CHƯƠNG II: BIỂU DIỄN TÍN HIỆU
VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRONG
MIỀN Z


2.1. BIẾN ĐỔI Z (ZT: Z TRANSFORM)
2.1.1. Định nghĩa biến đổi z
Định nghĩa: Biến đổi z của một dãy x(n) được định nghĩa như sau:

X z 





x  n  z n

n 

Ký hiệu bởi toán tử:

ZT  x  n    X  z 
ZT
x  n  
 X z

Trong định nghĩa trên, nếu đổi cận n=0 ta có biến đổi z 1 phía:


X  z    x  n  z n
n 0

Biểu diễn theo phần thực, phần ảo Re[z], Im[z]
Im[z]

z = Re[z] + j.Im[z]
t phẳng Z
MtMặ
phng

Re[z]
0

Biu din theo ta cc:

z  re j  r  cos   j sin    r cos   jjrsin
sin   Re  z   Im  z 
z  r 1

ta có vịng trịn đơn vị.

Im[z]
Im

r

0

Re


Re[z]


Ví dụ biến đổi z
Tìm biến đổi z của:

x1  n     n 

x3  n     n  1

x2  n     n  1

n

1
x4  n     u  n 
2

x5  n   2n u  n 

Giải:

X 1  z   ZT  x1  n   



 x n z






n 

X 2  z   ZT  x2  n   
X 3  z   ZT  x3  n   

n



  n z

n

 1.z 0  1

n 



n
1
1

n

1
z


1.
z

z




n 



   n  1 z

n

 1.z1  z

n 

n

n


1
 1   n   1 1 
n
X 4  z      u n z     z    z 


n   2 
n 0  2 
n0  2

X 5  z   ZT  x5  n   





n 

2 u n z
n

n



 2 z
n

n 0

n

n

1 1
1 1

1
z 1
1 z 
2
2 z
2




  2z
n 0

1



n



1
1  2 z 1


2.1.2. Miền hội tụ của biến đổi z
Định nghĩa:
Tập hợp tất cả các giá trị của z mà tại đó chuỗi X  z  




 x n z

n

n 

hội tụ được gọi là miền hội tụ của biến đổi z.
,
Ký hiệu: RC: miền hội
tụ (Region of Convergence)
I m[z]

Ví dụ: Hãy tìm miền hội tụ của biến đổi z trong ví dụ trước:

RC  X 1  z  

RC  X 3  z  

Toàn bộ mặt phẳng z

Re[z]
0

RC  X 2  z  

: Toàn bộ mặt phẳng z trừ gốc tọa độ z = 0

I m[z]


RC  X 4  z  

1/2

: Ngồi vịng trịn bán kính ½
Re[z]
-1/2

RC  X 5  z  

0

-1/2

: Ngồi vịng trịn bán kính 2

1/2


2.2. CỰC VÀ KHÔNG (POLE AND ZERO)
2.2.1 Định nghĩa điểm không
Trong biến đổi z nếu tại các điểm z0r mà tại đó X(z) triệt tiêu

X z

z  zor

0

thì z0r gọi là các điểm không của X(z).

2.2.2. Định nghĩa điểm cực
Nếu tại các điểm zpk mà tại đó X(z) khơng xác định được

X  z

z  zpk



thì những điểm zpk này gọi là các điểm cực của X(z).
M

Ta có thể biểu diễn X(z)
theo điểm cực, điểm không

N z

b
X z 
 M
D  z  aN

 z  z 
0r

r 1
N

 z  z 
pk


k 1


2.3. BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC (IZT: INVERSE Z
TRANSFORM)
2.3.1. Định nghĩa biến đổi z ngược

IZT  X  z    x  n 

IZT
X  z  
x n

Biến đổi z ngược được định nghĩa như sau:

x n 

1
2 j

c

X  z  .z n 1dz

C

Đường cong kín đi qua gốc tọa độ.Tích phân đường đi theo chiều
 -dương.
c


Có 3 phương pháp để tìm tích phân đường này:
1. Phương pháp thặng dư để tìm trực tiếp tích phân, cho chúng ta
cách tìm cơ bản.
2. Khai triển thành chuỗi lũy thừa, tìm biến đổi z ngược cơ bản.
3. Khai triển thành các phân thức tối giản.


