- Trang chủ >>
- Đề thi >>
- Đề thi lớp 5
HSG Hoai Nhon
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (246.24 KB, 6 trang )
Đề ơn thi HSG 9
Tel: 0905.884.951 —- 0929.484.951
UBND HUYỆN HỒI NHƠN
PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
ĐỀ THỊ HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Nam hoc 2018 — 2019
Đề chính thức
Ngày thi: 01/12/2018
Mén: TOAN 9
Thời gian làm bài: 10 phút (không kể thời gian phát đề)
Bài 1. (4.0 điểm)
a) Thu gọn biểu thức: 4=
b) Cho
2
x=
M2 +43 +6 +8 +4
V24+V34V4
. Tính giá trị của biểu thức B= I—-2x+x
1
1
VV2+1-1
\Y2+1+1
.
ae
e) Cho x—=Ÿ3+242 +3—242 và y= Ÿ17+-12/2 +Ä17—1242. Tính giá trị của biểu thức:
C=x°+y?—3(x+y)+2018.
Bai 2. (4.0 diém)
a) Tìm các số ngun dương có hai chữ số, biết số đó là bội của tích hai chữ số của chính số đó.
b)
)
Chứng
h
.
.
minh răng
oe
j
.
số tư nhiên
1
1
1
4A = 1.2.3.....2017.2018.|1+—+—+...+—
T3137
T5017
2018
chia hét cho
2019.
Bai 3. (5.0 diém)
3.1. Cho a, b,c la cac s6 thuc duong thỏa mãn điều kiện a’ +b’ +c* =(a— b) +(b —c) +(c —a)
a) Tinh a+b+c, biét rang ab+be+ca=9.
b) Chứng minh rang: Néu
c>a,c>b
thic>a+t+b.
3.2. Cho ba sé duong x, y, z thoa man x7” + y? 4.7 — 3. Tim giá trị lớn nhất của biểu thức:
E=xˆ+y
Bài 4. (4.0 điểm) Cho tam giác đều 4C
hai đoạn thắng 4ð, 4C
sao cho TT
+z.
có cạnh bằng ø. Hai điểm , N lần lượt di động trên
=1. Đặt AM =x
và AN = y. Chứng minh rằng:
a) MẪN” = x”+ y”— xy.
b) MN =a-x-y.
e) MN luôn tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tam giác 47C.
Bài 5ð. (3.0 điểm) Cho tam giác 48C có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O), goi M
của cạnh BC,
H
là trực tâm của tam giác 4BŒ
và K là hình chiếu vng géc cua A trén canh
BC. Tính diện tích của tam giác 4ĐC, biết OM = HK = a
va AM =30 cm.
Trường THCS Đào Duy Từ
GV: Lê Hồng Quốc
1a trung diém
Năm học 2018 —- 2019
"Đi rồi sẽ đến "
Trang 1
Đề ôn thi HSG 9
Tel: 0905.884.951 —- 0929.484.951
ĐÁP ÁN THAM KHẢO
Bài 1. (4.0 điểm)
a) Thu gọn biểu thức:
4= v2
+3
_2+N3+46+j§+4
Ta có: 4=
M2 +43 +4
b) Cho x=
1
:
cé:
x=
+8
Lời giải.
=1+42.
. Tính giá trị của biểu thức B=(1-2x427
+x° =f)".
¥V2+141
2
1
ta được:
.
M2+43+4
i
Loi giai.
2
=
5
\M2+1—1 JJ24141
thức,
+4
Ý2+Ý3+⁄4+42|V2+xJ3+44)
=
1
42+1—1
Ta
+6
V2 +V3+V4
s=lI-2/5+(v5]
=2.
Thay
x=2
2
vào
biểu
[VJ2-+1-1]( 2 +141)
+(W5} ~(d5ƒ]
=[I-2Z+2+2z/5-4)
"=1,
e) Cho x—=Ÿ3+242 +3—242 và y= Ÿ17+-12/2 +Ä17—1242. Tính giá trị của biểu thức:
C=x4+y
—3(x+y)+2018.
Lời giải.
3
e Ta có xŸ =B+22 +Ä3~242] =3+24/2+3.x+3—2\2=6-+-3x
và yŸ =1 +12v2 +Ÿ17~2242]
3
=17+1242 +3.y+17—1242 =34+3y
e Cộng vế theo vế, ta duce: x + y° =4043x4+3yox4+y
—3(x+y)+2018 = 2058.
