Tich phan xac dinh nang cao
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (486.87 KB, 17 trang )
TICH PHAN CAC HAM SO LUONG GIAC
Bai 5. TICH PHAN XÁC ĐỊNH ( tiết 2 )
TICH PHAN CHUA CAC HAM SO LUONG GIAC
I. KIEN THUC
1. Thudc cac nguyén ham :
a/
B
[sin (ax+b) dx = ~~ cos(ax+b)
a
[ cos (ax+b) dx = | sin (ax+b)
`
dx = —In|eos(ax+b)|
` cos(ax+b)
a
B
Ũ
a
,
b/ | sin (ax+b)
a
B
c/
Boot
7
d/ peostaxt) dx = Inlsin (ax+b)| Ũ
a
` sin(ax+b)
a
B
2. Đôi với: /= | f (x)dx
a/ Nếu f{x)= R(sin" x;eos"x) thì ta chú ý :
- Nếu m lẻ, n chẵn : dat cosx=t ( Goi tat la 1é sin )
-Néun lé, mchan : dat sinx=t ( Goi tat là lẻ cos )
- Nếu m,n đều lẻ thì : đặt cosx=t hoặc sinx =t đều được ( gọi tắt lẻ sin hoặc lẻ cos )
- Nếu m,n đề chăn : đặt tanx=t ( gọi tắt là chăn sinx , cosx )
b/ Phải thuộc các công thức lượng giác và các công thức biến đôi lượng giác , các
hăng đăng thức lượng giác , công thức hạ bậc , nhân đơi , nhân ba, tính theo tang góc
chia đơi ..
3. Nói chung dé tính được một tích phân chứa các hàm số lượng giác, học sinh đòi
hỏi phải có một số yếu tỐ sau :
- Biến đối lượng giác thuần thục
- Có kỹ năng khéo léo nhận dạng được cách biến đỏi đưa về dạng đã biết trong
nguyên hàm .
II. MOT SO Vi DU MINH HOA
Ví dụ 1. Tính các tích phân sau :
a. (DH, CĐ Khối A — 2005) | = pate
X
+ SCOS
b.. DH, CD Khéi B— 2005.
| = j2
su,
COS
KQ: 2In2-1
Giai
a.
I=
psin2x+sinx | _ †(2cosx+l)sinx
Ji aca
mi
r=]
———
V1+3cosx
2
Dat : t=V1+3cosx>
ray
Khi do:
[=f
{2
2
/—I
3
( )
2
;Sinxdx=-— tdt
3
x=0-x/=2;x= 2. ->r=l
|
A(t
t
1
*
2
3
)=2f
p2r +1ar Z|2/1re
9
9
3
2 =_—34
1 27
Suu tam va bién soan : Nguyén Dinh S¥-DT: 0985.270.218
TICH PHAN CAC HAM SO LUONG GIAC
TT
eT
=—
25
sin 2xcos x
5
l+cos x
“
eT
2
—.==.
2sin xcos” xy
5
eT
2
l+cos x
(1)
2
COS“X _.
5 cosx+l
dt=-sinxdx, x=0 > t=2;X=—- >t=1
Dat : t=1+cosx >
ƒ(x)dy= =
2
Ị
0
2
dt =[1
2+z]d
2
Do đó : =2] ra0r==2[[r=2+2 J=2| 20? 20 +n
¬..=
t
Vi du 2. Tinh cac tich phan sau
mm.
I=Í-—Š" “——œ
a. ĐH- CÐ Khối A—2006.
0
.
b. CD Bén Tre
— 2005.
2
|=
Vco¢ x + 4sin? x
f°“ ax
KQ: 2
3
KQ: 2-3In2
0
Giải
a
2
:
sin2x
a. | = |_———
9 Vcos’
x + 4sin x
°
x
.
Đặt : t=Vcos’x+4sin’x >?
.
=cos’x+4sin’x
2
2tdt = (-2 sin xcos x +8sin xcos x) dx = 3sin 2xdx > sin 2xdx = 3 it
Do đó
Vậy:
x.
xr=0>t=hx=>1=2
7=
‡
{ro
2¢tdt
2%
2|2 2
dx == | = A a = 21) = 2
357
3!
3 |1
3
Ta có : cos3x=4cos*x—3cos x = (4 cos’ x— 3) COSX= (4-4sin”x — 3) COSX= (1-4sin’x) COSX
Cho nên : ƒ(x)dx=
cos3x ke (1 —4sin? x)
1+sinx
cosxdx
l+sinx
dt=cosxdx,x=0 —> t=1 Ke
Dat : t=1+sinx>
1-4(t-1)
jooeL MY)
2
2
0
1
3
(1)
>t=2
9
(5-4-2
Vậy : 1=] 7@wxr= [[s~4r~Š | =(gr=2° =3In)
2
=2-3ln2
Ví dụ 3. Tính các tích phân sau
Trang 2
Sưu tâm và biên soạn : Nguyễn Dinh Sỹ-ĐÐT: 0985.270.218
TICH PHAN CAC HAM SO LUONG GIAC
,
2
a. CDSP Séc Trang Khoi A — 2005. 7 = Í
0
7
z
b. CĐ Y Tê — 2006.
sin xdx
x
sin’ x + 2cos x.cos” —
SIN
X — COSX
l=|————— dx
| 11+sn2x
KQ:
4
¬
a] =|
Giai
;
sin xdx
xa
0 sin? x +2.cos x.cos?
b.
