hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn
CÁC DẠNG TỐN VỀ SỐ PHỨC
Biên soạn: Bùi Văn Ngọc, giáo viên THPT chuyên Chu Văn An Lạng Sơn
Trong đề thi tuyển sinh vào Đại học, Cao đẳng và đề thi tốt nghiệp trung học phổ
thông mấy năm gần đây, các bài toán về số phức thường hay xuất hiện với các dạng tốn
như tìm phần thực, phần ảo, tìm mơđun của số phức, giải phương trình…bài viết này giới
thiệu một số dạng toán cơ bản về số phức.
A. Tóm tắt lí thuyết
2
* Định nghĩa: Số phức là số có dạng z a  bi (a, b  R ) , i là đơn vị ảo, tức là i  1

a gọi là phần thực của z, kí hiệu a Re z .
b gọi là phần ảo của z, kí hiệu b imz .
Tập hợp các số phức kí hiệu là C.
* Các phép toán trên số phức:
+) Cho z1 a1  b1i, z2 a2  b2i .
+)

z1  z2  a1  a2    b1  b2  i

+)

z1  z2  a1  a2    b1  b2  i

2
+) z1.z2  a1  b1i  .  a2  b2i  a1a2  a1b2i  a2b1i  b1b2i a1a2  b1b2  (a1b2  a2b1 )i

+)

z1  a1  b1i   a1  b1i   a2  b2i  a1a2  b1b2  (a2b1  a1b2 )i




z2  a2  b2i   a2  b2i   a2  b2i 
a22  b22

* Mô đun của số phức, số phức liên hợp.
Cho số phức z a  bi . Khi đó :
+) Đại lượng

2
2
a 2  b 2 gọi là mơđun của z. Kí hiệu z  a  b

+) Số phức z a  bi gọi là số phức liên hợp của z.
B. Hệ thống bài tập
I. Các phép tốn trên số phức
z z z
Ví dụ 1: Cho z1 3  i, z2 2  i Tính 1 1 2

Lời giải
z1  z1 z2 3  i   3  i   2  i  10 10  0i  z1  z1 z2  102  02 10
3

Ví dụ 2. Tìm số phức z biết

z  2 z  2  i   1  i 

(1)



hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn
Lời giải:
Giả sử z a  bi  z a  bi
3
2
2
3
(1)  a  bi  2(a  bi) (2  3.2 i  3.2i  i )(1  i )

 a  bi  2a  2bi (8  12i  6  i )(1  i) (11i  2)(1  i )

13

3a 13 a 
13


3  z   9i
3
 b 9
b  9
 3a  bi 11i  11i 2  2  2i 13  9i
z  3 z2
Ví dụ 3. Cho z1 2  3i, z2 1  i . Tính 1
;

z1  z2
z2

;


z13  3 z2

Lời giải
2
2
+) z1  3z2 2  3i  3  3i 5  6i  z1  3z2  5  6  61

z1  z2
49 1 5 2
z1  z2 3  4i  3  4i   1  i  7  i

 



2
z
4
4
2
z
1

i
1

i
2
2


2
+)
3
2
3
z13  3 z2  2437
z

3
z

8

36
i

54
i

27
i

3

3
i

49


6
i

1
2
+)

Ví dụ 4. Tìm số phức z biết:

z  3 z  3  2i 

2

 2  i  (1)

Lời giải
Giả sử z=a+bi, ta có:
(1)  a  bi  3a  3bi  9  12i  4i 2   2  i   5  12i  . 2  i 
11
 19
11 19
 a  ;b 
z 
i
 4a  2bi 10  24i  5i  12i 22  19i
12
2 . Vậy
2 2
2


3

Ví dụ 5. Tìm phần ảo của z biết: z  3 z  2  i   2  i  (1)
Lời giải
Giả sử z=a+bi
(1)  a  bi  3a  3bi  8  12i  6i 2  i 3   2  i   2  11i  .  2  i 
15
 a  ; b  10
 4a  2bi 4  2i  22i  11i 20i  15
4
.
2

Vậy phần ảo của z bằng -10
2

(1  i 2)  1  i 
z  2z 
(1)
2 i
Ví dụ 6. Tìm mơđun của z biết

Lời giải


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn
(1  i 2)  1  2i  i 2 
(1)  a  bi  2a  2bi 
 3a  bi 


2 i



2i  2 2i 2
2 i

(2i  2 2)  2  i  i (4  2 2)  4 2  2

4  i2
5

 a

4 2 2
 4 2 2
;b 
15
5

 z 

32  4  16 2  144  72  144 2
225  128 2

225
15

5( z  i )
2  i (1)

z

1
1
Ví dụ 7. (A+A 2012) Cho số phức z thỏa mãn
2
Tính mơđun của số phức  1  z  z .

