CÁC DẠNG BÀI TỐN CĨ KHẢ NĂNG CĨ TRONG ĐỀ THI 2019- 2020 ( THAM KHẢO)
DẠNG 1: PHẦN CĂN THỨC
Bài tốn tính đơn giản
Bài tốn rút gọn

Bài 1: (1,5 điểm)
4 16

1) Thực hiện phép tính :

2) Rút gọn biểu thức M =
Bài 1: (1,5 đ)

–3

a a
( a 1

9

+ 1)(1 +

a a
1 a

) , với a ≥ 0 ; a

 1.

1) Thực hiện phép tính: 4 9  9 4 .
P=

x ( x +1)

2) Rút gọn biểu thức:

x +1

x ( x -1)

+

x -1

; Với x ≥ 0; x ≠ 1.

Bài 1: ( 1,5 điểm )
1) Tính : 3 16  5 36 .
x
1
x 1


x  1 x x
x .

2) Chứng minh rằng với x > 0 và x 1 thì
Bài 1. (1,5điểm).

1/ Thực hiện phép tính : ( 2 – 1)( 2 + 1).
Bài 1: (1.5 điểm) 1) Thực hiện phép tính: 2 9 + 3 16

( a

b) 2  4 ab
ab
a b
:a b b a

Bài 1. (2điểm). Cho biểu thức P =
a) Xác định a, b để biểu thức có nghĩa và hãy rút gọn P.
b) Tính giá trị của P khi a =

15  6 6

+

33  12 6

và b =

.

24 .

Bài 3: (1,5 điểm)
Thu gọn các biểu thức sau:
A
B (2 

1
2 x

1


x  x x  1 x  x với x > 0; x 1

3) 26 15 3  (2  3) 26  15 3

Bài 2: (1,0 điểm)
Rút gọn biểu thức A ( 10  2) 3  5
1) Rút gọn biểu thức:


A=  1 


1


 x x ;
x 1 
với x ≥ 0.





Câu 2 (2,0 điểm): Cho biểu thức:


a

a 
a
a



 :

a  b b  a   a  b a  b  2 ab 

A=
với a và b là các số dương khác nhau.


a  b  2 ab
b a
a) Rút gọn biểu thức A –
.
b) Tính giá trị của A khi a = 7  4 3 và b = 7  4 3 .
Câu II ( 1,0 điểm)
1
1  a +1

P= 
+
:
2
a
a
2

a

 a-2 a
Rút gọn biểu thức
6
M
 (2  3)2  75
2 3
a) Cho biểu thức :

với a > 0 và a 4 .

Câu I ( 2,0 điểm)
1) Giải phương trình:

43  x x  1

A
2) Rút gọn biểu thức:

10 x
2 x 3
x 1


x 3 x  4
x  4 1 x

( x 0; x 1)


Câu 1 (2,0 điểm)
1) Rút gọn biểu thức

P



3 2



2





3 2



2

Bài 3: (1,5 điểm)
Thu gọn các biểu thức sau:
5 5
5
3 5



5 2
5  1 3 5
x
1  
2
6 

B 


 : 1

x 3 
x x 3 x 
 x 3 x

A

(x>0)

Bài I (2,0 điểm)
1) Tính giá trị của biểu thức
2) Cho biểu thức

A

x 1
x1

1  x 1

 x 2
P 

.
x 2 x  1
 x 2 x

c/ Rút gọn biểu thức A =

( √√x +2x + √ x2− 2 ) : √x+x+42

Bài 1: (2 điểm)
1

a) Thực hiện phép tính:
Bài 1: (2,5 điểm)
1) Rút gọn biểu thức:
15  10

3 2

a)
b)





2 1


2

4 2 3

35  10
7 2



2 3 

2 248
124

Bài 1: (3 điểm)
1) Rút gọn biểu thức:

khi x = 9

3+ √ 5 3− √ 5
+
3 − √5 3+ √5

:

3 1
2 1

với x > 0 và


x 1

với x  0 và x 4


Bài 1: (3 điểm)
1) Rút gọn biểu thức:

-

1
1
+
2+ √ 5 2− √ 5

DẠNG 2: ĐƯỜNG THẲNG VÀ PARABOL
Vẽ đường thẳng y = ax ; y = ax + b ; y = ax2
Tìm giao điểm của (p) và (d).
Tìm tham số để hàm số đi qua một điểm, đồng biến, nghịch biến.
Mối liên quan của (p) và (d) để chuyển về các dạng bài toán của vi-et.
1.Cho đường thẳng (d): y = 2014x + m. Xác định m để (d) đi qua điểm A (1; –1)
3) Cho hàm số bậc nhất y = (2m + 1)x – 6 .
a) Với giá trị nào của m thì hàm số đã cho nghịch biến trên R?
b) Tìm m để đồ thị của hàm số đã cho đi qua điểm A (1;2 ).
Bài 2. (2 điểm).
Cho parapol (P) : y = x2 và đường thẳng (d) : y = 2x + m2 + 1 (m là tham số)
1/ Xác định tất cả các giá trị của m để (d) song song với đường thẳng
(d’): y = 2m2x + m2 + m
2/ Chứng minh rằng với mọi m, (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B.
2

2
3/ Kí hiệu xA, xB là hồnh độ của điểm A và điểm B. Tìm m sao cho x A + x B = 14

Bài 2: (2,0 điểm)
P : y x2
d : y 2 x  m2  1
Cho parapol  
và đường thẳng  
(m là tham số).
d
d ' : y  2m 2 x  m 2  m
1/ Xác định tất cả các giá trị của m để   song song với đường thẳng  
.
d
P
2/ Chứng minh rằng với mọi m,   luôn cắt   tại hai điểm phân biệt A và B.
2
2
3/ Ký hiệu x A ; xB là hoành độ của điểm A và điểm B. Tìm m sao cho x A  xB 14 .

Bài 2: (2.5điểm) 1) Cho hàm số y = x2 có đồ thị là (P) và đường thẳng (d): y = x + 2
a) Vẽ ( P ) và ( d ) trên cùng một hệ toạ độ Oxy
b) Bằng phép tính hãy tìm toạ độ giao điểm của ( P ) và ( d )
2) Trong cùng một hệ toạ độ Oxy cho 3 điểm: A(2;4);B(-3;-1) và C(-2;1) . Chứng minh 3 điểm A, B, C
không thẳng hàng.

Bài 2. (1,5điểm).
1
2 x2


1) Cho hàm số y =
có đồ thị là (P) .
a) Vẽ (P).
b) Với giá trị nào của a thì điểm M(2; 4a) thuộc (P) .
2) Cho hai đường thẳng (d1): y = m2x + 2m – 1 và(d2): y = 4x + m + 1. Tìm giá trị của
tham số m để hai đường thẳng (d1) và (d2) song song với nhau.
Bài 1. (2điểm).


Cho Parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d) có phương trình: y = 4mx + 10 .
a) Chứng minh rằng với mọi m,(d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
b) Giả sử (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hồnh độ x1; x2
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức F = x12 + x22 + x1.x2 khi m thay đổi.
Bài 2: (1,5 điểm)
1
1
y  x2
y  x  2
4 và đường thẳng (D):
2
a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số
trên cùng một hệ trục toạ độ.

b) Tìm toạ độ các giao điểm của (P) và (D) ở câu trên bằng phép tính.
Bài 3: (1,5 điểm)
Biết rằng đường cong trong hình vẽ bên là một parabol y = ax2.
1) Tìm hệ số a.
2) Gọi M và N là các giao điểm của đường thẳng
y = x + 4 với parabol. Tìm tọa độ của các điểm M và N.


y=ax2

2

2
a) Tìm m để đường thẳng y = (2m-3)x-3 cắt trục hồnh tại điểm có hồnh độ bằng 3 .

