CHUN ĐỀ HÌNH HỌC 7
µA < 900

∆

Bài 1: Cho ABC có
, vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB,
AE vuông góc và bằng AC, CMR: DC=BE và DC vng góc BE
HD:
·
·
BAE
= µA1 + 900 = DAC
Ta có:

∆ABE = ∆ADC ( c. g .c )

=>
=>BE=CD (Hai cạnh tương ứng)
Gọi I là giao của CD với AB, G là giao của CD với BE
¶ =B
à
AEB = ACD ( c. g.c ) => D
1
1
T
ả + Iµ = B
µ + Iµ = 900
D
1

mà
=>

1

1

2

BG ⊥ IG => CD ⊥ BE

∆

Bài 2: Cho ABC có góc A nhọn, về phía ngoài tam giác ABC vẽ
vuông cân tại A, CMR:
a, DC=BE và DC vuông góc với BE
BD 2 + CE 2 = BC 2 + DE 2
b,
c, Đường thẳng qua A và vuông góc với DE cắt BC tại K,
CMR: K là trung điểm của BC
HD:
CE 2 = ME 2 + MC 2 ; DB 2 = MD 2 + MB 2

b, Ta có:
DE 2 = MD 2 + ME 2 => BC 2 = MB 2 + MC 2

BD 2 + CE 2 = ( MD 2 + MB 2 ) + ( ME 2 + MC 2 )

=>


BC 2 + DE 2 = ( MB 2 + MC 2 ) + ( MD 2 + ME 2 )

=>
BD 2 + CE 2 = BC 2 + DE 2

=>
c, Trên tia AK lấy điểm P sao cho AP=DE,
¶A = E
µ
·
QAE
∆ADE = ∆CPA
2
1
Ta cm:
(c.g.c) vì
( cùng phụ
)
·
·
·
·
CP = AD => CP = AB, DAE
= PCA
=> PCA
+ BAC
= 1800
=>
và
·

·
BAC
, PCA
Mà

là hai góc trong cùng phía nên AB// PC
µ
µ
·
µ => ∆KAB = ∆KPC
=> P1 = A1; ABC = C
1
( g.c.g) => KB = KC

1

∆

BAD vuông cân tại A và

∆

CAE


∆

Bài 3: Cho ABC. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó các
lần lượt là trung điểm của MB, BC và CN, CMR:
a, BN=CM

b, BN vuông góc với CM

∆

ABM và

∆

CAN vuông cân ở A, Gọi D, E, F

∆

c, DEF là tam giác vuông cân
HD:
c, D là trung điểm của BM, E là trung điểm của BC

=> DE =

1
MC
2

∆
Nên DE là đường trung bình của
BMC
1
EF = BN
2
∆
Và DE//MC, tương tự:

và EF//BN, => DEF cân tại E
 MC ⊥ BN
 DE ⊥ BN
=> BN ⊥ DE
=> DE ⊥ EF


MC
/
/
DE
BN
/
/
EF


Lại có:
, và

∆

Bài 4: Cho ABC nhọn, trên nửa mp bờ AB không chứa C, dựng đoạn thẳng AD vuông góc với AB và
AD= AB, trên nửa mp bờ AC không chứa B, dừng AE vuông góc AC và AE=AC, vẽ AH vuông góc với
BC, đường thẳng HA cắt DE ở K, CMR: K là trung điểm của DE
HD:
Trên AK lấy điểm H sao cho AH=BC

µ =C
µ

A
1
1

Ta có:
Vì cùng phụ với góc
∆EHA = ∆ABC ( c.gc
. )
Nên
=> AB = HE
( Hai cạnh tương ứng)
Và

·
·
HEA
= BAC

¶A
2

,

·
·
·
·
BAC
+ DAE
= 1800 => HEA

+ DAE
= 1800

Mà :
Do đó : AD//HE
∆KAD = ∆KHE ( gc
. .g) => KD = KE
Khi đó :

∆

µA < 900

Bài 5: Cho ABC có
, vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB,
AE vuông góc và bằng AC, Gọi M là trung điểm của DE, kẻ MA, CMR: MA vuông góc với BC
HD:
Gọi H là giao điểm của AM và BC
Trên AM lấy điểm F sao cho MA= MF
∆AME = ∆FMD ( c.gc
. ) => AE = DF

2


=>DF//AE=>
Mà:

·
·

FDA
+ DAE
= 1800

·
·
·
·
DAE
+ BAC
= 1800 => FDA
= BAC

µ =B
µ
=> ∆FDA = CAB ( c.gc
. ) => A
1
1

Ma
=>

à + ảA = 900 => ảA + B
à = 900
A
1
2
2
1


AHB

vuụng tai H

àA < 900

∆

Bài 6: Cho ABC có
, vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB,
AE vuông góc và bằng AC. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC, CMR: HA đi qua trung điểm
của DE
HD:
Tia AH cắt DE tại M, trên tia AM lấy điểm N sao cho AN = BC
∆
∆
Khi đó:
DNA= ACB (c.g.c)
·
·
NDA
= CAB
=>ND=AC và
·
·
·
·
CAB
+ DAE

= 1800 => NDA
+ DAE
= 1800
Mà

∆

∆

=> AE//ND

Khi đó: AME= NMD ( g.c.g)
=> ME=MD hay M là trung điểm DE

Bài 7: Cho

∆

∆

∆

ABC có ba góc nhọn, đường cao AH, ở miền ngoài tam giác ta vẽ các tam giác vuông cân

ABE và ACF đều nhận A làm đỉnh góc vuông, kẻ EM, FN cùng vuông góc với AH, (M, N thuộc
AH)
a, CMR: EM+HC=NH
b, EN//FM
HD:


∆

∆

a, Chứng minh FNA= AHC (Cạnh huyền góc nhọn)
nên FN=AH và NA=CH
(1)

∆

∆

Chứng minh AHB= EMA (Cạnh huyền góc nhọn)
=> AH=ME,
Nên EM+HC=AH+NA=NH( đpcm)
b, Từ AH=FN =>ME=FN