2
SIN X — COSX
| = |———
~Vi+sn2x
2
Vi:
=|
sin” x+cosx. (I+cosx)
3
3 SiINX —
SiN xX — COSX
sinxtcosx= V2 sin [x+2}
4)
COSX
= |sinx+cosx|
4
sinx
x
dx =—In|1+cosx||22 =In2
ox
0
(1)
4
4“
4
Inv2
Inv2
ọ I†COSX
| ———
ý (sinxtcosx)
4
:
sin xdx
x =|-———=d‹-
Q:
2.72
4
Tessin [xi £}"
4
4
Do đó : |sinx+cosx| = sinx+cosx
Mặt khac : d(sinx+cosx) =(cosx-sinx) dx
x
2
1
d(si
s
Cho nên: 7= |- A(sinx+008X) __ in einx+cosx|] 22 _= -| In1- in
/ ——_ sinx+cosx
1
4
Vi du 4. Tinh cac tich phan sau
2s
a
a. CD Su Pham Hai Duong — 2006.
}=—in2
cos2x
| == | —————__,y dx
9 (SiNx— cosx +3)"
4
b. CÐ KTKT Đơng Du—2006.
|= (SX
Ì1+2sn2x
KQ:
1
—
32
KQ: lin3
4
Giải
a
2
| = |————__
00s2x
3)
a ( (s Nx —
Cho nén:
COSX +
dx. Vi:
cos2x=cos*x—sin’ x= (cosx+sinx ) (cosx-sinx )
f(x)dx=—%⁄%_
(sinx-cosx+3)
=_(cosxsinx)_ (cosx+sinx)) dx
(sinx-cosx+3)
dt=(cosx+sinx ) dx; x = 0 —>í = 2x=S—>f
Dat : t =sinx-cosx+3 >
°
f (x)dx =
£—3
a
=
[ 1
1 Je
2 OF
4
Vậy: !=|/r@0áxr= [[ 5-3. at =(-* 1 ral
,
=4
f£ 4t
2
51
Sưu tâm và biên soạn : Nguyễn Dinh Sỹ-ĐÐT: 0985.270.218
Trang 3
TICH PHAN CAC HAM SO LUONG GIAC
›lI+2sin2x
dx. Đặt : ;=1+2sin2x—>
cosex
Vậy:
› I+28n2x
dt = 4cos 2xdx > cos2xdx= di
x=0->r=lz= 7 ->r=3
a3 [FFI if -in3
a
b. 1 = f—0282x_
cos2x
Vidu5. Tinh cac tich nhân sau :
2
a. CD Su Pham Quang Ngai — 2006.
Aan’
| = | ¿ẩn x
) 1+ COSX
dx
KQ:
2
ñ
b. CĐ Bến Tre
— 2006.
| = jsnx-sn dc,
› I+OOS3X
Giải
2 4gnẺ XS -4|Utí
a. NÌ
0 1+008x"
cindy
b. ¡-| n3
,
an’
sin
2
|
{
=)
3) simxcxad] (1 cos) sinde=4.1(1- cose)
~1+COSX
A
2
2|—2=2
0
BX
1+COS3x
Ta có : sin3x—sin® 3x = sin3x (1 —sin’ 3x) =sin3x.cos?3x.
Dat : t=1+cos3x>
dt=-3sin3xdx —> sin3xdx=- la
x=0-t=2;x=
[7
ys froode=—5
0
6
(¢-
ly
Vi du 6. Tinh cac tich "hân
tel
"“Í=
2
3
sau
x
_2 sin?
x —sinx
= | —————
=3
bI-
cot gx dx
sme
7c
I=
_
2
It
sin(
x)
sinC~A
xX)
4
=
*>
1
c
ơ..6 3
a= 3s -21 ôInf
+
a
2
[ sin* x dx
2
d1-
[cos 2x(sin*x+cos* x)dx
0
0
Giai
x
_2A/sin” x—sinx
a.1=[ƒ_———————cotgxdx
x
3
Trang 4
dx
sin xX
= sinx3]| 1—
2
= Í
x
3
sinx
I
sin?x
cot xdx
Sưu tâm và biên soạn : Nguyễn Dinh Sỹ-ĐÐT: 0985.270.218
TÍCH PHAN
1L
2
1
x
3
sin’ x
= Ỉ 3 II
7L
b. I=
.