Lời giải
Giả sử z=a+bi
(1) 

5(a  bi  i )
2  i
a  bi  1

 5a  5i (b  1) 2a  2bi  2  ai  bi 2  i
 3a  2  b  i (5b  5  2b  a  1) 0
3a  2  b 0 a 1

 
 z 1  i
3b  a  4 0 b 1

 1  1  i  1  2i  1 2  3i    4  9  13

Ví dụ 8. (D-2012) Cho số phức z thỏa mãn:

(2  i ) z 


2(1  2i )
7  8i (1)
1 i

Tìm mơđun của số phức   z  1  i
Lời giải
Giả sử z a  bi
(1)  (2  i)(a  bi ) 

2(1  2i )
7  8i
1 i

 2a  2bi  ai  bi 2 

2(1  2i)(1  i )
7  8i
1  i2

2a  b  3 7


2
2
b

a

1


8

 2a  2bi  ai  bi  1  i  2i  2i 7  8i

Do đó  3  2i  1  i 4  3i    16  9 5 .

a 3

b 2


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn
2

Ví dụ 9. (A-2011) Tìm tất cả các số phức z, biết

z 2  z  z (1)

Lời giải
(1)   a  bi 2  a 2  b 2  a  bi  a 2  b2i 2  2abi a 2  b2  a  bi
1
1

 a  2 ; b  2
2b 2  a 0

 2b 2  a  bi  2abi 0  
  b 0; a 0
b  2ab 0


1
1
 a  ;b 
2
2


Vậy

z 0; z 

1 1
1 1
 i; z   i
2 2
2 2

Ví dụ 10. ( A-2011) Tính mơđun của số phức z biết:
(2 z  1)(1  i )  ( z  1)(1  i ) 2  2i (1)

Lời giải
(1)  (2a  2bi  1))(1  i )  ( a  bi  1)(1  i ) 2  2i
 2a  2ai  2bi  2bi 2  1  i  a  ai  bi  bi 2  1  i 2  2i

 3a  3ba  ai  bi  2i 2  2i
1

a

3a  3b 2


3


1 1
2
a  b  2  2
b   1
z   

9 9
3 .
3 Suy ra
3
Ví dụ 11. Tìm các số nguyên x, y sao cho số phức z x  iy thỏa mãn z 18  26i

Lời giải
 x 3  3 xy 2 18
( x  iy ) 18  26i   2
3
3 x y  y 26  18(3x 2 y  y 3 ) 26( x3  3xy 2 )
Ta có
1
t   x 3, y 1
3
Giải phương trình bằng cách đặt y=tx ta được
. Vậy z=3+i.
3

Bài luyện tập

Bài 1. Thức hiện phép tính:
a. (3i  4)  ( 3  2i )  (4  7i) 
2

3  4i   5  7i 
d. 

  3  4i  

5  7i
6  5i

2012

 7  5i   1  i    3i  2i  c.  1  i 
3
2
3
2
3  i    1  2i 
3  i    3  2i 


e.
f.

b.

8  5i 2i  1


h. 3  4i 3  2i

g.
Bài 2. Tìm phần thực ; phần ảo;mô đun và số phức liên hợp của mỗi số phức sau:
2

a. z1 (2i  1)  3i (i  1)  2i

3

b.

z2 

3  2i
 3i
i2

c.

z4 3i10  5  2i  4 


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn
2
Bài 3. Tìm phần ảo của số phức z, biết: z = ( 2 + i) (1- 2 i) .
2
Bài 4. Cho số phức z thỏa mãn: (2  3i)z  (4  i) z  (1  3i) .

Xác định phần thực và phần ảo của z.