Câu 3 (2,0 điểm):
a) Tìm m để các đường thẳng y = 2x + m và y = x – 2m + 3 cắt nhau tại một điểm nằm trên
trục tung.
Câu 3 : ( 1,5 điểm) Cho parabol (P) : y = x2
a) Vẽ đồ thị (P)
b) Xác định m để đường thẳng ( d) : y = mx – 4 tiếp xúc với (P)
Bài 2: (2.0 điểm)
2

Cho parabol (P): y 2 x và đường thẳng (D): y=x-m+1( với m là tham số).
a) Vẽ Parabol (P)
b) Tìm tất cả các giá trị của m để (P)cắt (D) có đúng một điểm chung.
c) Tìm tọa độ các diểm thuộc (P) có hồnh độ bằng hai lần tung độ.

Bài 2: (2 điểm)
Cho đường thẳng (d): y = mx

m
x2
– 2 – 1 (m là tham số) và Parabol (P): y = 2
3 1
; )
C( 2 4 có nằm trên Parabol (P) khơng ? Vì sao


a) Các điểm A(0; 0); B(1; 2);
?
b) Với giá trị nào của m thì (d) tiếp xúc với (P) ? Hãy tìm tọa độ tiếp điểm trong trường hợp
đó.
3) Cho hàm số: y = 3mx – 3(m + 1). Với giá trị nào của m thì độ thị hàm số đi qua điểm (2; –6) ? Vẽ đồ thị
hàm số ứng với giá trị m vừa tìm được.

3) Cho hàm số y = ax2. Xác định hệ số a biết rằng đồ thị của hàm số đi qua điểm có tọa độ (–
2; 2). Vẽ độ thị của hàm số ứng với giá trị của a vừa tìm được.
2) Xác định a để đường thẳng ax – y – 1 = 0 đi qua giao điểm của hai đường thẳng
2x – y + 3 = 0 và x + y +3 = 0
2) Cho hàm số: y = (m+2)x – 2m – 1
a) Tìm m để hàm số đã cho là đồng biến và đồ thị của nó qua hai điểm (– 2; 1)
b) Tìm giá trị của m để cùng một hệ trục tọa độ đồ thị của hàm số đã cho cắt đồ thị hàm số
tại một điểm duy nhất.

Bài 1: (3 điểm)
1) Vẽ đồ thị hàm số: y = x + 1

y=−

1
x +2
4


2) Tìm m để đồ thị hàm số (m + 1)x + my – 6 = 0 và mx + (2m – 1)y + 7 = 0 cắt nhau tại một
điểm trên trục hồnh.
Bài 1: (3điểm)

Tìm a để đường thẳng y = (a – 1)x + 2 và y = (3 – a)x – 1 song song.

DẠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH
- Giải hệ phương trình đơn giản
- Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất, vơ số nghiệm, vơ nghiệm
- Tìm m để hệ có nghiệm thỏa mãn (x,y)=m .
Bài 1: (NH2013-2014)Giải hệ phương trình :
Bài 2. (2 điểm). NH 2008-2009

 x  y  xy  1

 x  2 y  xy  1

x  my 3m

2
a) Cho hệ phương trình mx  y m  2

Tìm m để hệ có nghiệm (x; y) thỏa mãn x2 – 2x – y > 0
1
1
2
a) Giải phương trình : x – x – x + x – 10 = 0.
Bài 1: (1,5điểm) NH 2001-2002
3 x  2 y 6

Cho hệ phương trình:  ax  y  3
2

b) Giải hệ phương trình trên với a = 4

3
x
c) Tìm giá trị của a sao cho hệ trên có nghiệm x, y thỏa mãn: y = 4
 nx  y 2

Bài 2: Cho hệ pt 3x  ny 5 ( NH 2003-2004)
a) Tìm nghiệm (x; y) của hệ theo n.
b) Với giá trị nào của n thì hệ có nghiệm (x; y) thỏa mãn: x + y = 1
 x  ay 2

Bài 2: Cho hệ pt: ax  2 y 1 (NH 2003-2004)



n2
n2  3

a) Tìm nghiệm (x; y) của hệ theo a.
b) Tìm các giá trị của a để hệ có nghiệm (x; y) thỏa mãn x > 0 và y < 0
Bài 2: (2 điểm)NH 2005-2006
1) Cho m để đồ thị hàm số y = (2m + 3)x + 1 đi qua điểm (1; 2)
 x  ay 3

2) Cho hệ pt: ax  y 2
a) Tìm nghiệm (x; y) của hệ theo a.
b) Tìm a để nghiệm (x; y) của hệ thỏa mãn: x > 0, y > 0.
2
  m x  4 y m

Bài 3 (NH 2005) Tìm các giá trị của m để hệ   x  2 y 2 2 vô nghiệm

Bài 1: (3điểm)
1) Tìm a để đường thẳng y = (a – 1)x + 2 và y = (3 – a)x – 1 song song.


 x  ay a

2) Cho hệ pt:  ax  y 1
Tìm nghiệm (x; y) của hệ theo a và tìm a để nghiệm (x; y) của hệ thoả mãn x = y.

DẠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI- VIET VÀ GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH
LẬP PHƯƠNG TRÌNH,
- Giải phương trình đơn giản
- Giải phương trình quy về phương trình bậc hai: Pt tích, Pt trùng phương, Pt căn thức.
- Các bài toán liên quan vi-ét
- Giải bài toán bằng cách lập phương trình: Vịi nước, cơng việc, thêm bớt ( sản xuất
theo dự định, thực tế),(bàn ghế).(xe chở hàng), về chuyển động,…
Quãng đường(km) Vận tốc(km/h)

Thời gian(h)

Quãng đường(km) Vận tốc(km/h)

Thời gian(h)

Số sản phẩm

Năng suất

Thời gian(ngày)


Số tấn hàng

Trọng tải(tấn/xe)

Số lương xe

Số người

Số người/dãy

Số dãy ghế

Xe thứ nhất
Xe thứ hai

Lúc đi
Lúc về
Dự định
Thực tế

Dự định
Thực tế
Lúc đầu
Lúc sau

2. Cho phương trình: x2 + 2(m - 3)x - 4m + 7 = 0 (với m là tham số).
a) Chứng minh phương trình trên ln có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình đã cho, hãy tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 khơng
phụ thuộc vào m.
Bài 3: (2,0 điểm)

Cho hai vịi nước cùng chảy vào một cái bể khơng có nước thì trong 7 giờ 12 phút sẽ đầy bể.
1
Nếu vòi thứ nhất chảy trong 4 giờ rồi khóa lại và cho vịi thứ hai chảy trong 3 giờ thì được 2 bể nước.

Hỏi nếu mỗi vịi chảy một mình thì trong bao lâu mới đầy bể ?

Bài 2: (2,0 điểm)
1) Giải phương trình và hệ phương trình:
a) x2 + 3x – 4 = 0.
2) Cho phương trình x2 – 2x + m + 3 = 0 (với m là tham số)

b)

2 x  y 1

3x  2 y 12


a) Tìm m để phương trình có nghiệm x = 3 và tìm nghiệm cịn lại.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thỏa mãn hệ thức
x12 + x22 – x1x2 – 4 = 0.
Bài 3: (2,0 điểm)
Hai đội công nhân cùng làm chung trong 4 giờ thì xong một con đường. Nếu mỗi đội làm
riêng để xong con đường thì thời gian đội thứ nhất ít hơn đội thứ hai là 6 giờ. Hỏi nếu làm
riêng thì mỗi đội làm xong con đường trong thời gian bao lâu ?
Bài 2: (2,0 đ)
1) Giải phương trình: x2 – 6x + 8 = 0
2) Cho phương trình x2 – 2(m + 1)x + 4m – 3 = 0 (1) (Với m là tham số).
a) Chứng minh phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
b) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình (1), tìm một hệ thức liên hệ giữa x 1; x2 mà

không phụ thuộc vào m.
Bài 3: (2,0 đ)
Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình.
Một cơng ty dự định điều động một số xe để chuyển 180 tấn hàng từ cảng Dung Quất vào
Thành phố Hồ Chí Minh, mỗi xe chở khối lượng hàng như nhau. Nhưng do nhu cầu thực tế cần
chuyên chở thêm 28 tấn hàng, nên cơng ty đó phải điều động thêm 1 xe cùng loại và mỗi xe bây
giờ phải chở thêm 1 tấn hàng mới có thể đáp ứng được nhu cầu đặt ra. Hỏi theo dự định cơng ty
đó cần điều động bao nhiêu xe? Biết rằng mỗi xe không được chở quá 15 tấn hàng.
Bài 2: ( 2,0 điểm )
1) Giải phương trình 2x2 +3x – 5 = 0
2) Tìm giá trị của tham số m để phương trình x2 +mx + m – 2 = 0 có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn hệ thức
x1  x2 2
.
 x  y  xy  1

x  2 y  xy  1
3) Giải hệ phương trình : 

