chứng tỏ rằng:
trong đó: H(ej“ ) =
(M-1)/2, \
X a (n) cos ©n
_ n=0
M -1
e - j©( M-1) /2
mẫu ở chính giữa
,, với với
/ \ _ 01,1
= 2hl —2-----n
a (n)
(1.19)
(1.20)
• Bộ lọc FIR pha tuyến tính Loại-2 (Type 2): Đáp ứng xung đối xứng, M chẵn
Trong trường hợp này p = 0, h( n ) = h( M -1 - n), 0 < n < M -1, nhưng a = —-—
không phải là một biến ngun, thì ta có thể chứng tỏ rằng:
M/2
So sánh (1.21)
H(ej và
) =(1.18), ta có:
n=
M/2 , . r <
1A
m
trong đó:
e - j©( M-1)/2
Hr (©) = X b( n) cos
3
2)
.( '-í M ■■
M
b(n)
= 3 2 -nJ với n = 1,2,..., ^2-
(1.21)
(1.23)
(1.22)
,
______ ,
' TT /_x M4^_
1 11 r. .... Ằ ..
2
Lưu ý: Tại 0 = 2, ta có Hr(X) = £b(n)cos
n-— p = 0 mà không cân quan tâm
đên
n=1
ly 2 J\
b(n) hoặc h(n). Do đó chúng ta khơng thể sử dụng loại này (h(n) đối xứng, M chẵn)
đối với bộ lọc thơng cao hoặc bộ lọc chắn dải.
• Lọc FIR pha tuyến tính Loại-3 (Type 3): Đáp ứng xung phản đối xứng, M lẻ
rr.
,
1
'
r r, 2
ư
Trong trường hợp này ta có 0 = 2,
M—1
1 -Ẵ
2— là một biên nguyên,
h(n) = — h(M — 1 — n), 0 < n < M — 1, và hí M 1 1 = 0 thì ta có thể chứng tỏ:
trong đó
(M—1)/2
jp2—í' ¥ ')o
n sin n e
o
H(e
) =1 M.—S1c( ) ) o < L• 1 1 1 -> M
/ \ _ Q!
c(n) = 2h 2-----------ni với n = 1,2,...,^2
j
2
2
(1.24)
(1.25)
So sánh (1.24) và (1.18), ta có:
Hr (o) = E c( n) sin on
n=0
(1.26)
Lưu ý: Tại o = 0 và 0 = 2, ta có Hr (®) = 0 mà không cân quan tâm c(n) hoặc h(n).
Hơn thê nữa, ej2 = j, điều đó có nghĩa là jHr(o) là thn ảo. Do đó, loại bộ lọc này
khơng thích hợp đối với việc thiêt kê bộ lọc thông thấp hoặc thơng cao. Tuy nhiên,
điều này thích hợp đối với việc xấp xỉ các bộ vi phân và bộ biên đổi Hilbert số lý
tưởng.
• Lọc FIR pha tuyến tính Loại-4(Type 4):Đáp ứng xung phản đối xứng, M chẵn
Trong trường hợp này 0 = 2’ h( n) = — h( M — 1 — n) , 0 < n < M — 1, nhưng
khơng phải là một biên ngun, thì ta có thể chứng tỏ rằng:
K
trong đó: J
fd( n) sin ịfflf n —
H(e ffl) =
n=1
1)!
2
Zl_
M—1
a. = —-—
2
(1.27)
với n = 1,2,.
(1.28)
So sánh (1.27) và (1.18), ta có:
M7\ • lí
1
Hr(©) = ^ d( n) sin ^©1 n --£•
n=1
'
11 2
(1.29)
Lưu ý: Tại © = %, Hr(0) = 0 và eJ2 = j. Do vậy, loại này cũng thích hợp cho việc
thiết kế các bộ vi phân số và bộ biến đổi Hilbert số.
Bảng sau đây mô tả khả năng thích hợp trong việc thiết kế các bộ lọc và các bộ biến
đổi Hilbert số, bộ vi phân số của 4 loại lọc FIR pha tuyến tính đã nêu:
Type
LPF
HPF
BPF
SBF
Hilbert Differentiator
FIR Type 1
FIR Type 2
FIR Type 3
FIR Type 4
1.4. Các kỹ thuật thiết kế cửa sổ
Ý tưởng cơ bản của việc thiết kế là: chọn một bộ lọc chọn tần lý tưởng (mà đáp ứng
xung luôn luôn phi nhân quả, dài vô hạn) và cắt (lấy cửa sổ - window) đáp ứng xung
của nó để thu được bộ lọc FIR có pha tuyến tính và nhân quả (linearphase and causal
FIR filter). Bởi vậy, điểm quan trọng trong phương pháp này là việc chọn một hàm
cửa sổ thích hợp và một bộ lọc lý tưởng tương ứng.