3






=> FNM= EMN (c.g.c) =>
Vy EN//FM

ả =N
ả
M

1
1

àA < 900



Bai 8: Cho ABC có
, vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB,
AE vuông góc và bằng AC, Gọi H là trung điểm của BC, CMR: HA vuông góc với DE
HD :
Trên AH lấy N sao cho AN=ED

∆AED = ∆BNA ( c.g.c ) => BN = AE = AC

=>
ả =E
à
N
1

,
Ã
Ã
EAD
= NBA

1

va

ÃEAD + CAB
Ã
Ã
Ã
= 1800 => NBA
+ CAB
= 1800 => AC / /BN

Ma
ả =A
ả
à =A
ả
N
E
1
2
1
2
=>
(so le trong) =>
ảA + MAE
Ã
à + MAE
Ã
= 900 => E
= 900 => AM ⊥ EM
2
1
Mà


µA < 900

∆

Bài 9: Cho ABC có
, vẽ ra phía ngoài các tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng
AB, AE vuông góc và bằng AC
a, CMR: DC=BE và DC vuông góc BE
b, Gọi N là trung điểm của DE, trên tia đối của tia NA, lấy M sao cho NA=NM,
CMR: AB=ME và

⊥

∆

∆

ABC = EMA

c, CMR: MA BC
HD:
Tự chứng minh, giống các bài trên

Bài 10: Cho

∆

∆


ABC, trung tuyến AM, vẽ ra ngoài tam giác này các tam giác vuông cân ở A là

ACE

4

∆

ABD và


a, Trên tia đối của tia MA lấy điểm F sao cho MF=AM, CMR:
DE = 2. AM
b, CMR:
HD:
·
·
∆AMC = ∆FMB ( c.g .c ) => CAM
= BFM
=> AC / / BF
a, Cm:
·
·
ABF
+ BAC
= 1800
Do đó:
(1)
0
·

·
·
·
DAE
+ BAC
= 180
DAB
+ EAC
= 1800
Và
, do
(2)
Từ (1) và (2) ta có:

·
·
ABF
= DAE

·ABF = DAE
·

∆ABF = ∆DAE ( c. g.c ) => AF = CE
b, Chứng minh:
AF = 2. AE => DE = 2. AM
Ta có:

Bài 11: Cho

∆


, Dừng bên ngoài các tam giác đều
·
BMC
a, Gọi M là giao điểm của BE và CD, Tính
b, CMR: MA+MB=MD
·AMC = BMC
·
c, CMR:
HD:
µ =E
µ
∆ADC = ∆ABE ( c. g.C ) => C
1
1
a, Ta có :
Gọi N là giao điểm của AC va BE

ANE

ABC co

àA < 1200

ABD, ACE

MNE

Xột
va

co :
ả =N
ả ,E
à =C
à => àA = M
ả = 600 => M
ả = 1200
N
1
2
1
1
1
1
2
·
BMC
= 1200

=>
b, Trên tia MD lấy điểm P sao cho MB=MP
=>

·
BP = BM , MBP
= 600

∆BMP

đều=>

·
·
·
ABD
= 600 => MBA
= PBD
=> ∆PDB = ∆MBA ( c. g.c )
Kết hợp với
=>

AM = DP

=>

AM + MB = DP + PM = DM

·
·
∆PBD = ∆MBA => AMB
= DPB

c, Từ
·AMC = 1200 => ·AMC = BMC
·

, mà

·
·
BPD

= 1200 => BMA
= 1200

5

=>


∆

Bài 12: Cho ABC có ba góc nhọn, trung tuyến AM, trên nửa mặt phẳng chứa điểm C bờ là đường thẳng
AB, vẽ AE vuông góc với AB và AE=AB, trên nửa mặt phẳng bờ AC chứa điểm B vẽ AD vuông góc với
AC và AD=AC
a, CMR: BD=CE
b, Trên tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho MN=MA,
CMR :

∆

ADE=

∆

CAN

c, Gọi I là giao của DE và AM, CMR:
HD:

AD 2 + IE 2
=1

DI 2 + AE 2

∆ABD = ∆AEC ( c.g .c )

a, Chứng minh

=> BD=EC

∆CMN = ∆BMA ( c. g.c )

b, Chứng minh
=>CN=AB
·
·
·
·
·
·
·
ABC
= NCM
DAE
= DAC
+ BAE
− BAC
= 900 + 900 − BAC
và
, có:
0
·

180 − BAC
=
(1)
·ACN = ACM
·
·
·
·
·
+ MCN
= ACB
+ ABC
= 1800 − BAC
Và
(2)
∆ADE = ∆CAN ( c. g.c )
·
DAE
= ·ACN
Từ (1) và (2) ta có:
=> CM :
·
·
∆ADE = ∆CAN ( cmt ) => ADE = CAN
c,
·
·
·
·
·

·
DAN
+ CAN
= 900 => DAN
+ ADE
= 900
DAI
+ ADI
= 900 => AI ⊥ DE
mà
Hay
Áp dụng định lý py-ta-go cho

∆AID

và

∆AIE

có:

AD 2 − DI 2 = AE 2 − EI 2 => AD 2 + EI 2 = AE 2 + DI 2

Bài 13: Cho

∆

∆

AD 2 + IE 2

=>
=1
DI 2 + AE 2

ABC nhọn, AH là đường cao, về phía ngoài của tam giác vẽ các

∆

ACF vuông cân tại C, Trên tia đối của tia AH, lấy điểm I sao cho AI=BC. CMR:

∆

∆

a, ABI= BEC
b, BI = CE và BI vuông góc với CE
c, Ba đường thẳng AH, CE, BF cắt nhau tại 1 điểm
HD :

·
µ = 1800
IAB
+A
1

a, Ta có :
,
·EBC = EBA
·
·

·
µ = 1800
+ ABC => EBC
+A
1
Mà
·
·
IAB
= EBC
=> ∆IAB = ∆EBC c.gc
.