>
SIT]{
):e
xdx -j
CAC HAM SO LUONG GIAC
oor
x cot xdx
3
‹ Tt
——
—
7L
XxX
-
A
2
T4
TU
2 d(cosx+sinx)
= | ————
=
„
lcosx+sinx|
COSX+SINX
Ầ
c.
xdx = |
0
2/3———cos2x+—cos4x
1
1
2
|dx =|
8
. 4
4
[cos 2x(s' x+cOS
x)dX
;
l=
1 2
dx =—|
+ọ
2
7t
d.
=0
Ầ
2/1—cos2x
[sin
0
58
7
5
Ầ
2
I=
=|
4.
Cosx-sinx
xn COSX+S1NX
Ĩ
—
dx
A
Ĩ
=x sin(
+x)
2
>
3
1+cos4x
l—2ceos2x+—————
1
1
|dx
^|]? =—3n
—x ——sin2x
+ —sin4x
8
4
32
0
16
1
„Vì: sin’ x+cos'x=1-—sin’ 2x
0
Cho nén:
ar
|
0
2
l= | ==
2
lì
0
2
1
a
a
2x \oosdxd= | cos2xdx-— | sin’ 2xcos 2xdx =—sin 2x|2 ——sin® 2x|2 =0
0
0
3
0
Ví dụ 7. Tính các tích phân sau
.
2
.I=Í{sin`
Is
4
1
b. | = | =x
—
xd
¬
J sin? X4/cot gx
6
C. 1=| ytg? x +cotg* x — 2dx
d. */I = | (A/cos x — sin
x )dx
0
°
Giải
3
3
a. l= | sin? xdx= i(! — cos”x
,
0
=|
2
—COSX+—COS
3
3
1
xX — —COS`X
5
xe
3
sinxdx=-| 1 —~2cos” x + cos*x | d(cosx)
0
7
2
2=—
n
15
Sưu tâm và biên soạn : Nguyễn Dinh Sỹ-ĐÐT: 0985.270.218
Trang 5
TICH PHAN CAC HAM SO LUONG GIAC
Ầ
4
b.| = | ————
1
=x.
sin? x4/cot gx
6
2tdt =
Dat : t= Vcotx >t =cotxo
-—.—
dx >
m4
1
—.—
m
1
4
dx = —2tdt
x=—->f=43;x=—-—->í=l
6
1
Vay : I=- 2a
5h
far
f
13
v3
4
xen)
1
Ầ
3
I=Í kg? X+cotg^x— 2dx = i
tanx- cotx
dx = rm
cotx|dx
7U
6
Vì : tanx-cotxe sinx _£eox
COSX
_ sa x co” x —-2 COS2X —-_2cot2x
SInX
SINXCOSX
sin2x
tanx-cotx<0;x € 2.2]
ˆ
Cho nên :
:
ve( 2:2) o2xe[ 4:24 ) > oot2xe| -*
_N3. NI
6 3
3°
3
3
6 4
E =
tanx-cotx>0;xc| —;—
4
Vậy
: 7=
l
4
J
3
[-(tanx-cotx)dx+ |
(
6
x
(Inkin2x|)|
)
2X
)
4
J
sin2x
6
a+
3 cos2x
Ì
4
nay
dx =—
1
2
x
~~(Inlsin 2x|) Ư =In2
z2
6
J\
4
(tanx-cotx) dx=[ -2°*
3
x
4
Ầ
2
=| (cos x — ¥/sin
x )dx
(1)
0
Đặt: x=——/->dx=-di,x=0->t=—; x=
2
2
2
>1=0
Do đó :
[= ÍlÍ*l5-) “|9(—dt = |
a= |
(2)
2
Lay (1) +(2) vé voi vé : 27=0>1=0
a
a.
a
tan* xdx (Y-HN-2000) b. I[— 924 — „(NT-2000) c.
(sinx+cosx+2)
4
Trang 6
+> la “——¬.›|R
Ví dụ 8. Tính các tích phân sau
cos °x
sin’ X
dx (NNI-2001)
Sưu tâm và biên soạn : Nguyễn Dinh Sỹ-ĐÐT: 0985.270.218
TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
1
ae
d. pa *ax( GTVT-2000)
4
e.[- “>4
ọ cos’ x
rÍLEảha
2sin” x '.(KB-08)
ọ 4—COS“X
)
i+sin2x
Giải
x
a.
3
z
an” xảx. Ta có :
“4
Feo
tant x = Sins
COS
|
X
2
l—cosˆ“x
COS
7
=
X
—
COS
X
—2
COS
—
+1
X
4
x
x
x
Do đó : 1=] r@áx= |
`
9
“` COS X
4
4
COS“X
x
vt )dr= f(ttan? x) 4> _[2tanx+x||°
`
COS”X
4
7
1
a
-[tameLian’ x8 [z#- 2+7
3
=|2M5-Š -|243- 2+2
-⁄+Z
3
4
12
* Chú ý : Ta cịn có cách phân tích khác :
ƒ(1) = tan” x= tan” x(tan” x+1—1) = tan” x(I+ tan” x)— tan” x = tan” x(1+ tan” x)—(tan” x+1)+1
3
3
4
4
kode
Vayay : J = ||J[ tan’
[dx = |Jintan” x.———
tan x(1+tan*
x( + tan x)—(tan*
x) (tan x+1)+1
x+ )+ Jax
x
y
3
Ion
J@
4
4
7
rs[
antx=tamee |) =[ a8-jB+Ã
| [HỆ
|=i*ˆ
4
b.