Bài 5. Tính mơ đun của các số phưc sau:
z1 (2  3i )  (  3  4i); z2 (3  2i)3 ; z3 (2i  1) 2  (3  i) 2

Bài 6. Cho số phức z thỏa mãn:

z

(1  3i)3
1  i . Tìm mơđun của z  iz .

Bài 7. Tính mơ đun của số phức z , biết (2 z  1)(1  i )  ( z  1)(1  i ) 2  2i .
Bài 8. Tìm số phức z thỏa mãn: z  z 6; z.z 25
Bài 9. Tìm số phức z thỏa mãn | z  (2  i) |  10 và
Bài 10. Tìm số phức z, biết:

z

z.z 25 .

5i 3
 1 0
z

3
Bài 11. Tìm các số thực x, y thỏa mãn: x(3  5i)  y (1  2i ) 9  14i

( z  2 z )( 1  6i ) 37(1  i) z

1 i
10

Bài 12. Tìm số phức z biết:
.

II. Căn bậc của số phức và phương trình bậc hai trên tập số phức.
Định nghĩa: Cho số phức z a  bi
2
Căn bậc hai của số phức z là số phức z1 a1  b1i thỏa mãn z1  z

Ví dụ 1: Tìm các căn bậc hai của số phức z 5  12i
Lời giải
Giả sử m+ni (m; n R) là căn bậc hai của z
2
Ta có: (m  ni ) 5  12i

 m2  2mni  n 2i 2 5  12i  m 2  2mni  n 2 5  12i

m 2  n 2 5


2
mn

12


m 2  n 2 5(1)


6
m  (2)

n

2

 6
2
4
2
   n 5  36  n 5n
Thay (2) vào (1) ta có:  n 
 n 4  5n 2  36 0  n 2 4; n 2  9(loai )


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn
 n 2  m 3
 n  2  m  3


Vậy z có hai căn bậc hai là 3+2i và -3-2i
Ví dụ 2: Tìm các căn bậc hai của số phức z  164  48 5i
Lời giải
Giả sử m+ni (m; n R) là căn bậc hai của z
2
Ta có: (m  ni )  164  48 5i

 m 2  2mni  n 2  164  48 5i
m 2  n 2  164(1)
m 2  n 2  164




24 5
(2)
n 
2mn 48 5
m


Thay (2) vào (1) ta có:

m2  (

24 5 2
)  164  m 4  164m 2  2880 0
m

 m 2 16; m 2  180(loai)
 m 4  n 6 5

 n  4  m  6 5

Vậy z có hai căn bậc hai là 4  6 5i,  4  6 5i
Bài luyện tập
Tìm các căn bậc 2 của các số phức sau:
 5  12i,  7  24i, 1 

3i,  23  4 6i

III. Giải phương trình bậc hai trên tập số phức
2

Xét phương trình az  bz  c 0( a, b, c  C ; a 0)

Cách giải
2
Tính  b  4ac

Gọi k là căn bậc hai của  , nghiệm của phương trình là:

z

b k
bk
,z
2a
2a

Đặc biệt nếu b=2b’, ta tính  '
Gọi k ' là căn bậc hai của  ' , nghiệm của phương trình là:
2
Ví dụ 1: Giải phương trình: z  (3i  8) z  11i  13 0

Lời giải

z

 b ' k '
 b ' k '
,z
a
a



hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn
 (3i  8)2  4(11i  13) 4i  3

Giả sử m+ni (m; n R) là căn bậc hai của 
2
Ta có: (m  ni ) 5  12i

 m 2  2mni  n 2i 2 3  4i
 m 2  2mni  n 2 3  4i
m 2  n 2 3


2
mn

4


m 2  n 2 3(1)


2
n  (2)
m

2

 2

m    3  m 4  3m 2  4 0 
 m
Thay (2) vào (1) ta có:
 m 2  n 1
 m  2  n  1

2

 m2 4
 2
 m  1(loai)

Vậy  có hai căn bậc hai là 2+i và -2-i
 3i  8  i  2
2i  5
z 
2

 z  3i  8  i  2 i  3
2
Do đó nghiệm của phương trình là 
2
Ví dụ 2. Giải phương trình: z  4 z  7 0

Lời giải
 ' 2  7  3 3i 2  các căn bậc hai của  ' là i 3
Vậy nghiệm của phương trình là: z  2  3i, z  2  3i
2