(

)

Nên

6

ABE vuông cân ở B và


·
·
∆IAB = ∆EBC => ABI
= BEC

b, Vì

·
·
·
·
=> BEC
+ EBI
= ABI
+ EBI
= 900
Nên

BI ⊥ EC

BF ⊥ AC
c, Chứng minh tương tự:
,
∆IBC
Trong
có AH, CE,BF là đường cao
Nên đồng quy tại 1 điểm.
Bài 14: Cho
tại B và C

∆

ABC đường cao AH, vẽ ra ngoài tam giác ấy các tam giác vuông cân

a, Qua điểm C vẽ đường thẳng vuông góc với BE cắt HA tại K, CMR : DC
b, 3 đường thẳng AH, BE và CD đồng quy
HD :

·
·
BCE
= BCA
+ 900

a, Ta có:
µ =E
à
C
1

Va

=>

Ã
à = 1800 => BCE
Ã
Ã
BCE
+A
= CAK
1

1

( cựng ph vi goc






ả
C
2

)

=> ECB= CAK (g.c.g)=> AK=BC
Chứng minh tương tự ta có :
µ =K
ả
C
3
2


DBC= BAK =>
à + CIH
Ã
ả + KIM
Ã
C
=K
= 900
3

2


Ma :
=>
b,

KM MI

∆

hay

DC ⊥ BK

KBC có ba đường cao nên đồng quy.

7

⊥

BK

∆

ABD,

∆

ACE cân


∆


Bài 15: Cho ABC cân tại A, trên cạnh BC lần lượt lấy hai điểm M và N sao cho BM=MN=NC, Gọi H
là trung điểm của BC
a, CMR: AM=AN và AH vuông góc với BC
b, Tính độ dài AM khi AB=5cm, BC=6cm
·
·
·
MAN
> BAM
= CAN
c, CM:
HD:

∆ABM = ∆ACN => AM = AN
a, Cm:
·
AHB
= ·AHC = 900
=>
AH 2 = AB 2 − BH 2 = 16 => AH = 4

b, Tính
AM 2 = AH 2 + MH 2 = 17 => AM = 17
Tính
c, Trên AM lấy điểm K sao cho AM=MK

∆AMN = ∆KMB ( c. g .c )

=>


·
·
MAN
= BKM

=>
và AN=AM=BK
Do BA>AM=>BA>BK
·
·
·
·
·
BKA
> BAK
=> MAN
> BAM
= CAN
=>

∆

Bài 16: Cho ABC cân tại A, trung tuyến AM, trên tia đối của tia BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB
lấy điểm E sao cho BD = CE
a, CMR :

∆

ADE cân tại A


b, CM: AM là phân giác

·
DAE

c, Từ B và C hạ BH, CJ theo thứ tự vuông góc với AD và AE, CMR:
d, CM: HK//DE
e, Gọi I là giao điểm của HB và AM, CM: AB vuông góc với DI
f, CM: HB, AM và CK cùng đi qua 1 điểm
HD:
0
·
¶H = 180 − HAE
1
2
∆AHK
d,
cân tại A, nên
0
·
¶D = 180 − HAE
1
2
∆ADE
cân tại A nên
¶ ;D
¶
H
1


Mà

1

là hai góc đồng vị nên HK//DE

8

∆

AHB=

∆

AKC


e,

∆ADI

có hai đường cao là HI và DM

cắt nhau tại B nên B là trực tâm, do đó AB

⊥

DI


f, Điểm I nằm trên đường trung trực của DE nên ID=IE
·
·
µ + ADI
·
·
ADI
= AEI
=> A
= ¶A + AEI
=> AC ⊥ IE
1

2

Do đó :
∆
AIE có hai đường cao là AC và ME cắt nhau tại C nên
⊥
⊥
IC AE, mà CK AE nên I, C, k thẳng hàng,
Hay ba đường thẳng HB, AM, CK đồng quy

Bài 17: Cho

( µA > 90 )
0

∆


ABC cân tại A
, trên cạnh BC lấy hai điểm D và E
BH ⊥ AD,CK ⊥ AE ( H ∈ AD, K ∈ AE )
sao cho BD=DE=EC. Kẻ
, BH cắt CK tại G, CM:

∆

a, ADE cân
b, BH=CK
c, Gọi M là trung điểm của BC, CM: A, M, G thẳng hàng
d, CM: AC> AD
g, CM:
HD:

·
·
DAE
> DAB

c, Vì AB=AC nên A nằm trên đường trung trực của BC
Tương tự cho G nằm trên đường trung trực của BC
Do đó: A, M, G thẳng hàng
µ
E
1
∆
d,
CEK vng tại K nên
là góc nhọn

¶E
2

Khi đó
g,

là góc tù => AC > AE = AD

Bài 18: Cho
a, CMR:

∆

b, Kẻ DM

∆

ABC cân tại A, trên cạnh BC lấy điểm D và E sao cho BD=CE ( D nằm giữa B và E)

ABD=

⊥

∆

ACE

AB và EN

⊥


AC, CMR : AM=AN

c, Gọi K là giao điểm của đường thẳng DM và EN,
CMR

∆

·
BAC
= 1200

DKE đều

9

,


HD:
à =C
à => D
ả =E
à =E
ả
B
1
1
2


c, Vỡ
,
0
à +C
à = 60 => B
à =C
à = 300 => E
à =D
ả = 600
B
1
1
Ma

Vy
KDE đều

µA ≠ 900 , B
µ ,C
µ

∆

Bài 19: Cho ABC có góc
nhọn, đường cao AH, vẽ các điểm D và E sao cho AB là trung
trực HD, AC là trung trực của HE, Gọi I, K lần lượt là giao của DE với AB, AC
a, CMR:

∆


ADE cân tại A

· , AKB
·
AIC

b, Tính số đo
HD:
a, Chứng minh AD=AH, và AH=AE
=>AD=AE=>

∆

∆

ADE cân tại A

b, IHK có IB là tia phân giác góc ngoài và
KC là tia phân giác góc ngoài cắt nhau tại A
Nên AH là tia phân giác góc trong,
·
¶ =H
¶
IHK
=> H
1
2
hay AH là tia phân giác góc
Lại có:
¶ =H