7lan
cOS2X
dx.
» (Sinx+cosx+2)
Ta có: ƒ@)=
2?
cos2x
"
.
_ (cos x—sin hi _ (cosx sinx) (cosxtsinx)
(sinx+cosx+9) — (sinx+cosx+9)
(sinx+cosx+9)
7
Do dé:
I= [ fax
= |
ọ
(sinx+cosx+2)
(cosx-sinx)dx
(1)
.
Z
cosx+sinx=t-2.x=0 > (3x57 >t= V2 +2,
Dat : t =sinx+cosx+2 >
dt = (cosx-sinx)dx > f (x)dx =
t
at = Ẹt? - 2z] dt
t
Vay :
ref (4-2 24) = (-+4t arr.
3
t
3
~
t?
(sin ƒ + coSL
ed
tr
.
(sine
cost)
1
1,
(z+v2}
24/2
sint + cost
= can
te
-(-3+3]=4
9
3.
I+x2
(s+v2}
—sint)dt = f(x)
Suu tam va bién soan : Nguyén Dinh S¥-DT: 0985.270.218
Trang 7
TICH PHAN CAC HAM SO LUONG GIAC
2 cos®x
C.
dx =
lạ
4
.
Ta có:
Vậy
lẻ
cOS”x
ƒŒœ)=———=
sin’
3
: 7=
Ï
(I-sin? x)
—n
x
|(l+cotfx
sin’
in? x
4
x
3
—3
I-3sin”x+3sin°x—sinx
=
=
sin’
dx
lines
2
+31
dx-
J
4
4
1
x
sin'x
3
1—cos2x
J
2
4
1
3
=———-3——-+3-sinx
sin’
x
d
x
=
—sotẺ x+3cotx+3x—-Lx+ Tsin 2x
3
2
4
2_3Z
a
8
4
i
aye
4( 1
d. 4(SE
gy
=
FOS
=
ar=
|
[ —__—
0 COS’ x
cos’ x
›\COS X
=
=|
2
\(
1
+ 1
|
4
Ja=]
=—L—-#r=
[(L+an°x)—S
X
ọ COS X COS“X
0
COS“X
COS
2
|(1+tan*x
2
tanx+—tan
3
e, %fe
sin sin2 2x
, x+—tan
|.
5
x—tanx-—tan
3
2
diez 2[—?”_sin2x
2 4—cOSˆx
1
—|(1+tan’x
II
Ìey
oz
23
12
7
= |(1+2tan? x+tan*
\(
Ll, x ||4
Jj =|(! —-tan , x+—tan'
1.
x
x)d(tan x)— | (1+tan? x)d(tdnx
) (
) II
) (
)
h ||4
0
D4— 1+cos2x
15
0
2joe
2sin2
sin 2x
xz
8
=—
2 d(7—cos2x) Ì ~_In|?—eos2x
- jess)
7 — cosdx
9
T—COS2X
2
4je
2sin* x n= 4[a
_0s2x_
f
> ittan 2x
”
x=—| 4
a(t
d( d(1+sin2x
sin2x) — Ty
9 l+sin2x
25
sin2x
1+sin2x
a4-412
0
2
Ví dụ 9. Tính các tích phân sau :
3
5
a. [sin® xcos' xdx
$
sin” x
c. [= |——=—
o sinx+V3cosx
dx
b. [eax
» 1+ 2cos3x
$
COS”x
vJ = {_———_
o sinx+V3cosx
1
dx
COS2X
= K= | =a
—
vx COSX-
3 sinx
2
Giải
x
a
2
.
a. | sin’ xcos’
4
2
xdx= | (1-cos x)cos
0
0
(!—cOS _ x——cOS
ot
=|
2
7
Trang 8
5
x
P ||2
4.
2
4
x.sinxdx = [(cos”x—cos x)d (cosx)
0
2
=—
35
Sưu tâm và biên soạn : Nguyễn Dinh Sỹ-ĐÐT: 0985.270.218
x2
0
=ln—
4
TICH PHAN CAC HAM SO LUONG GIAC
2
gi
2
b. [_ TP —œ&=
—_[_ 3sin3x_
») 1+ 2cos3x
c. Ta có : 1+7
.
611s 2c0s3x
:= [SPeas
x19 +
9 SINK+V
1
Do
sin{ x4)
3
Vay:
2
£a{tan( S42)
r=—|
25
xX
tan
2s
- Mat khac : /-3J =
"
7
Z
4
2
1+2cos3x
2
6
1
=—Inltanl
2
v=|
Z4
2
6
0
1371-48
Dé tinh
K ta dat (= 1-35
Vậy : K=Ï
:
›
2
2
6
[242]
dx
I
=—In3
af an( +2)
x
Z4
2
6
tan 24)
(1)
4
S inx+V3.3cOSx
0
0
dx
=1-v3 (2)
3
=
5(x
=
(sin x-433cosx] (sin x+433cosx]
0
4
2cos
2
Do dé: J-3/ = {(sinx-Vicosx) d= (- COSX- V3 sinx)|66
lJI+J=+In3
1
.
