ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I
TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN
KHOA TỐN CƠ TIN

PHAN TH± THANH VÂN

TÍNH THU¾N VÀ TÍNH NGH±CH CUA Hfi
TAM PHÂN MŨ KHƠNG ĐEU
TRÊN ĐA TAP TÂM

LU¾N VĂN THAC SĨ TỐN HOC

Chun ngành: TỐN GIAI TÍCH
Mã so : 60 46 01

NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC
TS. LÊ HUY TIEN

Hà N®i - Năm 2012


Mnc lnc
Lài nói đau............................................................................................... 1
1 Kien thÉc chuan b%
2
1.1 H¾ tam phân mũ..........................................................................2
1.1.1 H¾ tam phân mũ đeu.......................................................2
1.1.2 H¾ tam phân mũ không đeu.............................................3
1.1.3 Không gian con tâm, őn đ%nh và khơng őn đ%nh...........6
1.2 Đa tap tâm...................................................................................8
1.2.1 Các khái ni¾m cơ ban......................................................8

1.2.2 Sn ton tai cna đa tap tâm..................................................9
2 Tính thu¾n và tính ngh%ch cua phương trình vi phân trong khơng
gian Banach
12
2.1 H¾ đoi xúng.................................................................................12
2.2
2.3
2.4
2.5

Tính ngh%ch cna phương trình vi phân khơng ơtơnơm...............14
Tính ngh%ch cna phương trình vi phân ơtơnơm..........................16
Ví du.............................................................................................18
Tính thu¾n cna phương trình vi phân trong khơng gian Banach .22

3 Tính thu¾n và tính ngh%ch cua h¾ tam phân mũ khơng đeu trên
đa tap tâm
24
3.1 Tính ngh%ch cna h¾ tam phân mũ khơng đeu trên đa tap tâm. .24
3.1.1 Xây dnng ket qua chính.....................................................24
3.1.2 Các ket qua phu................................................................27
3.1.3 Chúng minh tính ngh%ch..................................................37
3.2 Tính thu¾n cna h¾ tam phân mũ khơng đeu trên đa tap tâm.....39
Ket lu¾n.................................................................................................... 41
Tài li¾u tham khao................................................................................. 41
i


Lài nói đau
Lu¾n văn đã trình bày đưoc các khái ni¾m mói như h¾ tam phân mũ đeu và

khơng đeu, mđt so tớnh chat c ban cna chỳng, tắp trung nghiên cúu h¾ tam
phân mũ khơng đeu trên đa tap tõm. oi xỳng thuắn ngh%ch thũi gian l mđt
trong nhung đoi xúng cơ ban đưoc nghiên cúu trong khoa HQc tn nhiên, nó xuat
hi¾n trong nhieu h¾ v¾t lý, đ¾c bi¾t là cơ HQc cő đien và lưong tu. Trong khn
khő cna lu¾n văn này tơi chi trình bày tính thu¾n và tính ngh%ch cna phương
trình vi phân có tam phân mũ không đeu trên đa tap tâm trong không gian
Banach vơ han chieu.
Lu¾n văn đưoc chia thành 3 chương:
Chương 1: Giói thi¾u sơ lưoc các khái ni¾m tam phân mũ đeu, tam phân
mũ khơng đeu cna phương trình vi phân, khái ni¾m đa tap tâm.
Chương 2: Trình bày tính thu¾n ngh%ch cna phương trình vi phân trong
khơng gian Banach vơ han chieu.
Chương 3: Trình bày tính thu¾n và tính ngh%ch cna phương trình vi
phân có tam phân mũ khơng đeu trên đa tap tâm trong không gian Banach
vô han chieu.
Lu¾n văn đưoc hồn thành dưói sn hưóng dan, chi bao t¾n tình cna TS. Lê
Huy Tien - Giang viên khoa Tốn-Cơ-Tin hQc, trưịng ĐH Khoa HQc tn nhiên.
Tơi xin bày to lịng biet ơn sâu sac đen thay.
Tơi cũng xin chân thành cam ơn các thay cô trong khoa Tốn-Cơ-Tin hQc,
nhung ngưịi đã trnc tiep truyen thu kien thúc, giang day tơi trong suot khóa
HQc.
Cuoi cùng, tơi gui lịi cam ơn gia đình, ban bè và đ¾c bi¾t là chong tơi,
đã ln o bên tơi, đ®ng viên, giúp đõ tụi hon thnh luắn vn ny.

H Nđi, thỏng 12 nm
2012 Phan Th%
Thanh Vân

1



Chương 1

Kien thÉc chuan b%
1.1
1.1.1

H¾ tam phân mũ
H¾ tam phân mũ đeu

Cho X là khơng gian Banach, xét m®t ánh xa liên tuc t ›→ A(t) sao cho A(t)
là toán tu tuyen tính b% ch¾n trên X vói moi t ∈ R và phương trình
v J = A(t)v

(1.1)

Nghi¾m cna (1.1) vói v(s) = vs có the đưoc viet dưói dang v(t) = T (t, s)v(s), vói
T (t, s) là tốn tu tien hóa liên ket. Ta có
T (t, t) = Id

và

T (t, s)T (s, r) = T (t, r)

vói MQI t, s, r ∈ R, T (t, s) kha ngh%ch và T (t, s)−1 = T (s, t) vói MQI t, s
∈ R. Gia su A(t) có dang chéo khoi tương úng vói các thành phan hop thành
E , F1 , F2 (X = E ⊕ F1 ⊕ F2 ), vói E , F1 , F2 tương úng là các không gian con
tâm, őn đ%nh và không őn đ%nh. Khi đó nghi¾m cna (1.1) có the đưoc viet dưói
dang
v(t) = (U (t, s), V1(t, s), V2(t, s))v(s)


trong đó U (t, s), V1(t, s) và V2(t, s) là các toán tu tien hóa liên ket tương úng
vói ba khoi cna A(t), T (t, s) = (U (t, s), V1(t, s), V2(t, s)).
Đ%nh nghĩa 1.1. Ta nói phương trình (1.1) có tam phân mũ đeu neu ton tai
các hang so b > a ≥ 0, d > c ≥ 0, và D > 0 sao cho


