De thi chon HSG toan 8
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (125.24 KB, 6 trang )
2
5 x 1 2x
1
A
: 2
2
1
x
x
1
1
x
x 1
Bài 1 (4 điểm): Cho biểu thức:
a. Rút gọn biểu thức A.
b. Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên.
A A
c. Tìm x để
.
Bài 2( 5 điểm)
a. Giải phương trình sau:
2
2017 x 2017 x x
2
2017 x 2017 x x
2018 x 2018
2
2018 x 2018
2
19
49
.
Cho x ,y, z, a, b , c là các số nguyên khác 0 thỏa mãn x2 - yz = a
b.
y2 - zx = b và z2 - xy = c . Chứng minh rằng ax + by+ cz chia hết cho
a+b+c .
c. Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn a + b +c = 1. Chứng
a bc b ca c ab
2
b c
ca
a b
.
minh rằng:
Bài 3:( 5điểm)
a. Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1
đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn
vị vào chữ số hàng chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị thì
ta vần được một số chính phương.
x 3 2x 2 3x 2 y3 .
Tìm
các
số
nguyên
x,
y
thỏa
mãn
b.
c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
2
P = x + 5y + 2xy - 4x - 8y + 2018
Bài 4: ( 6 điểm)
Cho hình vng ABCD, trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy điểm
F sao cho AE = AF. Vẽ AH vng góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC và BC
lần lượt tại hai điểm M, N.
1. Chứng minh rằng tứ giác AEMD là hình chữ nhật.
2. Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH.
Chứng minh rằng: AC = 2EF.
1
1
1
=
+
2
2
2
3. Chứng minh rằng: AD AM AN .
6) Đáp án và biểu điểm
Bài
Bài 1
(4
điểm)
Đáp án
+ ĐKXĐ :
Ýa
(2 điểm)
Ýb
(1
điểm)
x 1, x
Điểm
0,5
1
2
0,5
2
1 x 2(1 x) (5 x) x 1
A
.
1 x2
1 2x
2 x2 1
.
1 x2 1 2 x
2
1 2x
A nguyên, mà x nguyên nên 21 2x
0,5
0,5
0,25
Từ đó tìm được x = 1 và x = 0
0,5
Loại đi giá trị x = 1( do điều kiện). Vậy x = 0
0,25
0,25
A A A 0
Ýc
(1 điểm)
Kết hợp với điều kiện:
Bài 2
(5
điểm)
Ýa
(2 điểm)
0,5
2
1
0 1 2 x 0 x
1 2x
2
2
1 x
2017 x 2017 x x
2
2017 x 2017 x x
0,25
1
2
2018 x 2018
2
2018 x 2018
2
19
49
ĐKXĐ: x 2017; x 2018 .
Đặt a = x – 2018
(a 0), ta có hệ thức:
2
2
a 1 a 1 a a 2 19
a
a 1 19
2
2
2
49
a 1 a 1 a a
3a 3a 1 49
.
0,25
0,25
49a 2 49a 49 57a 2 57a 19
8a 2 8a 30 0
2
2a 1 42 0 2a 3 2a 5 0
0,5
3
a
2
a 5
2 (thoả ĐK)
4036
4031
Suy ra x = 2 hoặc x = 2 (thoả ĐK)
0, 5
0,5
Ýb
(1,5
điểm)
Ta có
ax by cz
x ( x 2 yz ) y ( y 2 xz ) z ( z 2 xy )
x 3 y 3 z 3 3 xyz
0,5
( x y )3 z 3 3 xyz 3x 2 y 3x y 2
( x y z )( x 2 2 xy y 2 xz yz z 2 ) 3xy ( x y z )
( x y z )( x 2 yz y 2 xz z 2 xy )
( x y z )(a b c )
0,5
0,25
Vậy ax + by + cz chia hết cho a + b + c
0,25
- Nhận xét:
Ýc
(1,5
điểm)
Có a + bc = a(a + b + c) + bc = (a + b)(c + a)
