A. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài:
Toán học là bộ môn khoa học được coi là chủ lực, bởi trước hết tốn học hình
thành cho các em tính chính xác, tính hệ thống, tính khoa học và tính logic,… vì thế
nếu chất lượng dạy và học tốn được nâng cao thì có nghĩa là chúng ta tiếp cận với
nền kinh tế tri thức khoa học hiện đại, giàu tính nhân văn của nhân loại.
Cùng với sự đổi mới chương trình và sách giáo khoa, tăng cường sử dụng thiết bị,
đổi mới phương pháp dạy học nói chung và đổi mới phương pháp dạy và học tốn
nói riêng trong trường THCS hiện nay là tích cực hố hoạt động học tập, hoạt động tư
duy, độc lập sáng tạo của học sinh, khơi dậy và phát triển khả năng tự học, nhằm
nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện và hình thành kĩ năng
vận dụng kiến thức một cách khoa học, sáng tạo vào thực tiễn.
Trong chương trình tốn 6 phấn số học có bài tốn tính tổng S =
1
1
1
1


 ... 
1.2 2.3 3.4
9.10 , đây là một bài tốn tính tổng có thể xem là bài tốn tổng

qt, qua q trình dạy học tơi nhận thấy việc học sinh làm được dạng bài tập này rất
ít và hết sức khiêm tốn, vậy tơi chọn bài tốn này là bài tốn gốc nó khơng những
giúp học sinh giải bài tập dạng tính tổng này mà cịn vận dụng nó để giải một số bài
tập khi cần thiết đê sử dụng nó như là cơng cụ để giải tốn. Vì vậy tơi chọn đề tài
“Xuất phát từ bài tốn tính tổng quen thuộc” là cơ sở để tôi trao đổi với đọc giả và
để giải quyết qua đề tài này. Thơng qua đó nhằm đáp ứng u cầu đổi mới phương
pháp giảng dạy, giúp học sinh tháo gỡ và giải quyết tốt những khó khăn, vướng mắc
trong học tập đồng thời nâng cao chất lượng bộ môn toán ở bậc học

2. Đối tượng nghiên cứu:
Rèn kỷ năng vận dụng bài tốn tính tổng quen thuộc.
3. Phạm vi nghiên cứu:
Đề tài nghiên cứu trong phạm vi học sinh khá và giỏi K6 của trường THCS
Quang Thọ, năm học 2014 - 2015.


Ý tưởng của đề tài rất phong phú, đa dạng, phạm vi nghiên cứu rộng, nên
bản thân chỉ nghiên cứu qua một số bài tập mong bạn đọc tìm tịi thêm để nhằm
đi sâu hơn về bài toán này.
4. Phương pháp nghiên cứu:
Nghiên cứu qua tài liệu: SGK, SGV, SBT tốn 6, tài liệu có liên quan.
Nghiên cứu qua thực hành giải bài tập của học sinh.
Nghiên cứu qua theo dõi kiểm tra.
Nghiên cứu từ thực tế giảng dạy, học tập của từng đối tượng học sinh.
B. NỘI DUNG
1. Cơ sở lý luận
Trước sự phát triển mạnh mẽ nền kinh tế tri thức khoa học, công nghệ thông
tin như hiện nay, một xã hội thơng tin đang hình thành và phát triển trong thời kỳ
đổi mới như nước ta đã và đang đặt nền giáo dục và đào tạo trước những thời cơ
và thách thức mới. Để hòa nhập tiến độ phát triển đó thì giáo dục và đào tạo ln
đảm nhận vai trị hết sức quan trọng trong việc “đào tạo nhân lực, nâng cao dân
trí, bồi dưỡng nhân tài” mà Đảng, Nhà nước đã đề ra, đó là “đổi mới giáo dục
phổ thông theo Nghị quyết số 40/2000/QH10 của Quốc hội”.
Nhằm đáp ứng được mục tiêu giáo dục toàn diện cho học sinh, con đường
duy nhất là nâng cao chất lượng học tập của học sinh ngay từ nhà trường phổ
thông. Là giáo viên ai cũng mong muốn học sinh của mình tiến bộ, lĩnh hội kiến
thức dễ dàng, phát huy tư duy sáng tạo, rèn tính tự học, thì mơn tốn là mơn học
đáp ứng đầy đủ những u cầu đó.
Việc học tốn khơng phải chỉ là học như SGK, không chỉ làm những bài tập