2.3.2. Phương pháp khai triển thành chuỗi lũy thừa
Ở phương pháp này, ta khai triển biến đổi z thành một chuỗi lũy thừa có dạng:
X z 





n 

n

z n

So sánh với định nghĩa:
X z 



 x n z

n 


n

 x n  n

Ví dụ: Tìm biến đổi z ngược
z
1
X  z 

z  2 1  2 z 1

hệ số của chuỗi chính là các mẫu của tín hiệu x(n).

Thực hiện chia đa thức như sau:
1  2 z 1
1  2 z 1  4 z 2  8 z 3  16 z 4 ...

1
 1  2 z 1
 2 z 1


1

 2z  4z



n 0


4 z 2




X  z    2 z 1

2



n

x  n    2  u  n 
n

4 z 2  8 z 3
 8 z 3
  8 z 3  16 z 4
16 z 4 ...


2.3.3. Phương pháp khai triển thành các phân thức tối giản
Xét

X  z 

N  z
Dz


Bậc của N(z) là M, bậc của D(z) là N.

Trường hợp: M ≥ N:
Để phân thức tối giản thì:
N z
Pz
X z 
 S z 
D z
Q z
với S(z) là phần nguyên.
Bậc của S(z): M – N

D(z)  Q(z)

S  z   BM  N z M  N  BM  N 1 z M  N 1  ...  B1 z1  B0
s  xn   BM  N   n   M  N    BM  N 1  n   M  N  1  ...  B1  n  1  B0


2.3.3. Phương pháp khai triển thành các phân thức tối
giản (tt)
X z 

* Trường hợp M < N:

N z
D z




Pz

Qz

Trường hợp 1: X(z) chỉ có các cực đơn, zpk điểm cực của Q(z), có N cực

X  z 

P z

N

Ak
X  z  
k 1 z  z pk

Q z

Trong đó:

Ak   z  z pk 

P z

Q  z  zz

Trường hợp 2: X(z) có một cực bội zpl bậc s, còn lại là các nghiệm zpk đơn
N s


s
Cj
Ak
X  z  

j
k 1  z  z pk 
j 1  z  z 
pl

Trong đó:

Lưu ý:

Ak   z  z pk 

P z

1
d s j
Cj 
 s  j ! dz s  j

:

Q  z  zz


s P z 
 z  z pl 


Q  z  

z  z pl

pk


 nn  1...n  m  1 n m
z
IZT 

z pk u n 
:
m 1 
m!
 z  z pk  

z  z pk

pk


2.3.3. Phương pháp khai triển thành các phân thức tối giản
(tt)
Ví dụ: Tìm biến đổi z của:
z2
X z  2
2z  7z  3
X  z

z



A
z2
A1
A

 2  3
1
1  z 3 z


2  z    z  3 z 2  z  
2
2



có 3 điểm cực:

z p1 

1
z  3 z p3  0
2 p2

,


z2
 1
A1   z  
 2  1
2  z    z  3 z
 2

A3  z

z2
1

2  z    z  3 z
2


Vậy:

z

1
2

1
5
2
,
2
2



 1
1  1
 51
2   3.
1  
2  2
 22


z 0

A2   z  3

z2
 1
2  z    z  3 z
2



z 3

3 2
5
1


5 3
 1

2  3   .3 6.
2
 2

02
2

3
 1
2     3
 2

1 z
1 z
1
X  z  

2
2 z  1 3 z 3 3
2

n

1
2
 1  1 
x  n       u  n   3n u  n     n 
3
3
 2  2 



2.4. CÁC TÍNH CHẤT CỦA BIẾN ĐỔI Z

(n)=


MỘT SỐ BIẾN ĐỔI Z THÔNG DỤNG


2.5. BIỂU DIỄN HỆ THỐNG RỜI RẠC TRONG MIỀN Z
Trong miền z ta có:

X(z)

H(z)

Y(z)

X(z) = ZT [x(n)]
H(z) = ZT [h(n)]
Y(z) = ZT [y(n)]
Y(z) = X(z).H(z) (Trong miền z phép chập đã được chuyển thành phép nhân đại số thông thường.

