Mục
1

lục

ĐƯỜNG
II

12

THĂNG

TRONG

KHƠNG

GIAN

Lýthuyết............Ặ Q
và
11.1
Phuong trinh dng thang...
2... 0.00.

1.1.2

Vị trí tương đối

1.2.3
12.4

Bài tốn về khoảng cách
Baitodnvé gOc ... 2.

và v v và
ee

1.1.3
Khoảng cách
11.4
G6c
2.2... 20.00 2
. ... . . . .
.
.
Mots6baitoan...
2... 0.
1.2.1
Bài toán lập phương trình đường thắng................
1.2.2
Bài tốn xét vị trí tương đỐI............es

1.2.5

Bai todn tim điểm trên đường thắng

va


Chuong


1

DUONG THANG TRONG KHONG
GIAN
1.1
1.1.1

Lý thuyết
Phương

* Véctd tử z

a song song
* Nếu đường
đường thắng
* Nếu đường

trình đường thẳng

0 được gọi là véctơ chỉ phương của đường thắng A nếu phương ( giá ) của

hoặc trùng với A.
thẳng A có một véctơ chỉ phương
thì k
cũng là véctơ chỉ phương của
A.
thẳng A vng góc với hai véctơ a, Đ khơng cùng phương thì đường thẳng

A có một véctơ chỉ phương là uÄ = [ ở, Đì
* Phương trình tham số của đường thẳng A qua Ä(zo;o;zo) và nhận tÈ = (a;b;e) làm


véctơ chỉ phương là

A:d®S

# = #ọ
+ dđÍ

ua ă(Zo; yo; 2

(#66720)

y=ytbt

vtcp U = (a:b; c)

,teER

Z=2%+ct

* Phương trình chính tắc của dudng thang A qua M(x; yo; 29) va nhan u = (a;b: c) lam
véctơ chỉ phương là
A:

Qua M (xo; Yo; 20)

vtcp

w= (a; b; c)


* Nếu

tk —~ử*o _ YY

&

a

Yo

=

b

— *%7

C

# = #ọ
+ dđÍ
A:

y

=

yo

+ bt


LER

Z=2%+ct

thi dudng thing A di qua diém M (29; yo; zo) va c6 mot vécto chi phuong la @ = (a; b;c).
* Néu
A:

t—io
q

YY
b

47

40
C

thi dudng thing A di qua diém M (29; yo; zo) va c6 mot vécto chi phuong la @ = (a; b;c).


Trường THPT Dương Háo Học

1.1.2

Chuyên đề đường thẳng

Vị trí tương đối


1. Vị trí tương

đối của hai đường

thẳng

Cho hai đường thắng
vtcp Uj
Khi do

M Â Ay

đ A1//A â

>

vtcp ug

MceAs

eA, =A,S



>
e Ai

cat

Ao


>



e AI, A2

lui, uộ] # 0

* Luu y: A; LA, SW.

chéo

nhau

<>

[1,

u2| ÁN

x

0

=0

* Sơ đồ xét vi trí tương đối của hai đường thẳng

—-


(uy, u2] #

;

0 => A¡., Á¿ cắt nhau

Ay

>

Xét [u†, u2]JMÑ -

Cho (P):

=

Ao

M ¢ Ay > A,//A2
[ut, 7] N # 0 > Aj, Ay chéo nhan.

2. Vị trí tương

A,

~
~

€


tN

~
—

M

đối của đường

thẳng và mặt

Axv+ By+Cz+D=0va

(A):

phẳng
tù —~#o

a

Ta có

_

U—

0o _

b


(P) có véctơ pháp tuyến np = (A; B;C)
A có véctơ chỉ phương ux = (a;b;e) và qua điểm Äo(%o; yo; 20)

Giáo viên: Nguyễn Khắc Truyết

3

47

40

C


Trường THPT Dương Háo Học

Chuyên đề đường thẳng

Khi đó

—~> L np
Icc
ux

© A//(P)

—> ) —>

uA L1 np


eAc(P)s

M

eAL(P)S

€ (P)

