Chuong III 3 Duong thang vuong goc voi mat phang
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (122.11 KB, 3 trang )
ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC MẶT PHẲNG
Định nghĩa: mp() vng góc với mọi
đường thẳng mp().
Định lý 1: Nếu dường thẳng d vng góc với hai
đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt
phẳng (P) thì đường thẳng d vng góc với mp(P).
d a; d b
d mp(P)
Trong
mp(P)
:a
b
M
Hệ quả: Nếu một đường thẳng vng góc với hai
cạnh của một tam giác thì nó cũng vng góc với
cạnh thứ 3.
a AB
a AC
a BC
Các tính chất:
t/c1: Có duy nhất một mp(P) đi qua điểm O cho
trước và vng góc với đ ường thẳng a cho
trước.
t/c2: Có duy nhất một đường thẳng đi qua
điểm O cho trước và vng góc với mặt phẳng
(P) cho trước.
Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng
+ là mặt phẳng vng góc với đoạn thẳng đó tại
trung điểm của nó.
+ (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB
mọi điểm của (P) luôn cách đều A và B. (tức là
(P) là mp trung trực của đoạn AB, M mp (P)
MA = MB).
(P)a
(Q ) a
( P ) ( Q )
b)
(P) // (Q)
Tính chất 5:
a)
b)
a // (P)
b ( P )
b a
a ( P )
a b
( P ) b
a // (P)
BÀI TẬP
Bài 1. Cho tứ diện S.ABC có SA vng góc với (ABC)
và tam giác ABC vuông ở B.
a. Chứng minh BC (SAB)
b. Gọi AH là đường cao của SAB. Chứng minh:
AH (SBC)
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình
thoi tâm O; gọi I, J lần lượt là trung điểm AB, BC. Biết
SA = SC, SB = SD. Chứng minh rằng:
a. SO (ABCD)
b. IJ (SBD)
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình
vng tâm O và có cạnh SA (ABCD). Gọi H, I, K
lần lượt là hình chiếu vng góc của điểm A lên SB,
SC, SD.
a. Chứng minh rằng: CD (SAD), BD (SAC)
3. Mối liên hệ giữa quan hệ song song và quan
hệ vng góc:
b. Chứng minh: SC (AHK) và điểm I cũng thuộc
(AHK)
Tính chất 3:
c. Chứng minh: HK (SAC).
a)
a // b
( P ) a
b)
a b
a ( P )
b ( P )
(P) b
Bài 4. Cho tứ diện ABCD có ABC và DBC là 2 tam
giác đều, gọi I là trung điểm BC
a. Chứng minh: BC (AID)
a // b
Tính chất 4:
( P ) // ( Q )
a) d ( P ) d (Q)
b. Vẽ đường cao AH của tam giác AID. Chứng
minh: AH (BCD)
Bài 5. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi một
vng góc với nhau. Gọi H là điểm thuộc mp(ABC) sao
cho OH (ABC). Chứng minh rằng:
a. BC (OAH)
b. H là trực tâm của ABC
1
1
1
1
2
2
2
OA
OB
OC 2
c. OH
HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC
Lý thuyết: Phương pháp chứng minh: mp()
vng góc với mọi đường thẳng mp()
PP chứng minh: Để chứng minh a b ta chứng
minh a với một mặt phẳng chứa b.
Định lý 1: ( định lý ba đường vng góc )
Cho đường thẳng a khơng vng góc với mặt
phẳng (P) và đường thẳng b nằm trong mp(P) . khi
đó điều kiện cần và đủ để b vng góc với a là b
vng góc với hình chiếu a’ của a trên mp(P)
b mp(P)
b a
ba
(với a’ là hình chiếu
của a lêm mp(P))
a
P)
b
a’
Định lý 2: Đường thẳng vng góc một trong hai
đường song song thì vng góc với đường thẳng
cịn lại.
a b
ac
b c
BÀI TẬP
Bài 1. Cho tứ diện ABCD có ABC, DBC là hai
tam giác đều, gọi I là trung điểm BC.
a)
Chứng minh
BC AD.
b)
Vẽ đường cao
AH của tam giác AID. Chứng minh AH
BD.
