Bai Hinh cua thay Giang Tien Hai
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (81.43 KB, 1 trang )
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O), đường cao BD và CE của tam giác cắt nhau tại
H. DE cắt (O) tại M và N. MH cắt (O) tại điểm thứ hai là K. Chứng minh HK = 2.KN
Lời giải dựa theo bài của bạn Khánh Ninh đơn giản hơn
Trên MK lấy điểm J sao cho KJ = KN; gọi giao điểm của AH với BC và (O) lần lượt
là P và T;
Ta có OA vng góc với MN (bài toán quen thuộc) => cung AM = cung AN
=> AM = AN => góc NKA = góc MKA => N đối xứng với J qua AK => AJ = AN
Dễ chứng minh T đối xứng với H qua BC (quen thuộc)
Do góc AME = góc ABM => tam giác AME đồng dạng với tam giác ABM
=> AM2 = AE.AB; do tứ giác BEHP nội tiếp => AE.AB = AH.AP
=> AM2 = AH.AP => tam giác AMH đồng dạng với tam giác APM => góc AMH =
góc APM
Mặt khác AM = AN = AJ => AJ2 = AH.AP => tam giác AJH đồng dạng với tam giác
APJ => góc AJH = góc APJ
=> góc MPJ + góc MAJ = góc AMH + góc AJH + góc MAJ = 1800 => tứ giác AMPJ
nội tiếp => góc APJ = góc AMJ = góc ATK => PJ // TK => JH = JK
Do đó HJ =JK = NK hay HK = 2NK
