ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP CHƯƠNG I
ĐẠI SỐ 9
I. LÝ THUYẾT:
 x 0
a x   2
 x a
1. a C  0,
 A với A 0
A2  A 
 A với A  0

3.
4.

2. Điều kiện tồn tại của

A.B  A. B với A  0, B  0
A1 A2 ... A n  A1 . A2 ... An

Tổng quát:

A là A  0.

với Ai  0 ( 1  i  n ).

A
A

B
B

5. Với A  0, B  0 ta có:
6. Khi đưa thừa số A2 ra ngồi dấu căn bậc hai ta được |A|
A2 B  A B
2
7. Đưa thừa số vào trong dấu căn bậc hai: A B  A B với A  0

A B  A2 B với A < 0

8. Khử mấu của biểu thức dưới dấu căn bậc hai:
Ta nhân mẫu số với thừa số phụ thích hợp để mẫu số là một bình phương:
A
A.B
1


A.B
2
B
B
|B|
( B  0, A.B  0 )

9.Trục căn thức ở mẫu số:
Gồm các dạng cơ bản sau:
A
A. B

B
+ B


( Lưu ý: Nhân cả tử và mẫu với thừa số thích hợp để mẫu thành bình phương )
+

m
m( A  B )

A B
A B
m
m( A  B )

A B
A B

+
Một số lưu ý:
2

- A 0  | A |0  A 0
- Muốn tìm các giá trị của x ( hoặc y,...) để

A có nghĩa ta giải bất phương trình A 0 .

m
Nếu biểu thức có dạng A ta giải bất phương trình A > 0.


- Khi giải phương trình chứa dấu căn bậc hai ( phương trình vơ tỷ ) ta biến đổi về dạng:
 m 0


2
A( x) m
 A( x) m

II. Một số ví dụ:
Ví dụ 1: Tìm các giá trị của x để biểu thức sau có nghĩa:
a. 2 x  1
Giải: a.

1
x 7

b.

1
2 x  1 có nghĩa  2x - 1  0  2x  1  x  2
 x  7 0
 x 7
 x 49
1



 x 0
 x 0
x  7 có nghĩa   x 0

b.
Ví dụ 2: Tính giá trị của biểu thức:
a. 45  20


b. ( 3  5)( 3  5)  2

1
6
c. 2

3
2
3
2
3

d. 8  2 15

Giải: a.

45 

20 =

9.5  4.5 3 5  2 5 (3  2) 5 5 5
2

2

b. ( 3  5)( 3  5)  2 = 3  5  2 3  5  2 0
1
6
c. 2


3
2
1
3
6
2
3 = 2

3.2
2.3 1
1
1
3 2  6 
6  3. 6  6
2
2
3
2
2
3

d. 8  2 15 = 8  2. 3. 5 
Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức:
a.

21  3

71



b


a  ab

c.

2

2

3  2. 3. 5  5  ( 3  5) 2  3  5

15  3
1 5

b. 5 2 x  2 8 x  7 18 x với x  0

a 
 a b b a
ab  b 





Giải:
a. Gợi ý: Phân tích 21  3 và 15  3 thành nhân tử rồi rút gọn cho mẫu.
b. 5 2 x  2 8 x  7 18 x = 5 2 x  2 4.2 x  7 9.2 x 5 2 x  2.2 2 x  7.3 2 x

=  5  4  21 2x = 22 2x

b


a  ab

c.

a 
 a b b a
ab  b 
=






b

 a( a 

b)



a
b( a 



 a b( a 
b ) 

 b. b  a . a 

 a. b ( a 
a . b ( a  b ) 

=

b)

b)


= b . b  a . a = b - a ( rút gọn tử và mẫu )
Ví dụ 4: Giải phương trình:
a. 5 2 x  1 21
Giải:
a. 5 2 x 1 21

b. 4 x  20  3 5  x  7 9 x  45 20

 5 2 x 21  1 

2x 

20
4 

5

2

2 x 42  2 x 16

16
 x
2 =8

Vậy phương trình có 1 nghiệm x = 8
b. ĐK: x + 5  0  x  -5
4 x  20  3 5  x  7 9 x  45 20  4( x  5)  3 5  x  7 9( x  5) 20
 2 x  5  3 5  x  7.3 x  5 20  (2  3  21) x  5 20
 20 x  5 20 

x  5 1  x  5 1  x = 1 - 5 = -4 ( thỏa ĐK )

Vậy phương trình có một nghiệm x = -4
II. BÀI TẬP ƠN KIỂM TRA 45 PHÚT:
1. Tính giá trị của biểu thức:
a.
c.

