DE HA TINH 2015
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.28 MB, 4 trang )
SỞ GIÁO DỤC VÀ DÀO TẠO
KỲ THỊ CHỌN HỌC SINH GIỎI TĨNH LỚP 9
HÀ TĨNH
x
-
DE THI CHINH
Câu
NĂM HỌC 2014 - 2015
Mơn: TỐN
-
Thời gian làm bài: 150 phút
THUC
(Đề thi có 1 trang, gồm ð câu)
1.
L1
a) Giải hệ phương trình 4
4
x T Ụ
«uty
cy = /4y — 3.
b) Cho các số thực khơng âm z,
thỏa mãn x + y = 2. Chitng minh rang
2< V+z2+2+ v2 < v6.
Câu
2. Với » nguyên dương (n > 2), đặt
n=(1- 4) 0-44)--0- 2S)
1
1
1
1+2
1+2+3
l+2+...+”n
Tìm tât cả các sơ nguyên dương n (n > 2) sao cho )
Ẩ
?
7
Az
^
là sô nguyên.
1
N
A
^
mr
Câu 3. Cho cdc so nguyén duong z,y,z théa man x? + y? = 2”.
a) Chttng minh A = xy chia hết cho 12.
b) Chứng minh B = x°y — xy? chia hét cho 7.
Câu 4. Cho đường tròn (O). Lay các điểm A, B,C thudc (O) sao cho tam gidc ABC nhon
va AB > BC > CA. Dung tròn tam C, bin kinh CB cat đường thẳng 4Ø và (O) lan
luot tai D va E (D,E khac B).
a) Chứng minh đường thẳng 2# vng góc với đường thang AC.
b) Giả sử đường thẳng DE cắt (Ó) tại F' (khác #); các đường thang CCO, AB
AB cat nhau
tai G vA cc duéng thang BE,CF c&t nhau tại K. Chứng minh CKG= CBG.
Câu
5. Bên trong hình chữ nhật kích thước 5ð x 12 cho n diém bat ky.
a) Với n = 11, chứng minh trong số các điểm đã cho luôn tồn tại hai điểm mà khoảng
cách giữa hai điểm đó khơng lớn hơn v13.
b) Kết luận trên cịn đúng khơng khi n = 10? Tai sao?
Thí sinh khơng
được
sử dụng
Giám, thẹ khơng
gt thích gì thêm.
HET
tài liệu va may
tinh cam
tay.
Họ và tên thí sinh: ...................
111122212221 121 1111
1111k ke : Số báo danh: ..........................
KY THI HOC SINH GIOI TINH HA TĨNH LỚP 9
NAM HOC 2014 - 2015
Mơn: TỐN
(Hướng dẫn giải gồm 3 trang)
HUONG DAN GIAI
Cau
Hướng dẫn
1
1
4
—+—=
x
y_
X¬Yy
Xy = 44y- 3.
Điều kiện xy z 0;y > - Tw phuong trinh sau taco x > 0 (do xy > O;y > 0)
„
42
wy
ˆ
„
ca
1
1
2
A
Abp
dụng bất đăng thức Cô-si,
ta có — + — > ——
x yy
4
>
x+y
1a | Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y.
Do vậy phương trình đầu tương đương với x = y.
.
Khi đó phương trình sau trở thành
xX
=V4x-3
6 x* = 4x— 3
Với x = 1 thì y =
(xˆ — T) + 2x -— 1)“ =0 © x =1.
†. Đáp số (x;y) = (1;†1).
Ta có thể biển đổi phương trình đầu (x + y)Ÿ = 4xy © (x— y)" = 0 © x =ÿ.
Khi đó x* =
.ˆ....n
2
=0sx=1.
Với x + y=
2 thì x° + yˆ =4-— 2xy.
Khi đó Áp dụng Bất đẳng thức Cơ-si ta có
RỶ =4— xy+22xy(2- xy) < 4— xy + (2xy + 2— xy) = 6.
Do dé F < V6.
1.b
Chú
ý rằng xŸ + y7 > 2y >
Pax
Do dé
F > 2.
ta có
+y+xytapy(x
+”) > x”+y”+
xy+ xy= 4.
P=li-——lh-——|.Jqi-———
n
142)|
14243
1+2+...+n
k(k +1) .VWK€ Z.