1. Vái MQI s, t ∈ R, t ≥ s,
||U (t, s)|| ≤ Dea(t−s), ||V2(t, s)−1|| ≤ De−b(t−s),
2. Vái MQI s, t ∈ R, t ≤ s
||U (t, s)|| ≤ Dec(s−t), ||V1(t, s)−1|| ≤ De−d(s−t).

1.1.2

H¾ tam phân mũ khơng đeu

H¾ tam phân mũ khơng đeu là m®t trưịng hop mo rđng cna hắ tam
phõn m eu, chỳng ta tỡm hieu sn giong và khác nhau căn ban giua chúng.
Gia su X là không gian Banach, và A : R → B(X) là m®t hàm liên tuc, trong
đó B( X) là t¾p hop các tốn tu tuyen tính b% ch¾n trên X.
Xét bài toán giá tr% ban đau
v J = A(t)v,

v (s) = vs ,

(1.2)

vói s ∈ R và vs ∈ X . Gia thiet rang tat ca các nghi¾m cna (1.2) là tồn cuc.
Ta viet nghi¾m duy nhat cna bài tốn giá tr% ban đau trong (1.2) dưói dang
v(t) = T (t, s)v(s), o đó T (t, s) là tốn tu tien hóa liên

ket. Xét các hang so
0 ≤ a < b, 0 ≤ c < d,

(1.3)

aJ , bJ , cJ dJ ≥ 0

(1.4)

Đ%nh nghĩa 1.2. Ta nói rang phương trình tuyen tính v J = A(t)v có m®t
tam phân mũ không đeu neu ton tai các hàm P, Q1 , Q2 : R → B (X ) sao
cho P (t), Q1 (t) và Q2 (t) là các phép chieu vái
P (t) + Q1(t) + Q2(t) = Id,
P (t)T (t, s) = T (t, s)P (s), Qi(t)T (t, s) = T (t, s)Qi(s), i = 1, 2

vái MQI t, s ∈ R, và ton tai các hang so như trong (1.3)-(1.4) và Di > 0, 1 ≤ i ≤ 4
sao cho
1.Vái MQI t, s ∈ R, t ≥ s,
||T (t, s)P (s)|| ≤ D1 ea(t−s)+aj|s| , ||T (t, s)−1 Q2 (t)|| ≤ D3 e−b(t−s)+bj|t| ; (1.5)


2.Vái MQI t, s ∈ R, t ≤ s,
||T (t, s)P (s)|| ≤ D2 ec(s−t)+cj|s| , ||T (t, s)−1 Q1 (t)|| ≤ D4 e−d(s−t)+dj|t| . (1.6)

Các hang so trong a, b, c, d đưoc coi như các so mũ Lyapunov, trong khi
tính khơng đeu cna dáng đi¾u mũ đưoc quyet đ%nh boi các hang so trong aJ ,
bJ , cJ , dJ . Khi ba thành phan cna nghi¾m tương úng vói các thành phan tâm,
őn đ%nh và khơng őn đ%nh cna A(t) ta có the lay a = c = 0 (do đó b > 0 và
d > 0).
Nh¾n xét 1.1. So sánh hai đ%nh nghĩa ve tam phân mũ đeu và tam phân

mũ khơng đeu ta thay h¾ tam phân mũ khơng đeu có thêm m®t lưang mũ
aJ |s|, bJ |t|, cJ |s|, dJ |t|. Khi aJ = bJ = cJ = dJ = 0 thì khái ni¾m tam phân
mũ khơng đeu trùng vái khái ni¾m tam phân mũ đeu.
Ví dn 1.1. Cho ω > ε > 0 là nhung h¾ so thnc và h¾ phương trình trong R3
xJ = 0, y J = (−ω − εt sin t)y,

z J = (ω + εt sin
t)z.
(1.7)

H¾ phương trình vi phân (1.7) có tam phân mũ khơng đeu.
ChÚng minh. Ta thay nghi¾m cna h¾ (1.7) đưoc viet dưói dang
x(t) = U (t, s)x(s), y(t) = V1(t, s)y(s), z(t) = V2(t, s)z(s),

trong đó
U (t, s) = 1,
V1(t, s) = e−ωt+ωs+εt cos t−εs cos s−ε sin
t+ε sin s

, V2(t, s) = eωt−ωs−εt cos t+εs cos

s+ε sin t−ε sin s

.

Tốn tu tien hóa T (t, s) cna h¾ (1.7) đưoc cho boi
T (t, s)(x, y, z) = (U (t, s)x, V1(t, s)y, V2(t, s)z).