3

2
Ví dụ 3. giải phương trình: z  4 z  (4  i) z  3  3i 0 (1)

Lời giải
2
Dễ thấy z=-i là nghiệm của (1) nên (1)  ( z  i )( z  (4  i) z  3  3i ) 0

 z  i 0
 2
 z  (4  i ) z  3  3i 0(2)

Giải (2)
 (4  i ) 2  12  12i 16  1  8i  12  12i 3  4i 4  2.2.i  i 2 (2  i ) 2

Vậy  có hai căn bậc hai là: 2+i và -2-i
  4 i 2 i
 1  i
z 
2

 z   4  i  2  i  2  3
2
Do đó nghiệm của (2) là 

Vậy (1) có 3 nghiệm là –i, -3, -1+i.
2 1  i z 2  4  2  i  z  5  3i 0
Ví dụ 4. Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình:  
.
2


2

Tính z1  z2 .


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn
Lời giải
2

Ta có

 ' 4  2  i   2  1  i   5  3i  16

. Vậy phương trình có hai nghiệm phức

3 5
1 1
2
2
z1   i, z2   i
2 2
2 2 . Do đó z1  z2 9 .
4
3
2
Ví dụ 5. Gọi z1 , z2 , z3 , z4 là bốn nghiệm của phương trình z  z  2 z  6 z  4 0 trên tập

S

số phức tính tổng:


1 1 1 1
  
z12 z22 z32 z42 .

Lời giải





  z  1  z  2  z 2  2 z  2 0
4
3
2
z

z

2
z

6
z

4

0
PT:
(1)


Không mất tính tổng quát ta gọi 4 nghiệm của(1)là
S

Thay và biểu thức ta có:

 z1 1
 z  2
 2
 z3 1  i

 z4 1  i

1 1 1 1
1
1
1
5
 2  2  2 1  


2
2
2
z1 z2 z3 z4
4 1 i
1 i  4

Ví dụ 6. Giải phương trình sau trên tập số phức C:


z 4  z3 

z2
 z  1 0
2
(1)

Lời giải
Nhận xét z=0 không là nghiệm của phương trình (1) vậy z 0
Chia hai vế PT (1) cho z2 ta được : (
Đặt t=

z

z2 

1
1 1
)  ( z  )  0
2
z
2
z
(2)

1
1
1
t 2  z 2  2  2  z 2  2 t 2  2
z Khi đó

z
z

5
0
Phương trình (2) có dạng : t2-t+ 2
(3)
5
 1  4.  9 9i 2
2
1  3i
1  3i
Vậy PT (3) có 2 nghiệm t= 2 , t= 2
1  3i
1 1  3i
z 
 2 z 2  (1  3i ) z  2 0
z
2
Với t= 2 ta có
(4)
2
2
2
Có  (1  3i)  16 8  6i 9  6i  i (3  i )

(1  3i )  (3  i )
(1  3i )  (3  i ) i  1
1  i


4
4
2
Vậy PT(4) có 2 nghiệm : z=
, z=


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn
i 1
 i 1
Do đó PT đã cho có 4 nghiệm : z=1+i; z=1-i ; z= 2 ; z= 2

Bài luyện tập
Giải các phương trình sau:
2
1. z  7 z  11  i 0
2
2. z  2(1  2i) z  (7  4i) 0
2
3. z  2(2  i ) z  6  8i 0
2
4. z  (2  i ) z  i  1 0
3
2
5. z  (2  i) z  (2  2i) z  2i 0

IV. Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z
Cách giải: Giả sử z = a + b i ; thay vào giả thiết, tìm được một hệ thức nào đó đối với a và
b. Từ đó suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức z.
Ví dụ 1. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z sao cho


u

z  2  3i
z  i là một số thuần

ảo.
Lời giải
Giả sử z a  ib ( a, b  R) , khi đó

u

a  2  bi  3i ( a  2  (b  3)i )( a  (b  1)i )

a  (b  1)i
a 2  (b  1) 2

2
2
Tử số bằng a  b  2a  2b  3  2(2a  b  1)i

a 2  b 2  2a  2b  3 0


2
a

b

1


0
u là số thuần ảo khi và chỉ khi 

(a  1) 2  (b  1) 2 5

(a; b) (0;1), (  2;  3)

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I ( 1;  1) , bán kính bằng 5
, khuyết 2 điểm (0;1) và (-2;-3).
z  2  3i
1(*)
z

4

i
Ví dụ 2. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z, biết z thỏa mãn:

Lời giải
Giả sử z a  bi
(*)  a  2  (b  3)i  x  4  (b  1)i

 (a  2) 2  (b  3) 2 (a  4) 2  (b  1) 2


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn
 3a  b  1 0

Vậy tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường thẳng có phương trình 3x-y-1=0.

