BỘ CÔNG THƯƠNG

NỘP BÀI TẬP KẾT THÚC MÔN HỌC
010100616712 – TỐN CAO CẤP C2 – NHĨM


Nhóm 3 thực hiện
BÀI TẬP CUỐI KHỐ MƠN TỐN CAO CẤP C2 _ NHÓM 3
ĐỀ SỐ 03
Bài 1: Cho các ma trận:
A=(

−1 1
), B=(
) và C = ( 2 0)
2
0 −1 �
1 3

2 1
3

1

2

1

1.1 : Tìm ma trận D = 2��+BC.

2 1

2
Ta có: A = (
) ⇒ �� = (
3 2
1
23
4
)=(
Do đó: 2�� = 2 ×(
1 2
2
1

2
1

3

)

2
6
)
4

−1 1

4
4
) × ( 2 0) = (

).
Lại có: BC = (
0 −1 �
�
−
2
3
1 3
4 6
4
4
Mà D = 2� � + BC ⇒ D = (
)+(
)
2 4
�−2 3
8
10
= ( � 4 + 3)
8
10
Vậy ma trận cần tìm là D = (
).
� 4+3
1.2 : Tìm ma trận X sao cho AX = B.

Ta có: AX = B ⇒ X = �−1 ×B.
Lại có: �−1 =

1


×�� mà Det A = 2 × 2 - 3 × 1 = 1

⇒
Và ��

1

=

1
1

= 1 (*)

�

2 1
2 −1
= ( 3 2) = ( −3 2 ) (**)
2
−1
Từ (*) và (**) ⇒ �−1 = (
).
−3 2
2 −1
1
)×(
Do đó: X = �−1 × B = (
2


2

1

)


Nhóm 3 thực hiện

−3

2

0 −1 �

3


2
5
2−�
= ( −3 −8 −3 + 2�)
2
5
2−�
Vậy ma trận X = (
).
−3 −8 −3 + 2
Bài 2:


 1 0 0 3 
2 3 0 4
.
2.1 : Tìm hạng của ma trận A = 
 4 −6 2 6 
−1 3 4 −25



Hạng của ma trận là số dòng khác 0 của ma trận bậc thang.
d2 →d2 −2d1

d3 →d3 −4d1
1 0
1 0 0 3 


2 3 0

d4 →d4 +d1
0 3

4


Ta có: A =
→
 0 −6
 4 −6 2 6 




0 3
−1 3 4 −25



d3 →d3 +2d 2
d4 →d4 −d2

→

1

0

0

0


0
3
0
0

0 3 
0 −2 


2 −10 

4 −20


d →d −2d

1

0
0

0


4
4
3
→

0 3 
0 −2 
2 −6 
−22
4

0
3
0
0


3 

−2

2 −10 
0 0

0
0

⇒ r(A) = 3.
Vậy hạng của ma trận A là r(A) = 3.
� � �
2.2 : Biện luận theo hàm số m số hạng của ma trận A = ( � � � )
� � �
Det A = (�3 + 33 + 33) – (9m + 9m + 9m)
= �3 + 54 − 27� = �3 − 27 + 54
• Nếu detA ≠0 ⟺ �3 − 27 + 54 ≠ 0
�≠
⟶
{
−6
�≠3

⟹ rank (A) = 3


 −6


3
3



3
• Nếu m = -6 ⟶ A = 
 3


⟶2� +



 −6

3

3

−9

9 


�



−6

3
3



2

2

1

�3⟶2�3+� 1



0

9
→



0

 −6 3 3 
�3⟶� 3+2 
−9 9
→
⟹ rank (A) = 2
0

6






3 3

• Nếu m = 3 ⟶ A =  3 3
3 3


0

0

0




3
 ( 3 dòng giống nhau nên bỏ 2 dòng)
3
3

⟹ rank (A) = 1
Bài 3:
� −� �

3.1 : Cho ma trận A = (�
� �) và B là ma trận vuông cấp 3 có det(B) = −�.
� � �
�
Tính det (2A� ).
Ta có : det (2A.��) = det (2A) × det (� �)
 Det 2A = 23 × det A = 8× det A

1 −1 1
det A = |� 1 4|
1 1 2
=

[1×1× 2 + (−1) × 4×1+1× a ×1] - [1×1×1+1× 4×1+ (−1) × a × 2]

= ( -2 + a ) – ( 5 − 2a ) = 3a – 7
Do đó: Det (2A) = 8 ×(3a-7) = 24a - 56
Lại có: det (B) = -1.