Bộ lọc thông thấp lý tưởng (ideal LPF) có tần số cắt Wc < % được cho bởi:
•
1 1.e , if | w |< w
(1.30)
H (e ) = )
.’„
z
z
z
z
z
z
z
z
jw
d
d
jw
(0,
z
z
z
z
z
c
if wc <| w |< n
Đáp ứng xung hd(n)
của bộ lọc lý tưởng này được cho bởi:
sin[wc (n -a)1
h (n) =F-;ÍH(e;')| = Trx e’e”ndw =
dLdJ
2^J- dV
Tĩ(n-a)
(1.31)
Chú ý rằng hd(n) là đối xứng theo a, sự kiện này tiện dụng cho bộ lọc FIR có pha
tuyến tính. Ngồi ra hd(n) có độ dài vơ hạn và phi nhân quả.
Để thu được bộ lọc FIR có pha tuyến tính và nhân quả h(n) có độ dài M, ta cần có:
h(n) =
'hd(n)
0
0 < n < M -1 M -1
, and a =
elsewhere
2
(1.32)
Thao tác này được gọi là lấy cửa sổ (window). Tổng quát, đáp ứng xung h(n) có thể
có được bằng cách lấy đáp ứng xung của bộ lọc lý tưởng hd(n) nhân với hàm cửa sổ
w(n) như sau:
h(n) = hd(n).w(n)
(1.33)
Tuỳ thuộc vào cách định nghĩa hàm cửa sổ w(n) (window function) chúng ta có
những cửa sổ thiết kế khác nhau. Chẳng hạn nếu dùng cửa sổ chữ nhật (Rectangular),
thì hàm cửa sổ được định nghĩa:
...z„x f 1, nếu 0
[0,
(1.34)
n khác
Trong miền tần số, đáp ứng của lọc FIR nhân quả H(e"') chính là tích chập vịng của
đáp ứng tần số bộ lọc lý tưởng Hd(e!' ) và đáp ứng tần số của hàm cửa sổ W(e ' ) :
H(e ) = Hd(e ) ® W(e )
(1.35)
Hình dạng của H(è ) có thể được mơ tả trực quan trên hình 1.9. Từ hình vẽ này
chúng ta có một số nhận xét quan trọng sau đây:
v
w
w
w
w
Hình 1.9 Kết quả của việc lấy cửa sổ trong miền tần số
i v
•
•
Do cửa sổ w(n) có chiều dài M hữu hạn, đáp ứng của nó có một búp chính
(main-lobe) có độ rộng tỷ lệ với 1/M, và các búp bên (side-lobe) của nó có
chiều cao thấp hơn.
Tích chập tuần hồn sinh ra một phiên bản méo của đáp ứng xung lý tưởng
Hd(j).
•
•
Búp chính (main-lob) sinh ra một dải chuyển tiếp trong ì Ke "' " ) mà độ
rộng
là
nguyên nhân tạo nên độ rộng dải chuyển tiếp (transition bandwidth). Độ rộng
này tỷ lệ với 1/M. Độ rộng búp chính càng lớn thì độ rộng dải chuyển tiếp
càng lớn.
Các búp bên (side-lobes) sinh ra các gợn sóng có hình dạng như nhau trong cả
dải thông và dải chắn.
Với các chỉ tiêu bộ lọc đã cho, chọn chiều dài bộ lọc và một hàm cửa sổ w(n) với độ
rộng main-lobe hẹp nhất và hệ số suy giảm side-lobe bé nhất có thể được. Từ nhận xét
4 nêu trên ta chú ý rằng dung sai dải thông 51 và dung sai dải chắn ỗ2 không thể ấn
định một cách độc lập. Ta lấy chung 51 = ỗ2.