do Thầy, Cô ra mà phải nghiên cứu đào sâu suy nghĩ, tìm tịi vấn đề, tổng qt
hóa vấn đề và rút ra được những điều gì bổ ích. Dạng tốn tính tổng theo quy luật
này trong SGK và sách tham khảo rất nhiều và một số bài toán khác khi sử dụng
nó để làm cơng cụ khơng ít nên có thể coi nó là bài tốn gốc quan trọng, đáp ứng
u cầu này, là nền tảng, làm cơ sở để học sinh học tiếp các chương sau này, nhất


là khi học về rút gọn, so sánh, quy đồng mẫu số nhiều phân số và việc giải
phương trình, … Tuy nhiên, vì lý do sư phạm và khả năng nhận thức của học
sinh đại trà mà chương trình khơng đề cập đến một phương pháp cơ bản của quá
tính tổn thơng qua các ví dụ cụ thể, vì vậy việc làm đó là q phức tạp và khơng
học sinh khó giải quyết.
Vấn đề đặt ra là làm thế nào để học sinh giải bài tốn tính tổng một cách
chính xác, nhanh chóng và đạt hiệu quả cao. Để thực hiện tốt điều này, đòi hỏi
giáo viên cần xây dựng cho học sinh những kĩ năng như quan sát, nhận xét, đánh
giá bài toán, đặc biệt là kĩ năng giải toán, kĩ năng vận dụng bài toán, tuỳ theo
từng đối tượng học sinh, mà ta xây dựng cách giải cho phù hợp trên cơ sở các
phương pháp đã học và các cách giải khác, để giúp học sinh học tập tốt bộ môn.
2. Cơ sở thực tiễn
Tồn tại nhiều học sinh yếu trong tính tốn, kĩ năng quan sát nhận xét, biến
đổi và thực hành giải toán, phần lớn do mất kiến thức căn bản ở các lớp dưới,
nhất là chưa chủ động học tập ngay từ đầu chương trình lớp 6, do chay lười trong
học tập, ỷ lại, trong nhờ vào kết quả người khác, chưa nỗ lực tự học, tự rèn, ý
thức học tập yếu kém.
Đa số các em sử dụng các loại sách bài tập có đáp án để tham khảo, nên khi
gặp bài tập, các em thường lúng túng, chưa tìm được hướng giải thích hợp, không
biết áp dụng phương pháp nào trước, phương pháp nào sau, phương pháp nào là
phù hợp nhất, hướng giải nào là tốt nhất.
Giáo viên chưa thật sự đổi mới phương pháp dạy học hoặc đổi mới chưa triệt
để, ngại sử dụng đồ dùng dạy học, phương tiện dạy học, vẫn tồn tại theo lối

giảng dạy cũ xưa, xác định dạy học phương pháp mới còn mơ hồ.
Phụ huynh học sinh chưa thật sự quan tâm đúng mức đến việc học tập của
con em mình như theo dõi, kiểm tra, đơn đốc nhắc nhở sự học tập ở nhà.
3. Nội dung vấn đề
Xuất phát từ bài tốn tính tổng sau:


1
1
1
1


 ....... 
1.2 2.3 3.4
19.20 , Tính tổng S

* Bài tốn Cho S =
Thơng thường khi giải bài tốn này đa số các em thường nghỉ ngay đến việc quy
đông mẫu số của các phân số rồi tính. Nhưng học sinh chưa biết làm quen với bài
tốn tính tổng theo quy luật, vì vậy giáo viên cầu lưu ý và hướng dẫn cho học sinh
một cách tỷ mỷ và cần phân tính thấy được các số hạng tuân theo một quy luật nhất
định và ta đi xét từng số hạng của nó và xây dựng cho học sinh một cơng thức tổng
quát
1
1 1
1 1 1 1 1
1
1 1
1  ,

  ,
  ,......,
 
2 2.3 2 3 3.4 3 4
19.20 19 20
Chắng hạn: 1.2
1 1 1 1 1
1 1
S 1      ....  
2 2 3 3 4
19 20
Khi đó

Hướng dẫn học sinh dùng phương phát khử liên tiếp các số đối nhau
S 1 

1 19

10 20

Cuối cùng
Xét tường số hạng của tống ta có công thức tổng quát sau:
1
1
1
 
a ( a  n) a a  n

Công thức:
( n là khoảng cách )

Từ cơng thức đó học sinh sẽ áp dụng và phân tích từng số hạng của tống và
làm các bài tốn tính tổng khó hơn sau:
1
1
1
1


 ....... 
n N
1.2
2.3
3.4
n
(
n

1)
a,
4
4
4

 .... 
2013.2015
b, M = 5.7 7.9
5
5
5
5

c, N = 11 .16 + 16 .21 + 21. 26 +. .. . ..+ 61 .66

Từ bài toán tổng quát trên nếu ta xét các mẫu của chúng
Ta thấy: 1.2 = 2, 2.3 = 6, 3.4 = 12, 19.20 = 380 ta có bài tốn sau:
Bài tốn 1 Cho S =
a, Tính tổng S

1 1 1
1
   ....... 
2 6 12
380 ,

b, So sánh S với 1
Gv gợi ý cách giải tương tự như bài tốn gốc
Hơn nữa ta lại có bài tốn


1
1
1
1
1999


 ....... 

1.2 2.3 3.4
x( x  1) 2000


Bài toán 2 Tìm x  N Biết
( Đề thi học sinh giỏi tĩnh lớp 7 năm học 1999 - 2000)
Vận dụng bài toán gốc và dễ dàng giải ngay tương tự như bài tốn gốc ta tìm
được x = 1999
1 1
1 1
1 1
1
1
 , và 2 
, và 2 
,...., 2 
2
20 19.20 (*)
* Khi ta so sánh được 2 1.2 3 2.3 4 3.4

Ta lại có bài tốn sau:
1 1 1
1
 2  2  .....  2
2
20 Chứng minh S  1
Bài toán 3 Cho S 2 3 4

Việc giải bài tốn này khơng mấy phức tạp khi ta sử dụng kết quả của bài toán
S

19
20 rồi ta lập luận dựa vào cách ta so sách ở (*) ta sẻ chứng minh được ngay,


gốc
ta con nhắc nhở thêm học sinh thậm chí ta cịn chứng minh được nếu đề bài yêu
19
cầu S 20 nữa,


1 1 1
1
 2  2  .....  2
2
20
* Lại có thêm điều 0  2 3 4

* Do đó ta có bài tốn tưởng như khó sau:
1 1 1
1
 2  2  .....  2
2
20 khơng thuộc Z
Bài tốn 4 Chứng tỏ rằng: 2 3 4

Giáo viên cần hướng dẫn, dẫn dắc cho học sinh cụ thể
1 1 1
1
 2  2  .....  2
2
20 =S1
Giả sử ta gọi 2 3 4

Ta dựa vào kết quả bài tốn gốc S =19/20 khơng thuộc Z rồi, sử dụng t/c bắc cầu

Và lại có 0  S1  S.Vậy S1 Không thuộc Z là điều hiên nhiên
Chúng ta đã nhận ra rằng nếu a1; a2 ; a3 ;....; a19 ; a20 là các số tự nhiên lớn hơn 1 và khác
1 1 1
1
1 1 1
1
 2  2  ...  2  2  2  2  .....  2
2
a19 2 3 4
20
nhau thì a1 a2 a3