Bài 3: ( 2,0 điểm )
Một tổ công nhân dự định làm xong 240 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Nhưng khi
thực hiện, nhờ cải tiến kĩ thuật nên mỗi ngày tổ đã làm tăng thêm 10 sản phẩm so với dự định. Do
đó, tổ đã hồn thành cơng việc sớm hơn dự định 2 ngày. Hỏi khi thực hiện, mỗi ngày tổ đã làm
được bao nhiêu sản phẩm?
Bài 3. (2điểm).
Hai xe ô tô cùng đi từ cảng Dung Quất đến khu du lịch Sa Huỳnh, xe thứ hai đến sớm hơn xe thứ nhất là
1 giờ. Lúc trở về, xe thứ nhất tăng vận tốc thêm 5km mỗi giờ, xe thứ hai vẫn giữ nguyên vận tốc nhưng dừng
lại nghỉ ở một điểm trên đường hết 40 phút sau đó về đến cảng Dung Quất cùng lúc với xe thứ nhất. Tìm vận
tốc ban đầu của mỗi xe, biết chiều dài quãng đường từ cảng Dung Quất đến khu du lịch Sa Huỳnh là 120 km
và khi đi hay về hai xe đều xuất phát cùng một lúc.
Bài 3: (1.5điểm) Hai bến sơng cách nhau 15 km. Thơì gian một ca nơ xi dịng từ bến A đến bến B, tại bến B

nghỉ 20 phút rồi ngược dòng từ bến B trở về bến A tổng cộng là 3 giờ. Tính vận tốc của ca nơ khi nước n
lặng, biết vận tốc của dòng nước là 3 km/h.

Bài 3. (2,0điểm).


Hai xe ô tô khởi hành cùng một lúc với vận tốc không đổi tại địa điểm A để đi đến địa điểm B
cách nhau 300 km. Biết rằng mỗi giờ ô tô thứ hai đi nhanh hơn ô tô thứ nhất 10 km nên ô tô thứ
nhất đến B chậm hơn ơ tơ thứ hai 1 giờ. Tính vận tốc của mỗi ô tô.
Bài 2. (2,5 điểm).
1. Giải phương trình x2- 5x + 6 = 0
2. Tìm m để phương trình x - 5x - m + 7 = 0 có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn hệ thức
2

x12  x22 13

.

2

3. Cho hàm số y = x có đồ thị (P) và đường thẳng (d) : y = - x + 2
a) Vẽ (P) và (d) trên cùng một hệ trục tọa độ.
b) Bằng phép tính hãy tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d).
Bài 3. (1,5 điểm).
Hai vịi nước cùng chảy vào một cái bể khơng có nước thì trong 5 giờ sẽ đầy bể. Nếu vòi thứ
2
nhất chảy trong 3 giờ và vòi thứ hai chảy trong 4 giờ thì được 3 bể nước.

Hỏi nếu mỗi vịi chảy một mình thì trong bao lâu mới đầy bể ?


Bài 2. (2 điểm).
 x  my 3m

2
 mx  y m  2

a) Cho hệ phương trình
Tìm m để hệ có nghiệm (x; y) thỏa mãn x2 – 2x – y > 0
2

1
x

1
x2

b) Giải phương trình : x – x – +
– 10 = 0.
Bài 3. (2 điểm).
Một ô tô đi quãng đường AB dài 80 km trong một thời gian đã định , ba phần tư quãng
đường đầu chạy nhanh hơn dự định 10km/h. Quãng đường cịn lại ơ tơ chạy chậm hơn dự định
15km/h. Biết ô tô đến B đúng giờ quy định. Tính thời gian ô tô đi hết quãng đường AB.
Bài 3. (2 điểm).
Một phịng họp có 360 ghế ngồi, được xếp thành từng hàng và mỗi hàng có số ghế ngồi
bằng nhau. Nhưng do số người đến dự họp là 400 nên đã phải kê thêm mỗi hàng một ghế ngồi
và thêm một hàng như thế nửa mới đủ chổ. Tính xem lúc đầu ở phịng họp có bao nhiêu hàng
ghế và mỗi hàng có bao nhiêu ghế ngồi.
Bài II (2,0 điểm). Giải bài tốn sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
12
Hai người cùng làm chung một cơng việc trong 5 giờ thì xong. Nếu mỗi người làm một mình thì


người thứ nhất hồn thành cơng việc trong ít hơn người thứ hai là 2 giờ. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người
phải làm trong bao nhiêu thời gian để xong công việc?
Bài III (1,5 điểm)
2 1
 x  y 2


 6  2 1

1) Giải hệ phương trình:  x y

2) Cho phương trình: x2 – (4m – 1)x + 3m2 – 2m = 0 (ẩn x). Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân
2
2
biệt x1, x2 thỏa mãn điều kiện : x1  x 2 7
Bài 4: (1,5 điểm)


2

Cho phương trình x  2mx  m  2 0 (x là ẩn số)
a) Chứng minh rằng phương trình ln ln có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình.
 24
2
Tìm m để biểu thức M = x  x2  6 x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất
2
1


Câu 1. (2,5đ)
2) Giải phương trình:
a) 2x2 – 7x + 3 = 0.
b) 9x4 + 5x2 – 4 = 0.
3) Tìm hàm số y = ax + b, biết đồ thị hàm số của nó đi qua 2 điểm A(2;5) ; B(-2;-3).
Câu 2. (1,5đ)
2) Hai ô tô đi từ A đến B dài 200km. Biết vận tốc xe thứ nhất nhanh hơn vận tốc xe thứ hai là 10km/h nên
xe thứ nhất đến B sớm hơn xe thứ hai 1 giờ. Tính vận tốc mỗi xe.
Câu 3. (1,5 đ)
Cho phương trình: x2 – 2(m+2)x + m2 + 4m +3 = 0.
1) Chứng minh rằng : Phương trình trên ln có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi giá trị của m.
2
2
2) Tìm giá trị của m để biểu thức A = x1  x 2 đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 3 (2,0 điểm):
3
1 

P 

.
x

x

2
x

1



a) Rút gọn biểu thức



x 2



với x 0 và x 4 .
b) Năm ngoái, hai đơn vị sản xuất nơng nghiệp thu hoạch được 600 tấn thóc. Năm nay, đơn vị thứ
nhất làm vượt mức 10%, đơn vị thứ hai làm vượt mức 20% so với năm ngoái. Do đó cả hai đơn
vị thu hoạch được 685 tấn thóc. Hỏi năm ngối, mỗi đơn vị thu hoạch được bao nhiêu tấn thóc?
Câu 4. (1,5 điểm)
Cho phương trình 2x2 – 6x + m + 7 = 0 (x là ẩn số, m là tham số)
a/ Tìm m để phương trình có nghiệm x1, x2.
b/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa: x1 = – 2x2

Câu 4. (1,5 điểm)
2
2
Cho phương trình x  mx  2m  3 0 (1) (m là tham số)
a) Chứng minh phương trình (1) ln có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 với mọi giá trị m
2
2
b) Định m để hai nghiệm x1 , x2 của (1) thỏa mãn hệ thức: x1  x2 11