Mà det (� � ) = det (B) = -1.
⇒ det ( 2A��) = det (2A) ×det( ��) = (24a – 56) × (-1) = -24a + 56.


Nhóm 3 thực hiện

3.2 : Giải phương trình

1


1

Xét ma trận A =
2
−2


−2 x 1

1
1
2

x
1

2 1
3 0 = 12

−2

0

2 1

−2

x

x


2

1

1


1
0

3
2

0
1


d2 →d2 −d1
d3 →d3
−2d1
d4 →d
4 +2d1

→

x+2 2−x
⇒ det A = (−1)(1+1)
×


x
1
1 −2


0 x+2 2−x 0


0
5
3 − 2x −2
0 −4 2 + 2x 3



0

5

3 − 2x −2

−4

2 + 2x 3

= [3×(3 − 2x) ×(x + 2) + 8×(2 − x) ] − [ (2 − x) ×15 + (x + 2) ×(2 + 2x) ×(−2) ]
= [(9 − 6x) ×(x + 2) +16 − 8x] −[30 −15x + (−2x − 4) ×(2 + 2x)]
= (9x +18 − 6x2 −12x +16 − 8x) − (30 −15x − 4x − 4x2 − 8 − 8x)
= −2x2 +16x +12


Mà

1
1

−2 x 1

2

x
1

2 1
3 0 = 12

−2

0

2 1

x = 0

↔
↔ −2x2 +16x +12 =

x=8

12


Vậy x=0 hoặc x=8.

 x − y + 2z = 2

Bài 4:


4.1 : Giải hệ phương trình bằng
7


Nhóm 3 thực hiện


phương pháp Gauss

2x + y + 3z = 5

 4x − y + 7z = 9


8


 1 −1 2 2

2 1 35
���ó:

(�|�)=



4



−1 7 9 
�3⟶� 3−�

→

rank(A) = 2 =

d2 →d2
−2d1
d
→
−4
d

 1 −1 2 2 


0 3 −1 1

d

→
3
3

1



0

3



−1 1 

 1 −1 2 2 


 0 3 −1 1 


 0 0 0 0

Hệ phương trình vơ số nghiệm và phụ thuộc

()

rank A ≤ 3
n − r = 3 − 2 =1tham số nghiệm
1

� − � + 2�= 2
Hệ {

⟺
3� − � = 1

�=2+(
+
3

{

1

3

�) − 2�=

� =1 +1�
3

7
3

5

−3 �

3

� = � (� ∈ �)

� 7− 5�

3
3
Vậy nghiệm tổng quát: { = 1
1
3 +3 �
�
=
=( ∈ )
4.2 : Sử dụng phương pháp Cramer, xác định giá bán của các hàng hóa ở

thị trường cân bằng:
Ở trạng thái thị trường cân bằng: QS=QD

⇔

⇔

��1 = ��1 (�ℎè)
�2(����)
{ ��2 = �
��3 = �3(�
�)
−20++3�22
� 1=
=40
20−−2��21 −−2223
{ −10


