CÁC BÀI TOÁN VỀ RÚT GỌN BIỂU THỨC

b  ab  
a
b
a b
A  a 


:

a  b   ab  b
ab  a
ab 

Bài 1: Cho biểu thức:
a) Rút gọn A.
b) Tính giá trị của A biết : a 6  2 5 và b 5 .







 2x  1 x 2x x  x  x   x  x 1  x 

M 1  

 .



1

x
1

x
x
2
x

1

 


Bài 2:
Cho biểu thức
a) Tìm các giá trị của x để biểu thức có nghĩa. Rút gọn M.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức (2010 - M ) khi x  4.
c) Tìm các số nguyên x để giá trị của M cũng là số nguyên.
P

x



2
x2


x  2 x ( x  1)( x  2 x )

x x
Bài 3: . Cho biểu thức:
a. Rút gọn P .
b. Tính P khi x 3  2 2 .
c. Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên.
P


x
2
x 2
x( x  2)  2( x  1)  x  2 x x  2 x  2 x  2  x  2




x ( x  1)
x ( x  2)
x ( x  1)( x  2)
x ( x  1)( x  2)
x ( x  1)( x  2)

x x  2x  2 x  x
x ( x  1)( x  2) ( x  1)


x ( x  1)( x  2)
x ( x  1)( x  2) ( x  1)


x 3  2 2 

2

x  2  2 2  1  ( 2  1)  2  1

P

;

P

( x  1)
2 1 1
2 2


1  2
( x  1)
2 1 1
2

( x  1)
x  1 2
2

1 
( x  1)
x1

x  1 HS lập luận để tìm ra x 4 hoặc x 9

ĐK: x  0; x 1 :
Bài 4: a. Tính giá trị của biểu thức:

Tính:

S  1

1 1
1 1
1
1


1



...

1


12 22
22 32
20132 20142

S  1


1 1
1 1
1
1


1



...

1


12 22
22 32
20132 20142

1
1
a 2 ( a  1) 2  (a  1) 2  a 2
a 4  2a 2 (a  1)  ( a  1) 2
1 2 


a
(a  1) 2
a 2 ( a  1) 2
a 2 ( a  1) 2


Ta có:
a 4  2a 2 (a  1)  (a  1) 2
( a 2  a  1) 2 a 2  a  1
1
1




1


a 2 (a  1) 2
a 2 (a  1)2
a(a  1)
a a 1
1 1
1 1
1 1
1
1
(1   )  (1   )  (1   )  ...  (1 

)
1 2
2 3
3 4
2013 2014
Vậy: S


1
S = 2013 - 2014


2014
2015

2014 và 2014  2015 .
b. Khơng dùng máy tính hãy so sánh : 2015
2014
2015
2015  1 2014  1
1
1



 2015  2014 

 2015  2014
2015
2014
2015
2014
2014
2015
2014
2015


2014 > 2014  2015 .
Vậy 2015

P

x x  26 x  19 2 x
x 3


x2 x  3
x1
x 3

Bài 5: 1. Cho biểu thức:
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P

2012
2013
2014
2. Tính giá trị của biểu thức: A  x  2 x  3x

x

5 2 

5 2

5 1


Với



3 2 2

1.Tìm đúng điều kiện: x 0, x 1
a) Rút gọn
P

b)

P

x  16
x 3

x  16 x  9  25
25
25 


 x  3
 x  3 
 6
x 3
x 3
x 3 
x 3


Áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho 2 số dương:
Ta được:

x  3 và

25
10  P 10
x 3

x 3

Chỉ ra dấu bằng xảy ra
5 2 

2. Đặt

25
x 3

5 2

5 1

x 3 


m

25
 x 4

x 3

3  2 2 n

2
2
Tính m ta được m 2 nên m  2 . Tính n ta được n  2  1 . Từ đó ta tính được x 1
.
2011
2012
2013
Thay x 1 vào biểu thức A ta được A 1  2.1  3.1 6
Bài 6:



x 5 

x2





x 2  7 x  10  1 3

1. Giải phương trình:
2. Cho a,b,c khác khơng và a  b  c 0 . Tính giá trị của biểu thức
Q


1
1
1
 2 2
 2 2 2
2
2
2
a b  c b c  a a c  b
2

3. Cho x  0, y  0 và thỏa mãn x  y 1 . Tìm GTNN của:

A

1
2
  4 xy
2
x y
xy
2


5  x 2  xy  y 2  7  x  2 y 

4. Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

HD: 1. Giải phương trình:
ĐK x  2




x 5 

 a 0  (2)
x  2 b .  b 0  (3)

x  5 a

Đặt

 a 2  b 2  x  5  x  2 3

x2





x 2  7 x  10  1 3

(1)

 x  5 a 2
 x  2 b2

(4)

Theo cách đặt ta có:  a  b   ab 1 3


(5)

a  b   ab  1 a 2  b 2
Thay (4)vào (5) ta được: 
 a b
  a  b   ab  1  a  b  0   a  b   a  1  b  1 0   a 1
 b 1
 x 5  x 2
 0 x 3  VN 


  x  5 1
  x  4  K 0TM 


 x  2 1
 x  1 TM 

Vậy PT có nghiệm x = -1

1 1 1
xy  yz  zx
x yz     x yz 
xy  yz  xz
x
y
z
xyz
2. Từ

( vì xyz 1 )

Xét tích  x  1  y  1  z  1  xy  x  y  1  z  1 
xyz  xy  xz  yz  x  y  z  1 1  xy  xz  yz  x  y  z  1 0
 x  1 0
  y  1 0 
 z  1 0

 x 1
 y 1

 z 1

Lần lượt thay x 1 hoặc y 1 hoặc z 1 vào biểu thức P ta đều được P 0
A

3. Tách

 1
 5
1
2
1   1
  4 xy  2

 4 xy  
 
2
2
x y

xy
 x  y 2 xy   4 xy
 4 xy
2

1 1
4
 
Áp dụng BĐT với a, b  0 thì a b a  b Dấu bằng xảy ra  a b vào bài tốn trên

ta có:
1
1
4


4
2
x y
2 xy  x  y  2
2

1
 4 xy 2
Áp dụng BĐT Cơ Si ta có 4 xy

(1)
(2)



 x  y

2

2

0   x  y  4 xy 

Vì

1
1
5


5
2
4 xy  x  y 
4 xy

Từ (1);(2);(3)  A 4  2  5 11 .Vậy

MinA 11  x  y 

(3)
1
2


4. 1. Ta có: 

Vì 5 và 7 là nguyên tố cùng nhau. Nên:
5 x 2  xy  y 2 7  x  2 y 

 x  2 y 5m
 2
2
 x  xy  y 7m

với m  Z

2
2
Từ x  2 y 5m  x 5m  2 y Thay vào x  xy  y 7 m và rút gọn ta được:

 5m  2 y 

2

  5m  2 y  y  y 2 7 m  3 y 2  15my  25m 2  7 m 0

(1)

2

5m  75m 2

 3  y 2  5my   25m2  7 m 0  3  y 
7 m  25m 2
 
2 

4

2

5m 
1

2
 3 y 
    25m  28m 
2
4


2

5m 

3 y 
 0m, y
2 
Vì 


1
28 
28

 25m 2  28m  0  25m 2  28m 0  m  m 


 0  0 m 
4
25 
25

m  0;1

 
Mà m  Z nên
*Với m = 0 thay vào (1) ta được: y = 0. Từ đó tính được x = 0
 y 2
3 y 2  15 y  18 0  y 2  5 y  6 0  
 y 3
*Với m = 1 thay vào (1) ta được:

Với y = 2 , m = 1 ta tính được x = 1
Với y = 3 , m = 1 ta tính được x = -1
Vậy  x, y     0; 0  ;  1; 2  ;   1;3 
Bài 7: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức

P

a
b
c
 3
 3
2
2

9a  3b  c 9b  3c  a 9c  3a 2  b
3

(Đề thi HSG lớp 9 Tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2014-2015)
Lời giải:
Ta có:

P

3a
3b
3c


2
3
2
3
27 a  9b  3c 27b  9c  3a 27c  9a 2  3b
3

 x  y  z 3
x 3a, y 3b, z 3c  
 x, y , z  0
Đặt


P

x

y
z
 3 2
 3
2
x  y  z y  z  x z  x2  y
3

Khi đó:
Theo BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

1
1  z
1
1
2


3
2
x
x

y

z

1

z


x

y

z





  x

x3  y 2  z  x  y  z  2



x
1  x  zx
1  x  zx


2
2
x  y  z  x  y  z
9
3

vì x  y  z 3
y

1  y  xy
y
1  z  yz

; 3

2
2
9
z x y
9
Làm tương tự thu được: y  z  x
3  x  y  z   xy  yz  zx  6   xy  yz  zx 
P

9
9
Từ đó suy ra:
3

Khơng khó khăn ta chứng minh được:
Do đó

P

xy  yz  zx 

1
2
 x  y  z  3 x  y  z 3

3
vì

6   xy  yz  zx  6  3

1
9
9
. Dấu đẳng thức xảy ra khi

1 1 1
x  y  z 1   a, b, c   ; ; 
 3 3 3

A

1 1 1
max P 1   a, b, c   ; ; 
 3 3 3
Vậy

x 2
x 1
1


x x  1 x  x  1 1  x với x 0, x 1

Bài 8: Cho biểu thức:
1. Rút gọn biểu thức A

2. Chứng minh rằng A không nhận giá trị nguyên với x > 0, x 1.
x
x  x 1
Rút gọn được
Chứng minh được 0 < A < 1 nên A không nguyên
A

Bài 9: Cho biểu thức:
1) Rút gọn A
2) Chứng tỏ rằng:
A

x 2







x  1 x  x 1



A

A

x 2
x 1

1


x x  1 x  x  1 1  x với x 0, x 1

1
3

x 1

x  x 1

1
x  2  x  1 x  x  1


x1
x  1 x  x 1





 

x



x




x  1 x  x 1


A

 x  1 
 x  1  x  x 1 x 
x

x
x 1

, với x 0, x 1





2

x1
1
1
x
 A 

3 x  x 1 3(x  x  1)

Xét 3
2

1 3

x  1  0 và x  x  1  x     0  1  A  0  A  1
2 4

3
3







2

P

x
( x  y )(1 

Bài 10 Cho biểu thức:
1. Rút gọn biểu thức P.
2. Tìm các giá trị x, y nguyờn tha món P = 2.
Điều kiện để P xác định là :

P








x(1

x ) y (1 


x 

x 

x 
y





y y  y x

Ta cã: 1 +

y




xy 

y)

x



x 

 1 

y

y



xy  y  xy



x 1

y








x 1




.





( x  y )  x x  y y  xy

x





y 1






x 




x 1 

y



1 





y





y 1





y 1

x 1






x 1  y 1

1  x  1 
y

y)

y

y

x 
y

y






x 1

x








y

x 



xy 

 

x 1

y 1

y )  xy

y x

y 1

y
xy

( x  y )( x  1) ( x  1)(1 




x ≥0 ; y ≥0 ; y ≠1 ; x + y ≠0

 1 



x 

⇔


y

x 

1 

 x 
P=2

Do x 0, x 1

y 


y


= 2 với



x ≥0 ; y ≥0 ; y ≠1 ; x + y ≠0

y  1 1 





x  1 1



y 1

x  1 1  0  x 4  x = 0; 1; 2; 3 ; 4

Thay vµo P ta có các cặp giá trị (4; 0) và (2 ; 2) tho¶ m·n
Bài 11: Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn: a  b  c 3 . Chứng minh rằng:

a  1 b 1 c 1


3
1  b2 1  c 2 1  a2
2
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: 1  b 2b nên:


a 1
ab  b
a 1
b2 ( a  1)
b 2 (a  1)
ab  b

a  1 

(
a

1)


(
a

1)

a  1 
2
2
2
1 b
2
1 b
b 1
2b

2
b 1
bc  c
b  1 
2
2
Tương tự ta có: 1  c
(2)

Cộng vế theo vế (1), (2) và (3) ta được:
a  1 b 1 c 1
a  b  c  ab  bc  ca


3 
2
2
2
1b 1 c 1 a
2
(*)

c 1
ca  a
c  1 
2
1a
2
(3)



2

Mặt khác:
Nên (*)

3(ab  bc  ca)  a  b  c  9 



a  b  c  ab  bc  ca
0
2

a  1 b 1 c 1


3
1  b2 1  c 2 1  a2
(đpcm) Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a b c 1

Bài 12: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn

C
biểu thức

Từ

gt :


2ab  6bc  2ac 7abc

4ab
9ac
4bc


a  2b a  4c b  c .