Gia su P (t), Q1(t), Q2(t) : R3 → R3 là các phép chieu đưoc xác đ%nh boi
P (t)(x, y, z) = x, Q1(t)(x, y, z) = y, Q2(t)(x, y, z) = z



Rõ ràng các phép chieu này thoa mãn các đieu ki¾n ve phép chieu trong đ%nh
nghĩa cna h¾ tam phân mũ không đeu. CHQN b = d = ω − ε, bJ = dJ =
2ε


và các hang so a, aJ , c, cJ > 0, a < ω − ε, c < ω − ε. Ta chi ra rang
ton tai
D1 = D2 = D3 = D4 = D > 1 sao cho
||U (t, s)|| ≤ Dea(t−s)+aj|s| , ||V2 (t, s)−1 || ≤ De−(ω−ε)(t−s)+2ε|t| vói t ≥ s
||U (t, s)|| ≤ Dec(s−t)+cj|s| , ||V1 (t, s)−1 || ≤ De−(ω−ε)(s−t)+2ε|t| vói t ≤ s

Vì ||U (t, s)|| = 1 nên ta có
||U (t, s)|| ≤ Dea(t−s)+aj|s| vói t ≥ s
||U (t, s)|| ≤ Dec(s−t)+cj|s| vói t ≤ s

vói MQI a, aJ , c, cJ > 0, a < ω − ε, c < ω − ε; D > 1. Ta
chúng minh
||V1(t, s)−1|| ≤ De−(ω−ε)(s−t)+2ε|t| vói t ≤ s

(1.8)

||V2(t, s)−1|| ≤ De−(ω−ε)(t−s)+2ε|t| vói t ≥ s

(1.9)

và
Ta viet lai V1(t, s) như sau:
V1(t, s) = e(−ω+ε)(t−s)+εt(cos t−1)−εs(cos s−1)+ε(sin s−sin t),


suy ra

V1(s, t) = e(−ω+ε)(s−t)−εt(cos t−1)+εs(cos s−1)−ε(sin s−sin t).

Vói 0 ≤ t ≤ s, tù (1.10) ta có
V1(s, t) ≤ e2εe−(ω−ε)(s−t)+2εt,

vói t ≤ 0 ≤ s ta
có

V1(s, t) ≤ e2εe−(ω−ε)(s−t),

vói t ≤ s ≤ 0 ta
có
V1(s, t) ≤ e2εe−(ω−ε)(s−t)+2ε|s| ≤ e2εe−(ω−ε)(t−s)+2ε|t|

mà V1(s, t) = V1(t, s)−1 suy ra V1(t, s)−1 ≤ e2εe−(ω−ε)(t−s)+2ε|t|.
Đieu này cho ta (1.8). Đe thu đưoc (1.9) ta chúng minh tương tn. Tù
V2(s, t) = e(−ω+ε)(t−s)−εs(cos s−1)+εt(cos t−1)+ε(sin s−sin t)

ta có
V2(t, s)−1 ≤ e−(ω−ε)(t−s)+2ε|t|

(1.10)


Tù vi¾c thoa mãn (1.9) và (1.8) ta có h¾ (1.7) có m®t tam phân mũ khơng
đeu.



1.1.3

Không gian con tâm, on đ%nh và không on đ%nh

Gia su rang phương trình v J = A(t)v có m®t tam phân mũ không đeu. Ta
xét ba không gian con tuyen tính
E(t) = P (t)X, Fi(t) = Qi(t)X, i = 1,

2
vói moi t ∈ R. Ta GQI E (t), F1 (t) và F2 (t) tương úng là không gian con tâm,
őn đ%nh và khơng őn đ%nh tai thịi điem t. Ta có:
X = E (t) ⊕ F1 (t) ⊕ F2 (t) vói MQI t ∈ R

và dim E(t), dim F1(t), dim F2(t) khụng phu thuđc vo thũi iem t. Nghiắm
cna (1.2) có the đưoc viet dưói dang
v(t) = (U (t, s)ξ, V1(t, s)η1, V2(t, s)η2) vói t ∈ R

(1.11)

vói vs = (ξ, η1, η2) ∈ E(s) × F1(s) × F2(s), trong đó
U (t, s) := T (t, s)P (s) = T (t, s)P (s)2 = P (t)T (t, s)P (s)
Vi(t, s) := T (t, s)Qi(s) = T (t, s)Qi(s)2 = Qi(t)T (t, s)Qi(s),

i = 1, 2.

Trong trưịng hop đ¾c bi¾t, neu không gian con tâm, őn đ%nh và không őn đ%nh
khơng phu thu®c vào t, túc là E (t) = E , Fi (t) = Fi , i = 1, 2 vói MQI t, thì
tốn tu T (t, s) phai có dang tương úng vói tőng trnc tiep E ⊕ F1 ⊕ F2 , hay T
(t, s) có the đưoc bieu dien dưói dang

U (t, s)

T (t, s) =



0

0

V1(t, s)

0

0

0 
0 
V2(t, s
)

Ngồi ra, các tốn tu
U (t, s) : E(s) → E(t) và Vi(t, s) = Fi(s) → Fi(t), i = 1, 2

là kha ngh%ch. Kí hi¾u tốn tu ngh%ch đao tương úng là U (t, s)−1 và
Vi(t, s)−1, i = 1, 2 ta có:
U (t, s)−1 = U (s, t) và Vi(t, s)−1 = Vi(s,
t)
vói MQI t, s ∈ R. Chú ý rang các bat đang thúc o (1.5)-(1.6) có the viet lai thành:
||U (t, s)|| ≤ Dea(t−s)+aj|s| ,


||V2 (t, s)−1 || ≤ De−b(t−s)+bj|t|


||U (t, s)|| ≤ Dec(s−t)+cj|s| ,

||V1 (t, s)−1 || ≤ De−d(s−t)+dj|t| .