Tiếp theo chúng ta xem xét các hàm cửa sổ thường được dùng, bao gồm: cửa sổ chữ
nhật (Rectangular), cửa sổ tam giác (Bartlett), cửa sổ Hanning, cửa sổ Hamming, cửa
sổ Blackman và cửa sổ Kaiser.
a. Cửa sổ chữ nhật (Rectangular Window)
Trong miền n cửa sổ chữ nhật được định nghĩa như sau:
k 0 Các
hợp khác
0< trường
n < M-1
w(n) =
(1.36)
<
b. Cửa sổ tam giác (Bartlett Window)
Với mục đích giảm biên độ của các đỉnh thứ cấp của cửa sổ chữ nhật, chúng ta chọn
một cửa sổ khác có dạng tam giác cân, gọi là cửa sổ tam giác hay cửa sổ Bartlett
Trong miền n cửa sổ tam giác được định nghĩa như sau:
w(n) =
M
2n
-\
5 2 --2n
M-1
0< nelse
< M-1
2
-1
M
(1.37)
c. Cửa sổ Hanning (Hanning Window)
w(n)
=
(2On )
0.42 — 0.5cosl M 1 + 0.08 cosl M ) 0< n
(4On )
„_,,,
,, ,
(1.38)
d. Cửa sổ Hamming (Hamming Window)
0 Các trường hợp khác21 In ^
e. Cửa sổ Blackman
0.54 - (Blackman
0.46 cos Window)
M)
w(n) =
( 2Wn )
0 Các trường hợp khác
(1.40)
0< n < M
( 4On
0.42 — 0.5 cos^ M ) + 0.08 cos^ M
(1.39)
0< n < M
Hình 1.11 Tóm tắt đặc tính của một số loại cửa sổ thường dùng
Trên hình 1.11 cho chúng ta một sự so sánh giữa các hàm cửa sổ thường dùng về
các đặc tính: độ rộng dải chuyển tiếp Aw, độ suy giảm ở dải chắn As.
f. Cửa sổ Kaiser (Kaiser Window)
Để đạt được độ suy giảm của dải chặn như mong muốn, các nhà thiết kế tìm một
hàm cửa sổ đáp ứng được các yêu cầu của thiết kế. Nhưng các hàm cửa sổ có mức búp
bên càng thấp thì độ rộng của búp chính lại càng lớn dẫn đến độ rộng dải chuyển tiếp
cũng tăng. Do đó phải tăng bậc của bộ lọc để đạt được dải thông mong muốn.
Cửa sổ Kaiser có thơng số |3 có thể điều chỉnh được, do vậy có thể điều chỉnh được
độ rộng búp bên so với đỉnh của búp chính. Cũng giống các hàm cửa sổ khác, độ rộng
búp chính có thể thay đổi được bằng cách điều chỉnh chiều dài cửa sổ, do vậy điều
chỉnh được độ rộng của dải chuyển tiếp. Với mục tiêu này, các bộ lọc số được thiết kế
rất có hiệu quả khi dùng hàm cửa sổ Kaiser.
Cửa sổ Kaiser được định nghĩa như sau:
10
1
2n
)2
(1.41)
với 0< n < MTrong đó IO[.] là hàm Bessel bậc 1 không được hiệu chỉnh (modified zero-order
Bessel function), còn [3 là tham số phụ thuộc vào bậc bộ lọc M và có thể chọn để có
được những độ rộng dải chuyển tiếp khác nhau cũng như có được độ suy giảm ở dải
chặn là gần tối ưu. Cửa sổ này có thể cung cấp những độ rộng dải chuyển tiếp khác
nhau với cùng một hệ số M, đây là điều mà các hàm cửa sổ khác khơng làm được.
Tuy nhiên, do tính phức tạp của hàm Bessel nên việc thiết kế bộ lọc với cửa sổ
Kaiser không phải dễ dàng. Thật may mắn là Kaiser đã phát triển những phương trình
thiết kế theo kinh nghiệm (empirical design equation) và chúng ta có thể sử dụng mà
khơng cần phải chứng minh.
Phương trình thiết kế như sau: (đối với lọc thơng thấp LPF)
• Cho trước các chỉ tiêu của bộ lọc cần thiết kế: Ws, Wp, Rp và As.
w(n) =
M -1)
•
Độ rộng dải chuyển tiếp: Af = Ws~™p
•
As - 7.59
Bậc của bộ lọc: M = J +1
•
Tham số: p = Í0.1102(As - 8.7),
14.36Af
(1.42)
v7
nếu As > 50
1^0.5842 (As - 21)"4 + 0.07886(As - 21), nếu 21 < As < 50
(«J
Kalser
wlndows
For
transiorms
comesponding
to
windđwíi witli fi' - 6 arìd 1! - 10, 20. árid 40,
r.1
=
wii)d0W3
0,
3.
in
and
(31
6
(c|
and
,w
Fourier
=
20.
tranỉionms
(tii
ũf
Pouit
Kalser
Hình 1.12 Khảo sát đặc tính cửa sổ Kaiser
Để tổng kết phần này chúng ta cùng so sánh giữa các loại cửa sổ thông dụng thường
được dùng, cũng như khảo sát sự tương ứng với cửa sổ Kaiser với hệ số 3 khác nhau,
như trên hình 1.13 dưới đây.