¶ ,H
¶ +H
¶ + KHC
·
·
¶ + KHC
·
H
+ CHx
= 1800 , H
= 900
1

2

1

·
·
=> KHC
= CHx

2

2

=> HC là tia phân giác góc ngoài

KC là tia phân giác góc ngoài


∆

∆

IHK

IHK
·
Iµ3 = Iµ4 => Iµ3 + Iµ2 = 900
AIC
= 900
=> IC là tia phân giác góc trong hay
hay
0
·
AKB
= 90
Chứng minh tương tự
∆
Bài 20: Cho ABC cân tại A và cả ba góc đều là góc nhọn
∆
a, Về phía ngoài của tam giác vẽ ABE vuông cân ở B, Gọi H là trung điểm của BC, trên tia đối của tia
BI ⊥ CE
∆
∆
AH lấy điểm I sao cho AI=BC, CMR: ABI= BEC và
·
·
·
ABC

, BDC
BDA
b, Phân giác của
cắt AC và BC lần lượt tại D và M, Phân giác
cắt BC tại N, CMR:
1
BD = MN
2
HD:

10


¶ =D
¶ =D
¶ => D
¶ +D
¶ =D
¶ +D
¶ = 900
D
1
4
2
3
4
2
5

b, Do

=>
Gọi F là trung điểm của MN, ta có: FM=FD=FN
·
¶ +D
ả
FMD
=D
3
4

FDM cõn tai F nờn
Ã
à +D
ả
FMD
=B
1
5

(Goc ngoai ca BDM)
à =D
ả
B
1
4
=>
(1)
Ã
ả +F
µ

·
µ
ACB
= ·ABC = 2. B
ACB
=D
1

Ta có:

4

, mà
µ
µ
B1 = F

DM ⊥ DN

(2)

Từ (1) và (2) suy ra:

hay

∆

BD = DF =

DBF cân tại D, do đó:


1
MN
2

∆

Bài 21: Cho ABC có AB=AC, và M là trung điểm của BC, trên tia đối của tia BC lấy điểm D, trên tia
đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD=CE
AM ⊥ BC
∆
∆
a, CMR: ABM= ACM, từ đó suy ra
b, CMR:

∆

ABD=

∆

ACE, từ đó suy ra AM là phân giác góc

·
DAE

BK ⊥ AD ( K ∈ AD )

c, Kẻ


, trên tia đối của tia BK lấy điểm H sao cho BH=AE, trên tia đối của tia AM

lấy điểm N sao cho AN=CE, CMR:
DN ⊥ DH
d, CMR:
HD:

·
·
MAD
= MBH

Ã
à = 1800
MAD
+A
à = MBK
Ã
ả
3
=> A
=B

3
2
0
Ã
Ã
MAD + MBK = 180


c, Ta co:
ả +B
à = 1800
B
2
1

à Ã
0
Ã
à
A3 + MAK = 180 => MAK = B1
à ả
A3 = B2
Mà
∆BDH = ∆AND
d, Chứng minh
(c.g.c)
·ADN = H
µ
=>

11


Mà

µ + HDK
·
·

·
H
= 900 => NDA
+ ADH
= 900 => DN ⊥ DH

∆

Bài 22: Cho ABC cần tại A, trên BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD=CE,
các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB, AC lần lượt ở M và N
a, CMR: DM=EN
b, Đường thẳng BC cắt MN tại trung điểm I của MN
c, Đướng thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua 1 điểm cố định khi D thay đổi trên BC
HD:

∆IDM = ∆IEN

b, Chứng minh
(cạnh góc vuông-góc nhọn)
=> IM=IN
c, Gọi H là chân đường vuông góc kẻ tử A xuống BC,
O là giao AH với đường vuông góc MN tại I
Nên O nằm trên đường trung trực của BC
·
·
∆OAB = ∆OAC ( c.c.c )
ABO
= ACO
CM:


=>

∆OBM = ∆OCN

Mặt khác

(c.c.c) =>

·
·
OBM
= OCN

0

180
·
·
OCN
= OCA
=
= 900
2

OC ⊥ AN

Như vậy
hay
Do AC cố định, AH cố định nên O cố định
Vậy đường thẳng vuông góc với MN tại trung điểm I

luôn đi qua O cố định

∆

Bài 23: Cho ABC cân tại A, trên cạnh AB lấy D, trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho BD=CE, kẻ
DH và EK vuông góc với đường thẳng BC ( H và K thuộc đường thẳng BC)

∆

∆

a, CM: BDH= CEK, từ đó suy ra BC= HK
b, DE cắt BC tại I, CM I là trung điểm của DE
c, So sánh BC và DE
d, Chứng minh chu vi của
HD :
a,

∆

ABC < chu vi

∆

ADE

∆

=>


∆
BHD= CEK ( cạnh huyền –góc nhọn)
BH = CK => BC = BH + HC = CK + HC = HK

∆
∆
b, DHI= EKI ( cạnh góc vuông- góc nhọn)
=> ID = IE

12


c, Ta có: BC=HK mà HK=HI+IK
 HI < DI
=> HK = HI + IK < DI + IE = DE

IK
<
IE

Lại có:
=> BC < DE
∆
d, Chu vi của ABC là:
AB+AC+BC=2AB+BC
∆
Chu vi của ADE là :
AD+AE+DE=AD+(AC+CE)+DE
=AD+(AC+BD)+DE=(AD+BD)+AC+DE=2AB+DE
C∆ABC < C∆ADE

Mà BC < DE =>

∆

µ >C
µ
B

⊥
Bài 24: Cho ABC có
, kẻ AH
BC
a, So sánh BH và CH
b, Lấy điểm D thuộc tia đối của tia BC sao cho BD=BA, lấy điểm E thuộc tia đối của tia CB sao cho