7
|[6 =—In^/3
*+^—
z
| sinx+V3cosx
iaxaBeosx
!
Z
0 sn|x+ 5]
.
3
1
x
6
:
¬
tan 24)
sin” x—3cos7 Xa
Từ (1) và (2) ta có hệ:
6
2
=
Z
2
`
a
+ 20834)*) = —+(in|1+2c0s3x)) 2 -1n3
° + sinx+ XỞ sosx
Joos{ x4
6
d(1+2cos3
:
tÈ#2|Í—E—
3COSK
{x
asin[
2
65
1
=
Z
—..
3-1
|J=remng
| pe Lina„3-I
16
(3)
4
> dt=deeox=35st= 0x=5T—->í==
3
cos(2t+3Z)
aL est) sn[ ea]
:
--|—%—_
cos2t
falco
Ví dụ 10. Tính các tích phân sau.
4
#t=I-J= lina_M3- l
ISBT
An.
a. [_———dx ( CD-99)
b. |
» +sin 2x
) 2+S8iNX+COSX
3
3
0
Z sinxsin KH
(ĐH-LN-2000)
c. | (sin x+cos"’x—sin* xcos* x)dx (SPI-2000)d. | ——+——~ x (MDC-2000)
6
+
a. |——
|
an
dx =
4
ng
o (sinx+cosx)
4
6
Giải
tes |=
0 2cos) Kì
tan x2
z
+
4=
lo
Sưu tâm và biên soạn : Nguyễn Dinh Sỹ-ĐÐT: 0985.270.218
Trang 9
b.
c t—'›|
TICH PHAN CAC HAM SO LUONG GIAC
dx
2 +S1nX+cosx
Đặt : (tan ><
Vay : 1=[
1
dt =
1
24 2
2
>
te
(+)
ct®——h'›)|R
Ta
l+/
at = i
=|
Pr +2+3
5
COS“H
1
2
vn
= (2)
4 (t+)
2
1ơ
2
=^
Uw=
(Â+1) +2
2(1+
T= | V2du = V2u =J2(u,u,)=
Vay:
C.
2
1
dt - V2
Dat : t+1- V2 tanu =>
jpneceercencträ
2
2cos?=
l
2
Ấn
v2 du =J2du
tan’ w) COS*u
| ssn ° - eta
th
5]
(sin" x+cos'°x—sin? xcosf x) dx
1 +
CO:
otal
sin’’ x+cos
1
-
°y—sin
X COS
4
x(sin
2
2
X+ COS
4
x) =(cos
s4
X—Ssin
.
x)(cosx— sin”
x)
= (cos”x —sin* x) (cos”x —sin’ x) (cos*x +sin? x+cos”xsin x)
= cos’ 2x 1 sin? 2x
4
|= cos?2x—— sin? 4x = I+ cos4x
16
I~ cos8x _ bt | cos4x+~L_cos8x
2
32
2
x2
E=..-...
›\32
2
a 5fw
Z
.
.
=sin{ 1-4
1
| 8
Oyo
>/=
f(x)dx =
Mã
SinX
.
Z
sin} X+—
=
3
\||Z
ll—
6
.
]eesaimeo|x+2
__
sin
2
“sims
77
.
—
|
7
x+—
6
.
Z
sin [+ + s)
Trang 10
77
(x42)
6
1
œ
sinx
0
_19Z
64
2)
COSX
sinx
—
cos{ x
7
1
]=2 (9
6/
2
.
7
+ 4 COSX-SInXCO 2 + =)
sinxsin{ x
1
4
Z
=
+—
.
Z
sin Ề + _
dx =2
In|sinx|—In
03-1
Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Dinh S¥-DT: 0985.270.218
.
sin|
WU
X+—
6|
|
wla
77
sinxsin( x42 )
__ COSX
32.8
Z
f(x)=
cos|
0
x2
32
X+—
[x+2)-1=% sin
6
6
Do đó:
8
+! singe
2
DBR
,
Taco:
322
yw la
csimsin(x+
Lo,
Z sI1nxsIin|
32
aly
Vậy : 7
32
TICH PHAN CAC HAM SO LUONG GIAC
* Chú ý : Ta cịn có cách khác
1
f(x)=
simein| xi
a
Vậy:
1
=
6
|
sim
X
simð
2
2
=
2
a
can,
sin’ x( V3 +cot x)
(3
7z
3 2đ{43
+cotx
—=w=-|~ CC —
~
7= |
+ V3 +cotx SỈn” x
^
=-2In|M3+eoxi 3=2In=
> (N3+cotx]
6
a
6
6
Ví dụ 11. Tính các tích phan sau
a. | “dx
2 sinxcos? X
1+cos*x
4
sin 4x
c. |
ọ C05 5
+
sinẾ
X
(HVBCVT-99)
b. | cos’xcos? 2xdx ( HVNHTPHCM-98)
dx (DHNT-01)
d. [——
3
4
dx
ọ C05
xX
(BHTM-95)
Giải
3
C t——`| tì
To.