Ta có nhận xét rằng: Ngoại trừ cửa sổ Kaiser, đối với các loại cửa sổ khác thì độ
gợn sóng (ripple) ở dải thông và dải chắn là như nhau và không phụ thuộc vào bậc M
của bộ lọc, và chỉ có thể thay đổi bằng cách thay đổi hình dạng của cửa sổ (nghĩa là
thay đổi loại cửa sổ sử dụng).
COMPARISON 0F COMMONLY USED WIND0WS
Typc of
Wtndow
Peak
Sĩde^Lơbe
Amplitude
(Retative)
Rectangular
Bartlé
Hannìng
Hamming
Black man
-13
-25
-31
-41
-57
Approximate
Wìdth ơf
Maĩn Lobc
4?r/(A/4- 1)
STĨỊM
&ĩ/M
STĨ/M
I2rr/M
Peak
Approximation
Error,
20logw3
(dẽ)
Equivaleni
Kaiser
Window.
-21
-25
-44
-53
-74
ữ
1.33
3.86
4.86
7.04
0
Transítìon
Wĩdth
of Equivalent
Kaiser
Window
1.81 ?r/ M
2.37jr/Af
5.01
6-27*/Aí
9.19JT/.
M
Max passband & stopband deviations (ripple) are the same and not
dependent on M and can be changed only by changing the shape of the
window used.
Hình 1.13 So sánh giữa các loại cửa sổ được dùng
Thực hiện bằng Matlab: Matlab cung cấp sẵn các hàm (routine) để thực hiện các
hàm cửa sổ chúng ta vừa khảo sát. Có thể mơ tả ngắn gọn các hàm đó như sau:
• W=boxcar(M) : cho một hàm cửa sổ chữ nhật M điểm trong mảng W.
•
W=triang(M) : cho một hàm cửa sổ tam giác M điểm trong mảng W.
•
W=hanning(M) : cho một hàm cửa sổ Hanning M điểm trong mảng W.
•
W=hamming(M): cho một hàm cửa sổ Hamming M điểm trong mảng W.
•
W=blackman(M):cho một hàm cửa sổ Blackman M điểm trong mảng W.
•
W=kaiser(M,beta):cho một hàm cửa sổ Kaiser với hệ số p gồm M điểm
trong mảng W.
Phần 2. THIẾT KẾ LỌC FIR THƠNG DẢI
2.1. Bài tốn thiết kế
Hãy thiết kế bộ lọc FIR thông dải pha tuyến tính theo phương pháp cửa sổ, với các
chỉ tiêu bộ lọc cần thiết kế được cho như sau:
•
Cạnh thấp của dải chắn: Ws1
•
Cạnh thấp của dải thơng: Wp1
•
Cạnh cao của dải thơng: Wp2
•
Cạnh cao của dải chắn: Ws2
•
Độ gợn sóng trong dải thơng: Rp
•
Suy hao trong dải chắn:
As
Các đại lượng này có thể được mơ tả trên hình 2.1 như sau:
Có đến 6 loại cửa sổ khác nhau, trong đó ngoại trừ cửa sổ Kaiser có suy hao
trong dải chắn có thể đạt được bằng cách thay đổi hệ số |3. cịn các cửa sổ khác có suy
hao trong dải chắn là cố định.
Ngoài ra. bậc M của bộ lọc phụ thuộc vào độ rộng của dải chuyển tiếp Aw và phụ
thuộc vào loại cửa sổ được chọn. Với cùng 1 chỉ tiêu thiết kế. tức là cùng 1 giá trị độ
rộng dải chuyển tiếp Aw, bậc của bộ lọc sẽ khác nhau nếu chọn các cửa sổ khác nhau.
Bởi vậy. việc chọn loại cửa sổ nào còn phụ thuộc vào quan điểm của người thiết
kế trên cơ sở dung hoà giữa việc đảm bảo được suy hao trong dải chắn theo đúng yêu
cầu bài toán và đảm bảo bậc bộ lọc đủ nhỏ.