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình
vng. Mặt bên SAB là tam giác vng và nằm
trong mặt phẳng vng góc với mặt đáy. Gọi I, J
lần lượt là trung điểm AB, BC.
CM: SI (ABCD), AD (SAB), DJ (SIC)
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình
vng cạnh bằng a. Mặt bên SAB là tam giác đều,
SCD là tam giác vuông cân tại S. Gọi I, J là trung
điểm của AB và CD.
a) Tính các cạnh của tam giác SIJ, từ đó suy ra
tam giác SIJ là tam giác vng.
b) Chứng minh rằng SI (SCD), SJ (SAB).
c) Gọi H là hình chiếu vng góc của S trên IJ.
Chứng minh SH AC.
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình
vng cạnh bằng a. Mặt bên SAB là tam giác đều,
SC a 2 . Gọi H,K lần lượt là trung điểm của
AB; AD.
a/ Chứng minh SH (ABCD).
b/ Chứng minh AC SK, CK SD.
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ
nhật có AB = a, BC a 3 . Mặt bên SBC vuông
tại B, SCD là tam giác vng tại D có SD a 5 .
a/ Chứng minh: SA (ABCD).
b/ Đường thẳng qua A vng góc với AC, cắt
các đường thẳng CB, CD lần lượt tại I và J.
Gọi H là hình chiếu vng góc của A trên
SC. Xác định các giao điểm K, L của SB,
SD với mặt phẳng (HIJ). Chứng minh rằng
AK (SBC), AL (SCD).
c/ Tính diện tích tứ giác AKHL.
Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình
vng tâm O, SA (ABCD). Gọi H, I, K lần lượt
là hình chiếu vng góc của A trên SB, SC, SD.
a. CM: BC(SAB), CD(SAD), BD (SAC).
b. CMR: AH, AK cùng vng góc với SC. Từ
đó suy ra ba đường AH, AI, AK cùng chứa
trong một mặt phẳng.
c. CMR: HK (SAC). Từ đó suy ra HK AI.
Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có SA (ABCD)
và SA = a, đáy ABCD là hình thang vng, đường
cao AB = a, BC = 2a. Ngồi ra cịn có SC vng
góc với BD.
a. Chứng minh rằng tam giác SBC vng.
b. Tính AD.
c. Gọi M là một điểm trên đoạn SA, đặt AM =
x (0 x a). Tính độ dài của đường cao
DE trong tam giác BDM theo a và x.
Bài 8. Cho hình chóp S.ABC, SA (ABC). Gọi H,
K lần lượt là trực tâm các tam giác ABC, SBC .
Đường thẳng HK cắt SA tại S’.
a) Chứng minh: SB (CHK), SC (BHK)
b) Chứng minh: S’B SC, S’C SB
Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ
nhật, SA (ABCD). Gọi B’, D’ lần lượt là hình
chiếu của A lên SB, SD.
a) CM: Tam giác SBC và SCD vuông
b) CM: AB’ SC, AD’ SC
Bài 10. (D-2007) Cho hình chóp S.ABCD đáy
ABCD là hình thang vng tại A và B,
SA ( ABCD ) , AD=2a, AB=BC=a. Chứng minh
rằng: tam giác SCD vng.
Bài 11. (B-2007) Cho hình chóp đều S.ABCD đáy
ABCD là hình vng, E là điểm đối xứng của D
qua trung điểm SA. Gọi M, N lần lượt là trung
điểm của AE và BC. CMR: MN BD
Bài 12. (A-2007) Cho hình chóp S.ABCD đáy
ABCD là hình vuông, tam giác SAD đều,
( SAD ) ( ABCD ) . Gọi M, N, P lần lượt là trung
điểm của SB, BC và CD. Chứng minh rằng:
AM BP