−5 + 23 = 10 − 1 + 2 − 3


⇔{

31 + 22 = 40
52 + 23 = 50
�1 − 2 + 53 = 15

3


 3 2 0 40
3 2
40
3 2
40 

0

0


 �3⟶3�3−� 1 


�
⟶
�
+
�
50

3
2
0 5 2 50
0 50 3
0
 → 5 2 
(�|�)= 
 5

 →

0 −5 15 5
0 0 17 55
 1 −1 5 15




3� + 2� = 40
{5� + 2� = 50

→

17�= 55
Vậy � =

{

128
17


,�=



�=

128
17

�=

148
17

�=

148
17







55
17

,�=


55

17

Bài 5:
5.1 : Xác định giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm:

x1 + 2x2 + x3 + 2x4 = −1
{ 2x1 + 5x2 − x3 + 3x4 = 1
−x1 + x2 − 10x3 − 5x4 = m2
1 2 1
2

2 5 −1
3

−1  �2⟶� 2−2�1  1 2
 �3⟶� 3+� 1 
1


→
 −1 1 −10 −5 m2




Để phương trình có nghiệm


1

2

−1 

1
 0 1 −3 −1 3  →
0 3
−3 m2 −1

−9
r ( A) = r

( A)

 1 2 1 2 −1 
−3 −1 3
0

 �3⟶3−3�2 

=2

Nên �2 − 10 = 0 ↔ �
± 10
=
5.2 : Giải và biện luận theo tham số m hệ phương trình sau:

4x + 3y = 1

{−2y + (m − 1)z = 0
x + 3z = 1


0 0 0

0


m −10
2


Ta có:
1

4 3
0
∆= (0 −2 � −
1

0

|∆| = (−24 + 3− 3

3

1
|0 )
1


) − (0 + 0 + 0) = 3 − 27

 Để phương trình có nghiệm duy nhất thì |∆| ≠ 0
↔ 3 − 27 ≠ 0


↔� ≠9
 Để phương trình có vơ số nghiệm thì |∆| = 0
↔ 3�
− 27 = 0
↔�=9
Bài 6: Trong không gian vector � 3 , cho hệ
� = {� = (−1,1,2), � = (� , 1,1), � = (1, −1,2)}
6.1 : Xác định giá trị m để S là một cơ sở của không gian ��

−1 1 2
|� | = | � 1 1|
1 −1 2
|� | = (−2 + 1 − 2 ) − (2 + 1 + 2)
|�| = −4 − 4
Ta có: detA ≠ 0 ↔ −4 − 4 ≠ 0
↔ −4 ≠ 4
↔ � ≠ −1
Vậy m ≠ -1 thì S là cơ sở của khơng gian vector �3.
6.2 : Trong trường hợp S là cơ sở của �� , hãy tìm tọa độ vector � = (−�, �, �)

đối với cơ sở S.
Ta có: � = 2 (∀� ∈ � \{−1})
→ =


{� = (−1,1,2), = (2,1,1), =

(1, −1,2)}

++ =�
−+ 2 + = −1
↔{ + −�=1 2
+ +2=2
�=1
↔ {� = 0
�=0
1
Vậy tọa độ vector x là [�]� = [0]
0
Bài 7: Trong không gian vector R3 , cho hai hệ vector


� = {�� = (−�, �, �), �� = (�, −��, −�), �� = (−�, �, � + �)}
� = {�� = (�, �, �), �� = (�, �, �), �� = (�, �, �)}
7.1 : Xác định giá trị của m để hệ U là phụ thuộc tuyến tính.

−2
1
3
|� | = | 1 −2� −2 |
−1
2
�+ 1
= 4�2 + 4 + 8 − 6 − 8 − � − 1

2
= 4�
− 3�− 1

Để hệ U phụ thuộc tuyến tính thì det(A)= 0
↔ 42 − 3 − 1 = 0
1
→ �= 1, � = −
4
7.2 : Tìm điều kiện để vector x= (��,�� ,� � ) là tổ hợp tuyến tính của hệ V