Tuy nhiên. thông số được ưu tiên ở đây là suy hao As, bởi sự thay đổi của bậc bộ
lọc M khi sử dụng các loại cửa sổ khác nhau là không nhiều lắm.
Bước 2. Xác định bậc M của bộ lọc
• Nếu sử dụng cửa sổ Kaiser: M được tính theo nhóm cơng thức (1.42), cũng từ
cơng thức này ta tính được hệ số p.
• Nếu sử dụng các cửa sổ khác: M được xác định nhờ vào quan hệ giữa M với độ
rộng dải chuyển tiếp Aw và có thể tính được dựa vào bảng tóm tắt được cho
trong hình 1.11.
Bước 3. Tìm hàm cửa sổ w(n)
Sử dụng các hàm có sẵn của Matlab với bậc bộ lọc M đã tìm được ở bước 2.
Bước 4. Tìm đáp ứng xung của bộ lọc thơng dải lý tưởng hd(n)
Đáp ứng xung của bộ lọc thông dải lý tưởng có thể tìm được trên cơ sở kết hợp
đáp ứng xung của 2 bộ lọc thông thấp lý tưởng theo như hình 2.2 sau đây:
Hình 2.2 Đáp ứng xung lọc thông dải lý tưởng từ 2 bộ lọc thông thấp lý tưởng
Trong đó Wci và Wc2 lần lượt là tần số cắt của 2 bộ lọc thông thấp lý tưởng tương
ứng, có thể được tính từ các chỉ tiêu đã cho của bộ lọc thông dải thực tế:
1 Wci = (Wsi + Wpi) / 2
1 Wc2 = (Wp2 + Ws2) / 2
Đáp ứng xung của lọc thơng thấp lý tưởng có thể tìm được từ cơng thức (1.31).
hd (n)
= F-■[ H (e )] =
£H, (e'" y”d =
”
sin
[^(n ~g)]
27 7
(1.31)
7(n-a)
Bước 5. Tìm đáp ứng xung h(n) của bộ lọc thực tế (bộ lọc cần thiết kế)
Đáp ứng xung của bộ lọc thông dải thực tế được tính bằng cách lấy đáp ứng xung
lý tưởng nhân với hàm cửa sổ (công thức 1.33), đây chính là thao tác lấy cửa sổ.
h(n) = hd(n).w(n)
(1.33)
Đến đây chúng ta đã có được bộ lọc cần thiết kế.
2.3. Thuật tốn và chương trình Matlab
Trong phần này sẽ thực hiện chương trình thiết kế bộ lọc thơng dải bằng cách sử
dụng cửa sổ Kaiser. Chương trình sẽ nhận các chỉ tiêu yêu cầu của bộ lọc cần thiết kế,
sau đó thực hiện các bước thiết kế để tìm được đáp ứng xung h(n).
Để khảo sát bộ lọc vừa thiết kế, chương trình cũng sẽ thực hiện tính tốn và vẽ đáp
ứng biên độ - tần số của bộ lọc theo dB, cũng như vẽ các đáp ứng xung lý tưởng h d(n),
hàm cửa sổ w(n) và đáp ứng xung bộ lọc thực tế h(n).
Chương trình được viết và chạy trên nền Matlab 6.5, với việc sử dụng một số hàm
hỗ trợ có sẵn của Matlab cho xử lý tín hiệu số, và một số hàm viết thêm được tham
khảo từ tài liệu [1] (các hàm dưới dạng các file .m).
a. Lưu đồ thuật toán:
b. Chương trình Matlab
Chương trình chính: Hàm bpf_kai(ws1,wp1,wp2,ws2,Rp,As) thực hiện thiết kế bộ lọc
thông dải dùng cửa sổ Kaiser.