Tiep theo ta đ%nh nghĩa góc giua hai khơng gian con F1 và F2, E và F1, E và F2
tương úng như sau
α(t) = inf{||y − z|| : y ∈ F1(t); z ∈ F2(t); ||y|| = ||z|| = 1} (1.12)
β1(t) = inf{||x − y|| : x ∈ E(t); y ∈ F1(t); ||x|| = ||y|| = 1}
β2(t) = inf{||x − z|| : x ∈ E(t); z ∈ F2(t); ||x|| = ||z|| = 1}

M¾nh đe 1.1. Vái MQI t ∈ R ta có:
1

,

≤ α(t)
≤

||Q
(t)||

1

2

1

||Q2(t)|

|,

||Q
1
(t) |

1

≤ α(t)
≤

|

2

2
||
Q2(t)||

1

2

1

≤ β1(t)
,
≤ ||P

||P
(t)(||t)|| ≤ β2(t) ≤(||P
t)||
||P
,
(t)||

,

≤ β1(t)
|Q
≤
||
.
|||(t)(||t)|| ≤ β2(t) ≤ Q
(
t)||
||12(t)||
Q2 Q

ChÚng minh. Ta chúng minh cho trưịng hop cna góc giua khơng gian con
őn đ%nh và không őn đ%nh α(t). Các bat đang thúc khác đưoc chúng minh
tương tn. Chú ý rang Q1(t)(y − z) = y vói y, z đưoc cho boi (1.12). Do đó,
1 = ||Q1(t)(y − z)|| ≤ ||Q1(t)||.||y − z||,
||
Q 1

suy ra

1(t)||


≤ α(t).

2

Tiep theo ta chúng minh α(t) ≤
.
||Q1 (t)||
Th¾t v¾y, vói moi v, ω ∈ X mà v¯ = Q1 (t)v ƒ= 0 và ω¯ = Q2 (t)ω ƒ= 0 thì
.. ||v||v¯
.|(v¯ − ω¯)||ω|| + ω¯(||ω¯ || − ||
ω¯ ..
||ω||
.. . −
||
||v¯||||
=
v¯||) | ..2||v¯ − ω¯ ||
v¯|
ω¯ ||
≤

.

|

Chú ý rang Q1 (t)(v¯ − ω¯) = v¯. Cho trưóc ε ≥ 0 ta có the cHQN v và ω sao cho
vói
z = v¯ − ω¯ ta có:
+ ε.

≤
||z ||
1
|| (t)z|| || (t)||
Q1
Suy ra
Q1

v¯
ω¯
z || −

..||

v||

2||

|| .. ||
ω||
Q1(t)z||

≤

2
||
Q1(t)||

Vì ε lay tùy ý nên ta suy ra đưoc ch¾n trên cna
α(t).


+ 2ε.


Như v¾y ta đã tìm hieu đưoc đ%nh nghĩa cna h¾ tam phân mũ khơng
đeu, phân bi¾t nó vói h¾ tam phân mũ đeu. Ngồi ra, ta cịn nghiên cúu
khơng gian con tâm, őn đ%nh và không őn đ%nh cna h¾ tam phân mũ khơng
đeu, M¾nh đe 1.1 cho ta biet rang, tính b% ch¾n đeu cna các phép chieu
tương đương vói đieu ki¾n
các góc giua các khơng gian con tâm, őn đ%nh và không őn đ%nh tách khoi 0.

1.2
1.2.1

Đa tap tâm
Các khái ni¾m cơ ban

Sn ton tai cna h¾ tam phân mũ không đeu là gia thiet yeu nhat đe thiet
l¾p sn ton tai cna đa tap tâm, chính xác hơn là các đa tap "trung gian". Ta
đưa ra mđt vi gia thiet trờn trũng vect. ắt
= max{(k + 1)aJ + bJ , (k + 1)cJ + dJ }

(1.13)

Ký hi¾u ∂ là đao hàm riêng úng vói bien thú hai, gia thiet rang ton tai m®t
so nguyên k ≥ 1 sao cho
G1. A : R → B (X ) thuđc lúp C k v thoa món ieu kiắn nghi¾m cna (1.2) xác
đ%nh vói MQI t ∈ R.
G2. f : R ì X X thuđc lúp C k và thoa
mãn 1. f (t, 0) = 0 và ∂f (t, 0) = 0 vói

MQI t ∈

R;

2.ton tai δ > 0 và cj > 0 vói j = 1, ..., k + 1 sao cho vói MQI t ∈
R và
u, v ∈ X ta có
||∂ j f (t, u)|| ≤ cj δe−β|t| vói

j = 1, ..., k,

||∂ k f (t, u) − ∂ k f (t, v )|| ≤ ck+1 δe−β|t| ||u − v||.

(1.14)
(1.15)

Chú ý rang vói MQI j = 0, ..., k − 1, t ∈ R, và u, v ∈ X ta có
||∂ j f (t, u) − ∂ j f (t, v )|| ≤ cj+1 δe−β|t| ||u − v||.

(1.16)

Xét các không gian con
E(t) = P (t)X, F1(t) = Q1(t)X, F2(t) = Q2(t)X.

(1.17)


Nghi¾m duy nhat cna v J = A(t)v có the đưoc viet dưói dang
v(t) = (U (t, s)ξ, V1(t, s)η1, V2(t, s)η2) vói t ∈ R,


(1.18)

vói vs = (ξ, η1, η2) ∈ E(s) × F1(s) × F2(s) và
U (t, s) := P (t)T (t, s)P (s),
s)Qi(s),

Vi(t, s) = Qi(t)T (t,
i = 1, 2.