2 3  (2 



5 5 5 5


5

5
5 5
b.

3) 2

28  12 

7



7  2 21

e. (2  5  3)(2  5  3)
2. Tìm x biết:

f.

(

1

3

3
3x 
b. 2


2

a. 9 x  6 x  1 2
3. Rút gọn biểu thức:
a  b  2 ab

a b
a.

d. 17  3 32  17  3 32

a b
a b

4
 3) : 3
3
3x  5 

1
3x
2

a 1
1
: 2
b. a a  a  a a  a



x
x  x 4


.
x 2
x  2  4 x

4. Cho biểu thức M =

a. Tìm điều kiện của x để biểu thức có nghĩa.
b. Rút gọn biểu thức M.
c. Tìm x để M > 3.

BÀI TẬP CĂN THỨC CƠ BẢN


DẠNG 1: Thực hiện phép tính, tính giá trị , rút gọn biểu thức số
Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau
a/ A = 3 3  4 12  5 27 ;
72  4

b/ B = 32  50  18

1

2

32  162


1
48  2 75 
2
d/ D =

5 2



b/ B= 45  63

c/ C =
Bài 2 : Thực hiện phép tính, rút gọn các biểu thức sau



c/ C =
a/ A =

5 2





5  3 5  15



a.  12  48  108  192  : 2 3

c. ( 2 √27 − 3 √ 48+3 √75 − √ 192 ) ( 1 − √ 3 )
e. 2 20  50  3 80  320
Bài 4: Thực hiện các phép tính sau đây:
a.

1 9
2
5 
2  2 27
3 2
3

3
12  2 27
 150
2
c.



e.  15  2 3   12 5
h. 1  2  3 1  2  3
j. 1  2 3  2 1  2 3  2 
2

1



3


3
2
2

q.

1
48  5  2 75  5
3
b.

 
 18  0.5  3 1   

3  
d. 
2



2

n.


1


 5 2

5 2

p. 5  2 5



32 3







27  50 

r.

3

1

8


75 

2

g.  3  1  2 3  4




1


 1
5 2


2 5

2 1





2 1

2

1



2 2

1


5




32



Bài 5 : Rút gọn biểu thức
1

a/ A =

3 1
5 5

1





1

31
5

b/ B = 1 


a/ A =

1  3 

2





2



1
1 2

3

5

c/ C = 5  5 5  5
Bài 6 : Rút gọn biểu thức

d/ D =
3 2



32


1
3

2

1



1

3 2

k. 1  3  1  2 3 


3
2 
3  2 : 

3  2 
 3 2

1
3

b. 2 112  5 7  2 63  2 28  7
d. 7 24  150  5 54
g. 32  50  98  72


i. 3  2  3  


1  3  1
 :


2
  2

 




5

5 1

2 1
:
3  6

f. ( 6  2)( 3  2)

m. 7  4 3 7  4 3

1 


o. 

 3

 2
f/ F = 

1



7



Bài 3: Thực hiện các phép tính sau đây:

75 



11

d/ D = 32  50  27

( √ 45 − √ 20 − √ 3 ) ( √ 20 − √ 45 − √3 )

e/ E = 1-




33

2

b/ B =

3 1  1

2  3 

2



3
3 1 1

 4 2 3




c/ C = 15  6 6  33  12 6
3

5

3 5


e/ E =

3 5



3

2

d/ D =

3

2 3

 1
1  5 5


 :
3

5
3

5

 51
f) F =


5

g/ G = 3  5  7  3 5 

2

h/ H = x  2 2 x  4  x  2 2 x  4 với x≥ 2

Bài 7: Thực hiện các phép tính sau đây:
3 21
2 6

a.