Ví dụ 3. Tìm quĩ tích các điểm M biểu diễn số phức  (1  i 3) z  2 biết số phức z
thỏa mãn: z  1 2 (1) .
Lời giải
Giả sử  a  bi
Ta có

a  bi (1  i 3) z  2  z 

a  3  (b 

a  3  (b  3)i
(1) 
2 
1 i 3
 (a  3) 2  (b 

a  2  bi
a  3  (b  3i )
 z  1
1 i 3
1 i 3
3)i

1 i 3

2 

(a  3) 2  (b 
2


3) 2

2

3) 2 16

2
Vậy quĩ tích các điểm M biểu diễn số phức là hình trịn ( x  3)  ( y 

3) 2 16 (kể cả

những điểm nằm trên biên).
Bài luyện tập
Tìm tập hợp điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn:
a.

2  z i  z

z
3
z  z  3  4i
b. z  i
c.

f. | z  (3  4i) | 2 g.

 

z2  z


z i
1
d. z  i
e. | z  i | | (1  i)z |

2

V. Tìm số phức z có mơđun nhỏ nhất, lớn nhất
Bài tốn: Cho số phức z=a+bi thỏa mãn điều kiện G nào đó. Tìm số phức z có mơ đun
nhỏ nhất, lớn nhất.
Trường hợp 1: giả thiết G có dạng ma  nb k . Ta rút a theo b (hoặc b theo a) sau đó ta
sử dụng phương pháp nhóm tổng bình phương.
Ví dụ 1. Biết rằng số phức z thỏa mãn u ( z  3  i )( z  1  3i) là một số thực. Tìm giá trị
nhỏ nhất của |z|.
Lời giải
Giả sử z a  ib , ta có
u ( a  3  (b  1)i )( a  1  (b  3)i)

a 2  b 2  4a  4b  6  2(a  b  4)i


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn
u  R  a  b  4 0  a b  4
| z |min  | z |2 min

| z |2 a 2  b 2 (b  4) 2  b 2 2b 2  8b  16 2(b  2) 2  8 8

Dấu = xảy ra khi b  2  a 2
Vậy | z |min  z 2  2i
Ví dụ 2. Cho số phức z thỏa mãn:


z  i  1  z  2i

. Tìm giá trị nhỏ nhất của z .

Lời giải
2

2

a  bi  i  1  a  bi  2i   a  1   b  1 a 2   b  2 

2

 a 2  2a  1  b 2  2b  1 a 2  b 2  4b  4  2a  2b  2 0  a  b 1  a 1  b
1
2
 a 2  b 2  b  1  b 2 2b 2  2b  1 
2
 z 

1
1
1
1
Min z 
 a ; b
2
2
2

2 . Vậy

2
2
2
Trường hợp 2: Giả thiết G có dạng ( x  a)  ( y  b) k

Bài tốn: Tìm GTNN, GTLN của S  A sin mx  B cos nx  C
S  A2  B 2 (sin mx.

Ta có

A
2

A B

2

 cos mx.

B
2

A  B2

)C

A


cos   2

A  B2

B
sin  
2
2

A2  B 2 . Khi đó S  A  B (sin mx.cos   cos mx.sin  )  C
Đặt 

Do đó

MinS  A2  B 2  C  x 
MaxS  A2  B 2  C  x 

   k 2
 
2m m
m

  k 2
 
2m m
m

 x  a k sin 

Vì thế ở trường hợp 2 để tìm GTNN, GTLN của |z| ta đặt  y  b k cos 


Sau đó ta làm tương tự như bài tốn trên.
Ví dụ 3. Cho số phức z thỏa mãn: z  3  4i 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của z .
Lời giải
2