Cho trưóc s ∈ R và đieu ki¾n ban đau vs = (ξ, η1, η2) ∈ E(s) × F1(s) ì
F2(s), ta kớ hiắu (x(., s, vs), y1(., s, vs), y2(., s, vs)) là nghi¾m duy nhat cna
bài tốn
v J = A(t)v + f (t, v ), v (s) = vs

vói s ≥ 0 và vs ∈ X , ho¾c nó là nghi¾m cna bài tốn
∫ t
x(t) = U (t,
sU (t, r)f (r, x(r), y1(r),
s )ξ +
∫ y2(r)) dr,
t
yi(t) = Vi(t,
Vi(t, r)f (r, x(r), y1(r), y2(r)) dr,
s)ηi +
s

(1.19)

(1.20)
i = 1, 2


vói t ∈ R. Vói moi τ ∈ R, ta viet
Ψτ (s, vs) = (s + τ, x(s + τ, s, vs), y1(s + τ, s, vs), y2(s + τ, s,
vs))
Đây là dịng đưoc sinh boi phương trình
v J = A(t)v + f (t, v ), v (s) = vs

vói s ≥ 0 và vs ∈
X.

1.2.2

SE ton tai cua đa tap tâm

Trong muc này ta giói thi¾u sơ lưoc ve đ%nh lý đa tap tâm cho điem goc cna
phương trình v J = A(t)v + f (t, v ). Đa tap tâm thu đưoc có dang như m®t đo
th%. Kí hi¾u ∂ là đao hàm riêng tương úng vói bien thú hai. Gia su X là không
gian các hàm liên tuc ϕ = (ϕ1 , ϕ2 ) : {(s, ξ ) ∈ R × X : ξ ∈ E (s)} −→ X
thu®c lóp C k sao cho vói MQI s ∈ R và x, y ∈ E (s) ta có
1. ϕ(s, E(s)) ⊂ F1(s) ⊕ F2(s);
2. ϕ(x, 0) = 0 và ∂ϕ(s, 0) = 0;


3. ||∂jϕ(s, x)|| ≤ 1 vói j = 1, ..., k và
||∂k ϕ(s, x) − ∂ ϕ(s, y)|| ≤ ||x − y||.

(1.21)

Chú ý rang theo đ%nh lý giá tr% trung bình, vói j = 0, ..., k − 1 ta có
||∂ ϕ(s, x) − ∂ ϕ(s, y)|| ≤ ||x − y||

j

(1.22)

vói MQI s ∈ R và x, y ∈ E (s). Cho trưóc m®t hàm ϕ ∈ X, xét đo th% cna ϕ
V = graph(ϕ) = {(s, ξ, ϕ(s, ξ)) : (s, ξ) ∈ R × E(s)} ⊂ R × X. (1.23)
αi = 4c1Diδ vói i = 1, 2,

Đ¾t

(1.24)

và xét các đieu
ki¾n
T1 := (k + 1)a − b + max{(k + 1)aJ ,

(1.25)

bJ } < 0, T2 := (k + 1)c − d + max{(k

+ 1)cJ , dJ } < 0.
Các đieu ki¾n này GQI là các đieu ki¾n lő hőng phő.
Bây giò ta phát bieu đ%nh lý đa tap tâm cho điem goc cna phương trình
v = A(t)v + f (t, v ), su dung kí hi¾u ps,ξ = (s, ξ, ϕ(s, ξ )).
J

Đ%nh lý 1.1. Gia thiet rang G1-G2 đúng. Neu phương trình v J = A(t)v
trong khơng gian Banach X có tam phân mũ khơng đeu, và các đieu ki¾n trong
(1.25) đúng, thì vái δ trong (1.14)-(1.15) đu nhó, ton tai m®t hàm ϕ ∈ X duy
nhat sao cho t¾p X trong (1.23) là bat bien đoi vái nua dòng Ψτ , túc là,

neu (s, ξ ) ∈ R × E (s) thì Ψτ (ps,ξ ) ∈ V vái MQI τ ∈ R.

(1.26)

Hơn nua,
1. V là m®t đa tap trơn thu®c láp C k chúa đưàng thang R × {0} và thóa mãn
T(s,0) V = R × E (s) vái MQI s ∈
R; 2.vái MQI (s, ξ ) ∈ R × E (s) ta
có

∫

s

ϕ1(s, ξ)
V1(τ, s)−1f (Ψτ−s(ps,ξ
ϕ2=
(s, ξ) = −
)) dτ,
∫∞ +∞
−
V2 (τ, s)−1 f (Ψ−τ s (ps,ξ )) dτ,


s


3.ton tai D > 0 sao cho vái mői s ∈ R, ξ, ξ¯ ∈ E(s), τ ∈ R, và j = 0, ..., k, neu
τ ≥ 0 thì
1 )τ +aJ |s|]

||∂j(Ψτ (ps,ξ)) − ∂ (Ψτ (p ¯))|| ≤(j+1)[(a+α
De
||ξ −¯ξ||,

ξ

ξ

s,ξ

(1.27)

và neu τ ≤ 0 thì
||∂j (Ψτ (ps,ξ)) − ∂ (Ψτ ¯))|| ≤ De(j+1)[(c+α2 )τ +cj|s|] ||ξ − ξ¯||. (1.28)
s,
ξ
(p ξ
ξ

Ta GQI đa tap V trong (1.23) là đa tap tâm cho điem goc cna
phương trình (1.19). Ta thay rang V là đa tap tâm duy nhat. Chú ý
rang các hang so α1 và α2 trong (1.27)-(1.28) có the đưoc làm nho tùy ý
bang cách lay δ đn nho.
Chúng minh: Xem [1][Muc 8.3, trang 176].