2ab  6bc  2ac 7abc


và a,b,c > 0

Chia cả hai vế cho abc > 0

. Tìm giá trị nhỏ nhất của

2 6 2
  7
c a b

 x, y , z  0
1
1
1
x  , y  ,z   
 2 z  6 x  2 y 7
a
b

c
đặt
4ab
9ac
4bc  4  9  4
C


a  2b a  4c b  c 2 x  y 4 x  z y  z
Khi đó
 C

4
9
4
 2x  y 
 4x  z 
 y  z  (2 x  y  4 x  z  y  z )
2x  y
4x  z
yz


2


 x  2y


2


 
3
x  2y  

  4x  z


1
x  ,y z 1
2
Khi
thì C = 17

2
 
4x  z   
 

2

2

yz


y  z   17 17




Vậy GTNN của C là 17 khi a =2; b =1; c = 1

Bài 13: Kí hiệu an là số nguyên gần n nhất (n  N*), ví dụ :
1 1  a1 1 ;
2 1, 4  a 2 1 ;
3 1,7  a 3 2 ;

4 2  a 4 2

1 1 1
1
   ... 
a1980 .
Tính : a1 a 2 a 3
1
1
1
A

 ... 
2
3
n .
Đặt

a) Chứng minh A  2 n  3 : Làm giảm mỗi số hạng của A :
1
2
2



2
k
k k
k 1  k



 





k 1 

k



.





A  2   2  3   3  4  ...   n  n  1  


Do đó


2



n 1 



2 2 n  1  2 2  2 n  1  3  2 n  3

b) Chứng minh A  2 n  2 : Làm trội mỗi số hạng của A :
1
2
2


2
k
k k
k  k 1



k

k1




.


A  2

Do đó :





n

n  1  ... 



3

 

2 



2  1  2 n  2

.

Bài 14: . Tìm phần ngun của các số (có n dấu căn) :

a)
c)

a n  2  2  ...  2  2

a n  4  4  ...  4  4

b)

a n  1996  1996  ...  1996  1996

HD Kí hiệu

a n  6  6  ...  6  6

có n dấu căn. Ta có :

a1  6  3 ; a 2  6  a1  6  3 3 ; a 3  6  a 2  6  3 3 ... a100  6  a 99  6  3 3

Hiển nhiên a100 > 6 > 2. Như vậy 2 < a100 < 3, do đó [ a100 ] = 2.
Bài 15: 216. Ta có Tìm chữ số tận cùng của phần nguyên của



1
n
1 
1  1
 1
1


 n 


 n

(n  1) n n(n  1)
n 1   n
 n n 1 
 n

1 

n 1 


n  1
 1 


n

1
n




Bài 15: Cho biểu thức


A

A

2 x



A

x 3

3 x

x 3



 



x 3

x 3






x 3

x 3




 

11 x  3





a

a  16

2

a 4

2
a 4



x 3




x 3



x 3



3 x
x 3



Kết hợp điều kiện => x > 9 hoặc x = 0 thì A 0
C

x 3

2 x  6 x  x  4 x  3  11 x  3

Vậy với x 0; x 9 thì

3 x
0
b/ Tìm tất cả các giá trị của x để A 0 : A 0  x  3


Bài 16: Cho


.

. Từ đó ta giải được bài tốn.