2
¬ =>...
23
Dat : t=1+cos*x>
p(t
]l+cos7x
dt = —2sin xcos xdx = —sin2xdx
Z
anh
2
21.
I=
—
Vậy:
——————.Ễ
5 l+coS“x
0=3[[ -!]Je=s( (Inl|—? l T—
c© t——.'›
|
2
b.
1
cos’xcos’ 2xdx .
,
1
Ta có : f(x) =cos’xcos’ 2x = =
2x 1
*, =
4
‘= q(t cos2x+cos4x+cos4x.cos2x)
— i + coS2x+cos4x+ ý (eos6xteos2x)) = ; + : cOS2x+ I cos4x+ s cOSÓX
^
Il
7 = |[ $+ Zeosane Leos
›\4 6
4
1
I,
L.
—
TC n2 +7 sin4y +
sin6] 2==
16
16
48
8
l
I
t cosox Jdr=[ Tx
8
4
.
| 3
Vậy:
(1
SO See
C.
`
VỊ:
sin 4x
cos°’x + sin® x
°
dx .
.
.
.
.
.
.
2
ood (sin® x+ cos*x) = 3sin 2x(sin
= -Ssin 4xdx => sin 4xdx = _.
Vậy:
.
.
ad(sin® x+ cos°x} = (6 sin’ xcos x— 6cos’xsin x) dx = 6sin xcos x(sin
4
|——
0
cos°x+sin° x
A
%=-
SS)
24
3
.
2
2
X—cOS
4
x)
.
x+cOS x) dx = —3sin 2x cos 2xdx
(sin® x+ cos°x}
7z
sin 4x
2
x—COS x) (sin
4
(sin
(
X+COS
6
wxruenn]
x)
2
S36
|
xress]
~4 =am2
4
Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐÐT: 0985.270.218 — Trang II
ar
) COSX
a
—
= |
a
|
d.
z
TICH PHAN CAC HAM SO LUONG GIAC
0 COSỐXCOSỐX
ì 4= 4
= J(t+ tan” x)d (tanx) = [tant tan
45
3
0
3
Ví dụ 12. Tính các tích phân sau.
a. | sin" xdx ( HVQHQT-96)
b. | sin? xcos* xdx (NNI-96)
0
0
C. [cos”xcos4xdx (NNI-98 )
d. | V1+cos2xdx (DHTL-97)
0
0
Giải
7z
a.
[sin"
xdx
0
Ta có
:
.
.
.
sin!’ x= sin” x.sinx= (I-cos”x)
Cho
nên
5
.
sinx= (1 -5cos’x +10cos* x—10cos*
4
.
x+5cos’ x— cos*x) sinx
: 7= [(I-5cos°x+10cosỶ x—10cos* x+5cos” x—cos°x)sinxdx
0
1
7
5
6
=| —cos’x——cos°x+2cos’
7
5
6
5
4
3
Ie
—118
x——cos’*x+—cos’x—cosx || =——
2
3
21
q
b. [ sin? xcos" xdx
0
Ha bac :
sin? xcos* x-(
1-
5|“
2
cos2x Ï
1
=<(I-eos2x)(I+2cos 2x+cos?2x)
8
2
1
= 8 (1 + 2cos 2x + cos’ 2.x —cos2x-2cos’ 2.x —cos* 2x)
= 1(1 +cos2x-cos”2x— cos” 2x) = 1
8
8
1
4
l+cos2x- —xS
2
= - (I + cos2x-cos4x+cos4x.cos2x )
= ` [i
cOS2X
+cos2x-cos4x+
1
4
—.
2
an)
= (2 +3cos 2x + cos6x-cos4x)
“
A
1
1
3.
1.
1.
Vay I= [(2+3cos 2x +cos6x-cos4x
)dx =| —x+—sin 2x +—— sin 6x -—— sin 4x
32° | 64
d. [vi + cos2x dx = [ V2cos? xdx = V2 {|cosx| dx = A2
0
0
7
=42|
0
Trang 12
32.6
7
cosxdx — | cosxdx
x
2
7
sinx|2 —sinx|x~
0
c t—›|
39
=42(+!)=242
2
Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sÿ-ĐT: 0985.270.218
Z
—
||4 =
0
TICH PHAN CÁC HÀM
LH. MỘT
SỐ LƯỢNG
GIÁC
SỐ CHU Y QUAN TRONG
1. Trong phuong phap đối biến số dạng 2.
* Sứ dụng công thức: | f (x)dx= | f (b—x)dx
C hứng minh:
=0>5t=b
e
Dat : b-x=t, suy ra x=b-t va dx=-dt , > {:
«
Dođó: [ ƒ(+)dx= | ƒŒ®—0)(—#)= | ƒ(b—0i= | ƒ(b—x)äảx. Vì tích phân khơng
x=b>t=0
phụ thuộc vào biên sơ
Ví dụ : Tính các tích phân sau
To
al |
4sin xảx
m——..