function [h] = bpf_kai(ws1,wp1,wp2,ws2,Rp,As);
%Design a bandpass filter using Kaiser window technique
%----------------------------------„---------------------------- ----% h = bpf_kai(ws1,wp1,wp2,ws2,Rp,As)
% return impulse response of design filter in row vector h
% ws1: Lower Stopband Edge
% wp1: Lower Passband Edge
% wp2: Upper Passband Edge
% ws2: Upper Passband Edge
% Rp : Passband Ripple in dB
% As : Stopband Attenuation in dB
%----------------------------------------------------------------------% Note: 0 < ws1 < wp1 < wp2 < ws2 < 1
%
Rp < 1 dB
%
As > 21 dB
%----------------------------------------------------------------------%
Written by: HUYNH VIET THANG
%
Date:
November 24th, 2005
% Check number of input arguments
if (nargin == 0), % if there is no input argument assigned
temp=input('Lower Stopband Edge: ws1 = ');
if (temp <= 0)|(temp>=1), error('Lower Stopband Edge ws1: 0< ws1 <1'); end
ws1=temp;
temp=input('Lower Passband Edge: wp1 = ');
if (temp <= ws1)|(temp>=1), error('Lower Passband Edge wp1: ws1 < wp1 < 1'); end
wp1=temp;
temp=input('Upper Passband Edge: wp2 = ');
if (temp <= wp1)|(temp>=1), error('Upper Passband Edge wp2: wp1 < wp2 < 1'); end
wp2=temp;
temp=input('Upper Stopband Edge: ws2 = ');
if (temp <= wp2)|(temp>=1), error('Upper Stopband Edge ws2: wp2 < ws2 < 1'); end
ws2=temp;
temp=input('Passband Ripple in dB (0 < Rp < 1): Rp = ');
if (temp <= 0)|(temp>=1), error('Error: 0 < Rp < 1'); end
Rp=temp;
temp=input('Stopband Attenuation in dB (As > 21): As = ');
if (temp < 0), error('Error: As must be larger than 21 dB !!'); end
As=temp;
elseif (nargin ~= 6),
error('Number of input arguments invalid: bpf_kai(ws1,wp1,wp2,ws2,Rp,As)'); end
end
% Adjust the band-edge specifications
ws1=ws1*pi;
wp1=wp1*pi;
wp2=wp2*pi;
ws2=ws2*pi;
% Caculate M and beta
tr_width = min((wp1-ws1),(ws2-wp2));
% Transition bandwidth
M = ceil((As-7.95)/(14.36*tr_width/(2*pi))+1)+1;
M = 2*floor(M/2)+1
% Oddfilter length
n=[0:1:M-1];
if As >= 50
beta = 0.1102*(As-8.7);
elseif (As < 50) & (As > 21)
beta = 0.5842*(As-21)A(0.4) + 0.07886*(As-21);
else
error('As must be greater than 21')
end
beta
% w_kai
Caculate
Kaiser window function
= (kaiser(M,beta))';
% wc1
cutoff
of ideal LPF1
= freq
(ws1+wp1)/2;
% wc2
cutoff
of ideal LPF 2
= freq
(wp2+ws2)/2;
hd = ideal_lp(wc2,M) - ideal_lp(wc1,M); % Caculate the ideal impulse response
% hActual
impulse
= hd .*
w_kai;response h(n)
[db,mag,pha,grd,w] = freqz_m(h,[1]);
% Caculate Magnitude Response
delta_w = 2*pi/1000;
%
disp(['Actual Passband Ripple:'])
%
Rp = -min(db(wp1/delta_w+1:1:wp2/delta_w)) % Actua; Passband Ripple
disp(['Actual Stopband Attenuation:']) %
As = -round(max(db(ws2/delta_w+1:1:501))) % Min Stopband Attenuation
%==================================================
% plot Ideal impulse response hd(n)
subplot(1,1,1);
subplot(2,2,1); stem(n,hd,'.'); title('Ideal Impulse Response hd(n)')
axis([0 M-1 -0.4 0.4]); xlabel('n'); ylabel('hd(n)')
%==================================================
% plot Kaiser window function w_kai(n)
subplot(2,2,2); stem(n,w_kai,'.');title('Kaiser Window w(n)')
axis([0 M-1 -0.1 1.1]); xlabel('n'); ylabel('w(n)')
%==================================================
% plot design impulse response h(n)
subplot(2,2,3); stem(n,h,'.');title('Actual Impulse Response h(n)')
axis([0 M-1 -0.4 0.4]); xlabel('n'); ylabel('h(n)')
%==================================================
% plot magnitude response in dB
subplot(2,2,4); plot(w/pi,db);
title('Magnitude Response in dB');grid;
xlabel('frequency in pi units'); ylabel('Decibels')
axis([0 1 -150 10]);
%==================================================
% plot dash lines
set(gca,'XTickMode' ,'manual' ,'XTick',[0,ws1/pi,wp1/pi,wp2/pi,ws2/pi, 1])
set(gca,'YTickMode','manual','YTick',[-As,0])
Các hàm chính được sử dụng trong chương trình:
•
ideal_lp(wc,M): Tính đáp ứng xung của bộ lọc thông thấp lý tưởng bậc M
•
kaiser(M,beta): Tính cửa sổ Kaiser chiều dài M, với tham số beta.