2

Giả sử z=a+bi, ta có: a  bi  3  4i 4   a  3   b  4  16


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn
Đặt

a  3 4sin 


b

4

4cos



a 3  4sin 

b 4cos   4

2


 z a 2  b 2 9  16sin 2   24sin   16cos 2   16  32cos 
41  24sin   32cos 
3
4
41  40( sin   cos  )
5
5

3
4
cos   ,sin  
5
5
Đặt
2

 z a 2  b 2 41  40sin(   ) 1

Dấu = xảy ra khi

   

.



 k 2       k 2
Min z 1
2

2
. Do đó

Ngồi ra để tìm GTNN, GTLN của

z

ta có thể sử dụng phương pháp hình học.

z  5 5, z2  1  3i  z2  3  6i
Ví dụ 4. Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn 1
. Tìm giá trị

nhỏ nhất của z1  z2 .
Lời giải
Giả sử M (a; b) là điểm biểu diễn của số phức z1 a  bi , N (c; d ) là điểm biểu
diễn của số phức z2 c  di
2
2
Ta có z1  5 5  (a  5)  b 25 .
2
2
Vậy M thuộc đường tròn (C ) :( x  5)  y 25

z2  1  3i  z2  3  6i  8c  6d 35

.

Vậy N thuộc đường thẳng  : 8 x  6 y 35 .
z  z MN

Dễ thấy đường thẳng  khơng cắt (C ) và 1 2
.
2
2
Bài tốn trở thành: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C ) :( x  5)  y 25

và đường thẳng  : 8 x  6 y 35 . Tìm giá trị nhỏ nhất của MN, biết M chạy trên (C ) , N
chạy trên đường thẳng  .


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn
L

0

M
d
H

Gọi d là đường thẳng qua I và vng góc với  . PT đường thẳng d là 6x-8y=-30.
Gọi H là giao điểm của d và  . Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ
8 x  6 y 35


6 x  8 y  30

 x 1
9



9  H (1; )
2
 y  2

Gọi K, L là giao điểm của d với đường tròn (C ) . Tọa độ K, L là nghiệm của hệ
( x  5) 2  y 2 25


6
x

8
y

30


 x  1; y 3
 x  9; y  3

. Vậy K(-1;3), L(-9;-3)

5
MinMN   M K , N H
2
Tính trực tiếp HK, HL. Suy ra
. Khi đó
Min z1  z 2 

5

2

Bài luyện tập
2z  2  i
2
1. Trong các số phức z thỏa mãn: z  3  2i
, hãy tìm số phức z có mơđun nhỏ

nhất.
2z  2  i
 3
2. Trong các số phức z thỏa mãn: z  1  i
, hãy tìm số phức z có mơđun nhỏ

nhất, lớn nhất.
z  i 5, z2  5  z2  7
3. cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn 1
. Tìm giá trị nhỏ

nhất của

z1  z2

.


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn
VI. Dạng lượng giác của số phức và ứng dụng
Xét số phức dạng đại số: z a  bi
2 

a
b
z  a2  b 

2
2
 2
a2  b
 a b
Ta có


a

2
 2
a

b

Nhận xét
a

cos =

2

a b

Đặt


2

2

2

 
b
 
2
 
2
  a b

;sin  =


 1



b
2

a b


i




2

;

Khi đó
2

 r  z  a b 
2

2

z  a  b (cos +sin )=r(cos +isin ) (*)

2

(*) Gọi là dạng lượng giác của số phức z,  gọi là một acgumen của z.
Nhận xét: Nếu  là một acgumen của z thì   k 2 cũng một acgumen của z.
+ Nhân và chia số phức dạng lượng giác.
Cho
z1 r1 (cos1 +isin1 ); z 2 = r2 (cos 2 +isin 2 ) . Khi đó
z1z 2 r1r2 [cos(1 +2 )+isin(1 +2 )]
z1 r1
 [cos(1  2 )+isin(1  2 )]
z 2 r2
2
2
Đặc biệt với z r (cos +isin )  z = r (cos2 +isin2 )


z3 = r 3 (cos3 +isin3 )...
z n = r n (cosn +isinn ) (**)

(**) gọi là công thức moavơrơ.
Ví dụ 1. Viết số phức sau dạng lương giác: z  3  i
Lời giải
 3 i