2 x
x 1
2 x
x  1 3  11 x 




x 3
x 3
9 x
x 3
x 3

  x 1  x  3 11
 x  3  x  3



250

2 x
x  1 3  11 x



9  x (Với x 0; x 9 )
x 3
x 3

x 3 

3x  9 x



A

1 

n 1 



b/ Tìm tất cả các giá trị của x để A 0

a/ Rút gọn A

a/ Rút gọn A

1 
 1

  2
n 1 
 n


3 2

A

3 x
x 3

 3 x 0

  x  3  0
 x 9
 

 x 0
 3 x 0

  x  3  0


1/ Tìm điều kiện của a để biểu thức C có ngĩa, rút gọn C.
2/ Tính giá trị của C , khi a 9  4 5
+ BiÓu thøc C cã nghÜa khi
a 0
a 0
a  16 0


a 16
 

 a 0, a 16

 a  4 0
a 16
 a  4 0
 moi a 0


+ Rót gän biĨu thøc C
C

C

C

a

a  16

2

a4

a



a4




a 4



2

a 4



  a  4  a  2 a  8  2 a  8 
 a  4  a  4
 a  4  a  4 

a 2



2

a 4

a 4  2

a

a 4 a




2
a 4

a 4



a 4



 



a 4

a4





a 4

a 4 a
a4




a 4



a





a 4



2/ Tính giá trị của C , khi a 9  4 5
Ta cã :

C

VËy :



a 9  4 5 4  4 5  5  2  5
a



a 4








2

=>

a

 2  5

2

2  5

2 5
2 5

2 5 4 6 5

Bài 17: Giả sử a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a≤b≤3≤c ;c≥b +1; a+b≥c
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Q=

2 ab+a+b+c (ab−1)

(a+1 )(b+1)( c+1 )

Giả sử a,b,c là các số thực dương thỏa m·n :

a≤b≤3≤c ;c≥b +1; a+b≥c .

Q=
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Híng dÉn
Ta cã : a + b  c => a + b –c  0 (1)
Tõ a + b  c  b + 1 => a  1 mµ b  a

2 ab+a+b+c (ab−1)
(a+1 )(b+1)( c+1 )

 ab a  b  1 ab c  1
(a  1)(b  1) 0  
 
a

b

ab

1

a  b ab  1 (2)
=>



Sư dơng (1) vµ (2) ta cã
Q

2ab  a  b  c (ab  1) 2ab  a  b  c  abc
2ab  abc


(a  1)(b  1)(c  1)
( a  1)(b  1)(c  1)
(a  1)(b  1)(c  1)

Q

ab(2  c)
ab(2  c)
ab(2  c)


(ab  a  b  1)(c 1) ( ab  ab  1  1)(c  1) 2( ab 1)(c 1)

Q

Q

ab
c2
1
c2
1
c  2 (c  1)(c  2)

.

.

.

1  c 1
1  c 1
2(ab  1) c  1
2c (c  1)


2 1  
2 1 

 ab 
 c  1

(c  1)(c  2) c 2  c  2 1
1
1
1
5

  2
  2

2
2c(c  1)
2 c  c 2 3  3 12

2 c c





5
Vậy Q(min) = 12 khi

V× c  3

 a  b c
a 1


 ab a  b  1  b 2
c 3
c 3



Bài 18: Cho biểu thức

  a2  b2 
a b
a b
P 




a 2  b 2  a  b   a 2  b 2  với a > b > 0
 a b  a  b

1/ Rút gọn biểu thức P
2/ Biết a – b = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P
1/ Rút gọn biểu thức P

  a2  b2 
a b
a b
P 



a 2  b 2  a  b   a 2  b 2 
 a b  a  b


a b
P 

 a b  a  b
a b

P

 a  b 

a b 


a b



a b



a b 



a  b   a  b

a b  a  b



 2
2
  a  b 
a  b   a 2  b2 









a  b  a  b  a2  b2 


2
2
a b  a  b
 a b 



2  a  b  a  b  a 2  b2  a 2  b2
P


b
2b a  b  a 2  b 2 

2/ Biết a – b = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Từ a – b = 1 => a = b + 1. Khi đó
P

2b 2  2b  1
 2b2   2  P  b  1 0
b
(1).Coi (1) là phương trình bậc hai của b, Ta có