> Vay C=2058 khi x=Ÿ3+24/2 +Ÿ3—242 và y=417+124/2 +417—1242.
Bài 9. (4.0 điểm)
a) Tìm các số ngun dương có hai chữ số, biết số đó là bội của tích hai chữ số của chính số đó.
EU
Gọi số cần tìm là ab , theo dé, ta c6 10a+b=kab.
10
Suy ra b=—
(Trong dé: 1
10
10
10
1
[
<———.<7 Vi Vì 1Sb<9>1S—>
<9 eS—<=k——<=
k——
———.
a
a
va a,b,kEZ’).
.
a
1
(5.5
Từ | SS
? k=` S10 ——kt--e|i22:510).
10:k——€Z'
¢
1
(3k: -5)=3
cả Ố
a
e Nếu con
a
Trường
THCS
Đào
GV: Lê Hồng Quốc
Duy
—
a=
&—2 (không thỏa) hoặc |&=2 (thỏa) — ›gõ=36.
"
b=6
Từ
Năm
"Đi rồi sẽ đến "
học
2018 — 2019
Trang 2
Đề ôn thi HSG 9
e
.
Néu
Tel: 0905.884.951 —- 0929.484.951
k--—=2>
=]
“
a.(k—2)=1
_
———>†k=ỏ
(thỏa) ——>að
= 15.
b=5
|2(2k—5)=2
L5
s
e Nếu
=>
b—-4
a
—
ST
e Nếu
&-—=5=>
a
,
1
e Nếu
&——=10>
.
a=1
——
kas
-
;
-
7
a=?
b=4
a(k-5)=1
———>‡†k
b=2
—
,
(không thỏa) hoặc ;k =3
(thoa)
—— ab = 24.
b=4
|, =]
,
—
=6 (thỏa)
——>›að
= 12.
b=2
a=]
a.(k—-10)=1
;
—
———>‡†k= II (thỏa) ——>aở
= I1.
~
b=1
Vay ab € {11;12;15;24;36}.
`
¿
1
1
1
b) ) Chứ ng minn
inh rang
ra
soõ tutự nhien
nhiên 4 =1.2.3.....2017.2018.|1+—+—+...+——
TZ Tat
S017 ' 2018
¿
chia
hia héthet cho
ch
2019.
Loi giai.
Ta cé B=1.2.3.....n. L454 5+
te]
n
(+) là số tự nhiên. Thật vậy
e Với n=1
thi B=1EN ——+(x)
dung.
e Với z—2
thì B=3cNĐ———(+)
đúng.
e Giả sử (+) dung khi n=k, nghĩa là BH123
e Cần chứng minh
nok (14545442
EN.
(+) đúng khi ø#=&-+1, nghĩa là B=1.2.43.....(k +1). lt ote tetas
Ta có L23...(E21)|It2 t2 +etiTT|=1282|Ittg tac
2
l+zt‡+-+;
3
oul
2s
3
k
EN.
E++1L24
1
1
1
1.2.3.....|I+~+—+..+—|€
Co
;k+1EN
1.2.3....kEN
— >BeN.
Vay
L23.om[l4 ota]
n
là số tự nhiên.
uy ra, với ø= 2k thì [23.28 (145454
1
iar
e
‹
A
+
k+2
dun
ans
P
lioig*1or +
1010
1011
Trường THCS
1
1
-+-...-F——|.(&+
1)(£+2)..... 2E
| (e+
các
chứn
obo
1)(k+2)
h
.
minh
*2gng|1010.10H bese 2018
2018
cũng
ta
va [2a
h
L4+54.+5|
„
.
là các số tư nhiên.
có:
1
1
1.2.....I009.|1-+—+...+———
|
2
as
cũng là các số tự nhiên.
Đào Duy Từ
GV: Lê Hồng Quốc
là các số tự nhiên
Năm
” Đi rồi sẽ đến "
học 2018 - 2019
Trang 3
Đề ơn thi HSG 9
Tel: 0905.884.951 —- 0929.484.951
1011:
° 3
———>1010.1011.....1342.....2018:2019
1342:673
Ta có
1
1
.
———>].2.....I1009.|1-++—+...+———|.1010.1011..... 13⁄42.....2018:2019.
|
2
ram]
va feo
673:673
——>1.2.3.....673.....1009:2019
——]1.2..... 1009 |
> Vậy
yee
,
số tự nhiên
1010
baat
1011
1
| 1010.10
thà, 2018:2019.
