A. CÁC BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ THƯỜNG HAY SỬ DỤNG
TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
I. BỘ 2 SỐ:
( x  y)2 x 2  y 2

4
2
("

"

x

y
)
1.
x. y 

(Với mọi x, y)
Chứng minh:

x. y 

( x  y)2
 ( x  y ) 2 4 x. y  ( x  y ) 2 0
4

( x  y)2 x 2  y 2

 2 x 2  2 y 2 ( x  y ) 2  ( x  y ) 2 0
4

2

(1)
(2)

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y
Vận dụng bất đẳng thức trên để chứng minh các bất đẳng thức 2, 3, 4 sau.
3
x 2  xy  y 2  ( x  y ) 2
4
2.
Chứng minh:
+ Cách 1:
3
x 2  xy  y 2  ( x  y ) 2  4 x 2  4 xy  4 y 2 3( x  y ) 2  ( x  y ) 2 0
4
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y
+ Cách 2:
( x  y)2 3
x  xy  y ( x  y )  xy ( x  y ) 
 ( x  y )2
4
4
VT =
= VP
2

2

2


2

1
x 2  xy  y 2  (x  y) 2
4
3.
Chứng minh:
+ Cách 1:
1
x 2  xy  y 2  (x  y) 2  4 x 2  4 xy  4 y 2 (x  y) 2
4
2
 3 x  6 xy  3 y 2 0  (x  y) 2 0
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y
+ Cách 2:
VT =

x 2  xy  y 2 (x  y) 2  3xy (x  y) 2  3.

(x  y) 2 1
 (x  y) 2
4
4
= VP

1
1
8
 2

2
y
( x  y)2
4. x
Chứng minh:


Áp dụng bất đẳng thức

a .b 

1
a 2  b2
1
b
a
2
2
y
2
x
, ta coi
và
khi đó ta có:
1
1
2
 2
2
x

y
xy

Áp dụng bất đẳng thức

x. y 

( x  y )2
4
vào bất đẳng thức trên, ta được:

1
1
2
2
8
 2  

2
2
x
y
xy ( x  y )
( x  y)2
4
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y (điều kiện là x, y phải khác 0)
1
1 1 1
 (  )
5. x  y 4 x y

Chứng minh:
1
1 1 1
 (  )  4 xy ( x  y) 2  ( x  y )2 0
x y 4 x y
(" "  x  y )
1 1
(x  y)(  ) 4
x y
6. (" "  x  y)
Chứng minh:
1 1
1
VT (x  y)(  ) 2 xy .2
4
x y
xy
(" "  x  y )
3
3
7. x  y  xy ( x  y )

Chứng minh:
+ Cách 1:
VT x 3  y 3 ( x  y )(x 2  xy  y 2 )
2
2
Mà x  xy  y  xy , do đó ta có điều phải chứng minh

+ Cách 2:

x 3  y 3 xy ( x  y )  x 2 ( x  y )  y 2 ( y  x)  ( x  y ) 2 ( x  y ) 0
Với x, y dương thì hiển nhiên bất đẳng thức cuối đúng. Do đó ta có điều phải chứng
minh.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y
4
4
2
2
8. x  y  xy ( x  y )

Chứng minh:


Với x, y lớn hơn 0, ta có:
x 4  y 4 xy ( x 2  y 2 )  x3 ( x  y )  y 3 ( x  y ) 0  ( x  y ) 2 ( x 2  xy  y 2 ) 0
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y
5
5
2 2
9. x  y  x y ( x  y )

Chứng minh:
Với x, y lớn hơn 0, ta có:
x5  y 5  x 2 y 2 ( x  y)  x3 ( x 2  y 2 )  y 3 ( x 2  y 2 ) 0  ( x  y ) 2 (x  y)( x 2  xy  y 2 ) 0
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y
ab
a b

a b
4

10. (" "  a b c )
Chứng minh:
ab
a b

 4ab (a  b) 2  (a  b)2 0
a b
4
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y
1 1
1
2
4
 2
2.

ab
a+b a+b
11. a b
Chứng minh:
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM liên tiếp ta sẽ có điều phải chứng minh:
1 1
1
 2
a b
ab
ab 

a b


2

(1)

1
2
4
2.

ab
a+b a+b

(2)

Từ (1) và (2) ta có bất đẳng thức cần chứng minh. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y

1
a 2  b 2  (a  b) 2
2
12.
2
13. (a  b) 4ab
2
2
2
14. a  b  c ab  bc  ca

1
a 2  b 2  c 2  (a  b  c ) 2
3

15.
2
16. (a  b  c) 3(a  b  c )
2
17. ( ab  bc  ca) 3abc( a  b  c)

Các bất đẳng thức trên có thể chứng minh bằng cách biến đổi tương đương. Xét về bản chất
bất đẳng thức 12 và 13 là một, bất đẳng thức 14, 15, 16, 17 là một.


