Tài liệu Ước lượng_chương 8 ppt
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (88.07 KB, 25 trang )
Chương VIII. ƯỚC LƯNG
ĐẶC TRƯNG ĐÁM ĐÔNG
§1. ƯỚC LƯNG ĐIỂM
1.1. Một hàm của mẫu tổng quát T = T(X
1
,…, X
n
)là
1 thống kê, Chẳng hạn
n
1n
1
X(X X)
n
=++
.
1.2. Ước lượng điểm của tham số
q
là thốn
g
kê
(
)
1n
X , ,Xq= q
$$
chỉ phụ thuộc vào n quan sá
t
X
1
, …, X
n
và không phụ thuộc vào
q
.
VD
+ Tỉ lệ mẫu
11 n
n
XX X
F
n
+++
=
là ước
lượng điểm của tỉ lệ đám đông p.
+ Trung bình mẫu
11 n
n
XX X
X
n
+++
=
là ước lượng điểm của trung bình đám đông
m
.
1.3. Thống kê
(
)
1n
X , ,Xq
$
là ước lượng khôn
g
chệch của
q
nếu
()
1n
M X , ,X
éù
q=
q
ëû
$
.
VD
+
M(F
n
) = p (tỉ lệ mẫu là ước lượn
g
khôn
g
chệc
h
của tỉ lệ đám đông).
+
(
)
n
MX =
m
(trun
g
bình mẫu là ước lượn
g
không chệch của trung bình đám đông
m
).
Trong thực hành
Khi có mẫu cụ thể (x
1
, …, x
n
) ta lấy
()
22
n
n
m
x, p f , s
n
m» » = s »
VD Cân 100 sản phẩm của xí n
g
hiệp ta có bản
g
x (gr)
498 502 506 510
n
i
40 20 20 20
n
498.40 502.20 506.20 510.20
x
100
+++
=
502, 8(gr)=
.
Dự đoán (ước lượn
g
): trọn
g
lượn
g
trun
g
bình của
các sản phẩm trong xí nghiệp là
502, 8(gr)m»
.
§2. ƯỚC LƯNG KHOẢNG
2.1. Đònh nghóa
Người ta gọi
(
)
12
$$
là khoản
g
tin cậ
y
với độ ti
n
cậy
1- a
cho trước nếu
12
P1
éù
q£q£q = -a
ëû
$$$
trong đó
12
$$
là các ước lượng điểm của
q
.
+
21
2
q
-
q
=e
$$
là độ chính xác của ước lượng.
Bài toán tìm khoảng tin cậy của
q
là bài toán ước
lượng khoảng.
2.2. Khoảng tin cậy cho tỉ lệ đám đông p
Với tỉ lệ p các phần tử có tính chất A của đám đôn
g
chưa biết và độ tin cậy
1- a
cho trước, khoản
g
tin cậy cho p là
(
)
12
p
;p
thỏa
[
]
12
Pp p p 1££ =-a
.
Trong thực hành
n
m
f
n
=
, khoảng tin cậy
() ()
nn nn
nn
f1 f f1 f
ft ;ft
nn
aa
ỉ
ư
÷
ç
-+
÷
ç
÷
ç
è
ø
+
t
a
tìm được từ
12(t)
a
-a=
j
(bản
g
B).
+
()
2
nn
2
t
nf1f1
a
éù
êú
=-+
êú
e
ëû
và
n
pf»
(với n lớn).
* Chú
y
ù
+ Độ chính xác của ước lượng là
()
nn
f1 f
t
n
a
-
e=
.
2.3. Ước lượng trung bình đám đông
m
Bài toán
Giả sử đám đông có trung bình
m
chưa biết. Căn c
ư
ù
vào (X
1
,…,X
n
), tìm 1 khoảng
(
)
( , , ); ( , , )
11 n 21 n
XX XXmm
sao cho
[]
( , , ) ( , , )
11 n 21 n
PXX XX 1m£m£m =-a
Trường hợp 1
+
,
2
n30³s
đã biết
,
2
n
XN
n
ỉ
ư
s
÷
ç
ÞỴm
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
.
Cho trước
1- a
, ta tìm được
t
a
(bản
g
B) sao cho
.
nn
PX t X t 1
nn
aa
éù
ss
êú
-£m£+=-a
êú
ëû
Vậy
,.
nn
12
Xt Xt
nn
aa
ss
m= - m= +
Trửụứng hụùp 2
+
,
2
n30s
chửa bieỏt. Thay
2
s
bụỷi
2
S
ta coự
,.
nn
12
SS
Xt Xt
nn
aa
m= - m= +
Trường hợp 3
+
,
2
n30<s
đã biết, X có phân phối chuẩn thì
,.
nn
12
Xt Xt
nn
aa
ss
m= - m= +
Trường hợp 4
+
,
2
n30<s
chưa biết, X có phân phối chuẩn.