H z 
h(n) = IZT [H(z)]

Yz

Xz


Trong miền z quan hệ vào ra của hệ thống được thực hiện nhờ phép nhân đại số thông
thường thay thế cho phép chập, điều này dẫn đến hiệu năng tính tốn cao.
H(z): Hàm truyền đạt của hệ thống rời rạc là biến đổi z của đáp ứng xung) hay nó cịn được
xác định bằng tỷ số giữa biến đồi z của tín hiệu ra trên biến đổi z của tín hiệu vào.

H(z) là hàm truyền đạt của hệ thống đặc trưng hoàn toàn cho hệ thống trong miền z có vai trị
tương tự như đáp ứng xung h(n) trong miền thời gian rời rạc.


Liên hệ với phương trình sai phân:
N

 a y n  k   b x n  r 

Xét phương trình sai phân tổng quát

k 0

M

k 0

Ta rút ra:

 Y  z   ak z

r

k 0


r 0

M

bz
Y z 
H  z 

X  z
a z
r 0
N

k 0

r

r

k

k

M

Nếu a0 = 1 sẽ được:

H  z 


r 0

N

  ak z Y  z    br z X  z 
k

k

Y z

X z

r

N

M

ZT   ak y  n  k   ZT   br x  n  r 
 k 0

 r 0


Biến đổi z hai phía của phương trình sai phân:
N

M




b z
r 0
N

r

r

1   ak z  k
k 1

k

M

 X  z   br z  r
r 0


Các phần tử thực hiện:

- Phần tử trễ:
ZT  x  n  1   z 1 X  z 

ZT  x  n    X  z 

Z 1


X(z)

- Phần tử cộng:

z 1X  z 

x1  n 
x2  n 
L

 x  n

xL  n 

i 1

i

- Phần tử nhân với hằng số:

 X z

X(z)




Sơ đồ hệ thống trong miền z
Sơ đồ hệ thống trong miền z có 3 dạng như sau:
Cách 1: Nếu có các hệ thống mắc song song với nhau thì hàm truyền đạt của hệ

thống tổng quát sẽ bằng tổng các hàm truyền đạt của các hệ thống thành phần.
N

H(z)   H i (z)
i 1

Cách 2: Nếu có các hệ thống mắc nối tiếp với nhau thì hàm truyền đạt của hệ
thống tổng quát sẽ bằng tích các hàm truyền đạt của các hệ thống thành phần.
N

H z    H i z 
i 1

Cách 3: Nếu H2(z) mắc hồi tiếp với H1(z) thì hàm truyền đạt của hệ thống tổng
quát sẽ bằng:

H1 ( z )
H z 
1  H1 ( z ).H 2 ( z )



2.6 Độ ổn định
Ta nhắc lại điều kiện ổn định đã học trong chương 1
Điều kiện ổn định trong miền thời gian rời rạc n

S




h  n  
 |h(n)|

n 

Điều kiện ổn định trong miền z
Trong miền z một hệ thống ổn định sẽ phải thỏa mãn định lý sau:

Định lý ổn định: Một HTTTBB nhân quả là ổn định nếu và chỉ nếu tất cả các điểm
cực của hàm truyền đạt H(z) nằm bên trong vòng tròn đơn vị (tức là chỉ cần một
điểm cực nằm trên hoặc nằm ngồi vịng trịn đơn vị là hệ thống mất ổn định).
Ví dụ: Xét độ ổn định HT có:
Giải: ta có

z
 H  z 
zA

1
H  z 
1  Az 1
Theo điều kiện ta có zp1=A, vậy:
|A| < 1  Hệ thống ổn định.
|A| ≥ 1  Hệ thống không ổn định.


Tiêu chuẩn ổn định Jury
H  z 

Ta biết hàm truyền đạt của hệ thống được biểu diễn như sau:

Từ công thức này, gọi

M

N

D  z   1   ak z  k

b z
r 0
N

r

r

1   ak z  k
k 1

k 1

Từ các hệ số ak của D(z) chúng ta lập bảng Jury có 2N – 3 hàng bằng cách sau đây:
Hàng
Hệ số
1
1
a1
a2
a3 ...
a N 1 a N

2
aN aN 1 aN  2 aN 3 ...
a1
1
3
c0 c1
c2
c3
... cN  2 cN 1
4
cN 1 cN  2 cN 3 cN  4 ... c1
c0
5
d 0 d1
d2
d3
...
6
d N  2 d N 3 d N  4 d N 5 ...
2N  3

Cơng thức tính:

1
ci  det 
 aN

r0

r1


r2

aN 1i 
 ai  aN .aN i

ai 

cN 1i 
c
di  det  0
  c0ci  cN 1.cN 1i
c
c
i 
 N 1

i: 0  N – 1.

;
;

i: 0  N – 2.


Tiêu chuẩn ổn định Jury (tt)
Sau khi lập xong 2N – 3 hàng như vậy ta có tiêu chuẩn
Một hệ thống là ổn định nếu và chỉ nếu các điều kiện sau đây được thỏa mãn:

0


1

D(z)

z 1

2

D(z)

z 1

0

với N chẵn

D(z)

z 1

0

với N lẻ.

3

1  aN
c0  c N 1
d 0  d N 2

.................
r0  r2

Chỉ cần không thỏa mãn một trong ba điều kiện trên là hệ thống không ổn định.


Ví dụ: Xét ổn định hệ thống theo tiêu chuẩn Jury
Cho HTTTBB được mơ tả bằng phương trình sai phân sau đây:

y  n   a1 y  n  1  a2 y  n  2   x  n 

Tìm H(z). Xét ổn định theo tiêu chuẩn Jury.

Giải:
Lấy biến đổi z cả 2 vế:

Y  z   a1 z 1Y  z   a2 z 2Y  z   X  z 

H  z 
Ta có:

1
1  a1 z 1  a2 z 2

D( z )  1  a1 z 1  a2 z 2

Theo chuẩn Jury như trình bày ở trên ta có:
1.

D(z)


z 1

 1  a1  a 2  0

 a 2  (1  a1 )
2.

D(z)

z 1

 1  a1  a 2  0

 a 2  (1  a1 )
3.

1  a 2  1  a 2  1

N chẵn


Ví dụ Xét ổn định hệ thống theo tiêu chuẩn Jury (tt)
Dựa vào 3 điều kiện trên ta sẽ xác định được miền ổn định của hệ
thống theo hai tham s a1 v a2 nh sau:
a2
1
Tam giá
giỏc
n

ịnh
n đnh
cổ
Tam
cahệ
h
thng
2 2
bậcbc
thống
của

1

-1

a1

-1

a1 1

a1 1

Miền ổn định của hệ thống trong ví dụ


TÓM TẮT CHƯƠNG 2
Biến đổi z
Miền hội tụ của biến đổi z

Điểm cực điểm khơng
Biến đổi Z ngược
Các tính chất biến đổi z
Biểu diễn hệ thống trong miền z.
Liên hệ giữa biến đổi z và phương trình sai
phân.
8. Sự ổn định của hệ thống trong miền z.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.


CHƯƠNG III: BIỂU DIỄN TÍN
HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC
TRONG MIỀN TẦN SỐ LIÊN TỤC