Ta lại có bài tốn sau:
Bài tốn 5 Tìm các số tự nhiên khác nhau a1; a2 ; a3 ;....; a19 ; a20
1
1
1
1
1
 2  2  ...  2  2 1
2
a1 a2 a3
a19 a20

sao cho
Giáo viên hướng dẫn cách lập luận như bài toán 3 để khi đó ta đi giải bài tốn
này khơng mấy phức tạp
Vận dụng lời giải bài toán 4 ta lại có bài tốn sau:
1
1

1
1
1
 2  2  ...  2  2 1
2
a19 a20
Bài toán 6: Cho 19 số tự nhiên thõa mãn a1 a2 a3


Chứng minh rằng trong 19 số này tồn tại 2 số bằng nhau
Bài tốn 7
Tìm các số tự nhiên a1; a2 ; a3 ;....; a19 ; a20 thỏa mãn a1  a2  a3 .... a19  a20
1
1
1
1
1
19


 ... 


a18 .a19 a19 .a20 20
Là a1.a2 a2 .a3 a3 .a4

Trên đây là một số bài tốn mà trong q trình giảng dạy tơi đã vận dụng kết quả
của bài tốn gốc theo sgk để đưa ra, các đọc giả tham khảo và đóng góp ý kiến bổ
sung đặc biệt là thêm các bài toán khác vào cho được phong phú hơn mong được sự
cộng tác của bạn đọc và chân thành cảm ơn mọi sự đóng góp của bạn đọc.

Trong quá trình viết và thực hiện đề tài này để giảng dạy và đặc biệt là phát hiện
bồi dưởng học sinh giỏi mũi nhọn, giáo viên nhắc nhở học sinh cẩn thận trong khi
thực hiện các phép biến đổi, sau mỗi bước giải phải có sự kiểm tra. Phải có sự đánh
giá bài tốn chính xác theo một lộ trình nhất định, từ đó lựa chọn và sử dụng các
phương pháp lập luận cho phù hợp.
Xây dựng học sinh thói quen học tập, biết quan sát, nhận dạng bài toán, nhận
xét đánh giá bài tốn theo quy trình nhất định, biết lựa chọn phương pháp thích
hợp vận dụng vào từng bài toán, sử dụng thành thạo kỹ năng giải toán trong thực
hành, rèn luyện khả năng tự học, tự tìm tịi sáng tạo. Khuyến khích học sinh tham
gia học tổ, nhóm, học sáng tạo, tìm những cách giải hay, cách giải khác.
Kết quả
Kết quả áp dụng kĩ năng này đã góp phần nâng cao chất lượng học tập của
bộ môn đối với học sinh khá giỏi.
Cụ thể kết quả kiểm tra về dạnh bài tập này được thông kê qua đối tượng HS
khá giỏi như sau
a) Chưa áp dụng giải pháp
Kiểm tra khảo sát chất lượng
Thời gian

TS
HS

Chưa áp dụng giải pháp

16

Trung bình trở lên
Số lượng
Tỉ lệ (%)
2


12,5%


* Nhận xét: Đa số học sinh chưa nắm được kỹ năng phân tích bài tốn, hầu hết
các em chỉ áp dụng cách quên thuộc là quy đồng rồi thực hiện phép tính, một số
em con đốn và ghi kết quả vào, cách trình bày bài giải cịn lúng túng.
b) Áp dụng giải pháp
Thời gian
Kết quả áp dụng giải pháp