 (2  P) 2  8 P 2  4 P  4


 P 2  2 2

 0  P 2  4 P  4 0  
 P 2  2 2
Để có b, thì

Do P > 0 => P 2  2 2 => P(min) = 2  2 2
b

Khi đó





 (2  P)  2  2  2 2
2
2 2


4
4
2 => a = 2

Bài 20: Cho biểu thức
1   2x  x  1 2x x  x  x 
 1
1
A 




 :
x

0;
x

; x 1
1

x
x 
1 x x
 1 x
 Với
4
b) Tính giá trị của A khi x 17  12 2

a) Rút gọn biểu thức A.
.

c) So sánh A với

A

a) Rút gọn biểu thức (2 điểm)
1   2x  x  1 2x x  x  x  
1
 1

A 



  x  0;x  ;x 1 
 : 
1 x
4
x 
1 x x

 1 x







x 2x  x  1
x  1  x  2x  2 x  x  1

:

x 1 x  1 x 1 x
1 x 1 x x














 

 



x  x  1 2 x  1 
2 x  1   x  1 2 x  1

:


x  x  1
1  x  1  x 
 1  x  1  x  x  
 

: 2 x  1
x  1 

2 x1
x






1


x







1

:

 1  x  1 

x1

x x



1 x  x  x 1 x
x 
2 x1

: 2 x1 :
  
x  x  
x x1
1  x 1 x  x



  1  1 x  1 





1










x x
x

b) Tính giá trị của A khi x 17  12 2 (1 điểm).
Tính




x 17  12 2  3  2 2





2

2





 3 2 2  3 2
2 5 3  2 2 

5

x

1  3  2 2  17  12 2 15  10
A

3 2 2
3 2 2


c) So sánh A với

A:

Chứng minh được

Biến đổi
x

1
A

2 3  2 2

3 2 2

x x
1
 x
1
x
x

1
1
2
x  0;x  ;x 1
x
4
với mọi









 A x

1
 1 1 
x

A 1

A  10

A




 
xy  x
A  x  1 
 1 :  1 
 xy  1 1  xy
 


 
Bài 21: Cho biểu thức



A  1 0 A
xy  x
xy  1



A 0 A A

x 1 

xy  1 

.

1. Rút gọn biểu thức A.
1  1 6
y
2. Cho x
. Tìm giá trị lớn nhất của A. Điều kiện:

  xy 1   xy 1  1  xy  :
 xy 1  1  xy 
 xy 1  1  xy    xy  x   xy 1   x 1  1  xy  
 xy 1  1  xy 
 x 1  1  xy    xy  x   xy  1   xy 1  1  xy 



 xy 1  1  xy    xy  x   xy 1   x 1  1  xy 
A





 

x  1 1 

xy 

xy  x

 1 x  1
x y  xy
xy .

Theo Côsi, ta có:

6  1  1 2
x
y

1 
xy


1 9
xy

.

1
1  1
y x=y= 9 .
Dấu bằng xảy ra  x
1
Vậy: maxA = 9, đạt được khi : x = y = 9 .
x2  x
2 x  x 2  x  1
P


.
x  x 1
x
x1
Cho biểu thức:

Bài 22:
a. Rút gọn P.

b. Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
Q

c. Xét biểu thức:
a. Đk : x  0; x 1.




P
 x





2 x
,
P chứng tỏ 0 < Q < 2.



  2

x x x1

x 2 x 1

x  x 1

x

 

 


x  1  2 x 1  2

x 1
Vậy P x 



x 1

x1



x 1

x 

x  1 , với x  0; x 1.
2

P x 

1 3 3

x  1  x    
2 4 4


b.
dấu bằng xảy ra khi x = ¼, thỏa mãn đk.




x1

xy 1

.


3
Vậy GTNN của P là 4 khi

x

1
4 .

2 x
c. Với x  0; x 1 thì Q = x  x  1 > 0. (1)
2

2



2 x

x  x 1 x 




x1

2

0

x 1
Xét
Dấu bằng khơng xảy ra vì điều kiện x 1 .
suy ra Q < 2.(2)
Từ (1) và (2) suy ra 0 < Q < 2.
A

Bài 1: (4,0 điểm) Cho
a) Rút gọn biểu thức A.