2018
1
1
4= 1.2.3.....2017.2018.|1+—+—+...-+-——
I+z+z+
Bài 8. (5.0 điểm)
totaal
.
¿
chia hết cho
2019.
3.1. Cho ø, ø, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện z” + ð“ +cˆ = (a—b) +(b—c) +(c—a)
a) Tinh a+b+c, biét rang ab+be+ca=9.
Từ a’ +b? +c? =(a—b)
Ma ab+be+ca=9
+(b—c)
Lời giải.
+(c—a) —a?
+b? +c? +2(ab + be +ca) = 4(ab + be + ca).
nên (at+b+c) =36—*°*®>”›a+b+c=6.
b) Chứng minh rang: Néu c>a,c>b6
Ta có aˆ+bˆ+c7 =(a—b} +(b—eŸ
thì c>a+5.
Lời giải.
+(ce—aŸ
©(e-a-b}
=4ab.
Khơng mất tính tổng qt, giả sử: c>a>b. Khi do, ta cé:
(c—a—by
= 4ab
> 4ˆ
c—a—b > 2b (1) .
c—a—b<2b (2)
e (1)>c—a—b>0———>c>a+D.
e (1)>c—a—b<-—2b©c—a+b<0
> Vậy: nếu c>a,c>b
(+), mà e—a>0
suy ra (*) vơ lí.
thì c>a+b.
3.2. Cho ba số dương z, y, z thỏa mãn +?” + y?"° 4.77 — 3. Tim giá trị lớn nhất của biểu thức:
ey?
see
Lời giải.
Cách
1.
e Ap dung bat dang thtic COSI ta có các đánh giá sau:
+)+”"”+zx””+1+I+l1+...+1>2019x”. Dấu "=" xảy ra khi x =1.
2017 sol
+)
„709 + „9
+14+1+14+...+1> 20199’.
Dau
"="
xây
ra khi
3 =1.
2017 sol
+) 27 42°" 41 41414...41>
2019z*. Dau "=" xay ra khi z=1.
2017 sol
e Khi đó: 6(x”"” + y?"9 +2?) +6051 > 2019(x? + y? +22)
ES
py $27 <3.
Dau "=" xay ra khi x = y=z=1.
> Vay E dat gia tri lén nhat bang 3 khi x= y=z=1.
Cach 2.
e Ap dung bat dang thtic COSI ta c6 cac danh giá sau:
Trường THCS Dao Duy Tit
GV: Lê Hồng Quốc
"Đi rồi sẽ đến "
Nam hoc 2018 — 2019
Trang 4
Đề ôn thi HSG 9
Tel: 0905.884.951 —- 0929.484.951
+) xP 4TFIFIF...41>
67327; yPP FI41414...41>673y? va 2°? +141414...41>
6732"
672 sol
672 sol
672 sol
+) x 4141414...+1>2019x%; yP +141414...41>2019y va 2°" +14141+4+...41>
20192
2018501
e Khi do: +) x7
2018 so1
2018 sol
+ y8 + z?99 + 2016 >673(x) + y) +z?)—E———=x)+y
+z! <3.
Dau "=" xay ra khi x = y=z=1.
+) x? + y9 + z?9 4 6054 > 2019(x + y+z)— PS
xt ytz <3,
Dau "=" xay ra khi x = y=z=1.
e Suy ra
COST
6ó>x°+x+y +y+z”+z>
2(x?+z?+z?)——x+?+»*+z
<3.
x= x
Dau "=" xay ra khi } y? = y—
x= y=z=1.
z”=z
> Vay E dat giá trị lớn nhất bằng 3 khi x= „=z=].
Cách 3. (Su dung BDT HOLDER)
e Ap dụng bất đẳng thức HOLDER, ta có
(x7
¬
+z")
42019 +79
22019 =3
3°
4+
7%
+ 27019) 37017
5
>(x?+z?+z?
> (x?
+y?
2019
+2)
—3>x”+y
“+7.
Dấu bằng xảy ra khi x= y=z=].
> Vậy E đạt giá trị lớn nhất bang 3 khi x= y=z=1.
Bài 4. (4.0 điểm) Cho tam giác đều
hai đoạn thắng 4B, AC
4C
sao cho woe
có cạnh bằng
zø. Hai điểm
=1. Đặt 4M⁄ =x
4, N
lần lượt di động trên
và AN = y. Chứng minh rằng:
a) MẪN” = x”+ y”— xy.
b) MN =a-x-y.
e) MN
luôn tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tam giác 47C.