Chương 2

Tính thu¾n và tính ngh%ch
cua phương trình vi phân

trong khơng gian Banach
2.1

H¾ đoi xÉng

Đoi xúng đao ngưoc thịi gian là m®t trong nhung đoi xúng cơ ban
đưoc nghiên cúu trong khoa HQc tn nhiên. Do đó nó xuat hi¾n trong nhieu h¾
v¾t lý, đ¾c bi¾t là cơ HQc cő đien và lưong tu. e đây ta xét các phương trình
vi phân thưịng.
Trong muc này ta trình bày đ%nh nghĩa tốn HQc chính xác hơn cna h¾ đoi
xúng đao ngưoc thũi gian trong hắ đng lnc.
Xột hai loai hắ đng lnc, vói bien thịi gian liên tuc t ∈ R và bien thịi
gian rịi rac t ∈ Z trong khơng gian Rn. Trong trưòng hop bien thòi gian t
liên tuc
xét phương trình vi phân thưịng ơtơnơm có dang:
dx

= F (x), x ∈ n
(2.1)
dt
R
Trong đó F : Rn −→ Rn là mđt trũng vect (trn, liờn tuc), hắ (2.1) oc cho
boi m®t HQ các tốn tu tien hóa
ϕt : Rn −→ Rn

x(τ )
ϕt(x(
+ t)



(2.2)
sao
cho

ϕt1 ◦ ϕt2 = ϕt1 +t2 , MQI t1 , t2 ∈ R

Ta nói rang ánh xa (trơn, liên tuc) R : Rn → Rn là m®t đoi xúng đao ngưoc
cna (2.1) khi
dR(x)
=−F (R(x))
(2.3)
dt

ho¾c
khi

dR|x ◦ F (x) = −F (R(x))

(2.4)

Trong đó: dR|x là vi phân (Fréchet) cna R đoi vói x.
Đieu ki¾n (2.3)-(2.4) có the đưoc viet như sau:
R ◦ ϕt = ϕ−t ◦ R = ϕ−t
MQI t ∈

R.

1

◦R


vói

(2.5) Trong cơ HQc cő đien

phương trình vi phân nh¾n đưoc tù h¾ Hamilton H (q, p)
có đoi xúng đao ngưoc đưoc cho boi
R(q, p) = (q, −p)

(2.6)

Chú ý rang trong trưòng hop đ¾c bi¾t thì R là ch¾p (túc là R2 = Id).
Các khái ni¾m ve đoi xúng đao ngưoc trong trưịng hop khơng ơtơnơm là
mo r®ng tn nhiên cna các khái ni¾m ve đoi xúng đao ngưoc trong trưịng
hop
ơtơnơm
dx
= F (x, t)
(2.7)

dt
Cu the, ta GQI Ra : (x, t) → (R(x), −t + a) là m®t đoi xúng đao ngưoc cna (2.7)
dR(x)
dt

=−F (R(x), t + a)

Bang cách đưa ra m®t bien mói τ =−t
d(x, τ )
dt


( vói F J (x, τ ) := F .x, τ +
2

a

a

2

(2.8)

, phương trình vi phân mo r®ng

= (F J (x, τ ), 1)

Σ ) là ơtơnơm và có đoi xúng đao ngưoc

R0 : (x, τ ) ›→ (R(x), −τ )


Đ¾c bi¾t, ta chú ý rang ánh xa f có đoi xúng đao ngưoc R có the đưoc viet
như sau
f = R ◦ T, trong đó R2 = T 2 = Id

(2.9)

Khi R khơng phai là ch¾p ta có the bieu dien đưoc (2.9) dưói dang tőng quát
f = R ◦ T, vói R2 ◦ T 2 = Id


(2.10)

Đoi vói dịng cna trưịng vectơ khơng ơtơnơm (2.7) khi F (x, t) tuan hồn theo
thịi gian, F (x, t) = F (x, t+1) (thịi gian thu lai ve 1) thì ánh xa tro lai là
ôtônôm.
Hơn nua, de dàng kiem tra rang khi h¾ khơng ơtơnơm có tính bat bien theo
Ra thì ánh xa "thịi gian 1" đoi vói t =

a

là đoi xỳng ao ngoc.
2
%nh ngha 2.1. Mđt hắ ac GQI l đoi xúng đao ngưac khi có m®t ánh xa
R thóa mãn (2.3), ho¾c (2.8) cho dịng ơtơnơm, ho¾c dịng khơng ơtơnơm
tương úng.
Đơi khi có đơi chút nham lan ve vi¾c su dung cỏc thuắt ngu, mđt hắ oc gQI
l oi xúng đao ngưoc khi ngh%ch đao cna nó ton tai. Khái ni¾m ve tính ngh%ch
đao đưoc khác vói khái ni¾m ve đao ngưoc đoi xúng o trên. Trong đó chú ý rang
tat ca các h¾ đoi xúng đao ngưoc đeu có tính ngh%ch đao đưoc, nhưng khơng
phai tat ca các h¾ có tính ngh%ch đao đưoc đeu là đao ngưoc đoi xúng.

2.2

Tính ngh%ch cua phương trình vi phân
khơng ơtơnơm

Cho X là khơng gian Banach. Xét m®t hàm liên tuc L : R × X → X sao cho
v J = L (t, v ) là duy nhat và ánh xa kha vi S : R × X → X.