b/
ọ (sinx+cosx )
c/ ft
,
e/
2
ọ (sinx+cosx )
(1+ tanx)dx
|
[x“-xŸ
d/
dx
5
7=.
sin”
x +cos°x
3 sin’ xcos x
f/
|——
» SIN” X+COS”X
Giải
a/ [=
3
4sinsan
xdx -.(1). Đặt:
ọ (sinx+cosx)'
dt =dx,x=>t=;x=>r=0
2
. | Z
t=S-xSx=--trâ
tsin[
f (x)dx =
2
21]
Acost
|#,(5-)*4(Đơ)
(2
sin| f
|+cos|
1
f
x(#}=xi= f (dt
(cost+sint)
Nhng tớch phân không phụ thuộc vào biễn số , cho nên :
l= ị f (dt = ai
4cosx
(sinx+cosx)’
x (2)
2
k
£
.
Ấ
,
24
inx+
Lay (1) +(2) vê với vệ ta có : 2i = | XS)
Ọ (sinx+cosx )
Fi
—M
11...z
0 2cos” [x-2]
D
= J >cosx74sin
axtcosx) x
0
(sinx+cosx)'
S
=2]
2
!
Ọ (sinx+cosx)
+ dx
0
Tương tự như ví dụ a/ ta có kết quả sau :
Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sÿ-ĐT: 0985.270.218 — Trang 13
TICH PHAN CAC HAM SO LUONG GIAC
I=
nal
S inx+cosx)
Teer
oo
dx (2)
T (cost+sint)
(s inx+cosx)Ì
15cosx— 4sin x
.
£ 5sinf—
3
4cosí
15 sin x — s9
2
ˆ
t
‡
1
x
SO Cy
fs |
c/
1
||2=l—>TI=—
0
2
x——
4
Vay : 21= la} 7 dX = |———— dx=—tan|
0 (sinx+cosx)'
0 2eos)
5)
2
|log,(I+tanx)dx. Đặt:
1
dx =-dt,x=0>t=~:x=7% 5 1=0
4
4
1
———-..
Hay: f(t) =log,|
ye
I)
Bị
f (x)dx = log, (1+tanx)
dx = log, 1 + tan G
1—tant
1+
(
—đr) =lo
a
)
2
—đr) =log„
mm
tí
~
)
s
7
7
4
8
rl|cz)
2— log„ f
s
Vậy : 1= | ƒ(0át = | dr— [1og, tát > 27 =1 4=ô<âlI=
z4
7
d/ 1 =
ge
|
S1
0
X+COS X
0
ar (1)
sin [=-r]
i
5
2
+) =j*
cos x
hạ [Z-ees(Ee]
?
2
^
,
(2)
0 698 'x+sin”x
2
`
dx =1
4 cos°x +sin® x
3
Cộng (1) và (2) ta có : 27 = | ————
-
a
1
0
2
4
áv= |dv=x[2 =—=I=—
4 cos’x +sin® x
1
e/ | x" (1—x)' dx. Dat : t=1-x suy ra x=1-t . Khi x=0,t=1;x=1,t=0; dt=-dx
0
1
Do đó : 7 =[(-?Ƒ "(CđÐ = |th—£)"át = [x"(—3)"4š
0
MOT SO BAI TAP TU LUYEN
2a
s2
4
1. fea
2, [TC 2”
) 1+cosx
m
» 4cos
x +3sin x
o3
4. | X15 1. ( HVNHTPHCM-2000)
› l+cOS“x
COS X
5. [x'(I-x+')dx (DHKT-97)
0
Trang 14
(XD-98)
5
3, [ae
1
ie =
z
6, [2% ay ( AN-97)
2 2+cOS”x
Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sÿ-ĐT: 0985.270.218
TICH PHAN CAC HAM SO LUONG GIAC
z
2
7. [51295#v (CĐSPHN-2000)
8. fin [SE
9, fain
xsin x —dx (DHYDTPHCM-2000)
10.
hộ sin x + COSX
0
( CĐSPKT-2000)
1+cosx
9+4cos”
j sin’ xcos x
0
sin" x+cos”x
dx
asinx+bcosx+c
* Dang : I= | ——————d
a'sinx+b'cosx+c’
Cách giải :
Ta phan tich
:
asinx+bcosx+c
B(a'cosx-b'sinx
a'sinx+b'cosx+c
a'sinx+b'cosx+c’
(<
minh
),
C
—_a'sinx+b'cosx+c’
- Sau đó: Quy đồng mẫu số
- Đồng nhất hai tử số, đề tìm A,B,C.
- Fính I:
(a 'cosx-b'sinx
I= fla
a'sinx+b'cosx+c'
) +—
C
_a'sinx+b'cosx+c'
Ví dụ. Tính các tích phân sau:
a.
