on thi chuyen toan lop 10
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (142.92 KB, 3 trang )
MỘT SỐ BÀI TỐN
ƠN TẬP THI HỌC SINH GIỎI TOAN 9
CHUYEN DE CHIA HET,SO CHINH PHUONG
SO NGUYEN .Gv SOAN :THANH TUAN
Bài 1: Tìm số tự nhiên n sao cho các số sau là số chính phương:
a. n2 + 2n + 12
b. n (n+3)
2
c. n + n + 1589
Gợi ý :
a. Vì n2 + 2n + 12 là số chính phương nên đặt n2 + 2n + 12 = k2 (k
N)
2
2
2
2
⇒ (n + 2n + 1) + 11 = k
⇔ k – (n+1) = 11 ⇔ (k+n+1)(k-n-1) = 11
Nhận xét thấy k+n+1 > k-n-1 và chúng là những số nguyên dương, nên ta có thể viết
k n 1 11
⇔
k n 1 1
(k+n+1)(k-n-1) = 11.1
⇔
k 6
n 4
Vậy n = 4.
* Các câu khác giải tương tự.
Bài 2: Cho A là số chính phương gồm 4 chữ số. Nếu ta thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị
thì ta được số chính phương B. Hãy tìm các số A và B.
Gợi ý:
Gọi A = abcd = k2. Nếu thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị thì ta có số
B = (a 1)(b 1)(c 1)(d 1) = m2
với k, m N và 32 < k < m < 100
a, b, c, d N ; 1 ≤ a ≤ 9 ; 0 ≤ b, c, d ≤ 9
2
2
⇒ m – k = 1111 ⇔ (m - k)(m+k) = 1111 (*)
Xét các trường hợp, kết quả A = 2025 , B = 3136
Bài tập tương tự :
a. Tìm 3 số lẻ liên tiếp mà tổng bình phương là một số có 4 chữ số giống nhau.
b. Tìm số có 2 chữ số sao cho tích của số đó với tổng các chữ số của nó bằng tổng lập
phương các chữ số của số đó.
Bài 4 : Cho a, b là các chữ số với a khác 0. Chứng minh rằng
a. abba chia hết cho 11
b. ababab chia hết cho 7
c. aaabbb chia hết cho 37
d. abcabc chia hết cho 7, 11 và 13.
Hướng dẫn
a. abba 11(91a 10b)
b. ababab 7.1443.ab
c. aaabbb 37.3.(1000a b)
d. abcabc abc.1001 abc.7.11.13
(Hướng dẫn : bài tập chủ đề trang 5, sách tài liệu “ôn luyện thi tuyển sinh lớp 10”)
Bài 5 : Tìm tất cả các số tự nhiên gồm 6 chữ số sao cho mỗi chữ số, kể từ chữ số thứ ba (tính từ
trái sang phải) đều là tổng của 2 chữ số liền kề bên trái.
Gợi ý :
Gọi a là chữ số hàng trăm ngàn (a > 0) và b là chữ số hàng chục ngàn của số tự nhiên cần tìm.
Chữ số hàng ngàn là : a + b.
Chữ số hàng trăm là : a + 2b.
Chữ số hàng chục là : 2a + 3b.
Chữ số hàng đơn vị là : 3a + 5b.
Ta có 3a + 5b ≤ 9 ⇒ b ≤ 1, nên b = 0 hoặc b = 1
Lý luận đưa đến kết quả : 101123 ; 202246 ; 303369 ; 112358 .
Bài 3: Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 3xy + x - y = 1
(3y + 1)(3x - 1) = 2 (Phương trình ước số)
Vì x, y là các số nguyên nên 3x - 1 , 3y + 1 là các số nguyên và là ước của 2
ta có bảng sau :
3x - 1
-1
1
-2
2
3y + 1
-2
2
-1
1
x
0
/
/
1
y
-1
/
/
0
Vậy nghiệm nguyên của phương trình là : (0 ; -1), (1 ; 0)
Bài tập dạng khác :
a. xy - x - y = 2.
b. 11x + 18y = 120
c.
1
1
1
x
y
3
4/( 3,0 điểm)
1) Giải phương trình nghiệm nguyên
8 x 2 3xy 5 y 25
n
n
2)Tìm tất cả số nguyên dương n sao cho A= n.4 3 7
HD:
2
8 x 2 −25
25
2
8
x
3x
y
5
y
25
⇔ y (3 x +5)=8 x − 25 ⇔ y=
⇔ 9 y =24 x − 40 −
∈Z
1)
3 x+5
3 x+5
Khi 3x+5 là ước 25 từ đó tìm được (x ; y )∈ {(− 10 ; −31); (−2 ; −7) ;(0 ; −5) }
( cách khac nhân 2 vế với 9 đưavề tích)
2) Với n chẵn n=2k thì
A=2k . 4 2 k + 32 k =(2 k +1). 4 2k +(16k −9 k )⋮ 7⇒ 2 k +1⋮ 7 ⇒k =
7 t −1
⇒ n=14 t −1=14 m+6 ( m∈ N ) Với
2
n lẻ n=2k+1
A=(2 k +1). 4 2 k+1 +32 k +1=2 k . 42 k+ 1+(4 2 k+1 +32 k +1)⋮7 ⇒ 2k ⋮ 7 ⇒ k =7 t ⇒ n=14 m+1 ( m∈ N )
Vậy n=14 m+ 6 hoặc n=14 m+ 1 ( với mọi n N ¿ thì A chia hết cho 7
22/.
2
a. Tìm các số nguyên x; y thỏa mãn: y 2 xy 3x 2 0