`...
MB
WN
AM
—
_,_AN
AN _,
NC
Lời giải.
AN
—
. ...AM
AM
MB
.
MB
ve
7
1
i
y
—
ef
—x+y
T^2
Khơng mất tính tổng qt ta giả sử 4M
a) Áp dụng định lí PYTAGO, ta có:
© MN? = MH? + HN’ = AM’ — AH’ +(AN— AH)
= AM? + AN? —2AN.AH = AM? +AN?—AM.AN =x? +y?—xy =(x+y) —3xy.
> Vay MN’ =x?+ y? —xy =(x+y) —3xy (1)
b) Theo đề, ta có:
AN
AB
AC
0 AAM
Saja
4
42-1
=
MB
NC
MB
NC
Trường THCS
A
^
Đào Duy Từ
~“
GV: Lê Hồng Quốc
Năm
Mi
.
Re
~
wf
Đi rồi sẽ đến
học 2018 - 2019
Trang ð
Đề ơn thi HSG 9
=>
a
+
a—-x
Thay
Tel: 0905.884.951 —- 0929.484.951
a
=36¢q
a-y
—a(x+y)+a°
= 3a’ —3a(x+y)+3xy ——>đ”
(2) vao (1) ta được: MN” =(x+y}
> Vậy
MN
c) Goi
=|a—x—y|=a—x—y
-2a(x+y)+đ?
©(x+yŸ
—2a(x+y)=—3xy
-2a(x+y)+#
(2)
=(a—x—y)
2
(vi x+y
K, E lần luot la trung diém cua AB, AC.
D là tâm đường tròn nội tiếp AAĐBC.
av3
a
Ké DI
| MN (I € MN). Khi do ta dé dang tinh duce: DK = DE=——; MK
= —x; NE=S—y.
Ta cố KM +NE=S—x+S—y=
° Spun
— 2SA4kp
— ĐAj/KD — Sane
_ pe AK
V3)
;
=nal
MN
và (2) <= ax +ay—3xy =a(a—x-y).
— SAAN
= DK.AK—
KD.MK
2
DE-MN._AHAN _a V3 _aN3 (v.v)
4
12
V3
12
aN3
Bài 5ð. (3.0 điểm) Cho tam giác ABC
là trực tâm của tam giác 4BŒ
minh
được
DK.MN
1a trung diém
và K là hình chiếu vng géc cua A trén canh
KM
TT
va AM =30 cm.
A4WB œ AMOD
(3 cặp cạnh
xã
AH _ AB _,
OM
MD
HG=20G.
1a giao diém cua AM
minh dude AAGH
AG
4
là bán kính đường trịn nội tiếp, mà
song song)
—
V32
Lời giải.
e Gọi D là trung điểm của 4C.
e Goi G
2
có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn (O), goi M
BC. Tính diện tích của tam giác 4ĐC, biết OM = HK =
Ta chứng
AH.AN
—a(a=x=y)~34y|= TT |ax +tay~3y]= TT —.(g~x=y)==TTT—:
DI.MN
_ DK.MN
DI=DK. Suy ra DI
2
MN L DI ——> MN là tiếp tuyến của đường trịn.
H
2
2
> Do đó
của cạnh ĐC,
KE.NE
_ HG
_ AH
» AMGO
_
2——
”
va OH. Ta ching
(g-g)
AH =20M.
GM
GO
OM
e Dé dàng chứng minh được tứ giác 71⁄KH
là hình
chữ nhật (hình bình hành có 1 góc vng).
=> HO = KM ——
HO=40M,
e Ap dung dinh lý PYTAGO
suy ra 30G=40M.
trong tam giác vuông OGM , ta co:
OÄ⁄? + OG? =GM’* s OM’ +20M?
_ AM
2
& 50M
= 4M
——>(OMI
=6
cm.
Khi đó OH
= 24 cm; 4H
= 12 cm; 4K
= I8 cm.
Ta cd OC =OA= JOH? + AH? =12V5, tw do tinh dude BC =2MC =2VO0C? —OM? =12N19.
AK BE _ 18.12V19 = 108,19 (cm’).
> Vậy
SA45C
—
Mọi sự góp ý, xin nhắn tin dén />Trường THCS
Đào Duy Từ
GV: Lê Hồng Quốc
Năm
” Đi rồi sẽ đến "
học 2018 - 2019
Trang 6
