HOC SIH GIOI TOAN 9 2018 2019
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (90.67 KB, 3 trang )
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO SĨC TRĂNG
PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
MƠN TỐN LỚP 9 CẤP THÀNH PHỐ
LỚP 9 THCS. NĂM HỌC 2018 – 2019
- --------------(Thời gian làm bài 150 phút, không kể phát đề)
Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức:
x 1
x 1 8 x x x 3
A
:
x 1 x 1 x 1
x1
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tính giá trị của A khi x 6 2 5
c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A.
Bài 2: (4 điểm)
5
a 2 b2 c 2
3
a) Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn
1 1 1
1
Chứng minh: a b c abc
b) Giải phương trình:
Bài 3: (4 điểm)
1
x 1
với x 0; x 1
x 2 3x 2 x 3 x 2 x 2 2 x 3
a) Tìm tất cả các số tự nhiên abc có ba chữ số sao cho
abc n 2 1
2
cba n 2 với n là số nguyên lớn hơn 2.
b) Chứng minh rằng tích của bốn số tự nhiên liên tiếp cộng với 1, ln là số chính phương.
Bài 4: (4 điểm)
Cho ABC nhọn, các đường cao AD; BE; CF cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của HC;
N là trung điểm của AC. AM cắt HN tại G. Đường thẳng qua M vng góc với HC và đường thẳng
qua N vng góc với AC cắt nhau tại K. Chứng minh rằng:
2
a) Tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC. Từ đó suy ra S AEF S ABC .c os BAC
b) BH.KM = BA.KN
GA5 GB 5 GH 5
4 2
5
5
5
GM
GK
GN
c)
Bài 5: (4 điểm)
Cho ba điểm A, B, C cố định nằm trên một đường thẳng d (B nằm giữa A và C). Vẽ đường
O d . Vẽ AM và AN là tiếp tuyến với (O) tại M và N. Gọi I là trung điểm
tròn (O) đi qua B và C
của BC.
a) Chứng minh 5 điểm O, M, A, N, I cùng nằm trên một đường tròn.
b) BC cắt MN tại K, AO cắt MN tại H và cắt đường tròn (O) tại điểm P và Q ( P nằm giữa A
và O). Chứng minh điểm K là điểm cố định khi đường tròn tâm O thay đổi.
HẾT
HƯỚNG DẪN
A
Câu 1: a)
4 x
x4
2 5
b) 5
A
c)
x 4
x 4
x 4
x4
2
a b c
2
1
x 2
1
x4
Bài 2
a) Ta có
0 a 2 b 2 c 2 2 ab ac bc 0
1 2
a b2 c2
2
5
ac bc ab 1
6
ac bc ab
Chia hai vế cho abc ĐPCM.
Bài 3: (4 điểm)
b) Tìm tất cả các số tự nhiên abc có ba chữ số sao cho
abc n 2 1
2
cba n 2 với n là số nguyên lớn hơn 2.
Ta có:
abc 100a 10b c n 2 1 (1)
2
cba 100c 10b a n 2 (2)
Lấy (1) trừ (2) ta có
99 a c 4n 5
4n 599 (3)
2
2
Mặt khác ta có: 100 n 1 999 101 n 1000 11 n 31
39 4n 5 119 (4)
Từ (3), (4) 4n 5 99 n 26
Vậy số cần tìm là 675
Bài 4: (4 điểm)
a) Tứ giác BCEF nội tiếp suy ra 2 tam giác đồng dạng.
Cách khác: AEB vuông ở E và AAFC vng ở F nên ta
có:
AE
AF
CosEAB
; CosCAB
AB
AC
Suy ra hai tam giác đồng dang (c.g.c)
S AEF AE 2
AEF ABC
2 cos 2 BAC
S AEF S ABC .cos 2 BAC
S ABC AB
Do
b) HAB; NMK có BAH NMK ; ABC MKN ( góc có cạnh tương wgs song song) (NM
là đường trung bình của tam giác AHC).
AB BH
AB.KN BH .MK
MK KN
AB AH
AH
HAB NMK ( g .g )
2
MK MN
2 )
Do
(MN là đường TB
HG
2 (GAH GMN )
NG
AB AG
MK MG , mặt khác BAG
GMK
( so le) ABG MKG ( g .g )
HAB NMK ( g.g )
GB GA GH
GB 5 GA5 GH 5
2
32
GK GM GN
GK 5 GM 5 GN 5
Áp dụng tihs chất dãy tỷ số bầng nhau suy ra ĐPCM.
AM = AN
AM 2 AH . AO (1)
AM
AB
AM 2 AB. AC (2)
AC AM
AH AK
AHK AIO ( g .g )
AH . AO AI . AK (3)
AI
AO
AB. AC
AI . AK AB. AC AK
AI
(1), (2), (3) suy ra
AMB ACM ( g .g )
Vì A, B, C cố định nên I cố định. Do đó AB, AC, AI ko đổi nê AK
không đổi. Vậy K là điểm cố định.