15

b. 6  1



2

3
3
3  1





2  1  2  6 2  6 
2


4

6 2

12



6 3

 2
3
15  1



.
3

1
3

2
3

3


 3 5
c.

6



2


3
4


 3  1
6 2
d.  5  2



1



e. 1  2

1




1

 .... 

2 3

99  100

DẠNG 2: Chứng minh đẳng thức
Bài 8 : Chứng minh
2 1
9 4 5 

a/

5  2

21

b/

3  2 2

4

c/ 2

2




e/ 3 

3  2  1  2 2 
5  10  2  3 

2

 2 6 9

d/

5 8

f)

x

Bài 9 : Chứng minh

yy x



x

y

xy


a/

2  5 

2



2 1 

4

2  5 

2

8

2  1  2( 2  1)

 x  y
với x > 0 và y >0

2

b/ Cho A =

4x  4x 1
A

4x  2
. ch minh : = 0,5 với x 0,5

DẠNG 3: Tìm x
2
Bài 10 : a/ 1  4 x  4 x 5

c/ 10  3x 2  6
2

Bài 11 : a/ x  9  3 x  3 0
Bài 12: a/ Tìm x biết : a/ x  2 3

b/ 4  5 x 12
d/

4 x  20  3 5  x 

4
9 x  45 6
3

4x  3
3
x

1
b/
b/ x  1  5


DẠNG4 : Giá trị lớn nhất , Giá trị nhỏ nhất
Bài 13 : Tìm x để các biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất ,tìm GTNN đó
a/ A =

x 4 2

b/ B = x  4 x  10
2

c/ C = x  x
d/ D = x  2 x  4  1
Bài 14 : Tìm x để các biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất ,tìm GTLN đó
1

a/ M = 3 

x 1

b/ N = 6 x  x  1

c/ P = x 

x 1


DẠNG 5 : Tìm giá trị nguyên của một biểu thức
Bài 15: Tìm các giá trị nguyên của x để các biểu thức sau có giá trị nguyên
x2
a/A = x  5


x 3

3x  1
b/ B = 2  x

c/ C =

2 x1

x 2

x 3

d/ D =

DẠNG 6: Phân tích đa thức thành nhân tử:
Bài 16: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

ax x  x  x 1
d. ab  a  b  1
h. x x  y y  x  y
Bài 17:
a. x  3 x  2

2

c. 1  x   4 x
e. a  a  2 ab  2 b

b. ab  2 a  3 b  6

2
f. x  2 x  1  a
i. x  x  2
2
b. x  3 x y  2 y

c. x  2 x  1

3

d. x  2 x  x
g.  6 x  5 x  1
f. x  4 x  3
i. 2a  ab  6b
Bài 18: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a. x  5 x  6
b. 2a  ab  6b
d 4a  4 a  1
f. 2a  5 ab  3b
Dạng 7 So sánh
Bài 19: So sánh.
a.4 7 và 3 13
d.3

12

và 2 16

g. 7  5 và 49
j.+ 21  5 và 20 

m. 7  2 và 1

h. 7 x  6 x  2

c. 3 a  2a  1

2

2

g. x  2  x  4
4
3
2
i. x  4 x  4 x

h. x  x  x  1
2
l. 3x  2 x  1

1
1
6
82
4
và 7

b.3 12 và 2 16

c.