1 2 3

�

 1

2

→ 0

−3

d2 →d2 −4d1

1

�̅ 2)= (�|�) = (4 5 6 |
�
7 8 9 �3


d

3→

 0 −6


2
−3

d3



−2 
d

 2→ 0

 0

0



3
−6

x1

x − 4x

Vậy để x = (x1, x2 , x3 ) là tổ hợp tuyến tính thì r(A) = r (� ̅)

x3 − 2x2 + x1 = 0 ⟺ �3 = 2�2 − 1

Bài 8: Cho phép biến đổi tuyến tính f : R2→ �� thỏa
�(�, �) = (�, �), �(�, �) = (�, �)
8.1: Tìm biểu thức xác định của f
�(�, � ) = (��+��,�� + ��

)



2
1

0 x − 2x + x 
3
2
1

Ta thấy: r(�)= 2, r(�̅)= 3.

Do đó:

x1

d3 →d3 −7d1


1

3




−6 x
− 4x
2
1
−12 x − 7x 
3
1


�(1,0) = (, � ) = (3,1)
�(1,2) = (2+ ,2+ 2� ) = (1,5)


→
1 {

�=3
� + 2�=

�=3
�
= −1

→{
�=1
�=2

�=1
� + 2�=
5

→ �(,� � ) = (3� − �, �+ 2�

)

8.2: Tìm ma trận của f đối với cơ sở của �� là � = {� = (�, �), � = (�, �)}
�(, � ) = (3 − , + 2)

 a1 + b1 = 2
a
 1= 1
f(u) = f(1,1) = (2,3) có hpt sau:  + 2b = 3 ⇔ b = 1
a
 1
 1
1

 a2 + b2 = 1
a2 = −3
f(v) = f(1,2) = (1,5) có hpt sau:  + 2b = 5 ⇔ b = 4
a
 2 2
 2

 1 1
Vậy ma trận f cần tìm là 
.
 −3 4
Bài 9: Cho ánh xạ tuyến tính

3

3

f : R → R xác định bởi

f (x1 , x2 , x3 ) = (x1 + 2x2 ,2x2 + x3 , x1 + x3 )
9.1 : Tìm một cơ sở và số chiều của ker f .

x1 + 2x2 = 0

0
Ta có hệ phương trình tuyến tính 
3
2x 2+ x =
x +x =0
 1 3
Thực hiện phép biến đổi sơ cấp dòng trên ma trận mở rộng của hệ phuơng trình tuyến
tính:

1 2

0 2


0 0
1


→
d
d
1
0   
−
d → 0

3

1

3

0 0
1 2


→
d
d
2
1 0   
2
+
d

 → 0
2

3

2

3

0 0

1 0



1
 10 0




0
2

−

Từ ma trận cuối cùng, ta được nghiệm của hệ
là:



1 0

x1 = x2 = x3 = 0

0


0

2 0 


Mà các vector: u1 = (1,2,0);u2 = (0,2,1);u3 = (0,0,2) độc lập tuyến tính
→ {(1,2,0), (0,2,1), (0,0,2)} là một cơ sở
ker f =0
của
9.2 : Tìm một cơ sở và số chiều của Im f .

Chọn một cơ sở tùy ý
của

Do đó:

Im f =

R3 , chẳng hạn cơ sở chính tắc. Khi đó,
f (1,0,0) =
(1,0,1) ta có: f (0,1,0)
= (2,2,0) f (0,0,1) =
(0,1,1)


(1,0,1); (2,2,0); (0,1,1)

Lập ma trận có các dịng là vector trong tập sinh
của

 1 0 1


Im f  2 2 0 


 0 1 1

Dùng phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa ma trận về dạng bậc thang

1


2 2
0 1

 �2⟶� 2−2�1
0→
1


Vậy Im
f


�2⟷�

1 0




1 0 1 
1 0 1 



0 1 1  �3⟶� 3−2�2 0 1 1

0 2 −2  →
0
−4 

0





có một cơ sở là {(1,0,1); (0,1,1);

dim Im f =3

(0,0,−4)},
Bài 10: Giả sử trong nền kinh tế có ngành sản xuất: ngành 1, ngành 2 và ngành 3.