Nhận xứ rằng 1+ 2+...+k=
Áp dụng nhận xét trên ta có 1—
{
1+2+...+
_+ _ 2
__-1&+2
k(k +1)
k(k +1)
Cho k = 2...,n rồi nhân các đẳng thức thu được lại với nhau ta có
_1425
" 2334”
Khi đó -L=3P
6
n+e2
(n-l(n+2_ n+2
nn+1)
3nˆ`
c
Vậy tất cả các giá trị n cần tìm là n = 4.
Nhận xét rằng một số chính phương chia 3,4 chỉ có thể dư 0 hoặc †1.
Thật vậy:
Nếu n = 3k thì nˆ = 9k° chia 3 dư 0.
Nếu n = 3k +1 thì nˆ = 3(3k° + 2k) +1
chia
3 dư 1.
Giả sử xy/3 thì x và y đều khơng chia hết cho 3, khi đó x? + yŸ chia 3 dư 2, vô lý theo
nhận xét trên. Vậy xy:3.
Nếu x,y đều lẻ thì xÊ + yˆ chia4 dư 2, vơ lý theo nhận xét trên.
Nếu có đúng 1 số lẻ, chẳng hạn x chẫn, y lẻ thì z lẻ.
Đặt x =
Do đó a
Nếu x,y
Vi (3,4)
24;y = 2b-L l;z= 2c
+ 1 thay vào ta được a” = c(c+ †) — bb+ 1):2.
chăn. Suy ra x chia hết cho 4, do đó xy:4.
đều chan thì hiển nhiên xy:4.
=1 néntacd xy:12, dpcm.
Nhận xét rằng một số chính phương chia 7 chỉ có thể dư 0,1,2 hoặc 4.
Thật vậy:
Nếu n = 7k thì n = 49kˆ chia 7 dư 0.
Nếu n = 7k +1 thì nŸ = 7(7k?+2K) +1
chia
7 dư 1.
Nếu n = 7k+2 thì nÊ = 7(7k? + 4k) +4 chia
7 dư 4.
3.b
Nếu n = 7k+3 thì
Giả sử xŸ/
— xy3 j7
Khi đó x* va y* đều
số dư khi chia xÊ,yˆ
nˆ = 7(7k?
+ 6k + 1) +2 chia
7 dư 2.
hay xy(xÊ — yˆ) Í7.
khơng chia hết cho 7 và khơng có cùng số dư khi chia cho 7. Nếu các
cho 7 là 1,2thì Z” chia 7 dư 3, vô lý theo nhận xét trên.
Nếu các số dư khi chia x,yŸ cho 7 là 1,4thì Z chia 7 dư 5, vơ lý theo nhận xé trên.
Nếu các số dư khi chia x,yˆ cho 7 là 2,4thì Z chia 7 dư 6, vơ lý theo nhận xé trên.
Vậy xỶyT— xy°:7.
Kết hợp cả 2 ý a,b ta có ngay B:84. Ta cịn có thể chứng minh nếu (x,y) = †1 thì trong4
SỐ X,ÿ,X
— ÿy,X + y chỉ có đúng 1 số chia hết cho 7.
Theo tính chất của tam giác cân ta có CEA = CBA
= CDA.
Lại có CED = CDE nên AED = ADE hay tam giác ADE cân.
Từ đó AD = AE, kết hợp với CD = CE ta được DE L AC, đpem.
4.b
Áp
Suy
Kết
Mặt
Suy
dụng câu a) ta có ADE = AED
ra FBD là tam giác cân tại F,
hợp với CB = CD taco CF |
khác CB = CE nên CO L BE
ra G là trực tâm của tam giác
Khi đó CKG
= 90° — KCB
= CBG,
= ABF (góc nội tiếp chắn cung nhỏ AF
suy ra FB = FD.
BD hay BG L CK.
hay CG 1 BK.
BCK.
).
dpcm.
Chia hình chữ nhật đã cho thành 10 hình chữ nhật 2x 3 như hình dưới
Theo nguyên lý Đi-rich-lê, 10 hình chữ nhật nhỏ chứa 11 điểm nên ln tồn tại 2 điểm
cùng thuộc một
hình chữ nhạt
nhỏ, khoảng cách giữa chúng hiển nhiên
<\Z+3
-—= v13,
đpem.
Khi n = 10 két luận vẫn đúng.
Chia hình chữ nhật đã cho thành 9 hình như hình dưới
5.b
Theo nguyên lý Đi-rich-lê, 9 hình nhỏ chứa 10 điểm nên luôn tồn tại 2 điểm cùng thuộc
một hình nhỏ, khoảng cách giữa chúng < 4/2 + 3 = A13, đpem.