CE=CA, CM:

·
·
ADE
> AED

từ đó so sánh AD và AE

c, Gọi G và K lần lượt là trung điểm của AD và AE, đường BG là các đường gì đối với
d, Gọi I là giao điểm BG và CK, CM AI là phân giác góc
e, CM đường trung trực của DE đi qua I
HD:

·

BAC

µ >C
µ => AC > AB => HC > HB
B

a, Vỡ
à = 2.D
ả
B
1
1
à
à
C1 = 2.E1
b,
à >C
à => D
ả >E
à => AE > AD
B
1
1
1
1
Ma

c, ABD cân tại B nên BG vừa là đường phân giác
vừa là đường cao vừa là trung tuyến
∆

và cũng là ng trung trc ca ABD
ả =B
à =>
B
2
3

d, Ta co:
BG la phõn giac goc ngoai ABC
ả =C
à =>
C
2
3

CK la phõn giac góc ngoài của ABC

13

∆

ABD?


∆
Mà BG cắt CK tại I nên AI là phân giác góc trong của ABC
e, Chứng minh ID = IA, IA = IE => I nằm trên đường trung trực của DE

∆
Bài 25: Cho ABC, đường trung tuyến BD, trên tia đối của tia DB lấy điểm E sao cho DE=DB, gọi M,N

theo thứ tự là trung điểm của BC và CE, Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm của AM, AN với BE, CMR:
BI=IK=KE
HD:

I là trọng tậm của
2
BI = BD
3

∆

ABC nên

∆
tương tự K là trọng tâm của ACE nên:
2
KE = DE
3
mà BD=DE=> BI=KE
Ta lại có

ID =

1
1
1
1
2
BD, DK = DE => IK = BD + DE = BD = KE
3

3
3
3
3

, Vậy BI=IK=KE

∆
Bài 26: Cho ABC, M là trung điểm của AB, N là trung điểm của AC, trên tia đối của tia NM, lấy điểm
D sao cho NM=ND
∆
∆
a, CMR: AMN= CDN=> MB=CD
1
2
b, CMR: MN//BC và MN= BC
c, CMR: BD đi qua trung điểm của MC
HD:

A,
Và
B,

∆

∆
AMN = CDN ( c.g.c) => CD=AM=MB
µ =C
µ => AB / /CD
A

1
1

∆

DCM=

∆

BMC (c.g.c)

14


¶ =C
¶ => MN / / BC
=> M
1
2

MN =

1
1
MD = BC
2
2

và
C, Gọi I là giao của BD và MC

=> ∆IMB = ∆ICD
(g.c.g) => IM = IC

∆
Bài 27: Cho ABC đường trung tuyến AI, trên tia dối của tia IA lấy điểm D sao cho ID=IA, Gọi M, N
lần lượt là trung điểm của AC và CD, Gọi E, F lần lượt là giao của BN với AD
CM: AE=EF= FD
HD:
1
1
EI = AE = AI
2
3
∆
ABC có E là trọng tâm nên
1
1
IF = ID = AI
3
3
∆
BCD có F là trọng tâm nên
1
1
2
2
EF = EI + IF = AI + ID = AI = ID
3
3
3

3
Nên
Vậy AE=EF=FD

∆
Câu 28: Cho ABC vuông tại A , K là trung điểm của BC, trên tia đối của tia KA lấy D sao cho KD=KA
a, CMR : CD//AB
∆
∆
b, Gọi H là trung điểm của AC, BH cắt AD tại M, DH cắt BC tại N, CMR : ABH= CDH
∆
c, CMR : HMN cân
HD:

a, Xét

∆ABK

∆DCK

và
có :
·BKA = CKD
·
BK=CK (gt),
(đối đỉnh) và AK=DK(gt)
·
·
DCK
= DBK

∆
∆
=> ABK= DCK(c.g.c) =>
,
0
·ABC = ACB
·
·
·
·
= 90 => ACD = ACB + BCD = 900
mà

·
·
ACD
= 900 = BAC
=> AB / / CD ( AB ⊥ AC , CD ⊥ AC )
=>

∆
∆
∆
ABH và CDH vuông có: BA=CD( Do ABK= DCK)
∆
∆
AH=CH=> ABH= CDH (c.g.c)
∆
∆
c, Xét hai tam giác vuông ABC và CDA có :


b, Xét hai

∆

15


AB=CD,

·
·
ACD
= 900 = BAC

∆

∆

·
·
ACB
= CAD

, AC là cạnh chung => ABC= CDA(c.g.c) =>
·
·
MHA
= NHC
∆

∆
mà AH=CH(gt) và
(Vì ABH= CDH)
∆
∆
∆
=> AMH= CNH (g.c.g) => MH=NH. Vậy HMN cân tại H
∆
Bài 29: Cho ABC, M là trung điểm của BC, trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME=MA.
CMR:
a, AC=EB và AC//BE
b, Gọi I là 1 điểm trên AC, K là 1 điểm trên EB sao cho AI=EK, CMR: I, M, K thẳng hàng
·
·
·
·
HEM
, BME
HBE
= 500 MEB
= 250
c, Từ E kẻ EH vuông góc với BC , biết
,
, Tính
HD:

a,

∆AMC = ∆EMB


có AM=EM(gt)=>

·AMC = EMB
·

∆AMC = ∆EMB ( c. g.c )

(đ2)

BM=MC(gt) nên
=>AC=EB
·
·
∆AMC = ∆EMB => MAC = MEB => AC / / BE
Vì
∆AMI
∆EMK
b, Xét
và
có AM=EM(gt)

·
·
MAI
= MEK
, AI = EK ( gt ) => ∆AMI = ∆EMK

(c.g.c)
0
·AMI + IME

·
·
·
= 180 => EMK + IME
= 1800

·AMI = EMK
·

=>
, mà
Vậy I, M, K thẳng hàng
µ = 900 , HBE
·
·
·
∆BHE H
= 500 = HBE
= 900 − HBE
= 400