Bài 4: (1,5 điểm)
Cho phương trình: x2 + (4m + 1)x + 2(m – 4) = 0 ( với x là ẩn số )

a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
b) Định m để hai nghiệm x1, x2 của phương trình thõa mãn hệ thức: |x 1 − x 2|=17 .
c) Tìm một hệ thức liên hệ giữa x1, x2 độc lập đối với m.
Bài tập 1 : Chữ số hàng chục lớn hớn chữ số hàng đơn vị là 2 và nếu viết thêm chữ số bằng chữ số hàng chục
vào bên phải thì được một số lớn hơn số ban đầu là 682.
Bài tập 3: Giải bài tốn sau bằng cách lập phương trình: Cho một số tự nhiên có hai chữ số. Tổng của hai chữ
số của nó bằng 10; tích hai chữ số ấy nhỏ hơn số đã cho là 12. Tìm số đã cho.
Bài 4: Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ Huế đến Đà Nẵng cách nhau 120km. Xe thứ nhất chạy nhanh hơn xe
thứ hai là 10km/h, nên đến Đà Nẵng sớm hơn xe thức hai 1giờ. Tính vận tốc của mỗi xe.
Bài 33: Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B rồi lại ngược dòng từ B về A mất tất cả 4 giờ. Tìm vận tốc
thực của ca nơ, biết rằng qng đường sông từ A đến B dài 30km và vận tốc của dòng nước là 4km/h


Bài 47: Lớp 9A được phân công trồng 480 cây xanh. Lớp dự định chia đều cho số học sinh, nhưng khi lao
động có 8 bạn vắng nên mỗi bạn có mặt phải trồng thêm 3 cây mới xong. Tính số học sinh lớp 9A.
Hướng dẫn:
Số cây
Năng suất
Số Hs
480
Dự định
480
x, x  Z,x > 8
x
480
Thực tế
480
x 8
 x 40( N )
480 480


3  x 2  8 x  1280 0  
 x  32( L)
Ta có Pt: x  8 x

x -8

Vậy: Số Hs lớp 9A là 40 học sinh.
Bài 51: Để vận chuyển 18 tấn hàng, người ta dự định điều động một số xe loại nhỏ. Nhưng khi vào việc do
điều động được các xe có trọng tải lớn hơn 1 tấn, nên số lượng xe ít hơn số dự định ban đầu là 3 xe. Hỏi trọng
tải mỗi xe loại nhỏ là bao nhiêu.
Hướng dẫn:
Số tấn hàng
Trọng tải(tấn/xe)
Số lương xe
18
Dự định
18
x; x > 0
Thực tế

18

x+1

x
18
x 1

 x  3

18 18

3  x 2  x  6 0  
 x 2
Ta có Pt: x x  1

Vậy: trọng tải xe loại nhỏ là: 2 tấn
Bài 57: Một đoàn xe vận tải dự định điều một số xe cùng loại để vận chuyển 40 tấn hàng. Lúc sắp khởi hành,
đoàn xe được giao thêm 14 tấn nữa. Do đó phải điều thêm 2 xe cùng loại và mỗi xe phải chở thêm 0,5 tấn nữa.
Tính số xe phải điều theo dự định.
Hướng dẫn:
Số tấn hàng
Trọng tải(tấn/xe)
Số lương xe
40
Dự định
40
x, x  Z; x > 0
x
54
x2
 x 10
40 54

0,5  x 2  26 x  160 0  
 x 16
Ta có Pt: x x  2

Thực tế


14 + 40 = 54

x+2

Vậy : đoàn xe lúc đầu có 10 xe hoặc 16 xe.
Bài 58: Một phịng có 80 người họp, được sắp xếp ngồi đều trên các dãy ghế. Nếu ta bớt đi 2 dãy ghế thì mỗi
dãy ghế cịn lại phải xếp thêm 2 người ngồi mới đủ chỗ. Hỏi lúc đầu có mấy dãy ghế và mỗi dãy ghế được xếp
bao nhiêu người ngồi.
Hướng dẫn:
Số người
Số người/dãy
Số dãy ghế
80
Lúc đầu
80
x, x  z; x > 2
Lúc sau

80

x
80
x 2

x-2


 x 10
80 80


2  x 2  2 x  80 0  
 x  8
Ta có Pt: x  2 x

Vậy: Lúc đầu có 10 dãy ghế; mỗi dãy ghế có 8 người ngồi.
Bài 59: Trong một phịng họp có 70 người họp, được sắp xếp ngồi đều trên các dãy ghế. Nếu ta bớt đi 2 dãy
ghế thì mỗi dãy ghế cịn lại phải xếp thêm 4 người ngồi mới đủ chỗ. Hỏi lúc đầu có mấy dãy ghế và mỗi dãy
ghế được xếp bao nhiêu người ngồi?
Hướng dẫn:
Số ghế
Số ghế/dãy
Số dãy ghế
70
Lúc đầu
70
x, x  z; x > 2
x
70
Lúc sau
70
x 2
 x 7
70 70

4  x 2  2 x  35 0  
 x  5
Ta có Pt: x  2 x

x-2


Vậy: Lúc đầu có 7 dãy ghế; mỗi dãy ghế có 10 người ngồi.

DẠNG 5: HÌNH HỌC
- Chứng minh tứ giác nội tiếp
- Chứng minh hệ thức: A.B=C.D; A.B=C2,Tính A.B+C.D theo R.
- Chứng minh : 3 điểm thảng hàng, song song, bàng nhau, tam giác vng,cân, Tứ giác là
hình thang, thang cân, vng, chữ nhật, thoi.tính diện tích tam giác hay tứ giác
- Chứng minh: Tìm vị trí 1 điểm sao cho diện tích lớn nhất, nhỏ nhất
- Bài tồn về chuyển động của một điểm.
DẠNG 6: TỐN KHĨ
- Tìm nghiệm ngun x,y
- Giải phương trình
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất: biến đổi về dạng bình phương hoặc dùng BDT Cơ-si.

PHẦN HèNH HC
Dạng 5:Bài tập hình học
-Vẽ hình ghi GT+ KL chính xác ngắn gọn phải vẽ hình ra nháp trớc .
-Các phơng pháp CM tứ giác nội tiếp: Tổng hai góc đối = 180 0 , Hai đỉnh cùng nhìn 1 c¹ch díi 1 gãc b»ng
nhau…
-Chøng minh hƯ thøc : Đa về tỉ số chứng minh hai tam giác đồng dạng hoặc tính chất tia phân giác trong
ngoài tam giác.
- Chứng minh đồng quy: Dựa vào tính chất Đờng cao, phân giác, trung tuyến, trung trực, tổng các góc = 180 0.
- Bài toán diện tích: Phải áp dụng hệ thức lợng trong tam giác vuông nên phải chứng minh tam giác vuông.
Đơn vị phải thống nhất.
Chú ý: Phải nhìn quy vỊ tø gi¸c néi tiÕp b»ng mäi c¸ch, cã thể phải vẽ thêm hình phụ, không ngộ
nhận trong chứng minh.
Dạng 6: Toán nâng cao
-Khai thác triệt để GT bằng cách biến đổi nhân với biểu thức liên hợp. để đ ợc biểu thức cần chứng
minh.
- Đối với bài toán cực trị ta áp dụng một số HĐT

2
2
+ BĐT ( AM- GM) víi a, b d¬ng a + b 2 ab hoặc a b 2ab Dấu bằng sảy ra khi a = b
+ Cauchy( C«si) (ax +by+cz)2  ( a2 + b2+c2) (x2 +y2+z2) DÊu b»ng s¶y ra khi a/x = b/y=c/z
a b
 2
+b a
víi a,b >0
DÊu b»ng s¶y ra khi a = b


1 1
4
 
+ x y xy
4

DÊu b»ng s¶y ra khi x = y ……

4

x y
xy

3
3
2
+ x y
DÊu b»ng s¶y ra khi x = y
- Ngoài ra còn nhận xét đa về dạng HĐT ( a b)2 c để tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất.