°

mẻ
Mr nà =0

°

Aa+

_
Bb+Cc=0

es

—>
—>
UA.Np

es

A a+


B Bb+Cce=0
—

My

= :

€

(P

Azo

ur cùng phuong np
nè © (ur, np

e A cắt (P) © uÄ.nủ #0

=

+ Bụo

+

Czo+

—>

0


Aa + Bb + Ơc #0

* Sơ đồ xét vị trí tương đối của đường thẳng và mặt
Mẹ(P)=

phẳng.
A//(P

(Azo + Bụo + Czo + D

~

|

—-A.np

( Aa

D =0

=

# 0)

—

+ Bb + Cc =())
Me(P)=>AC(P)


(Aro + Byo + Cro + D = 0)
Xét HAT

—

(Aa + Bb+ Cc)

uxn.np #0=> A cat (P).
(Aa + Bb+ Cc # 0)

* Cach khac

Xét hệ phương trình
# = #ọ
+ dđÍ

y = yo
+ ot
Z=2%+ct

Az+ By+Cz+D=0
Suy ra
A(œo+af)+ B(o+bf)+C(zo+ct)+ D = 0 © (Aa+ Bb+Œe)t+
Azo+ Buo+ŒCzo+D

e A cắt (P) khi (*) có nghiệm duy nhất
e A//(P) khi () vơ nghiệm

e AC (P) khi (*) vô số nghiệm
Giáo viên: Nguyễn Khắc Truyết


4

= 0(*)


Trường THPT Dương Háo Học

1.1.3

Khoảng

Chuyên đề đường thẳng

cách

1. Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng A
Cho đường thắng A qua điểm ức có vtep + và điểm M.

Khi đó

[ma]

d(M, A) “mm”
=
2. Khoảng

cách giữa đường

thẳng


A và mặt

phẳng

(P)

Cho A song song mặt phẳng (P).
Đường thẳng A qua điểm M(zo; ÿo; Zọ).

Mặt phẳng (P): Az+ Bụ+ Œz+ D =0.
Khi đó

d(A, (P)) = d(Mo, (P))
3. Khoảng

cách giữa hai đường

thẳng

_

| Azo

+

Byo

+


Cz

+

D|

chéo nhau

Cho hai đường thắng chéo nhau A¡ có vtep m qua điểm M, va
A» ¢6 vtep t2 qua diém My.
Khi đó
———>

d( Ay, As)
1.1.4
1. Góc

HỆ tải]

M, Mp2

fui, u2 ||

Cóc
giữa hai đường

thẳng

Cho hai đường thẳng A¡ có vtcp m=


(a1; b1;c) va

A» có vicp tà = (đa; bạ; ca)

COS Œ

uị .uà|

—

|aya2

—

+

bib»

+

Œ@|

Iai|.|uil - V42 + bệ + c?.V/d2 + bậ + c2

* Lưu ý: 0< (Ấ¡,A;) < 900
2. Góc

giữa đường

thẳng


và mặt

phẳng

Cho mặt phẳng (P) có vtpt np = (A; B; C) và đường thẳng A có vtep uÀ = (a;b; C)

Gọi ¿ = (A, (P)). Khi đó
siny

“

=

lnÈ.uÄ

InlHẢ|

Giáo viên: Nguyễn Khắc Truyết

=

|Aa + Bb + Ce|

VWA2+ÐD24+C2Vai+b+e

5


Trường THPT Dương Háo Học


1.2

Một

1.2.1

Chuyên đề đường thẳng

số bài toán

Bài tốn lập phương trình đường thẳng

Bài tốn 1.2.1. Lập phương trình tham số, chính tac của đường thắng A khi biết một

điểm di qua M(x; yo; 20) VA mot vtep

Ud = (a; b; c)

Lời giải.
Phương trình tham số

Phương trình chính tắc

Qua M (x0; yo; Z0)

A:

vtep Ud = (a; b; c)
# = #ọ + dđÍ


&4y=yrtbt

Qua M (x9; yo: 29)

A:

0fcp t = (a; b; c)
t—Iio

,teER

a

Z=2%+ct

Bài tốn

YY

<7 %0

b

C

1.2.2. Lập phương trình đường thắng A biết

a) A qua diém M(1;0;—1) va nhan @ = (3;—2;2) làm vécbơ chỉ phương.


b) A qua hai điểm A(1;—2; 3), B(—3; 4; —1).

c) A qua điểm 4⁄(2;0; —3) và song song với đường thắng 4
— 2

d) A qua M(2;0;—3) va song song đường thẳng đ: “ >

biết A(2;1;3), B(5; —2; 3).
— |

= —

e) A qua điểm A⁄/(5; —3; 4) và vng góc mặt phẳng (P) :z +2

Lời giải.
a)

Qua M(1;0;—1)
utcp ad = (3; —2; 2)

b)

Qua A(1; —2; 3)
Qua Ø(—3;4; —1)

)

eae

Qua M (2; 0; —3)


d)

A:

°

E-2

©)

°

Qua M(2; 0; —3)

c) A:

2

A:

ee,

y

-3

œ#-1_
3


vtcp uk = AB = (3; —3;0)

zrtở

Qua M (5; —3; 4)

1

yt3

2

vtcp Uk = Uy = (2; —3; 1)
Qua M(5; —3; 4)

>

—>

—>

U‡CŒp
uÁ = nộ = (1;2;—3)

2-4

=8

Giáo viên: Nguyễn Khắc Truyết


=

e=2+ 3t
= —3t

Qua M(2; 0; —3)

|

AL(P):z+2u—3z+1=0

E-5

œZ—1_912_z-3
—4
6
—4

Qua M (2; 0; —3)

oA:

— 3z+ 1 =0.

ÿ _z+I
—2
2

Mà
vtcpAB = (—4;6; —4)

=>

= T

6

a

EER


Trường THPT Dương Háo Học

Chuyên đề đường thẳng

Bài toán 1.2.3. Lập phương trình của đường thẳng 4A
M(2o; yo; 20) và đường thẳng vng góc với hai véctơ a, Đ

khi biết một

điểm

đi qua

Lời giải.
M

Qua
A:{AL@


AI

.

.

M0; Yo; 20)

Qua M (xo; yo; 20)
hen
ae
iz Dị

vtcp uA =| a,

—>

=

(a:b;
=

a; b;¢
ˆ

)

ˆ

Phương trình tham số


Phương trình chính tắc

A:

A:

Qua M (x0; yo; Z0)

.

—>

utcp uA = (d;b; c)
L=%X%+at

&4\y=yrtbt

Qua M (x0; yo; Z0)

.

—>

utcp UA = (a; b;c)
t—ito

,tCR

YY


a

Z=2%+ct

<7

b

290

C

Bài toán 1.2.4. Lập phương trình của đường thắng A biết
a) A qua điểm Ä⁄(1;1;2) và song song với hai mặt phẳng (P) : 3z —
+ 3z-+7 =0
(Q):z+3u—
2z+ 3 =0.
b) A là giao tuyến của hai mặt phẳng (P): z—2+3z—4= 0, (Q):3z+2u— 52— 4=0.

e) A qua điểm Ä⁄/(2;0;—3) và vng góc với hai đường thẳng dh
+ l

dy :

—13

=

Lời giải.


—

2

5

z+5

=

11

Tot

M(1:1;2

A//(Q)

_yAl_

—T

4-2

Ln¿

>

A Ling


tep

tit = [nb Rỏ] = (—7;9;10)

vicp
UA = |np,n

oe

610

b) Ta có nở= (1;—2;3),
nộ = (3;2; —5)

Mà [np,nd]= (4; 14; 8)
* Tim

diém di qua

Ta có

(P):z—2u+3z—4=0

zS0

(P):—2u+3z=4

"


= —Đ

—

(Q):2u— 5z =4

(Q): 3z + 2u — 5z — 4=0
3
= 4i

A:4y=—8+14t

,tER

z=-4+81

Qua M(2;0;-3)

c) A:

Ald:7=7=7

AlLd,;U TL

i

M(1:1;2
4A

9


—]

.

a) A: 4 A//(P)
a

: = ~+_-

T4

Giáo viên: Nguyễn Khắc Truyết

oA:

212
ĩ

Qua M(2;0;
-3)

A Lug

= (1;-1;4)

A L ty = (—13;5; 11)


Trường THPT Dương Háo Học


Chuyên đề đường thẳng

Qua M(2; 0; —3)

ey ET

utcp Ux = lug’, ua] = (—31; —63; —8)
1.2.2

y

-3l

z+ả

-63

-8

Bài tốn xét vị trí tương đối

Bài tốn 1.2.5. Xét vị trí tương đối của hai duéng thang A,, Ay. Tim giao điểm của
A, va A› nếu có
x-l

A:

Hộ ca


+l

——

——

31

z—ð

,

va

Ao:

z+lÐ

° ———= =

4

ø+l

3

—
=

z_-Ìl


5

Lời giải.

Dường thang A; qua điểm Ä⁄4(1;—1;5) và có vtcp HỆ = (2;3;1)
Đường thẳng A¿ qua diém M2(—1;—1;1)
* Cách 1:

va cé vtep tu =

(4; 3; 5)

Ta có

= (—2;0; —4)

MM;

sỉ SỈ
re

|
|

)

5|.My Mz = 0

®


=>

(12; —6; —6)

Vậy hai đường thắng cắt nhau tại M
* Cách 2:

Ta có
z=l+ 2t

Ai:

z—=—l+4ữ


và ÀA;:

z=5+4+t

=-l+3f
z=1+4+ 50

Xét hệ phương trình
1+ 2=

—1+ 4#

—14+3t=-14+3/

54+t=1+4

t—2/=

<<

—]

4f-f=0

50

ot=t=1

t—5t/
= —4

Vậy hai đường thắng cắt nhau tại điểm M (3; 2; 6)
Bài tốn

1.2.6. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d và (P). Tìm giao điểm của

chúng nếu có

z=l2+4i

a)d:z=1+t

b) d: 2

10

—3

= 4

,tcRvà(P):3z+4u—z—2=0
—4

4

==

— Ì

—]

va (P):y+4z2+17=0

Lời giải.
a)* Cách

1: thay phương trình đường thẳng d vào phương trình (P) ta có

3(12 + 4t) + 4(9+ 3t) -1-#-2=0St=-3
Giáo viên: Nguyễn Khắc Truyết

8

Trường THPT Dương Háo Học

Chuyên đề đường thẳng

Vậy d cắt (P) tại A(0;0; —2)
* Cách 2: Ta có tà = (4:3; 1): nÈ = (3;4;—1)
Suy ra

uà.nÈ
= 35 # 0

Vậy d cắt (P)

b) * Cách 1: Xét hệ phương trình
4z + ởụ= —28

y+4z=8

hé v6 nghiém

yt+t4z=-17

Vay d//(P)
* Cách
Suy ra

ca

_,

2: Tac6 ug = (—3; 4; -1); nB = (0; 1; 4)

tàn? = 0

Mà

M(—10;4;1)

€ dmà Mƒ £ (P)

Vậy d//(P)
Bài tốn
chúng

1.2.7. Tìm m để hai đường thắng sau cắt nhau và tìm tọa độ giao điểm của
e-6

OT

yt2

2-3

.

Be

x-4

y-3

FG

2-2

Lời giải.
Tọa độ giao điểm của đị và đ; là nghiệm của hệ phương trình

dhs
dp

z—=6
tae

4

yt2
Ly

yt2

2-8

_£-Ÿ

t~4_y-3

y-3

2

Từ (1);(3);(4) ta được Ä⁄/(§; 2; 4) thế vào (2) ta được ?m = 2
1.2.3

Bài tốn về khoảng

Bài tốn

cách

1.2.8. Tính khoảng cách.
Z

»