1 17
e. 2 2

f. 3 3  2 2 và 2

1
19
và 3

1 17
1
19
i. + 2 2 và 3

h.  2  11 và 3  5
1
1
6
82
6
k.+ 4
và 7
n. 30  29 và 29  28

p. 27  6  1 và 48 q. 5 2  75 và 5 3  50
Bài 20: Sắp xếp theo thứ tự tăng dần :

l. + 6  20 và 1  5
o. 8  5 và 7  6

r. 5 

1
3 và 2

5 2; 2 5 ; 2 3 ; 3 2

CHUYÊN ĐỀ : BÀI TẬP RÚT GỌN BIỂU THỨC CÓ CHỨA CĂN BẬC HAI







1

8  12 2  3
Bài 21: Cho các biểu thức :
A=
B= x 3
a/ Tìm tập xác định của B rồi rút gọn B
b/ Tính giá trị biểu thức A



1
x 3

c / Tìm x để A = B



Bài 22: Cho các biểu thức :





1



A = 45  63 7  5
B= x1
a/ Tính giá trị biểu thức A và rút gọn biểu thức B

1



x 1

1

(ĐK :x 0; x 1)
b/ Tìm x để A = B.

Bài 23: Cho các biểu thức :
(


1

1



A = 1 3 1 3

):

1

x

3

B= x1



2 x1

x ( ĐK :x  0; x 1)
1
b/ Tìm x để A = 6 B.

a/ Rút gọn các biểu thức A và B

x


x 5

Bài 24 : Cho biểu thức : P = x  2  3
a/ Tìm tập xác định của biểu thức P
b/Rút gọn P.
c/Tìm giá trị của x dể P đạt giá trị nhỏ nhất . tính giá trị nhỏ nhất đó.
Bài 25: Cho các biểu thức :
A = 10 
1



32 


B= x 2
a/ Rút gọn A và B

8

1
x 2



27



8


2 x1
4 x

32 

27



(ĐK: x 0; x 4)
b/ Tìm x để A.B = -1.

2



Bài 26 : Cho biểu thức : Q= 2  x

1
2



x

2 x
x 4

6

b/ Tìm x để Q= 5 .

a/ Rút gọn biểu thức Q.
c/Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức Q có giá trị nguyên.
(

x2

x



1



):

x1
2

Bài 27: Cho biểu thức : A= x x  1 x  x  1 1  x
a/ Tìm tập xác định của biểu thức A
b/ Rút gọn biểu thức A
c/Chứng minh rằng A> 0 với mọi x 1
d/Tìm x để A đạt GTLN, tìm GTLN đó
x 1

(


x1

Bài 28: Cho biểu thức E =
a/Rút gọn biểu thức E

x1


1 
 4 x ) :  x 

x 1
x




b/ Tìm x để E = 2.



c/Tính giá trị của E khi x = 4  15
x 1

Bài 29: Cho biểu thức P = x  2
a/ Rút gọn P nếu x 0, x 4






10 
2 x
x 2

6




4  15

25 x
4 x

b/Tìm x để P = 2

 1
1   a  1
a  2 


 : 

a  a 2
a  1 
Bài 30: Cho biểu thức Q =  a  1
a/ Rút gọn Q với a > 0 , a 4 và a 1
b/Tìm giá trị của a để Q dương.



 2x 1
 1  x 3
x



 3
 1  x 
x

x

1
x

1

Bài 31: Cho biểu thức : B = 

a/ Rút gọn B


x

 với x 0, x 1

b/ tìm x để B = 3



x
x  9   3 x 1 1 

 


 3 x 9 x : x  3 x  x 
 
 với x 0, x 9
Bài 32 : Cho biểu thức C = 

a/Rút gọn C

b/ Tìm x sao cho C < -1


x
1   1
2 



 x  1 x  x  :  x  1  x  1 

 
Bài 33: Cho biểu thức P = 

a/Tìm điều kiện của x để P xác định - Rút gọn P
c/Tính giá trị của P khi x = 4- 2 3


b/Tìm các giá trị của x để P < 0


x2  
x
x  4

 x 
 : 

x  1   x  1 1  x 

Bài 34: Cho biểu thức P =
1
b/ Tĩm x để P = 2

a/ Rút gọn P
c/ Tìm GTNN của P và giá trị tương ứng của x.

 x 2
x  2  1  x 



 x 1
 2 
x

2
x


1

Bài 35: Cho biểu thức P = 

a/ Rút gọn P

2

b/ CMR: nếu 0 < x < 1thì P >0
x x1

Bài 36: Cho biểu thức P = x 
a) Rút gọn P.

x



x x 1
x x



c/ Tìm GTLN của P

x 1
x

b) tìm x để P =


 x x 1 x  1  
x

 : x 

 x 1
x  1  
x
Bài 37: Cho biểu thức P = 

a) Rút gọn P.