- Đối với bài toán tìm nhiều ẩn ta có thể đa về tổng các bình phơng hoặc tổng các biểu thức không âm từ đó
tìm đợc giá trị của biến.
- Bài toán tìm nghiệm nguyên: Phải đa về dạng tích rồi áp dụng tính chất chia hết, nhận xét tính chính phơng,
đa về dạng phân số duy nhất...
- Đối với dạng toán giá trị thuộc đoạn chẳng hạn x, y, z [0;1] thì khai thác tính chất
(1- x )(1- y)(1 z) 0 .
- Đối với tam giác có các cạnh a, b, c thì khai thác :
a - b < c < a+ b; a- c < b < a + c; b – c < a < b + c suy ra ac – bc < c2 < ac + bc ……
Lưu ý: Nếu học sinh chỉ thực hiện bước tính tốn mà khơng lí luận thì sẽ bị mất điểm.
Khi làm bài thi học sinh cần lưu ý các điều sau đây:
1) Đọc toàn thể đề bài.
2) Phân bit cõu d cõu khú đánh dấu để tránh nhầm lÉn.
3) Làm câu dễ trước câu khó sau.
4) Sử dụng các kiến thức trong chương trình, có lí luận chặt chẽ.
5) Vẽ hình theo tõng bíc rõ ràng, trực quan.
6) Làm xong nhớ kiểm tra lại các kết quả.
Híng dÉn chấm từ đó có cách trình bày lời giải:
-Hng dn chấm chỉ trình bày một cách giải với các ý cơ bản học sinh phải trình bày, nếu học sinh giải theo cách khác
mà đúng và đủ các bước thì giám khảo vẫn cho điểm tối đa.
-Trong mỗi bài, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các bước sau có liên quan khơng được điểm.
-Bài hình học bắt buộc phải vẽ đúng hình thì mới chấm điểm, nếu khơng có hình vẽ đúng ở phần nào thì giám khảo
khơng cho điểm phần lời giải liên quan đến hình của phần đó.
-Điểm tồn là tổng điểm của các ý, các câu, tính đến 0,25 điểm và khơng làm trịn.
Bài 1. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại
H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại M, N, P. Chứng minh rằng:
1.
Tứ giác CEHD, nội tiếp .
2.
Bốn điểm B, C, E, F cùng nằm trên một đường tròn.
3.

AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC.
4.
H và M đối xứng nhau qua BC.
5.
Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.
Bài 2. Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đường cao AD, BE, cắt nhau tại H. Gọi O là tâm đường tròn
ngoại tiếp tam giác AHE.
1.
Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp .
2.
Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đường tròn.
3.

Chứng minh ED =

1
2

BC.

4.
Chứng minh DE là tiếp tuyến của đường trịn (O).
5.
Tính độ dài DE biết DH = 2 Cm, AH = 6 Cm.
Bài 3 Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các
tiếp tuyến Ax , By lần lượt ở C và D. Các đường thẳng AD và BC cắt nhau tại N.
1. Chứng minh AC + BD = CD.
2. Chứng minh COD = 900.
3.Chứng minh AC. BD =


AB 2
4

.

4.Chứng minh OC // BM
5.Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường trịn đường kính CD.
6.Chứng minh MN  AB.
7.Xác định vị trí của M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 4 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I là tâm đường tròn nội tiếp, K là tâm đường trịn bàng tiếp góc
A , O là trung điểm của IK.
1.
Chứng minh B, C, I, K cùng nằm trên một đường tròn.
2.
Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn (O).
3.
Tính bán kính đường trịn (O) Biết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm.
Bài 5 Cho đường tròn (O; R), từ một điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O). Trên đường thẳng d lấy điểm M bất kì ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP và gọi K là
trung điểm của NP, kẻ tiếp tuyến MB (B là tiếp điểm). Kẻ AC  MB, BD  MA, gọi H là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của OM và AB.
1.
Chứng minh 4 điểm O, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn


2.
Cminh 5 điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn .
3.
Chứng minh OI.OM = R2; OI. IM = IA2.
4.
Chứng minh OAHB là hình thoi.
5.

Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng.
6.
Tìm quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đường thẳng d
Bài 6 Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Vẽ đường trịn tâm A bán kính AH. Gọi HD là đường kính của đường trịn (A; AH). Tiếp tuyến
của đường tròn tại D cắt CA ở E.
1.
Chứng minh tam giác BEC cân.
2.
Gọi I là hình chiếu của A trên BE, Chứng minh rằng AI = AH.
3.
Chứng minh rằng BE là tiếp tuyến của đường tròn (A; AH).
4.
Chứng minh BE = BH + DE.
Bài 7 Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax và lấy trên tiếp tuyến đó một điểm P sao
cho AP > R, từ P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với (O) tại M.
1. Chứng minh rằng tứ giác APMO nội tiếp được một đường tròn.
2. Chứng minh BM // OP.
3. Đường thẳng vng góc với AB ở O cắt tia BM tại N. Cm tg OBNP là hbh .
4. Biết AN cắt OP tại K, PM cắt ON tại I; PN và OM kéo dài cắt nhau tại J. C m I, J, K thẳng hàng.
Bài 8 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và điểm M bất kì trên nửa đường tròn ( M khác A,B). Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ
tiếp tuyến Ax. Tia BM cắt Ax tại I; tia phân giác của góc IAM cắt nửa đường trịn tại E; cắt tia BM tại F tia BE cắt Ax tại H, cắt AM tại K.
1) Chứng minh rằng: EFMK là tứ giác nội tiếp.
2) Chứng minh rằng: AI2 = IM.IB
3) Chứng minh BAF là tam giác cân.
4) Chứng minh rằng: Tứ giác AKFH là hình thoi.
5) Xác định vị trí M để tứ giác AKFI nội tiếp được một đường tròn.
Bài 9 Cho nửa đường trịn (O; R) đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Bx và lấy hai điểm C và D thuộc nửa đường tròn. Các tia AC và AD cắt Bx lần lượt ở E, F (F ở
giữa B và E).
1/ Chứng minh AC. AE không đổi.
2/ Chứng minh  ABD =  DFB.

3/ Chứng minh rằng CEFD là tứ giác nội tiếp.
Bài 10 Cho đường tròn tâm O đường kính AB và điểm M bất kì trên nửa đường tròn sao cho AM < MB.
Gọi M’ là điểm đối xứng của M qua AB và S là giao điểm của hai tia BM, M’A. Gọi P là chân đường vng
góc từ S đến AB.
1.Gọi S’ là giao điểm của MA và SP. Chứng minh rằng ∆ PS’M cân. 2.Chứng minh PM là tiếp tuyến của
đường tròn
Bài 11. Cho tam giác ABC (AB = AC). Cạnh AB, BC, CA tiếp xúc với đường tròn (O) tại các điểm D, E, F . BF cắt (O) tại I , DI cắt BC tại M. Chứng
minh :
1.
Tam giác DEF có ba góc nhọn.
2.

DF // BC.

3. Tứ giác BDFC nội tiếp.

4.

BD BM
=
CB CF

Bài 12 Cho đường trịn (O) bán kính R có hai đường kính AB và CD vng góc với nhau. Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M (M khác O). CM cắt (O) tại N.
Đường thẳng vng góc với AB tại M cắt tiếp tuyến
tại N của đường tròn ở P. Chứng minh :
1.
Tứ giác OMNP nội tiếp.
2.
Tứ giác CMPO là hình bình hành.
3.