(

)

c, Trong
·
·
·
HEM

= HEB
− MEB
= 400 − 250 = 150
=>
·
·
·
·
BME
= HEM
+ MHE
= 150 + 900 = 1050
∆HEM
BME
là góc ngoài tại đỉnh M của
nên
∆
Bài 30: ABC vuông tại A, đường cao AH, trung tuyến AM, trên tia đối của tia MA lấy điểm D Sao cho
DM=MA, trên tia đối của CD lấy I sao cho CI=CA, Qua I vẽ đường thẳng song song với AC, cắt AH tại
E, CMR : AE =BC
HD:
Đường thẳng AB cắt EI tại F,
∆ABM = ∆DCM
, vì:
·
·
AMB
= DMC
AM=DM(gt), MB=MC(gt) và
(đ2)

·
·
·
·
BAM
= CDM
=> FB / / ID => ID ⊥ AC
FAI
= CIA
=>
và
(so le) (1)
·
·
IE / / AC => FAI = CIA
(2)
∆CIA = ∆FIA
Từ (1) và (2) =>
vì có AI chung

16


IC = AC = AF

=>
Và

·
EFA

= 90

·
·
EAF
= BAH

Mặt khác :
·
·
BAH
= ACB

(3)

0

( cùng phụ

Từ (3),(4) và (5) ta có :

(4)
(đ2)
·
ABC

·
·
EAF
= ACB


) =>
(5)
∆AFE = ∆CAB => AE = BC

∆
Bài 31: Cho ABC có trung tuyến AD, đường thẳng qua D và song song với AB cắt đường thẳng qua B
song song với AD tại E, AE cắt BD tại I, Gọi K là trung điểm của đoạn EC
∆
∆
a, CMR : ABD = EDB
b, IA=IE
c, Ba điểm A, D, K thẳng hàng
HD:
∆
∆
a, ABD= EDB (g.c.g)
∆
∆
b, AIB= EID (g.c.g) =>AI=EI
2
DC = IC
3
∆
c, AEC có CI là trung tuyến và
Nên D là trọng => AD là đường trung tuyến => AD đi qua K
Hay A, D, K thẳng hàng
∆

Bài 32: Cho ABC vuông tại A, trung tuyến AM, đường thẳng qua B và song song với AC cắt đường

thẳng AM tại D, CM:
a,

∆

BMD=

∆

CMA

AM =

∆

b, AMC cân từ đó suy ra
HD:
a,
b,

∆
∆

Nên

BMD=

∆

1

BC
2

CMA (g.c.g)

ABC có đường trung tuyến AM ứng với cạnh huyền
1
AM = BC
2

∆
Bài 33: Cho ABC cân tại A, Từ A hạ AH vuông góc với BC, Trên tia đối của HA lấy điểm M sao cho
HM=HA, Trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho CN=BC
∆
a, Chứng minh C là trọng tâm của AMN
b, Gọi I là trung điểm của MN, CMR: A, C, I thẳng hàng

17


HD:

HC =
a, HB=HC =>
CN 2
=>
= => C
NH 3

1

1
BC = CN
2
2

∆
là trọng tâm AMN
∆
b, Vì C là trọng tâm AMN
=> AC là đường trung tuyến ứng với MN
=> AC đi qua I hay A, I, C thẳng hàng
∆
Bài 34: Cho ABC (ABMA=MD
∆
∆
a, CMR: ABM= DCM
b, CMR: AC//BD
c, Trên nửa mp bờ AD không chứa B, vẽ tia Ax //BC trên tia Ax lấy điểm H sao cho AH=BC,
CMR: H, C, D thẳng hàng
HD:
∆
ABM = DCM (c.g.c)


b, => AMC= DMB (c.g.c)
à =D
ả => AC / /BD
A

a,

∆

1

1

=>
∆
∆
c, HAC = BCA (c.g.c)
 AB / /HC
=> 
=>
AB
/
/
CD

H, C, D thẳng hàng.

∆

µ < 900 , B
µ = 2.C
µ
B

Bài 35: Cho

ABC có
, kẻ đường cao AH, trên tia đối cảu tia BA lấy điểm E sao cho
BE =BH, đường thẳng HE cắt AC tại D
·
·
BEH
= ACB
a, CMR:
b, CMR: BH=DC=DA
c, Lấy B’ sao cho H là trung điểm của BB’, CMR:
d, CMR: AE=HC
HD:

∆

AB’C cân

18


µ =H
¶
E
1

∆BEH

a,
cân tại B nên
·ABC = E

µ +H
¶ = 2. E
µ
·ABC = 2.C
µ => BEH
·
·
1
= ACB
, mà
∆DHC
DC = DH
b, CM
cân tại D, nên
·DAH = 900 − C
µ = 900 − H
ả = DHA
Ã
DHA

Nờn

2

co

DAH

cõn tai D=> DA=DH
à' = B

à = 2.C
à
B
ABB '
c,
cân tại A nên
µ ' = µA + C
µ => 2.C
µ = µA + C
µ => C
µ = µA => ∆AB ' C
B
1
1
1
=>
cân tại B’
d, AB=AB’=CB’, BE=BH=B’H
Có AE=AB+BE, HC=CB’+B’H=>AE=HC
µ = 2.C
µ
B
∆
Bài 36: Cho ABC có góc B là góc nhọn, và
, Dựng đường cao AH, trên tia đối của tia BA lấy
điểm E sao cho BE=BH, CMR:
·
µ
BHE
=C

a,
b, Đường thẳng EH di qua trung iờm AC
HD:

à
B
1

BEH

a, Ta co:
la goc ngoai ca
à
à
à
ả = 2.C
à => H
ả =C
à
B1 = E + H = 2. H
1
1
=>
b, Giả sử EH cắt AC tại M
¶ =H
¶
H
1
2
∆MHC

=>
(đ2)=>
cân
0
¶ +H
ả = 90 , àA + C
à = 900 => µA + H
¶ = 900
H
2
3
1
1
2
Lại có :
µA = H
¶ => ∆AMH
1

