DE THI HSG TOAN 8 HayTai ve ngay
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (120.18 KB, 4 trang )
TRƯỜNG THCS TƯỜNG SƠN
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC: 2017 - 2018
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
(Đề gồm 01 trang)
MƠN THI: TỐN 8
Thời gian: 120 phút (Khơng kể thời gian giao đề)
Câu 1 (4,0 điểm)
1 1
1
A=
:
3x+2
3
x
2
3x+2
Cho biểu thức
a/ Nêu ĐKXĐ và rút gọn biểu thức A.
b/ Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên
Câu 2 (6,0 điểm)
Giải phương trình sau:
2
a) x 6 x 9 144
x 19 x 23 x 82
5
b) 1999 1995 700
c) x3 - 3x2 + 4 = 0
Câu 3 (4,0 điểm)
a) Biết xy = 11 và x2y + xy2 + x + y = 240. Hãy tính x2 + y2
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P = x 2 + 2y 2 + 2xy - 6x - 8y + 2027
5
c) Chứng minh rằng a a 30 với mọi số nguyên a
Câu 4 (6,0 điểm)
Cho ABC vuông ở A (AB < AC), đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng của
A qua H. Đường thẳng kẻ qua D song song với AB cắt BC và AC lần lượt ở M
và N. Chứng minh:
a) Tứ giác ABDM là hình thoi.
b) AM CD .
c) Gọi I là trung điểm của MC; chứng minh IN HN.
- HẾT Cán bộ coi thi khơng được giải thích gì thêm!
Họ và tên thí sinh: ......................................................Số báo danh: .................
1
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
Câu
1
(4 đ)
Nội dung
a
b
x
Điểm
2
3
ĐKX Đ:
1 1
1
A=
:
3x+2 3x 2 3x+2
3 x 2 3x+2 3 x 2
(3x+2)(3 x 2)
1
6x
3x 2
6x
2(3x 2) 4
4
2
3x 2
3x 2
3x 2
A=
Để A có giá trị ngun thì 4 chia hết cho 3x-2
3x 2 1; 2; 4
3x-2
x
-4
2
3
-2
0
(loại)
-1
1
3
1
1
(loại)
2
4
3
4
2
(loại)
3
2
(6 đ)
a
x 2 6 x 9 144
(x 3) 2 144
x 3 12
x 3 12
x 9
x 15
b
x 19 x 23 x 82
5
1999 1995
700
x 19
x 23
x 82
1
1
3 0
1999
1995
700
x 2018 x 2018 x 2018
0
1999
1995
700
1
1
1
( x 2018)
0
1999 1995 700
2
1
1
1
0
x – 2018 = 0 (vì 1999 1995 700
)
x = 2018
c
x3 3x 2 4 0
x 3 1 3x 2 3 0
( x 1)( x 2 x 1) 3( x 2 - 1) 0
( x 1)( x 2 x 1) 3( x 1)(x-1) 0
( x 1)( x 2 x 1 3x+3) 0
( x 1)( x 2 4 x 4) 0
( x 1)( x 2) 2 0
x 1 0
x 2 0
3
(4 đ)
a
Biết xy = 11 và x2y + xy2 + x + y = 240. Hãy tính x2 + y2
b
x 1
x 2
x 2 y xy 2 x y 240
xy (x y) x y 240
(x y)(xy 1) 240
(x y)(11 1) 240
x y 20
Do đó: x2 + y2 = (x+ y)2 – 2xy = 202 – 2.11= 378
P = x 2 + 2y 2 + 2xy - 6x - 8y + 2027
= x 2 + y 2 + 9 + 2xy - 6x - 6y + y 2 -2y+1 + 2017
2
2
= x + y - 3 + y - 1 + 2017 2017
P = 2017 x = 2; y = 1.
Vậy Pmin = 2017 khi x = 2; y = 1.
c
5
Chứng minh rằng a a 30 với mọi số nguyên a
5
4
2
2
2
Ta có: a a a(a 1) a(a 1)(a 1) (a 1)a(a 1)(a 1)
Vì (a-1)a(a+1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết
5
cho 6. Suy ra a a 6 (1)
Mặt khác:
(a 1) a(a 1)(a 2 1)
(a 1)a (a 1)(a 2 4 5)
(a 1)a (a 1)(a 2 4) (a 1)a(a 1).5
(a 2)(a 1)a(a 1)(a 2) (a 1) a(a 1).5
3
Vì (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) là tích của 5 số ngun liên tiếp nên
chia hết cho 5 và (a-1)a(a+1).5 chia hết cho 5 nên
(a 2)(a 1)a (a 1)(a 2) (a 1) a(a 1).55 . Suy ra a 5 a 5 (2)
5
Vì (5; 6) = 1 nên từ (1) và (2) suy ra a a 30
-Vẽ hình đúng
4
(6 đ)
A
N
B
M
H
I
C
D
a
- Chứng minh AB // DM và AB = DM => ABDM là hình
bình hành
- Chỉ ra thêm AD BM hoặc MA = MD rồi kết luận ABDM
là hình thoi
b
- Chứng minh M là trực tâm của ADC => AM CD
c
MNC
vuông tại N có NI là đường trung tuyến
=>NI=MI=1/2MC => IMN cân tại I => INM IMN
Mà IMN HMD (đ đ) => INM HMD (1)
AND
vng tại N có NH là đường trung tuyến
=>NH=DH=1/2AD => HDN cân tại H => HND HDN
900 (vì HDM vng tại H)
HDN
Mặt khác HMD
0
Suy ra INM + HND 90 hay IN HN (đ.p.c.m)
4