CM. CN khơng phụ thuộc vào vị trí của điểm M.
Khi M di chuyển trên đoạn thẳng AB thì P chạy trên đoạn thẳng cố định nào..
Bài 13 Cho tam giác ABC vuông ở A (AB > AC), đường cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điển A, Vẽ nửa đường trịn đường kính BH cắt AB tại E,
Nửa đường trịn đường kính HC cắt AC tại F.
1.
Chứng minh AFHE là hình chữ nhật.
2.
BEFC là tứ giác nội tiếp.
3.
AE. AB = AF. AC.
4.
Chứng minh EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn .
.Bài 14 Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB sao cho AC = 10 Cm, CB = 40 Cm. Vẽ về một phía của AB các nửa đường trịn có đường kính theo thứ tự là AB,
AC, CB và có tâm theo thứ tự là O, I, K.
Đường vng góc với AB tại C cắt nửa đường tròn (O) tại E. Gọi M. N theo thứ tự là giao điểm của EA, EB với các nửa đường tròn (I), (K).
1.Chứng minh EC = MN.
2.Ch/minh MN là tiếp tuyến chung của các nửa đ/trịn (I), (K).
3.Tính MN.
4.Tính diện tích hình được giới hạn bởi ba nửa đường tròn
Bài 15 Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng đường trịn (O) có đường kính MC. đường thẳng BM cắt đường tròn (O) tại D.
đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại S.
1.
Chứng minh ABCD là tứ giác nội tiếp .
2.
Chứng minh CA là tia phân giác của góc SCB.
3.
Gọi E là giao điểm của BC với đường tròn (O). Chứng minh rằng các đường thẳng BA, EM, CD đồng quy.
4.
Chứng minh DM là tia phân giác của góc ADE.
5.

Chứng minh điểm M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE.
Bài 16 Cho tam giác ABC vuông ở A.và một điểm D nằm giữa A và B. Đường trịn đường kính BD cắt BC tại E. Các đường thẳng CD, AE lần lượt
cắt đường tròn tại F, G.
Chứng minh :
1.
Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD.
2.
Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp .
3.
AC // FG.


4.
Các đường thẳng AC, DE, FB đồng quy.
Bài 17. Cho tam giác đều ABC có đường cao là AH. Trên cạnh BC lấy điểm M bất kì ( M khơng trùng B. C, H ) ; từ M kẻ MP, MQ vng góc với các cạnh
AB. AC.
1.
Chứng minh APMQ là tứ giác nội tiếp và hãy xác định tâm O của đường trịn ngoại tiếp tứ giác đó.
2.
Chứng minh rằng MP + MQ = AH.
3.
Chứng minh OH  PQ.
Bài 18 Cho đường trịn (O) đường kính AB. Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H bất kì ( H khơng trùng O, B) ; trên đường thẳng vng góc với OB tại H, lấy
một điểm M ở ngồi đường trịn ; MA và MB thứ tự cắt đường tròn (O) tại C và D. Gọi I là giao điểm của AD và BC.
1. Chứng minh MCID là tứ giác nội tiếp .
2. Chứng minh các đường thẳng AD, BC, MH đồng quy tại I.
3. Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCID, Chứng minh KCOH là tứ giác nội tiếp .
Bài 19. Cho đường trịn (O) đường kính AC. Trên bán kính OC lấy điểm B tuỳ ý (B khác O, C ). Gọi M là trung điểm của đoạn AB. Qua M kẻ dây cung DE
vng góc với AB. Nối CD, Kẻ BI vng góc với CD.
1.

Chứng minh tứ giác BMDI nội tiếp .
2.
Chứng minh tứ giác ADBE là hình thoi.
3.
Chứng minh BI // AD.
4.
Chứng minh I, B, E thẳng hàng.
5.
Chứng minh MI là tiếp tuyến của (O’).
Bài 20. Cho đường tròn (O; R) và (O’; R’) có R > R’ tiếp xúc ngồi nhau tại C. Gọi AC và BC là hai đường kính đi qua điểm C của (O) và (O’). DE là
dây cung của (O) vng góc với AB tại trung điểm M của AB. Gọi giao điểm thứ hai của DC với (O’) là F, BD cắt (O’) tại G. Chứng minh rằng:
1. Tứ giác MDGC nội tiếp .
2. Bốn điểm M, D, B, F cùng nằm trên một đường tròn
3. Tứ giác ADBE là hình thoi.
4. B, E, F thẳng hàng
5. DF, EG, AB đồng quy.
6. MF = 1/2 DE.
7. MF là tiếp tuyến của (O’).
Bài 21. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Gọi I là trung điểm của OA . Vẽ đường tron tâm I đi qua A, trên (I) lấy P bất kì, AP cắt (O) tại Q.
1.
Chứng minh rằng các đường tròn (I) và (O) tiếp xúc nhau tại A.
2. Chứng minh IP // OQ.
3. Chứng minh rằng AP = PQ.
4. Xác định vị trí của P để tam giác AQB có diện tích lớn nhất..
Bài 22. Cho hình vng ABCD, điểm E thuộc cạnh BC. Qua B kẻ đường thẳng vng góc với DE, đường thẳng này cắt các đường thẳng DE và DC theo thứ tự
ở H và K.
1.
Chứng minh BHCD là tứ giác nội tiếp .
2.
Tính góc CHK.

3.
Chứng minh KC. KD = KH.KB
4.
Khi E di chuyển trên cạnh BC thì H di chuyển trên đường nào?
Bài 23. Cho tam giác ABC vuông ở A. Dựng ở miền ngồi tam giác ABC các hình vng ABHK, ACDE.
1.
Chứng minh ba điểm H, A, D thẳng hàng.
2.
Đường thẳng HD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại F, chứng minh FBC là tam giác vuông cân.
3.
Cho biết ABC > 450 ; gọi M là giao điểm của BF và ED, Chứng minh 5 điểm B, K, E, M, C cùng nằm trên một đường tròn.
4.
Chứng minh MC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Bài 24. Cho tam giác nhọn ABC có B = 450 . Vẽ đường trịn đường kính AC có tâm O, đường tròn này cắt BA và BC tại D và E.
1.
Chứng minh AE = EB.
2. Gọi H là giao điểm của CD và AE, Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn HE đi qua trung điểm I của BH.
3.Chứng minh OD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ∆ BDE.
Bài 25. Cho đường tròn (O), BC là dây bất kì (BC< 2R). Kẻ các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại B và C chúng cắt nhau tại A. Trên cung nhỏ BC lấy
một điểm M rồi kẻ các đường vng góc MI, MH, MK xuống các cạnh tương ứng BC, AC, AB. Gọi giao điểm của BM, IK là P; giao điểm của CM, IH là
Q.
1. Chứng minh tam giác ABC cân.
2. Các tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp .
3. Chứng minh MI2 = MH.MK.
4. Chứng minh PQ  MI.
Bài 26. Cho đường tròn (O), đường kính AB = 2R. Vẽ dây cung CD  AB ở H. Gọi M là điểm chính giữa của cung CB, I là giao điểm của CB và OM. K là
giao điểm của AM và CB. Chứng minh :
1.

KC AC

=
KB AB

2. AM là tia phân giác của CMD.

3. Tứ giác OHCI nội tiếp

4. Chứng minh đường vng góc kẻ từ M đến AC cũng là tiếp tuyến của đường tròn tại M.
Bài 27 Cho đường tròn (O) và một điểm A ở ngồi đường trịn . Các tiếp tuyến với đường tròn (O) kẻ từ A tiếp xúc với đường tròn (O) tại B và C. Gọi M là
điểm tuỳ ý trên đường tròn ( M khác B, C), từ M kẻ MH  BC, MK  CA, MI  AB. Chứng minh :
1.
Tứ giác ABOC nội tiếp.
2. BAO =  BCO.
3. MIH  MHK.
4. MI.MK = MH2.
Bài 28 Cho tam giác ABC nội tiếp (O). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC; E là điểm đối xứng của H qua BC; F là điểm đối xứng của H qua trung điểm
I của BC.
1.
Chứng minh tứ giác BHCF là hình bình hành.
2.
E, F nằm trên đường trịn (O).
3.
Chứng minh tứ giác BCFE là hình thang cân.
4.
Gọi G là giao điểm của AI và OH. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC.
Bài 33 Cho tam giác ABC nội tiếp (O; R), tia phân giác của góc BAC cắt BC tại I, cắt đường tròn tại M. Chứng minh
a) OM  BC.
b) MC2 = MI.MA. c) Kẻ đường kính MN, các tia phân giác của góc B và C cắt đường thẳng AN tại P và Q. Chứng minh bốn
điểm P, C , B, Q cùng thuộc một đường tròn.