3

=>

cân=> MA=MH=>MA=MH=MC
∆

µ < 900
B

µ = 2.C

µ
B

Bài 37: Cho ABC có
và
, kẻ đường cao AH, trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao
cho BE=BH, đường thẳng HE cắt AC tại D
·
·
BEH
= ACB
a, CMR:
b, CMR: DH=DC=DA
c, Lấy B’ sao cho H la trung iờm ca BB, CMR:
HD:

à =E
à +H
ả = 2.E
µ
B
1
1
1
1
a, Ta có:

∆

AB’C cân

µ = 2.C
µ => E
µ =C
µ
B
1
1
, mà

19


µ =H
¶ =H
¶ =C
µ => DH = DC
E
1
1
2
b, Ta có :
àA + C
à = 900 , H
ả +H
ả = 900 => H
ả +C
à = 900
1
3

2
3
ma
àA = H
ả => DA = DH
1

3

=>
Vy DA=DH=DC
c,

ABB '

à =B
ả '=B
à ' AC + B
à 'CA = 2C
µ => B
· ' AC = C
µ
B
1
1
cân =>

=>

∆

∆AB ' C

cân

Bài 38: Cho ABC vuông tại A, K là trung điểm của BC, qua K kẻ đường thẳng vuông góc với AK,
đường thẳng này cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt ở D và E, Gọi I là trung điểm của DE
a, CMR : AI vuông góc với BC
b, Có thể nói DE< BC được không?
HD:
a,

∆ADE

=>

∆AIE

vuông tại A có đường trung tuyến AI
cân tại I

µA = E
µ ,C
µ = CAK
·
1
1

∆ACK

và

cân tại K=>
µE + CAK
·
µ = 900 => AH ⊥ CK
= 900 => µA1 + C
1

mà
b, Để so sánh DE với BC
ta so sánh IE với CK và AI với AK
≥
∆AKI
vuông => AI AK=>DE=BC khi K trùng với I
∆ABC
hay
vuông cân tại A
∆

Bài 39: Cho ABC (AB >AC), M là trung điểm BC, đường thẳng đi qua M và vuông góc với tia phân
giác góc A tại H cắt hai tia AB và AC lần lượt ở E và F, CMR:
EF 2
+ AH 2 = AE 2
4
a,
·
·
µ
2.BME

= ACB
−B
b,
c, BE=CF
HD:
a,

∆AFH

vng tại H
HF + AH 2 = AF 2
2

=>
mà

(1)
EF
∆AHE = ∆AHF => HF =
, AE = AF
2
2

Thay vào (1) =>

 FE 
2
2

÷ + AH = FA

2



20


µ =F
µ
E
1

µ
C
1

∆CMF

b, Ta có:
, ta có:
có
µ = CMF
·
µ => CMF
·
µ F
à
C
+F
=C

1
1

la goc ngoai nờn :

à
E
1

BME

co
la goc ngoai
ả
à
à
ả =M
ả +M
ả = C
µ −F
µ + E
µ −B
µ
M 2 = E1 − B => 2.M
2
1
2
1
1

(

=>

) (

)

ả =C
à B
à
2.M
2
1
=>

BME = CMD ( g .c.g ) => BE = CD

c, T C ve CD//AB=>
à =D
ả => D
ả =F
à => CDF
E
1
1
1
ma
cõn => CF=CD
T (1) va (2) => BE=CF

(1)
(2)

∆

Bài 40: Cho ABC có ABphân giác góc A, cắt tia này tại N, cắt AB tại E và cắt AC tại F, CMR:
a, AE=AF
b, BE=CF
AB + AC
AE =
2
c,
HD:
a,

∆

∆

AEF có AN vừa là tia phân giác vừa là đường cao nên

AEF cân tại A => AE=AF
b, Từ B kẻ đường thẳng // AC cắt EF tại I
µ ,F
µ =E
µ => Iµ = E
µ => ∆BEI
Iµ = F

1

1

1

1

1

1

Khi đó:
=>BE=BI
∆

cân tại B

∆

MBI= MCF(g.c.g)=>FC=BI
Từ hai điều trên ta có: FC=BI=BE
c, Ta có :
2.AE=AE+AE=(AB+BE)+AE
=AB+(BE+AE)=AB+(FC+AF)=AB+AC
AB + AC
AE =
2
=>

21


∆

Bài 41: Cho ABC cân tại A, góc A tù, trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao
cho BD =CE, trên tia đối của tia CA lấy điểm I sao cho CI=CA
∆

∆

a, CMR: ABD= ICE và AB+ACb, Từ D và E kẻ các đường thẳng cùng vuông góc với BC cắt AB, AI lần lượt tại M và N, CMR: BM=CN
c, CMR: Chu vi

HD:

∆

ABC nhỏ hơn chu vi

∆

AMN

∆ABD = ∆ICE ( c.g.c )

a, CM:
AB+AC=AI, Vì

, Ta có :
∆ABD = ∆ICE => AD = EI

Áp dụng BĐT trong

∆AEI : AE + EI > AI

hay AE+AD>AB+AC

∆BDM = ∆CEN ( g .c.g ) => BM = CN

b, CM:
c, Vì BM=CN=> AB+AC=AM+AN, có BD=CE (gt), =>BC=DE
Gọi O là giao của Mn và BC
OM > OD
=> MO + ON > OD + OE => MN > DE => MN > BC

ON > OE
=>
từ (1) và (2) ta có : chu vi của

∆

ABC nhỏ hơn chu vi của

∆

∆

(2)

AMN

Bài 42: Cho ABC (ABgiác góc A, đường thẳng đó cắt AB và AC lần lượt ở M và N
∆

a, CM : AMN cân
b, CM: BM=CN
c, Cho AB = c, AC = b. Tính AM và BM theo b và c
HD:
a,

∆

AMN có Ah vừa là đường phân giác góc A
∆
vừa là đường cao nên Amn cân tại A
b, Từ B vẽ đường thẳng song song với AC cắt Mn tại I