 

 


z 2 
  2  cos  sin .i  2  cos
 i sin

6
6 
6
6 


 2 2




z 2  sin  icos 

5
5

Ví dụ 2. Tìm acgumen của số phức:

Lời giải


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn
 
  
3
3 
 3
 3 



z 2  cos(  )  i sin(  )  2  cos
 i sin
)  i sin(
)
 2  cos(
2 5
2 5 
10
10 
10
10 




 3
 k 2
 acgumen của z là 10
2012
Ví dụ 3. Cho z 2  2i . Tìm dạng đại số của z

Lời giải
2 
1 
 2
 1
z 2 2 

i  2 2 

i
2 
2 2 2 2 
 2




2 2  cos  i sin 
4
4



Áp dụng cơng thức moavơrơ ta có:
2012
2012
 i sin
)
4
4
(2 2) 2012 .(  1  i.0)  (2 2) 2012
z 2012 (2 2) 2012 .(cos

Ví dụ 4. Viết số phức sau có dạng lượng giác: z = 2-2i
Lời giải
1 


 1

z 2 2 

i  2 2  cos  i sin 
4
4
2 

 2

 

2 2  cos( )  i sin( ) 
4

4 


Ví dụ 5.Tìm acgumen của z 2 3  2i .
Lời giải
 3 1 
z 2 3  2i 4 
 i  4  cos   i sin    4  cos(   )  i sin(   ) 




6
6
6
6 


 2 2 

 k 2
Vậy acgumen của z là 6
2012
Ví dụ 6. Biết z 1  i 3 . Tìm dạng đại số của z

Lời giải
1
3




2  i
 2  cos  i sin 
2 
3
3

z 1  i 3 =  2

 

2  cos( )  i sin( ) 
3
3 



hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn
2012
2012
 i sin
)
4
4
(2 2) 2012 .(  1  i.0)  (2 2) 2012
z 2012 (2 2) 2012 .(cos

20 15
Ví dụ 7. Cho z1 1  i ; z2 2 3  2i . Tìm dạng đại số của z .z


Lời giải
1 
 1




 2

i   2  cos  i sin   2  cos( )  i sin( ) 
z1 1  i
4
4
4
4 
2 


 2
 20
 20 

z120 ( 2) 20 .  cos(
)  i sin(
)
4
4 

210.(  1  i.0)  210
 3 1 

4 
 i  4  cos   i sin  
z2 2 3  2i
6
6
 2 2 

15
15 
15 
z15
 i sin
2 4 .  cos

6
6 

415.(0  i1) 415 i
20 15
40
Suy ra z .z  2 i


 
z 2  sin  icos 
7
7

Ví dụ 8. Tìm acgumen của


Lời giải

 
z 2  sin  icos 
7
7


 
  

2  cos(  )  i sin(  ) 
2 7
2 7 

5
5 
 5
 5 


2  cos
 i sin
)  i sin(
)
 2  cos(
14
14 
14
14 



 5
 k 2
 acgumen của z là 14


 
z  3  sin  icos 
5
5

Ví dụ 9. Tìm acgumen của

Lời giải

 
z  3  sin  icos 
5
5



hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn
 
  

 3  cos(  )  i sin(  ) 
2 5
2 5 


3
3 

 3  cos
 i sin

10
10 

3
 k 2
 acgumen của z là 10

2
Ví dụ 10. (B-2012)Gọi z1 ; z2 là 2 nghiệm phức của phương trình: z  2 3iz  4 0 ,

viết dạng lượng giác của z1 ; z2 .
Lời giải
z 2  2 3i. z  4 0 ,
 3i 2  4 4  3 1

z1  3i  1; z2  3i  1
1
3 
2
2 

z1 2  
i  2  cos

 isin

2 
3
3 

 2
1
3 



z2 2  
i  2  cos  isin 
3
3

2 2 
0
2
4
6
2010
2012
Ví dụ 11. Tính tổng S C2012  C2012  C2012  C2012  ...  C2012  C2012