 0,4 0, 0,2
100 
1




0,1
Biết ma trận hệ số kỹ thuật
là
0,3
A =  0,2
0,4


0,3

0,2 và



B =  400 



900

là ma trận giá trị





cầu cuối cùng đối với sản phẩm của các ngành sản xuất (đơn vị tính: nghìn
tỷ đồng).
10.1 : Hãy tìm ma trận nghịch đảo của ma trận (I − A ) , trong đó I là ma trận cấp 3.

I 3× → (I − A)
Ta có:

−1


 1 0 0 

 
0,4
(I − A ) = 0 1 0 −
0,2

 
0 0 1 

 
0,1
0,6
det(I − A) = −
0,2
− 0,1

(


I − A)

−

(AI −
)T

−
0,1
0,7
−
0,4

−
− 0,2
0, 0,2  0,6
1
0,1
0,3 0,2   0,2 0,7 − 0,2
 = −

0,4 0,3  − 0,1 − 0,4 0,7 

− 0,2
1
− 0,2 = ≠ 0
0,7

5


T
 (I − A)11 (I − A)12 (I − A)13 
1
1 =
det ( I − A)⋅  (I − A) 21 (I − A) 22 (I − A) 23 
(I − A)
(I − A)
(I − A)

31
32
33 
−0, 2 −0,1 
 0, 6

= −0,1
−0, 4 ( ∗ )
0, 7


−0, 2 −0, 2
0, 7



∗(I − A)
11

∗(I − A)

12

∗(I − A)

13

∗(I − A)

0,
7
−0, 2

=
( −1)12

−0,1
4

=
( −1)13

−0, 2
7

0,

−0,1
7

0,


=
−0,
( −1)21 2
−0,
2
−0, 2

21

∗(I − A)
22

∗(I − A)23

−0, = 0, 41
4
0, 7
= 0,15
−0,

=
( −1)11

=
( −1)22

0,
6
−0, 2


−0, 2
−0,1

= 0,16

= 0,16

0, 7
−0,1
0, 7

= 0, 4


= ( −1)23

0, 6
−0, 2

∗(I − A)31

= ( −1)31
2

−0,
2

−0,
2


−0,

−0,1 = 0,15

0, 7
∗(I − A)32
∗(I − A)

33

0, 6
= ( −1)3
−0,1
2
0, 6
=
( −1)33
−0,1

= 0,16

−0,
4

−0,1 = 0, 25
−0,
4

= 0, 4


−0,
2
0, 7

 0,41 0,15 0,16  
2,05
1 
−1
(∗) → (I − A) = ⋅
0,4 0,16 =  0,8
0,16

 
1
0,25

0,15
0,4  

5

0,75

0,75 0,8
2

0,8 



1,25

2


Vậy

(I − A)

−1

 2,05

=

2

0,8

0,8


1,25

2 

0,75

0,8
 0,75



10.2 : Hãy xác định ma trận tổng cầu X của các ngành sản xuất trên trong mo hình

InputOutput:

det(I − A)
=

X = AX + B (1) .

0,6
−
0,2
−
0,1

−
0,1
0,7
−
0,4

−
1
0,2 = ≠ 0
5
−
0,2
0,7


(1 )

X − AX = B
⇔
⇔ IX − AX = B
⇔ (I − A ) X = B

⇔ X = (I − A) ⋅ B
 2,05 0,75
⇔ X = 0,8
2
−1

0,8 100  1225 
0,8  ⋅  400  =  1600 



0,75 1,25


 

2   900 
 





2375 




Vậy giá trị tổng cầu của các ngành 1,2,3 lần lượt là �1 = 1225 (nghìn tỷ đồng), �2 =
1600 (nghìn tỷ đồng), �3 = 2375 (nghìn tỷ đồng).

Cảm ơn quý thầy cơ đã xem đầy đủ bài tập của nhóm 3. Trong q trình hồn thiện,
cịn một số sai sót rất mong nhận được cảm thơng từ phía thầy cơ.