Tương tự có b + ca = (b + a)(b + c)
c + ab = (c + a)(c + b)
do đó:
VT
(a b)(a c) (b a )(b c) (c a)(c b)
bc
ca
a b
Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si ta có
(a b)(a c) (b a )(b c)
2(a b)
bc
ca
0,5
(a b)(a c) (c a )(c b)
2(a c)
bc
a b
(b a )(b c) (c a )(c b)
2(b c)
ac
a b
0,5
0,5
Vậy 2. VT 4(a b c) 4
Bài 3
(5,0
điểm)
Ýa
(2
điểm)
1
hay VT 2 ĐPCM Đẳng thức xảy ra a = b = c = 3
Gọi abcd là số phải tìm a, b, c, d
N,
0 ≤ a , b , c , d ≤9 , a ≠ 0
Ta có:
0,25
abcd=k 2
2
(a+1)(b+ 3)(c+5)(d+ 3)=m
Với k, m N, 31
0,5
abcd=k 2
abcd +1353=m2
⇔
Do⇔đó: m2–k2 = 1353
⇒ (m+k)(m–k) = 123.11= 41. 33
0,5
( k+m <
200 )
m+k = 123
m+k = 41
Hoặc
m–k = 11
m–k = 33
m = 67
m = 37
Hoặc
k =56
k= 4
⇒
⇔
Kết luận đúng
abcd
0,5
= 3136
0,25
Ýb
(1,5
điểm)
2
3 7
y x 2x 3x 2 2 x 0
4 8
Ta có
3
3
2
xy
(1)
2
9 15
(x 2) y 4x 9x 6 2x 0
4 16
3
3
2
y x 2
(2)
Từ (1) và (2) ta có x < y < x+2 mà x, y nguyên
suy ra y = x + 1
Thay y = x + 1 vào pt ban đầu và giải phương trình tìm
được
x = -1; từ đó tìm được cặp số (x, y) thỏa mãn bài toán là:
(-1 ; 0)
KL
0,5
0,5
0,5
Ýc
(1,5
điểm)
P x 2 5 y 2 2 xy 4 x 8 y 2023
P ( x 2 y 2 2 xy ) 4( x y ) 4 4 y 2 4 y 1 2018
P ( x y ) 2 4( x y ) 4
(4 y 2 4 y 1) 2018
P ( x y 2) 2 (2 y 1) 2 2018 2018
3
x
x y 2 0
2
2 y 1 0
y 1
2
Dấu "=" xảy ra khi
3
x 2
y 1
2
0,5
0,25
0,5
0,25
Vậy giá trị nhỏ nhất của P = 2018 khi
Bài 4
(6,0
điểm)
Vẽ hình, ghi giả thiết , kết luận
E
A
B
H
F
D
C
M
N
Ýa
(2
điểm)
Ta có DAM ABF (cùng phụ BAH )
AB = AD ( gt)
BAF ADM = 900 (ABCD là hình vng)
ΔADM = ΔBAF (g.c.g)
=> DM=AF, mà AF = AE (gt)
Nên. AE = DM
Lại có AE // DM ( vì AB // DC )
Suy ra tứ giác AEMD là hình bình hành
0,5
0,5
0,5
0
Mặt khác. DAE = 90 (gt)
Vậy tứ giác AEMD là hình chữ nhật
Ta có ΔABH ΔFAH (g.g)
0,5
Ýb
(2điểm)
0,5
AB BH
BC BH
=
=
AF AH hay AE AH ( AB=BC, AE=AF)
Lại có HAB = HBC (cùng phụ ABH )
0,5
ΔCBH ΔEAH (c.g.c)
2
2
SΔCBH BC
SΔCBH
BC
=
=4
=4
SΔEAH AE , mà SΔEAH
(gt) AE
0,5
nên BC2 = (2AE)2
BC = 2AE E là trung điểm của AB, F là trung điểm
của AD
0,5
Do đó: BD = 2EF hay AC = 2EF (đpcm)
Do AD // CN (gt). Áp dụng hệ quả định lý ta lét, ta có:
Ýc
(2điểm)
2
AD AM AD = CN AD CN
=
AM MN
AM MN
CN MN
2
(1)
0,5
Lại có: MC // AB ( gt). Áp dụng hệ quả định lý ta lét, ta
có:
MN MC
AB MC
=
=
AN AB
AN MN Vì AD = AB
2
AD MC
AD MC
=
hay AN MN AN MN
2
0,5
(2)
Từ (1) và (2)
2
2
2
2
CN 2 + CM 2 MN 2
AD AD CN CM
+
=
+
=
=
=1
MN 2
MN 2
AM AN MN MN
(Pytago)
2
0,5
2
AD AD
1
1
1
+
= 1
2
2
AM AN
AM
AN
AD 2
0,5
(đpcm)
Lưu ý
- Hình học nếu vẽ hình khơng khớp chứng minh khơng cho điểm .
- Học sinh làm bài cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