:
Ỉ
sinx-cosx+1
dk
( Bộ
5
Pic |
a
a
- a'Sinx+P'cosx+c'
VI DU AP DUNG
đề )
b.
) Sinx+2cosx+3
C.
B
dx = (Ax+Bln|a'sinx+b'cosx+c})
:
Ỉ
cosx+2sinx
dk
( XD-98
)
ọ +COS x + 3SIn x
.
7t
—
ọ 48in x + 3cosx+5
ax
d. I “js cosx
J 4sin
—3sinx
+1
x +3cosx
+5
4.
Giải
a.
3
sinxsinx-cosx+l
dx. Tac:
f(x)=
sinx+2cosx+3
Quy
inx- COSX+]
sinx
_Ay B(cosx-2sin
(¢ X
x)
sinx+2cosx+3
sinx+2cosx+3
|
C
( )
sinx+2cosx+3
đồng mẫu số và đồng nhất hệ số hai tử số :
© ƒ(x)=
(A — 2B) sinx+ (2A+B) cosx+3A+C
-
SInx+2cosx+3
A-2B=I
Ast
3
(sinx+2cosx+3)
TỐ
54
sinx+2cosx+3
p=-2 34-45
10
5
5
5
`
—=>42A+B=-l<©‡+B=-—~. Thay vào (Ï)
3A+C=1
4
C=—
3
I ={/-——
oO
5
4 2
5 ; sinx+2cosx+3
a
3
ể=—————
10
5
5
5
.
2
]n|sinx+2cosx+3|| 2 —— J
0
5
(2)
- Tính tích phân J:
Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sÿ-ĐÐT: 0985.270.218 — Trang 15
TICH PHAN CAC HAM SO LUONG GIAC
a=t
Đặt : ¿=tan”—
2
“....nn
2
ƒ(x)dx=
2ƒ
Ge
Tính (3) : t :
dt =J/2
t+1-J/2tanu
]
>
au
2dt
I-f?
n
12053
COSH
l+f
2
anu =
1
J2du
42
2
coSu
2
2dt
âJ=
2dt
Ê+2Ă+3
au
Â=1>
tan
=VP=H,
)df=~=-du
COSH
"
^
._
N2
-
b. 4
.(3)
Faeroe
2
2
2
:
COSX12SInX
dx.
1005
i
COSX+2SINX
f(x)=
ằ 4cos x+3sin x
4
42
5
52
ềệề
v2
tanw,
=
tanu, =V2
_Ay B(3(3cos x —4sIsin x)
4cosx+3sin x
C
4cosx+3sin x
—->(Ð)
4cosx+3sinx
Giống như phàn a. Ta có : A= s:8 = -§ ,C=0
Z
. r= 1|‘ 2-1 Geosa4sinw)
3cosx—
4si
Vay:
dea [21—Linfseos.r+3sina} z1=2Z„1in442J
oD
5 4cosx+3sinx
5
5
0
10
5
Học sinh tự áp dụng hai phần giải trên để tự luyện .
BÀI TẬP
3 ale 3
1. f sin x
-
as
SINK COL
py
2.
sin” x
5
f
Sos
Ae:
tsin
) sin’ x+4cos”
he
x
3
3
.
?1—sin2xsi
3. [ (cos*x—sin® x)dx
4. |——==—
0
7
sin’
x
6
+ S1NX-COSX
2
5. | =
lửm
6. | 15sin* 3xcos3xdx
sin 2x
J
2
3
7. |
SInXCOSX
ọ Va’cos’x +b’ sin” x
3‡In(sin
9. [nem
“COS
6
Trang 16
X
dx
(a,b#0)
5
8. [ tan’ xdx
ọ
10.
:
[ cos4x.cos2x.sin2xdx
2
„
Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sÿ-ĐT: 0985.270.218
7
TICH PHAN CAC HAM SO LUONG GIAC
12. f
14.
Ssin|
x
-——
4
sin2x+2 (I + inx+cosx)
xsin x+(x+1)cosx
xsin x + cOSx
dx. (KB-08)
dx. (KA-2011 )
dx. (KB-2011)
COS”X
dx. (KA-06)
sin 2x
Vcos’x+4sin’ x
|
2
>>” —4v. CĐST-05)
x
18.
sino
x
— or
sim
x+cos
X
.( CDSPHN-O5)
sin 3x—sin’ x
20.
dx
.
.
Smnxsin [xs
v/a
3
. CDSPHN-06)
|
œ
|
l+cos3x
dx. (CĐHY-06)
t——‹-›
|
sin 2xcOS“
c© t——.›
-
16.
c© t——.'›
|
Cet |
0
1+xsinx
c© t—›|3
—
è©
~
—
15.
4x. ( KA-08)
(cos’x—1)cos*xdx . (KA-09)
C2 | QO
13.
CcOS2X
Cee | QO
0
1
ct°“—›y+|
aa
1.[=
2
21. [sin 2x(1+sin* x) dv. (CDKT-06)
0
Sưu tâm và biên soạn : Nguyễn Dinh Sỹ-ĐÐT: 0985.270.218
Trang 17