1 
; với x 0, x 1

b) Tìm x để P = 3

BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài 38: Cho biểu thức:
a.Rút gọn D.
D

1   1
1 
1
 1
D 



 :

 1  x 1  x   1  x 1  x  x 1

b.Tính giá trị của D khi

x 2  x 0 c.Tìm giá trị của x khi

3
2
x
2 
 x 1 x  1  1
E 


 2
 :

 x  1 x 1  x 1 1  x x  2 

Bài 39: Cho
2
a.Rút gọn E.
b.Tính E khi x  9 0
E  x  3 0
d.Tìm x để E<0 e.Tính x khi
Bài 40: Thực hiện phép tính:

 2x 1 2x  1  4x
A 

:
 2 x  1 2 x  1  10  5
a.

c.Tìm giá trị của x để E=-3.

2 x 1
 1

B  2

 :   x  2
 x  x x 1   x

b.


c.

C

1
x3  x 
1
1 
 2


 2

x  1 x 1  x  2x 1 1  x 2 

5 x  2  x 2  100
 5x  2
M  2
 2
 2
 x  10 x x  10 x  x  4
Bài 41: Cho

a.Tìm x để M có nghĩa. b.Rút gọn M

c.Tính M khi x=2004
2

N

1
1  x  2x 1
 x
 2
 3
:
x  2x 1  x  1 x  x 
x  x3
2

Bài 42: Cho

a.Tìm TXĐ của N.
b.Rút gọn N.
c.Tính giá trị của N khi x =2; x=-1.
d.Tìm x để N= -1.
e.Chứng minh rằng :N < 0 với mọi x thuộc TXĐ.
f.Tìm x để N > -1.
Bài 43:
Cho
a.Rút gọn A.
Bài 44:

 a
1   a  a a  a 


A 

 a  1  a  1 
2
2
a



2
c.Tính A khi a  3 0

b.Tìm a để A= 4 ; A> -6.
 a 1
A 


 a1

Cho biểu thức:

a.Rút gọn A.

a1


1 
 4 a   a 

a 1
a

a

bTính A khi

6
2 6

c.Tìm a để

A  A.

 x2
x
1  x1

:
B 



2
x
x

1
x

x

1
1

x



Bài 45: Cho biểu thức:
a.Rút gọn biểu thức B.

b.Chứng minh rằng: B > 0 với mọi x> 0 và x 1


a
1   1
2 

K 

:





a

1
a

1
a

a
a

1




Bài 46: Cho biểu thức:

b.Tính giá trị của K khi a 3  2 2

a.Rút gọn biểu thức K.
c.Tìm giá trị của a sao cho K < 0

Bài 47: Cho biểu thức:
a.Rút gọn D.

D

a2  a
a

a 1

2a  a
a

1

b.Tìm a để D = 2.

c.Cho a > 1 hãy so sánh D và
Bài 48: Cho biểu thức:



H

D

a 2
a 3

d.Tìm D min.



5
a a  6

a.Rút gọn H.
2
c.Tính H khi a  3a 0
Bài 49: Cho biểu thức:



1
2

a

b.Tìm a để D < 2.
d.Tìm a để H = 5.

 x2
x 1
x  1 
N 1 : 


x  1 
 x x  1 x 1  x

a.Rút gọn N.

Bài 50: Cho biểu thức:

b.So sánh N với 3.


M 

a.Rút gọn M.

1
x  x 1



1
x

x 1



x3  x
1

x

b.Tìm x để M >0.

c.Tính M khi


x

53
9 2 7


 3
 
3
V 
 1  a  : 
 1
 a 1
  1 a2

Bài 51 : Cho biểu thức:

a.Rút gọn V.

b.Tìm a để V  V .

c.Tính M khi

a

3
2 3