22


µ +D
¶ =C
µ =N
¶ =M
µ
Iµ1 = B
1

1
1

=> BI=NC. Lại có
∆
=> BMI cân tại B => BM=BI=NC
c, AM =AN = n, MB=AM – AB= b – c

∆

Bài 43: Cho ABC, tia phân giác AD, gọi I là trung điểm của BC, đường thẳng qua I và vuông góc với
AD cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt tại M và N. kẻ BE// AC, E thuộc MI, CMR:
a,

∆

∆

IBE=

∆

ICN

b, AMN cân
c, BM=CN
d,

∆

ABC cần có thêm điều kiện gì để

e, Biết
HD:
a,

µ = 700
A

, tính

·
BEN

∆

BME đều

∆

∆
IBE = ICN (g.c.g) => BE=NC
µ =B
µ + Iµ = C
à + Ià = N
ả
E
1

1

1

2

1

Va

b, AMN co AE va la ng cao va la tia phõn giac
à =N
ả =E
à => ∆BME
M
1
1
∆
Nên AMN cân tại A =>
cân
=> BM=BE=NC
¶ = 600 = A
µ => ∆ABC
µ = 600
B
A
2
∆
d, BME đều =>
cần có thờm K
àA = 700 => A

à = 350 => N
ả = 550 => BEN
·
µ = 1250
= 1800 − M
1

1

e,
∆

Bài 44: Cho ABC vuông tại C, kẻ CH vuông góc vói AB, trên các cạnh AB, AC lấy tương ứng hai điểm
M, N sao cho BM=BC và Cn=CH, CMR:
a, MN vuông góc với AC
b, AC+BC < AB+CH
HD:

∆CBM

a, Có BC=BM (gt)=>
cân tại B
·
·
 MCB
+ ACM = 900
·
·
·
·

MCB
= CMB
=> 
=> ACM
= MCH
0
·
·
CMB + MCH = 90
=>
·
·
∆MNC = ∆MHC ( c. g .c ) => MNC
= MCH

23


·
·
MCH
= 900 => MNC
= 900

mà
hay MN, AC vuông góc với nhau
b, Ta có: BM=BC, CN=CH
µ = 900
∆AMN
N

có
=> AM là cạnh lớn nhất
=> MB+MA+CH>BC+CN+NC=>BA+CH>BC+CA
∆

Bài 45: Cho ABC đều, tia phân giác góc B cắt AC tại M, từ A kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt
BM, BC tại N và E, CMR:
a,
b,

∆

ANC cân
NC ⊥ BC
∆

c, Xác định dạng BNE
d, NC là trung trực của BE
g, Cho AB=10cm, Tính diện tích của
HD:

∆

NBE và chu vi

∆

∆

ABE

µ
B

a, ABC đều có BM là tia phân giác góc
Nên BM là đường trung trực AC
N ∈ BM => NA = NC => ∆NAC
Do
cân tại N
µ =C
µ => NC ⊥ BE
A
∆
∆
b,

BAN =

BCN (c.g.c) =>
µ = 600 => B
à =B
ả = 300
B
1
2

c, ABC ờu =>
,
ÃABE = 600 => E
µ = 300

∆
ABE vng có
∆
Vậy NBE cân tại N
∆
d, NBE cân tại N, có NC là đường cao nên NC là đường trung trực của BE
∆
g, ABE vuông tại E có AC=BC=CE=10cm
=> AE 2 = BE 2 − AB2 = 202 − 102 = 300 => AE = 300

1
1
=> S∆ABE = .AB.AE = .10. 300 = 5 300
2
2
S∆ABN = S∆CBN = S∆CNE =>
Mà

S∆ABE 5 300
=
3
3

=> S∆NBE = 2.S∆NCE =

∆

10. 300
3

Bài 46: Cho ABC vuông tại A, đường cao AH, trên tia BC lấy điểm D sao cho BD= BA, đường vuông
góc với BC tại D cắt AC tại E,CM:
a, H nằm giữa B và D
b, BE là đường trung trực của AD
c, Tia AD là tia phân giác của góc
HD:

·
HAC

24


a,

∆

AHB vuông tại H => AB> BH mà BH = BA

 BD>BH, vậy H nằm giữa B và D
∆
ABE = DBE ( cạnh huyền- cạnh góc vuông)
 AE=DE => E nằm trên đường trung trực của AD
Và BA =BD vậy B nằm trên đường trung trực của AD
Do đó BE là đường trung trực của AD
 DE ⊥ BC
·
·
BDE
= BAE

= 900 => 
=> AH / /DE
 AH ⊥ BC
∆
∆
c, Vì ABE = DBE =>
à = ADE
Ã
A

b,






Ma

1

ADE cõn =>

(so le trong)
ảA = ADE
Ã
à = ảA
=> A
2
1

2

, vy AD la phõn giac

Ã
HAC

à = 540
B

∆

Bài 47: Cho ABC vuông tại A, góc
, trên cạnh AC lấy điểm D sao cho
·ABD
phân giác
, trên đoạn BD lấy điểm F sao cho BF=BA
·
EFD
a, Tính

·
ABD
= 360

, BE là tia

∆

b, BEC cân

c, FDd, BDHD:

a, Vì

·
·
ABD
= 360 => DBC
= 180



b,

∆

Mà
c,

∆

, mà BE là phân giác
·ABE = 180 = EBD
·
·
= DBC

∆

ABE=

∆

·
ABD

µ =A
µ = 900 => EFD
·
F
= 900

FBE (c.g.c) =>
µ = 540 => C
µ = 900 − 540 = 360
B

ABC vng tại A có
·EBC = ABC
·
·
− ABE
= 540 − 180 = 360

EFD vng tại F có

·
µ +C

µ
EDF
=B
1

=>

∆

EBC có

(góc ngoài của

·
·
EBC
= ECB
= 360

∆

DBC) =>

25

=>

∆

EBC cân tại E

·
EDF
= 180 + 360 = 540