Lời giải
2012
0
1

2
2
3
3
2011 2011
2012 2012
Ta có (1  i ) C2012  C2012i  C2012i  C2012i  ...  C2012 i  C2012 i
0
1
2
3
2011 2011
2012 2012
(1  i )2012 C2012
 C2012
i  C2012
i 2  C2012
i 3  ...  C2012
i  C2012
i
2012
2012
0
2
6
2010
2012
Suy ra (1  i)  (1  i) 2(C2012  C2012  C2012  ...  C2012  C2012 2S

Mặt khác


(1  i ) 2012 [ 2(cos

(1  i )2012 [ 2(cos



 i sin )]2012 21006 (cos503  i sin 503 )  21006
4
4


  2012
 i sin
)] 21006 (cos  503  i sin  503 )  21006
4
4

1006
Từ đó S  2

Bài luyện tập
Bài 1. Tìm một acgumen của mỗi số phức sau :


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn
a.  1  i 3 ;

b.


cos

π
π
−i sin
4
4

; c.

1

=2

3
i
2 .Suy

−sin

π
π
−i cos ;
8
8

d.

1− sin ϕ+i cos ϕ


(0< ϕ< π2 ) ;
Bài 2. Viết dạng lượng giác số z

ra căn bậc hai số phức z:

Bài 3. Viết dạng lượng giác của mỗi số phức sau:
2ϕ
a. sin ϕ+ i2 sin 2

b. cos ϕ +i(1+sin ϕ)

Bài 4. Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau:
( 1+i )10

a.

( √ 3+i )

1
2000
1
b. z + 2000 biết rằng z+ z =1 .
z

;

9

VII. Một số bài toán về chứng minh
Lời giải các bài toán về chứng minh thường dựa trên các tính chất về mô đun và

liên hợp của số phức, chú ý rằng nếu các số phức z1 , z2 có các điểm biểu diễn tương ứng
là A, B thì

OA  z1 ; OB  z2 ; AB  z1  z2

+)

z1  z2  z1  z2

+)

z1  z2  z1  z2

+)

z1  z2  z1  z2

. Từ đó suy ra:

2

2

Ví dụ 1. Giả sử z1 , z2 là các số phức khác không thỏa mãn z1  z1z2  z 2 0. gọi A, B là
các điểm biểu diễn tương ứng của z1 , z2 . Chứng minh rằng tam giác OAB đều.
Lời giải
3
3
2
2

Ta có z1  z2 ( z1  z2 )( z1  z1 z2  z2 ) 0 , suy ra:
3

3

z13  z23  z1  z2  z1  z2  OA OB

.

Lại có
2

2
2
( z1  z2 ) 2 ( z12  z1 z2  z22 )  z1 z2  z1 z2 nên z1  z2  z1 z2  AB OA.OB OA
Suy ra AB=OA=OB  OAB đều.
Ví dụ 2. cho 3 số phức z1 , z2 , z3 đều có mơ đun bằng 1. Chứng minh rằng:

z1  z2  z3  z1 z2  z2 z3  z3 z1 .

Lời giải
Vì z1 z2 z3 =1 nên

z1 z2  z2 z3  z3 z1 

z1 z2  z2 z3  z3 z1
1 1 1
  
z1 z2 z3
z1 z2 z3


 z1  z 2  z3  z1  z 2  z3  z1  z 2  z3

(Đpcm)


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn
Ví dụ 3. Cho số phức z 0 thỏa mãn
Lời giải
Đặt

a z

z3 

8
2
9.
z  3
3
z
z
Chứng minh rằng

2
2
8
2
(a 0)
( z  )3  z 3  3  6( z  )

z
z
z
z . Suy ra:
. Ta có:

3

2
8
2
a z
 z 3  3  6 z  9  6a
z
z
z
3
2
Do đó a  6a  9 0  (a  3)(a  3a  3) 0
3

2

Vì a  3a  3  0 , nên
Bài tập luyện tập

az

2
3

z
(Đpcm).

z z
z 1 2
1  z1 z2
Bài 1.Cho hai số phức z1 , z2 đều có mơ đun bằng 1. Chứng minh rằng

là một số thực.
z3 

1
1
2.
z  2
3
z
z
Chứng minh rằng

Bài 2. Cho số phức z 0 thỏa mãn
Bài 3. Chứng minh rằng với mỗi số phức z, có ít nhất một trong hai bất đẳng thức
sau xảy ra:

z 1 

1
2
2 hoặc z  1 1 .