Đ%nh nghĩa 2.2. Ta nói rang phương trình v J = L (t, v ) có tính ngh%ch đoi

vái ánh xa S neu:
∂S

L (−t, S (t, v)) +

∂S
(t, v) L (t, v) = −

(t, v) (2.11)
∂t
vái MQI t ∈ R và v ∈ X . Ta cũng nói phương trình v J = L (t, v ) có tính
ngh%ch neu nó có tính ngh%ch đoi vái m®t ánh xa S nào đó.
∂v


Mắnh e dúi õy trỡnh by mđt ắc trng cna nghi¾m cna phương trình vi
phân v J = L (t, v ) có tính ngh%ch. Vói moi s ∈ R và vs ∈ X ta ký hi¾u Φ (t,
s) (vs )
là nghi¾m cna phương trình v J = L (t, v ) vói v (s) = vs . Gia thiet Φ (t, s) xác đ%nh
vói MQI t, s ∈ R.
M¾nh đe 2.1. Phương trình v J = L (t, v ) có tính ngh%ch đoi vái ánh xa S khi
và chs khi
Φ (τ, −t) (S (t, v)) = S (−τ, Φ (−τ, v) (v))

(2.12)

vái MQI t, τ ∈ R và v ∈ X .
ChÚng minh. Gia su (2.12) đúng. Ta có
∂ (Φ ( τ,± t ) (v))
= L (τ, Φ

± (τ,

t) (v))

(2.13)

∂τ

vói MQI v ∈ X . Đao hàm (2.12) theo τ , ket hop vói (2.13)
∂S
L (τ, Φ (τ, −t)) (S (t, v)) = −
(−τ, Φ (−τ, t) (v))
∂τ
∂S
−
(−τ, Φ (−τ, t) (v)) L (−τ, Φ (−τ, t) (v))
∂v
Su dung (2.12) và đ¾t ω = Φ (−τ, t) (v ) ta có
L (τ, S (−τ, ω)) = −

∂S
∂τ

∂S

(−τ, ω) −

∂v

(−τ, ω) L (−τ, ω) ,


Tù đó ta có (2.11).
Bây giò ta gia su (2.11) đúng. Cho t ∈ R và v ∈ X . Đ¾t z (t) = S (−t, Φ (−t,
s) (v)).
Đao hàm theo t và su dung (2.13) ta có
∂S
∂S
z J (t) = −
(−t, Φ (−t, s) (v )) −
(−t, Φ (−t, s) (v )) L (−t, Φ (−t, s)
(v )) .
∂t
∂v

Ket hop vói (2.11)
∂S
z J (t) = L (t, S (−t, Φ (−t, s) (v∂))) +
(−t, Φ (−t, s) (v )) L (−t, Φ (−t,
s) (v ))
v
∂S
−
(−t, Φ (−t, s) (v)) L (−t, Φ (−t, s) (v))
∂v
= L (t, S (−t, Φ (−t, s) (v))) = L (t, z (t)) .

Như v¾y z (t) thoa mãn giá tr% ban đau cna phương trình z J = L (t, z ) , z
(−s) = S (s, v ). Mà Φ (t, −s) (S (s, v )) cũng là nghi¾m cna phương trình



này, theo đ%nh lý ve tính duy nhat ta có z (t) = Φ (t, −s) (S (s, v )) vói MQI
v ∈ X và t, s ∈ R, suy ra (2.12) đúng.


M¾nh đe 2.2. Gia su L là hàm vi phân Fréchet theo v , neu phương
trình v J = L(t, v ) có tính ngh%ch đoi vái ánh xa S và S (t) là tuyen tính vái
mői t ∈ R, thì ta có các tính chat sau:
1.

Phương trình tuyen tính vJ = A (t) v có tính ngh%ch vái ánh

xa S; 2.Neu S2 = Id thì S−t ◦ St = Id vái MQI t ∈ R.
o

ChÚng minh. Đao hàm (2.11) theo v và su dung tính chat tuyen tính cna St
ta có
∂L

Cho v = 0 ta
có

∂v

∂L
(−t, St, v) St + St

∂S

∂v


(t, v) = −

∂t

(t, .)

∂S
A (−t) St + StA (t) = −
(t, .)
(2.14)
∂t
Suy ra phương trình tuyen tính v J = A (t) v có tính ngh%ch vói ánh xa S

(tính chat 1.)
Gia su S02 = Id, GQI v (t) là nghi¾m cna phương trình v J = L (t, v ), khi đó
v J (t) = L (t, v (t)). Su dung (2.11) ta có
d (S−t ◦ St) v (t)
d

(−t, St

=
∂
t

∂S
t

(v (t))) + −t
S


∂t

∂S

(t, v (t)) +
(S

◦ S ) vJ (t)
−
t

t

= L (t, S−t (Stv (t))) + S−tL (−t, Stv (t))
− S−t [L (−t, Stv (t)) + StL (t, v (t))] + (S−t ◦ St) L (t, v (t))

= L (t, (S−t ◦ St) v (t)) ,
và (S−t ◦ St ) v (t) cũng là nghi¾m cna phương trình v J = L (t, v ). Tù0 S 2 = Id, ta
có (S−t ◦ St) v (t) |t=0 = v (0) .
Áp dung đ%nh lý ve tính duy nhat cna nghi¾m ta có (S−t ◦ St ) v (t) = v (t)
vói MQI t ∈ R. Suy ra S−t ◦ St = Id vói MQI t ∈ R.

2.3

Tính ngh%ch cua phương trình vi phân
ơtơnơm

e đây ta chi ra rang khỏi niắm ve tớnh ngh%ch trong Muc 2.2 l mđt mo
rđng tn nhiờn cna khỏi niắm ve tớnh ngh%ch trong trưịng hop h¾ ơtơnơm.

Cho L : X → X là hàm liên tuc trong không gian Banach X , như v¾y
phương trình


v J = L (v ) sinh ra m®t dịng (ϕt )t∈R trong X. Ta nói rang v J = L (v ) có tính ngh
%ch đoi vói ánh xa T : X → X neu
L◦ T = −T J ◦ L.