Khi đó
n
X
S
n
-
m
có phân phối Student n – 1 bậc t
ư
ï
do, biết
1- a
, ta tìm được
n1
t
-
a
(bảng C) sao cho
n1
n1
PT t 1
-
-a
éù
£=-a
ëû
Suy ra
,.
n1 n1
nn
12
SS
Xt Xt
nn
aa
m= - m= +
Tóm tắt
1/
,
2
n30³s
đã biết
+ Tính
n
x
.
+ Từ
B
1
1t
2
a
-a
- ¾¾®
.
+ Khoảng tin cậy
(
)
,
nn
xx-e +e
với
t
n
a
s
e=
.
2/
,
2
n30³s
chưa biết
+ Tính
µ
µ
,
22 2
n
n
xs s s
n1
Þ=
-
.
+ Từ
B
1
1t
2
a
-a
- ¾¾®
.
+ Khoảng tin cậy
(
)
,
nn
xx-e +e
với
s
t
n
a
e=
.
3/
(
)
,,,
22
n30XN<Ỵmss
đã biết
(như trường hợp 1).
4/
(
)
,,,
22
n30XN<ẻmss
chửa bieỏt
+ Tớnh
à
à
,
22 2
n
n
xs s s
n1
ị=
-
.
+ Tửứ
C
n1
1t
-
a
-aịaắắđ
.
+ Khoaỷng tin caọy
(
)
,
nn
xx-e +e
vụựi
n1
s
t
n
-
a
e=
.
* Chú ý
Khi có mẫu cụ thể, ta thay
n
X
bởi
n
x
,
2
S
bởi
2
s
.
VD Cân 100 trái cây, cho biết
,
100
x 500gr=
.
2
40 00
0
s=
. Ước lượng trọng lượng trung bình
m
với độ tin cậy 95%.
Vụựi
,
2
n 100 30=>s
ủaừ bieỏt ta coự
%% ,.195 5 t 196
a
a= - = ị =
Suy ra
,
n
1
xt 4608gr
n
a
s
m= - =
;
,
n
2
x t 539 2gr
n
a
s
m= + =
.
Vaọy (460,8gr; 539,2gr).
VD Lấy ngẫu nhiên 15 bao bột do nhà máy đóng
bao xuất ra, cho biết
,, ,.
2
15
x 39 8gr s 0 144==
Giả thiết trọng lượng các bao bột là X có phân phối
chuẩn. Ước lượng trọng lượng trung bình
m
với độ
tin cậy 95%.
Vụựi
,
2
n1530=< s
chửa bieỏt vaứ X chuaồn
%
%,
14
5
5t2145a= ị =
,
,
s0144
0098
n15
==
,
n1
n
1
s
xt 396gr
n
-
a
ịm= - =
;
n1
n
2
s
x t 40gr
n
-
a
m= + =
.
Vaọy (39,6gr; 40gr).
2.4. Ước lượng phương sai đám đông
2
s
Giả sử đám đông có phân phối chuẩn với
2
s
chưa
biết. Căn cứ vào mẫu (X
1
, …, X
n
) người ta tìm được
khoảng
(
)
22
12
;ss
để ước lượng
2
s
:
() ()
22
22
12
22
n1 n1
(n 1)S (n 1)S
; .
1
22
s= s=
aa
c- c
Chú ý
Khi có mẫu cụ thể, ta thay S
2
bởi s
2
.
Bài tập
1/ Trước bầu cử tổng thống n
g
ười ta phỏn
g
vấn
1800 cử tri thấ
y
có 1180 cử tri ủn
g
hộ ứn
g
cử viên
A. Hỏi ứng cử viên A thu được mấ
y
phần trăm so
á
phiếu bầu? Biết độ tin cậy là 95%.
2/ Để ước lượng số hải cẩu trên 1 hòn đảo người ta
đeo vòng cho 1000 con. Sau một thời gian bắt lại
100 con thấy có 25 con đeo vòng. Hãy ước lượng so
á
hải cẩu với độ tin cậy là 95%.
3/ Giá bán của một loại thiết bò (đơn vò USD) trên
thò trường là đlnn X có phân phối chuẩn. Một người
đònh mua loại thiết bò này, quan sát ngẫu nhiên tại
8 cửa hàn
g
thấ
y
g
iá bán trun
g
bình 137,75 USD với
độ lệch tiêu chuẩn là 7,98 USD, độ tin cậ
y
90%.
Ước lượng giá bán trung bình của thiết bò.
4/ Chủ cửa hàn
g
cun
g
cấp sơn muốn ước lượn
g
lượng sơn chứa trong 1 thùng được sản xuất từ côn
g
t
y
A. Biết độ lệch tiêu chuẩn của lượn
g
sơn côn
g
t
y
là 0,08 thùng. Điều tra 50 thùn
g
được lượn
g
sơn
trung bình là 0,97 thùng với độ tin cậy 99%.