2 x 9
2 x 1
x 3


(x 0, x 4, x 9)
x  5 x 6
x  3 2 x

b) Tìm giá trị của x để A =
a(2,0đ)


A



1
2.

2 x9
2 x 1


( x  3)( x  2)
x3

x 3
x2



2 x  9  (2 x  1)( x  2)  ( x  3)( x  3)
( x  3)( x  2)



2 x  9  2x  4 x  x  2  x  9
x x  2

( x  3)( x  2)
( x  3)( x  2)




( x  2)( x  1)
x 1

( x  3)( x  2)
x3

x 1
x  3 với (x 0, x 4, x 9) .
Vậy
b(2,0đ) Với (x 0, x 4, x 9) Ta có:
A

x 1
1
1
  2 x  2  x  3  3 x 1  x  (t / m)
2
9
x 3
1
1

Vậy A = 2  x = 9 .
A 

1

2


a(1,5đ) Ta có 8  2 15  8  2 15
 5  2 15  3 

5  2 15  3  ( 5 

 5

3  2 3

3

5

3) 2 

( 5  3) 2

a  3  3 a 6
a 



a 9  a 4
a  2 
Câu 23: Cho biểu thức T =
với a 0,a 4, a 9

a) Rút gọn T
b) Xác định các giá trị của a để T > 0



T

Cho biểu thức
T

a) Rút gọn:


a  3  3 a 6
a 



a 9  a 4
a  2 
với a ≥ 0, a ≠ 4, a ≠ 9

a  3  3 a 6
a 



a 9  a 4
a  2 

 3
1
a



a 3  a  2
a

b) T > 0 
≠ 9.


1
3 a
1


 
2
a 3 a  2
a 2

1
0
a2

a  20

(vì 1 > 0)  a > 4 ; K hợp ĐK ta được a > 4 và a

Vậy: khi a > 4 và a ≠ 9 thì T > 0
x 2 x
x 1

1  2x  2 x


x x  1 x x x x
x 2  x , với
Bài 24: 1. Cho biểu thức
x  0, x 1. Rút gọn P và tìm tất cả các giá trị của x sao cho giá trị của P là một số
nguyên.
P

2.
x

Tính

giá

trị

của

biểu

4( x  1) x 2018  2 x 2017  2 x  1
P
2 x 2  3x

thức

tại


1
3

.
2 3  2 2 3 2

x 2 x
x 1
1  2x  2 x


x x  1 x x x x
x 2  x , với x  0, x 1.
1. Cho biểu thức
Rút gọn P và tìm tất cả các giá trị của x sao cho giá trị của P là một số nguyên
P

P

x 2 x

 x  1  x  x 1
x  x  2 x    x  1  x  1  2 x  2 x  1

x  x  1  x  x  1
x  x  x  2

x  x  1  x  x  1
 x  1  x  2   x  2 .


 x  1  x  x 1 x  x 1

Với điều kiện

x  0, x 1 , ta có:

Ta có với điều kiện x  0, x 1 

 0P

x  x 1  x 1  1

x 2
x 2
1

1 
2
x  x 1
x 1
x 1



x 1






x x  x 1



2x  2 x 1
x







x  1 x  x 1


P 1 

x 2
1  x 1
x  x 1
(loại).

Do P ngun nên suy ra
Vậy khơng có giá trị của x để P nhận giá trị nguyên.
Chú ý 1:Có thể làm theo cách sau

P


x 2
 Px   P  1 x  P  2 0
x  x 1
, coi đây là phương trình bậc hai của

x.
2

Nếu

P 0   x  2 0 vơ lí, suy ra P 0 nên để tồn tại x thì phương trình trên có   P  1  4 P  P  2  0

4
4
2
  3P 2  6 P  1 0  P 2  2 P  1    P  1 
3
3
2
 P  1

Do P nguyên nên
+) Nếu

 P  1

2

bằng 0 hoặc 1


0  P 1  x 1

không thỏa mãn.