(2.15)

Chú ý rang neu hàm L (t, v) o Đ%nh nghĩa 2.2 khơng phu thu®c t khi đó ta có
St = T vói MQI t ∈ R, (2.11) và (2.15) đong nhat.
Tương tn như phương trình tőng quát trong trưịng hop khơng ơtơnơm, có
m®t sn mơ ta tính ngh%ch cna phương trình ơtơnơm trong đieu ki¾n cna nghi¾m
cna v J = L (t, v ). Trình bày dưói đây l mđt hắ qua trnc tiep cna Mắnh e
2.1,
v thnc te là trong trưịng hop ơtơnơm Φ (t, τ ) = ϕt−τ vói MQI τ ∈ R.
M¾nh đe 2.3. Phương trình v J = L (v ) có tính ngh%ch đoi vái ánh xa T khi
và chs khi ϕt ◦ T = T ◦ ϕ−t vái MQI t ∈ R.
Ket qua sau đây chi ra rang khái ni¾m cna tính ngh%ch trong Muc 2.2 là
m®t mo r®ng tn nhiên cna khái ni¾m tính ngh%ch cna phương trình vi
phân ơtơnơm.
M¾nh đe 2.4. Phương trình v J = L (t, v ) có tính ngh%ch đoi vái ánh xa S :
R × X → X khi và chs khi phương trình ơtơnơm
tJ = 1, v J = L (v )

(2.16)

có tính ngh%ch đoi vái ánh xa T : R × X → R × X xác đ%nh bái
T (t, v) = (−t, St (v)) .


(2.17)

ChÚng minh. Vì phương trình v J = L (v ) có nghi¾m duy nhat và tồn cuc,
phương trình ơtơnơm trong (2.16) xác đ%nh m®t dịng ϕτ trên R × X cho boi
ϕτ (t, v) = (t + τ, Φ (t + τ, t) (v)) ,

vói Φ o M¾nh đe 2.1. Theo M¾nh đe 2.3, phương trình (2.16) có tính ngh
%ch đoi vói ánh xa T khi và chi khi
ϕr ◦ T = T ◦ ϕ−r;

r ∈ R.

(2.18)

Vói MQI (t, v ) ∈ R × X , ta có
.
Σ
(ϕr ◦ T ) (t, v ) = ϕr −t, St(v) = (r − t, Φ (r − t, −t) (St (v ))) ,


và
(T◦ϕ−r) (t, v) = T (t − r, Φ (t − r, t) (v)) = (r − t, St−r (Φ (t − r, t)
(v))) .
So sánh hai đong nhat thúc ta suy ra (2.18) đúng khi và chi khi (2.12) đúng (đ¾t
r − t = τ ), suy ra phương trình v J = L (t, v ) có tính ngh%ch đoi vói ánh xa S .
Cũng như h¾ qua cna Mắnh e 2.4, tớnh ngh%ch cna mđt phng trỡnh
khụng ơtơnơm có the đưa ve m®t phương trình ơtơnơm. Chú ý rang T 2 (t,
v) = (t, (S−t ◦ St) (v)). Theo M¾nh đe 2.2, neu L là hàm vi phân Fréchet
theo v, St tuyen tính vói moi t ∈ R, và S2 = Id thì T 2 = Id hay T là ch¾p.

◦

2.4

Ví dn

Ví dn 2.1. H¾ Hamilton
á dang đơn gian nhat h¾ Hamilton H(q, p) là hàm đưac cho bái:

 dq = ∂ H
d
∂
dp
t
p∂H
= −

d
∂
t
q
Tính chat cua h¾ Hamilton: H (q, p) = H (q, −p)

Trong trưàng hap cua cơ HQc cő đien, phương trình vi phân thưàng nh¾n
đưac tù h¾ Hamilton có tính ngh%ch đoi vái ánh xa T đưac xác đ%nh bái T : R2
→ R2 , T (q, p) = (q, −p)
Ta có
T

2


(q, p) = T (T (q, p)) = T (q, −p) = (q, p)
T j = 1

v
à

0



Tính H ◦ T và T J ◦ H

suy ra T 2 = Id,

−

0 1
H ◦ T (q, p) = H (q, −p) = H (q, p) ,
1
0 


 



J
∂H
∂H=  ∂p

T
◦
H
(
q,
p
)
=

=


∂p

−H (q, p)

0 −1

suy ra H ◦ T = −T ◦
H.
J

−

∂H

∂H

∂q


∂q


Ví dn 2.2. Xét phương trình vi phân xJ = L(x), trong đó L : R → R , L(x) =
x (1 − x).
Phương trình xJ = L (x) có tính ngh%ch đoi vái ánh xa T : R → R đưac xác đ
%nh bái T (x) = 1 − x.
Th¾t v¾y ta có
L ◦ T (x) = L (1 − x) = (1 − x) x,
T J ◦ L (x) = (1 − x)J (1 − x) x = − (1 −
x) x,

suy ra L ◦ T = −T J ◦ L.
∂ξ

∂4 ξ

∂2

+
+ 2α
ξ ∂x2 +
∂t
ξ + ∂x4
= 0 thì phương trình trên có tính ngh%ch vái bien x.

Ví dn 2.3. Xét phương trình vi phân:
Vái
∂ξ


∂t

.

Σ2

∂ξ =
∂

0

Phương trình vi phân cap 4 á trên có the đưac viet như mđt hắ bon phng trỡnh
2
vi phõn cap 1 oi vỏi bien ξ, ∂ξ ∂ ξ

∂x

,

∂x2





∂3ξ
∂x3

như sau:


,

q = q2

= q3
1



J

q

= q4
= −2αq3 − q1 −2 q2

2
J

q
3
J

q
4
J

∂ξ
∂2ξ
∂3ξ

Trong đó ξ = q1,
= q2, 2 = q3, 3 = q4.
∂x
∂x
∂x