Bài 35 Cho đường trịn (O), đường kính AB cố định, điểm I nằm giữa A và O sao cho AI = 2/3 AO. Kẻ dây MN vng góc với AB tại I, gọi C là điểm
tuỳ ý thuộc cung lớn MN sao cho C không trùng với M, N và B. Nối AC cắt MN tại E.
1.
Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp .
2.
Chứng minh tam giác AME đồng dạng với tam giác ACM.
3.
Chứng minh AM2 = AE.AC.
4.
Chứng minh AE. AC - AI.IB = AI2 .
5.
Hãy xác định vị trí của C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất.
Bài 36 Cho tam giác nhọn ABC , Kẻ các đường cao AD, BE, CF. Gọi H là trực tâm của tam giác. Gọi M, N, P, Q lần lượt là các hình chiếu vng góc
của D lên AB, BE, CF, AC. Chứng minh :
1.
Các tứ giác DMFP, DNEQ là hình chữ nhật.
2.
Các tứ giác BMND; DNHP; DPQC nội tiếp .
3. Hai tam giác HNP và HCB đồng dạng.
4. Bốn điểm M, N, P, Q thẳng hàng.
Bài 37 Cho hai đường trịn (O) và (O’) tiếp xúc ngồi tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC, B(O), C  (O’) . Tiếp tuyến chung trong tại A cắt tiếp tuyến
chung ngoài BC ở I.
1.
Chứng minh các tứ giác OBIA, AICO’ nội tiếp .
2.
Chứng minh  BAC = 900 .
3.
Tính số đo góc OIO’.
4.

Tính độ dài BC biết OA = 9cm, O’A = 4cm.
Bài 38 Cho hai đường tròn (O) ; (O’) tiếp xúc ngoài tại A, BC là tiếp tuyến chung ngoài, B(O), C (O’). Tiếp tuyến chung trong tại A cắ tiếp tuyến chung

ngoài BC ở M. Gọi E là giao điểm của OM và AB, F là giao điểm của O’M và AC. Chứng minh :
1.
Chứng minh các tứ giác OBMA, AMCO’ nội tiếp .
2.
Tứ giác AEMF là hình chữ nhật.
3.
ME.MO = MF.MO’.
4.
OO’ là tiếp tuyến của đường trịn đường kính BC.
5.
BC là tiếp tuyến của đường trịn đường kính OO’.
Bài 39 Cho đường trịn (O) đường kính BC, dấy AD vng góc với BC tại H. Gọi E, F theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC. Gọi ( I ), (K) theo thứ tự là
các đường tròn ngoại tiếp tam giác HBE, HCF.
1.
Hãy xác định vị trí tương đối của các đường tròn (I) và (O); (K) và (O); (I) và (K).
2.
Tứ giác AEHF là hình gì? Vì sao?.
3.
Chứng minh AE. AB = AF. AC.
4.
Cminh EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (K).
5.
Xác định vị trí của H để EF có độ dài lớn nhất.
Bài 40 Cho nửa đường trịn đường kính AB = 2R. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Trên Ax lấy điểm M rồi kẻ tiếp tuyến MP cắt By tại N.
1. Chứng minh tam giác MON đồng dạng với tam giác APB.
2. Chứng minh AM. BN = R2.
3. Tính tỉ số


S MON
S APB

khi AM =

R
2

.

4. Tính thể tích của hình do nửa hình trịn APB quay quanh cạnh AB sinh ra.
Bài 41 Cho tam giác đều ABC , O là trung điển của BC. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm D, E sao cho  DOE = 600 .
1)Chứng minh tích BD. CE không đổi.
2)Chứng minh hai tam giác BOD; OED đồng dạng. Từ đó suy ra tia DO là tia phân giác của góc BDE
3)Vẽ đường trịn tâm O tiếp xúc với AB. Chứng minh rằng đường trịn này ln tiếp xúc với DE.
Bài 42 Cho tam giác ABC cân tại A. có cạnh đáy nhỏ hơn cạnh bên, nội tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến tại B và C lần lượt cắt AC, AB ở D và E. Chứng minh :
1. BD2 = AD.CD.
2. Tứ giác BCDE nội tiếp .
3. BC song song với DE.
Bài 43 Cho đường tròn (O) đường kính AB, điểm M thuộc đường trịn . Vẽ điểm N đối xứng với A qua M,
BN cắt (O) tại C. Gọi E là giao điểm của AC và BM.
1.
Chứng minh tứ giác MNCE nội tiếp .
2.
Chứng minh NE  AB.
3.
Gọi F là điểm đối xứng với E qua M. Cm FA là tiếp tuyến của (O).
4.
Chứng minh FN là tiếp tuyến của đường tròn (B; BA).

Bài 44 AB và AC là hai tiếp tuyến của đường tròn tâm O bán kính R ( B, C là tiếp điểm ). Vẽ CH vng góc AB tại H, cắt (O) tại E và cắt OA tại D.
1.
Chứng minh CO = CD.
2.
Chứng minh tứ giác OBCD là hình thoi.
Gọi M là trung điểm của CE, Bm cắt OH tại I. Chứng minh I là trung điểm của OH.
PAB.
Bài 47: Cho ∆ABC vuông ở A. Lấy trên cạnh AC một điểm D. Dựng CE vng góc BD.
a. Chứng minh ∆ABD ~ ∆ECD.
b. Chứng minh tứ giác ABCE là tứ giác nội tiếp.
c. Chứng minh FD vng góc BC, trong đó F là giao điểm của BA và CE.
d. Cho


ABC

= 600; BC = 2a; AD = a. Tính AC; đường cao AH của ∆ABC và bán kính đường trịn ngoại tiếp tứ giác ADEF.

Bài 49: Cho đường tròn (O; R) và một đường thẳng (d) cố định không cắt (O; R). Hạ OH
MQ (P, Q là tiếp điểm) với (O; R). Dây cung PQ cắt OH ở I; cắt OM ở K.
a. Chứng minh 5 điểm O, Q, H, M, P cùng nằm trên 1 đường tròn.
b. Chứng minh IH.IO = IQ.IP
c. Giả sử

 (d) (H  d). M là một điểm thay đổi trên (d) (M H). Từ M kẻ 2 tiếp tuyến MP và


PMQ
= 60 . Tính tỉ số diện tích 2 tam giác: ∆MPQvà ∆OPQ.
0


Bài 50: Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB=2R. Trên tia đối của tia AB lấy điểm E (E A). Từ E, A, B kẻ các tiếp tuyến với nửa đường tròn. Tiếp tuyến kẻ từ E cắt hai
tiếp tuyến kẻ từ A và B theo thứ tự tại C và D.


a. Gọi M là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ E tới nửa đường tròn. Chứng minh tứ giác ACMO nội tiếp được trong một đường tròn.

DM CM

DE CE .

b. Chứng minh ∆EAC ~ ∆EBD, từ đó suy ra
c. Gọi N là giao điểm của AD và BC. Chứng minh MN // BD.
d. Chứng minh: EA2 = EC.EM – EA.AO.



e. Đặt AOC = α. Tính theo R và α các đoạn AC và BD.
Chứng tỏ rằng tích AC.BD chỉ phụ thuộc giá trị của R,
không phụ thuộc vào α.