 P 2
2
 P 2  2 x  x 0  x 0
 P  1 1  
P

0

+) Nếu
không thỏa mãn
Vậy khơng có giá trị nào của x thỏa mãn.

P

4  x  1 x 2018  2 x 2017  2 x  1

2. Tính giá trị của biểu thức

2 x 2  3x

x
tại

1
3


.
2 3  2 2 3 2

1
3
3 1


2
2 3  2 2 3 2

x
Vì

3 1
2 là nghiệm của đa thức 2 x 2  2 x  1.
2 x 2017  2 x 2  2 x  1  2 x  1 2 x  1
P

3 
x 1
 2 x 2  2 x  1  x 1

x
nên

Do đó

3.








 2x  1 x 2x x  x  x  x  x 1 x
A 

1
 .
1 x
1 x x
2 x1


Câu 25:Cho biểu thức

1. Rút gọn biểu thức A
1
A
7
2. Tìm x để
1
x 0; x  ; x 1
2
4
Điều kiện:
Đặt x a; a 0  x a , ta có:
2

 2a 2  1  a 2 a 3  a 2  a   a  a   1  a 
A 

1
.
2
1  a3
2a  1
 1 a

  a  1  2a  1 a  a  1  2a  1  a  a  1  1  a 
.
A 

1
2
2a  1
  1  a   a  1  a  1  a  a  1 
A=

[

( 2 a−1 ) a ( 2 a−1 ) a ( a−1 ) ( 1−a )
+
.
−1
( 1−a ) ( a2 −a+1 )
2a−1

]



 1

a  a  1  1  a 
a
 .(2a  1).
A 
 2
1
2a  1
  1  a   a  a  1 

−1
x−√ x+1 .

A=

−1
a −a+1 . Vậy:

A=

−1
1
1
1
<− ⇔
>
7

x−√ x+ 1
x−√ x +1 7

⇔ x−√ x+1 <7
⇔
⇔

A=

2

x 

2

1
3
x−√ x+1= √ x− + >0
2
4
(do
)

x  60

(



x 3




)



x 2 0 

x  30

0 x  9

0  x  9


1
 x  4 , x 1
Đối chiếu với điều kiện ta được:

b 
a b
 a
2     c  2  2  6.
a 
b
Câu 26: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn  b a 
Tìm
bc
ca

4ab
P


.
a
(2
b

c
)
b
(2
a

c
)
c
(
a

b
)
giá trị nhỏ nhất của biểu thức

c (a  b )(a 2  ab  b 2 ) 2(a 2  b 2 )
a b  a b 
2     c  2  2  6  6 

2 2

b
a
b
a
a
b
ab




Từ:
c(a  b)(a 2  ab  b 2 ) 2(a 2  b 2 ) c( a  b)
c (a  b)
a 2  b 2 2ab  6 


4 0
2.
2 2
a
b
ab
ab
ab
ta có:
2

bc
ac

(bc) 2
(ac) 2
(bc  ac)2
 c( a  b) 





Lại có a(2b  c) b(2a  c) abc(2b  c) abc(2a  c) 2abc(a  b  c) 2abc(a  b  c )
(ab  bc  ca) 2
abc (a  b  c ) ab.bc  bc.ca  ab.ca 
3
và
 c ( a  b) 

bc
ac
3  c (a  b ) 
3
ab


 

  
a (2b  c ) b(2a  c ) 2  ab  bc  ca 
2  1  c( a  b) 
ab 


2

Đặt

t

c( a  b)
3t 2
4
 P

2
ab
2(1  t )
t (với 0  t 2 ).

2


3t 2
4  3t 2
4 8  8  7t 3  8t 2  32t  24 8



  


2(1  t ) 2 t  2(1  t )2 t 3  3
6t (1  t )2

3
Có
(t  2)( 7t 2  22t  12) 8


6t (1  t ) 2
3
(t  2)( 7t 2  22t  12)
(t  2)( 7t 2  22t  12) 8 8
0 t  (0; 2] 
  t  (0; 2]
6t (1  t )2
6t (1  t )2
3 3
mà
.

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi t = 2 hay a b c.
8
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 3 khi a b c.