8
( a  b)(b c)(c a)  ( a  b  c)( ab  bc  ca)
9
18.
Chứng minh:
19.

a 2b  b 2c  c 2 a  abc 

4
(a  b  c ) 3
27
Chứng minh:

20. Hằng đẳng thức Lagrange:
(a 2  b 2 )(c 2  d 2 ) (ac  bd )2  (ad  bc )2
II. BỘ 3 SỐ:
2

2


2

2

2

a  b  c ab  bc  ca  a  b  c

2

 a  b  c

3

2

ab  bc  ca

1. (" "  a b c)
a 2  b 2  c 2  3 2(a  b  c)
2. (" "  a b c)
a 3  b3  c 3 ab 2  bc 2  ca 2
a 3  b3  c 3 3abc
a 3  b3  c 3  3abc (a  b  c )(a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca )
a 4  b 4  c 4 abc (a  b  c)
a 2b 2  b 2 c 2  c 2 a 2 abc(a  b  c )
3. (" "  a b c)
1 1 1 a b
c

    
a b c bc ac ab
bc ac ab
a b c   
a b
c
2
2
a b c a b
c2
   2  2  2 (a, b, c  0)
b c a b
c
a
("

"

a

b

c
)
4.
(ab  bc  ca )(a  b  c ) 9abc
5. (" "  a b c)
(a  b  c)2 3(ab  bc  ca )
6. (" "  a b c)
1

1 1 1 1
 (   )
a b c 9 a b c
7. (" "  a b c)
8. Bất đẳng thức tam giác:


abc (a  b  c )(b  c  a )(c a  b)
(" "  a b c )
III. CÁC BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ HAY SỬ DỤNG TRONG CHỨNG MINH
BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY:



1. Các đại lượng trung bình của hai số không âm:
Với hai số không âm a, b. Kí hiệu:
a b
A
2

là trung bình cộng của hai số a, b.
 G  ab

là trung bình nhân của hai số a, b.

2

2

a b

2

là trung bình tồn phương của hai số a, b.
2
H
1 1

a b

là trung bình điều hịa của hai số dương a, b..
Ta có bất đẳng thức Q  A  G  H.
Q



Chứng minh:


Từ

a

 a  b

b
2



2


0  a  2 ab  b 0 

(1)

0  a 2  2ab  b 2 0  a 2  b 2 2ab
2

hay

a b
 ab
2
hay A  G

 2  a 2  b 2   a  b  
 1


 a

a2  b2 a  b

2
2 hay Q  A

2

1
1 1

2

 0   
b
a b
ab

Mặt khác

ab 

(2)

2
1 1

a b hay G  H (3)

Kết hợp (1), (2), (3) ta có Q  A  G  H.
Dấu “=” trong các bất đẳng thức này đều xảy ra khi a = b.
Mở rộng ra cho n số không âm a1 , a2 , a3 ,..., an ta cũng có:
a  a  a  ...  an
A 1 2 3
n
là trung bình cộng của n số a1 , a2 , a3 ,..., an .



G  n a1a2 a3 ...an
Q


H

là trung bình nhân của n số a1 , a2 , a3 ,..., an .

a12  a2 2  a32  ...an 2
n
là trung bình tồn phương của n số a1 , a2 , a3 ,..., an .
n
1 1 1
1
  
a1 a2 a3
an là trung bình điều hòa của n số dương a1 , a2 , a3 ,..., an .

Ta cũng có bất đẳng thức Q  A  G  H.


Dấu “=” xảy ra khi a1 a2 a3 ... an .
* Chú ý: A, G, Q, H theo thứ tự là viết tắt của các từ Arithmetic mean (trung bình cộng),
Geometric mean (trung bình nhân), Quadratic mean (trung bình tồn phương) và
Harmonic mean (trung bình điều hịa).
2. Các bất đẳng thức phụ:
n = 2:  x, y ≥ 0 khi đó:

n = 3:  x, y, z ≥ 0 khi đó:

2.1

xy

 xy
2

x yz 3
 xyz
3

2.2

x  y 2 xy

x  y  z 3 3 xyz

2.3

 x y

 xy
 2 

 x yz 

 xyz
3



2
 x  y  4 xy


3
 x  y  z  27 xyz

2.5

1 1
4
 
x y x y

1 1 1
9
  
x y z xyz

2.6

1
4

xy  x  y  2

1
4

xyz  x  y  z  3

2

2.4


3

IV. CÁC PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG
THỨC CAUCHY:
1. Kỹ thuật ghép đối xứng:
Trong kỹ thuật ghép đối xứng chúng ta cần nắm được một số kiểu thao tác sau:

2  x  y  z   x  y    y  z    z  x 


x y yz zx


x  y  z 
2
2
2

Phép cộng:
Phép nhân:

x 2 y 2 z 2  xy   yz   zx  ; xyz= xy yz zx

 x, y, z

0 

2. Kỹ thuật chọn điểm rơi:
Trong kỹ thuật chọn điểm rơi, việc sử dụng dấu “ = ” trong BĐT Cơsi và các quy tắc về tính

đồng thời của dấu “ = ”, quy tắc biên và quy tắc đối xứng sẽ được sử dụng để tìm điểm rơi của biến.

3. Kỹ thuật thêm bớt hằng số.
4. Kỹ thuật tách nghịch đảo + ghép cặp nghịch đảo:
Trong kỹ thuật tách nghịch đảo kỹ thuật cần tách phần nguyên theo mẫu số để khi chuyển
sang TBN thì các phần chứa biến số bị triệt tiêu chỉ còn lại hằng số.
Tuy nhiên trong kỹ thuật tách nghịch đảo đối với bài tốn có điều kiện ràng buộc của ẩn thì
việc tách nghịch đảo học sinh thường bị mắc sai lầm. Một kỹ thuật thường được sử dụng trong kỹ
thuật tách nghịch đảo, đánh giá từ TBN sang TBC là kỹ thuật chọn điểm rơi.


5. Kỹ thuật đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân:
6. Kỹ thuật đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng:
Nếu như đánh giá từ TBC sang TBN là đánh giá với dấu “ ≥ ”, đánh giá từ tổng sang tích,
hiểu nơm na là thay dấu “ + ” bằng dấu “ . ” thì ngược lại đánh giá từ TBN sang trung bình cộng là
thay dấu “ . ” bằng dấu “ + ”. Và cũng cần phải chú ý làm sao khi biến tích thành tổng, thì tổng cũng
phải triệt tiêu hết biến, chỉ còn lại hằng số.
7. Kỹ thuật ghép cặp nghịch đảo:
Nội dung cần nắm được các bất đẳng thức sau:


 x  y  z   1x  1y  1z  9 x, y, z  0


1.

 x  x ........  x   x1  x1 .........  x1 


1


2.



n

2



1

n

2

 n2 x1, x2 ,........, xn  0



8. Kỹ thuật đổi biến số:
9. Kỹ thuật Cauchy ngược dấu:
10. Kỹ thuật cộng mẫu:
Các bất đẳng thức hay dùng:

1
n2

 i 1 a

n
i
 ai
n

a)

i 1

(Dấu “=” xảy ra khi

a1 a2 ... an )

1
1 1 1
 (  )
b) a  b 4 a b
1
1
8
 2
2
y
( x  y)2
c) x
11. Kỹ thuật chia tách hạng tử thích hợp:
12. Sử dụng điều kiện đưa bất đẳng thức không đồng bậc về đồng bậc để vận
dụng các bất đẳng thức cổ điển quen thuộc:

B. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY – SCHWARZ:

1. Với a1 , a2 ,..., an ; b1 , b2 ,..., bn là các số thực tùy ý:
( a1b1  a2b2  ...  anbn ) 2 (a12  a22  ...  an2 )(b12  b22 ,..., bn2 )

(*)

a
a1 a2
 ...  n
bn (Quy ước nếu mẫu bằng 0 thì tử
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi b1 b2
cũng bằng 0).
ai 

xi
, bi  yi
yi

2. Trong (*), ta chọn
thức Cauchy – Schwarz dạng phân thức:

, với xi , yi  R, yi  0 , ta thu được bất đẳng


Nếu x1 , x 2 ,..., x n là các số thực và y1 , y 2 ,..., y n là các số thực dương thì:
x 2 ( x  x 2  ...  x n ) 2
x12 x22
  ...  n  1
y1 y2
yn
y1  y 2  ...  yn

x
x1 x2
 ...  n
yn
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi y1 y2
3. Với a1 , a2 ,..., an ; b1 , b2 ,..., bn là các số thực tùy ý:
a1b1  a2b2  ...  anbn  (a12  a22  ...  an2 )(b12  b22 ,..., bn2 )

(*)

a
a1 a2
 ...  n
bn (Quy ước nếu mẫu bằng 0 thì tử
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi b1 b2
cũng bằng 0).