\


1.Tam giác bằng nhau
a) Khái niệm:
A A '; B B'; C C'
ABC A 'B'C' khi 
AB A 'B'; BC B'C'; AC A 'C'


CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH
BẰNG NHAU – SONG SONG, VNG GĨC ĐỒNG QUY, THẲNG HÀNG
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN

b) Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác:
c.c.c; c.g.c; g.c.g.
c) Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác
vuông: hai cạnh góc vng; cạnh huyền và một
cạnh góc vng; cạnh huyền và một góc nhọn.
d) Hệ quả: Hai tam giác bằng nhau thì các đường
cao; các đường phân giác; các đường trung tuyến
tương ứng bằng nhau.
2.Chứng minh hai góc bằng nhau
- Sử dụng hai góc có cùng số đo.
-Dùng quan hệ giữa các góc trung gian với các
góc cần chứng minh: Hai góc cùng bằng một góc
thứ 3; hai góc cùng bù hoặc cùng phụ với 1 góc.
- Hai góc cùng bằng tổng, hiệu của 2 góc tương
ứng bằng nhau.
- Sử dụng định nghĩa tia phân giác của 1 góc.
- Hai góc đối đỉnh.
-Dùng quan hệ các góc tạo bởi các đường thẳng
song song (2 góc đồng vị, 2 góc so le ...).
- 2 góc cùng nhọn hoặc cùng tù có cạnh tương
ứng vng góc hoặc song song.
- Hai góc tương ứng của hai tam giác bằng nhau
hoặc hai tam giác đồng dạng, hai góc của tam
giác cân, đều; hai góc kề đáy của hình thang cân,
2 góc đối hình bình hành, …

- Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung, hệ quả
góc nội tiếp.
- Sử dụng các tính chất của tam giác, tứ giác nội,
ngoại tiếp một đường tròn.
- Sử dụng các tỉ số lượng giác sin, cos, tg, cotg của
góc nhọn
3.Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau
- Hai đoạn thẳng có cùng số đo.
- 2 đoạn thẳng cùng bằng một đoạn thẳng thứ 3.
- Hai đoạn thẳng cùng bằng tổng, hiệu, trung bình
nhân... của 2 đoạn thẳng bằng nhau đôi một.
- Hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau.
- Ứng dụng tính chất đặc biệt của tam giác cân,
tam giác đều, hình thang cân, hình chữ nhật, hình
bình hành …
- Trung tuyến ứng với cạnh huyền, cạnh đối diện
với góc 300 của tam giác vng,


- Ứng dụng các định nghĩa: Trung điểm đọan
thẳng, trung tuyến tam giác..
-Sử dụng các yếu tố của đường tròn: hai dây cung
của hai cung bằng nhau, hai đường kính của một
đường trịn, …
-Dùng tính chất đường trung bình của tam giác,
hình thang.
- Tính chất các tỷ số bằng nhau; tính chất hai đoạn
thẳng song song chắn giữa 2 đường thẳng song
song.
4.Chứng minh hai đường thẳng, hai đoạn thẳng

song song
- Dùng đ/n 2 đường thẳng song song
-Dùng mối quan hệ giữa các góc: So le bằng nhau,
đồng vị bằng nhau, trong cùng phía bù nhau, …
-Dùng mối quan hệ cùng song song, vng góc với
đường thẳng thứ ba.
-Áp dụng định lý đảo của định lý Talet.
-Áp dụng tính chất của các tứ giác đặc biệt (2 cạnh
đối hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình
vng, hai cạnh đáy hình thang, đường trung bình
của tam giác, hình thang.
- Hai đường thẳng phân biệt cùng vng góc với
đường thẳng thứ 3.
- Sử dụng kết quả của ácc đoạn thẳng tỷ lệ suy ra
các đường thẳng tương ứng song song (ĐL Ta lét
đảo)
-Dùng tính chất hai dây chắn giữa hai cung bằng
nhau của một đường trịn.
5. Chứng minh hai đường thẳng vng góc
- Định nghĩa 2 đường thẳng vng góc.
- Tính chất 2 tia phân giác của hai góc kề bù
- Dùng tính chất 2 góc nhọn trong tam giác vng
- Dùng đ/n tính chất 3 đường cao, 3 đường trung
trực của tam giác.
- Chứng minh chúng song song với hai đường
vuông góc khác.
-Dùng tính chất: đường thẳng vng góc với một
trong hai đường thẳng song song thì vng góc với
đường thẳng cịn lại.
-Dùng tính chất của đường cao và cạnh đối diện

trong một tam giác.
-Đường kính đi qua trung điểm của dây.
- Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn.
- Tính chất tam giác cân, tam giác đều
- Định lý Pitago
- tính chất đường kính đi qua trung điểm 1 dây
khơng qua tâm hoặc qua điểm chính giữa một cung.

- Tính chất tiếp tuyến của đường tròn.
- Đường nối tâm và dây chung của hai đường
tròn.
6.Chứng minh ba điểm thẳng hàng
-Dùng tiên đề Ơclit: Nếu AB//d; BC//d thì A, B,
C thẳng hàng.
-Áp dụng tính chất các điểm đặc biệt trong tam
giác: trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại
tiếp, …
-Chứng minh 2 tia tạo bởi ba điểm tạo thành góc
bẹt: Nếu góc ABC bằng 1800 thì A, B, C thẳng
hàng.
-Áp dụng tính chất: Hai góc bằng nhau có hai
cạnh nằm trên một đường thẳng và hai cạnh kia
nằm trên hai nửa mặt phẳng với bờ là đường
thẳng trên.
-Chứng minh AC là đường kính của đường trịn
tâm B.
7. Chứng minh các đường thẳng đồng quy
-Áp dụng tính chất các đường đồng quy trong
tam giác.
-Chứng minh các đường thẳng cùng đi qua một

điểm: Ta chỉ ra hai đường thẳng cắt nhau tại một
điểm và chứng minh đường thẳng cịn lại đi qua
điểm đó.
-Dùng định lý đảo của định lý Talet.
CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HAI
TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG;
HỆ THỨC HÌNH HỌC
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.Tam giác đồng dạng
-Khái niệm:
A A'; B B'; C C'

ABC A'B'C' khi  AB AC BC
 A'B'  A'C'  B'C'

-Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác: c-cc; c-g-c; g-g.
-Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác
vng: góc nhọn; hai cạnh góc vng; cạnh huyền
- cạnh góc vng
*Tính chất: Hai tam giác đồng dạng thì tỉ số hai
đường cao, hai đường phân giác, hai đường trung
tuyến tương ứng, hai chu vi bằng tỉ số đồng dạng;
tỉ số hai diện tích bằng bình phương tỉ số đồng
dạng.
2.Phương pháp chứng minh hệ thức hình học


-Dùng định lí Talet, tính chất đường phân giác, tam
giác đồng dạng, các hệ thức lượng trong tam giác
vuông, …

Giả sử cần chứng minh MA.MB = MC.MD
-Chứng minh hai tam giác MAC và MDB đồng
dạng hoặc hai tam giác MAD và MCB.
-Trong trường hợp 5 điểm đó cùng nằm trên một
đường thẳng thì cần chứng minh các tích trên cùng
bằng tích thứ ba.
Nếu cần chứng minh MT2 = MA.MB thì chứng minh
hai tam giác MTA và MBT đồng dạng hoặc so sánh
với tích thứ ba.
Ngồi ra cần chú ý đến việc sử dụng các hệ thức
trong tam giác vuông; phương tích của một điểm
với đường trịn.
CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH TỨ
GIÁC NỘI TIẾP
Phương pháp chứng minh
-Chứng minh bốn đỉnh của tứ giác cùng cách đều
một điểm.
-Chứng minh tứ giác có hai góc đối diện bù nhau.
-Chứng minh hai đỉnh cùng nhìn đoạn thẳng tạo
bởi hai điểm cịn lại hai góc bằng nhau.
-Chứng minh tổng của góc ngồi tại một đỉnh với
góc trong đối diện bù nhau.
-Nếu MA.MB = MC.MD hoặc NA.ND = NC.NB
thì tứ giác ABCD nột tiếp. (Trong đó
M AB  CD; N AD  BC )
-Nếu PA.PC = PB.PD thì tứ giác ABCD nội
tiếp. (Trong đó P AC  BD )
-Chứng minh tứ giác đó là hình thang cân;
hình chữ nhật; hình vng; …
Nếu cần chứng minh cho nhiều điểm cùng thuộc

một đường trịn ta có thể chứng minh lần lượt 4
điểm một lúc. Song cần chú ý tính chất “Qua 3
điểm khơng thẳng hàng xác định duy nhất một
đường tròn”