TS
HS
16

Trung bình trở lên
Số lượng
Tỉ lệ (%)
12

75%

* Nhận xét: Học sinh đã hệ thống, nắm chắc kiến thức cơ bản về cách làm biết
phân tích tổng hợp từng số hạng của tông, biết sử dụng phương pháp khử liên
tiếp các số đối vận dụng khá tốt các phương pháp trong giải toán, biết nhận xét
đánh giá bài toán trong các trường hợp, trình bày khá hợp lý.
 Tóm lại:
Từ thực tế giảng dạy khi áp dụng phương pháp này tôi nhận thấy học sinh
nắm vững kiến thức hơn, hiểu rõ các cách giải toán ở dạng bài tập này. Kinh
nghiệm này đã giúp học có kĩ năng thực hành theo hướng tích cực hoạt động

nhận thức ở những mức độ khác nhau thơng qua một chuỗi bài tập. Bên cạnh đó
cịn giúp cho học sinh khá giỏi có điều kiện tìm hiểu thêm một số phương pháp
giải khác, các dạng toán khác nâng cao hơn, nhằm phát huy tài năng toán học,
phát huy tính tự học, tìm tịi, sáng tạo của học sinh trong học toán.
C. KẾT LUẬN
 Bài học kinh nghiệm
Thông qua việc nghiên cứu đề tài và những kinh nghiệm từ thực tiễn giảng
dạy, cho phép tôi rút ra một số kinh nghiệm sau:
Đối với học sinh khá giỏi: Ngoài việc nắm chắc các phương pháp cơ bản, ta
cần cho học sinh tìm hiểu thêm các phương pháp phân tích nâng cao khác, các
bài tập dạng mở rộng giúp các em biết mở rộng vấn đề, cụ thể hóa vấn đề, tương
tự hóa vấn đề để việc giải bài tốn tính tổng theo quy luật tốt hơn. Qua đó tập


cho học sinh thói quen tự học, tự tìm tịi sáng tạo, khai thác cách giải, khai thác
bài toán khác nhằm phát triển tư duy một cách tồn diện cho quá trình tự nghiên
cứu của các em.
Đối với giáo viên: Giáo viên thường xuyên kiểm tra mức độ tiếp thu và vận
dụng của học sinh trong quá trình cung cấp các thơng tin mới có liên quan trong
chương trình mà tôi đã đề cập ở trên.
Giáo viên phải định hướng và vạch ra những dạng toán mà học sinh phải liên
hệ và nghĩ đến để tìm hướng giải hợp lý như đã đề cập, giúp học sinh nắm vững
chắc hơn về các dạng tốn và được rèn luyện về những kĩ năng phân tích một cách
tường minh trong mỗi dạng bài tập để tìm hướng giải sau đó biết áp dụng và phát
triển nhanh trong các bài tập tổng hợp, kĩ năng vận dụng các phương pháp một
cách đa dạng hơn trong giải toán. Đồng thời tạo điều kiện để học sinh được phát
triển tư duy một cách toàn diện, gợi sự suy mê hứng thú học tập, tìm tịi sáng tạo,
kích thích và khơi dậy khả năng tự học của học sinh, chủ động trong học tập và
trong học tốn.
Nếu thực hiện tốt phương pháp trên trong q trình giảng dạy và học tập thì

chất lượng học tập bộ môn của học sinh sẽ được nâng cao hơn, đào tạo được
nhiều học sinh khá giỏi, đồng thời tuyển chọn được nhiều học sinh giỏi cấp
trường, cấp huyện, tỉnh,....
 Hướng phổ biến áp dụng
Đề tài được triển khai phổ biến và áp dụng rộng rãi trong chương trình số
học lớp 6, cho các năm học sau, cho những trường cùng loại hình.
 Hướng nghiên cứu phát triển
Đề tài sẽ được nghiên cứu tiếp tục ở các phương pháp tính tổng khác lập
luân khác dễ hiểu hơn (nâng cao) hơn
Đề tài nghiên cứu cho vận dụng nó để giải quyết các bài toán phức tạp hơn,
đi sâu vào việc nghiên cứu các tổng quát đặc biệt.
Vũ Quang, tháng 10 năm 2015


Người làm:
Lê Trọng Liệu