2

a) Tt A⁄(1;—1;1) đên đường thắng
A : pre
2

1
— Ì

_y

b) Giữa hai đường thắng song song AI : “ >=

Giáo viên: Nguyễn Khắc Truyết

9

= 16

2u+z=8

2-2

CẰƒ—1

— Ì
2

=

1

_2*
2

-

(1)

(m — 1) — 4z + 2m + 10 = 0 (2)

x+4y

-1

4

Ẻ

4x — 2u = 28

°

m—]

aot) 1

TT]

"

+2

241.

z-ỏ

38

(œ—6_

—2
—3

5

va

(3)

(A)


Trường THPT Dương Háo Học

Chuyên đề đường thẳng

t—9
+9 z+3

Ao:

2

3

e) Giữa hai đường thẳng A :

œ+ỏ

0+2

z-1

và (P):2z—3u—z—1=0
1
=2 _
2
—]
1
—9
—]
d) Giữa hai đường thăng chéo nhau Ấ+ : _¥rt_?
va As: =1
2

zT+l
2

Lời giải.

œ+2_

a) Từ M⁄(1;—1; 1) đến đường thẳng A :

Đường thẳng

3

1

0l

|

3

zrl

a,

A đi qua Mo(—2;1;—1) va c6 vtcp @ = (1;2;—2)

Suy ra M Mp = (8; —2; 2)

——>

Mo, @] = (0;8;8)

[| =3

Vậy

uml
»

— Ì

b) Giữa hai đường thăng song song Ar:
A,

fo?

2

ye

_

MMI, ||

2

=>

3/5
==

—3

va

ets

3õ

Ta có Ai qua điểm M,(1; —2;3)

A¿ qua điểm A¿(2;—2; —3) có vtcp đ = (2;3;5)
Suy ra M, Mp = (1; 0; —6)

——>
[MIMG,
@| = (18; -17;3)

a | = V38
Do

A; //A2

nén

—

d(Ai,

A2)

e) Giữa hai đường thẳng A :

—

"

d(Mh,

3

A2)

=—

II

—

2

[|

=

—1

Ta có A qua Äo(—3; —2;1) và vtcp øÄ = (1;—2;8)

np = (2;—3;
—1)
Khi đó

bế

=0

Mp
€ (P)

Giáo viên: Nguyễn Khắc Truyết

10

—

⁄5909

19

và (P):2zS— 3u—z—1=0

2
2

“ˆ~


Trường THPT Dương Háo Học

Chuyên đề đường thẳng

Nên A//(P)

Vậy

d A,

P

=

d Mo,

P

|2.(—3)—3(—-2)—-1-1|

=

2

—1
2

d) Gitta hai duéng thang chéo nhau A, : zT+l
2

1

_¥rt_2
3

=

v14

—9
—1
va As : 1
3

— re
2

* Cách 1:

Ta có

A¡i có vtep ø‡ = (2;3;1) và đi qua ÄZ4(1;—1; 5)
Ay c6 vtcp @ = (3;2;2) va di qua M,(1;—2;—1)

Suy ra [aŸ, ai] = (4;—1; —ð)
¬

M, Mz

| [ai, a¿]|
= v42

= (0; —]; —6)

—>

(aq, @3] My Mz = 31

Va iy

SỐ

d(A

A

)=

|[ai, a2]

Tố
* Cách

.Á\h Ma|

_

slv42

| [aï, a2] |

42

2:
_J(P)5A;

Qua Ä⁄2(1;—2; —1)

ứ: ta

° ‘on Tt = [aq,a3] = (4; -1;-5)

Vay

d( Ai, Ax) = d(Mi, (P))
1.2.4

©

— |42—(-1)-5.5-11]

4z ——

ư5zT— lÌ=0

31v42

v42

42

Bài tốn về góc

Bài tốn

1.2.9. Tính góc.
1

a) Gitta hai đường thẳng đ: —T

2

=^

3

=¬

z„=2—

và

2l

: 4 =—2+†
z=l+ởïi

om,

.

`

%

b) Giữa hai đường thắng dđ:

—]

3D“

—

2

z—8

`

và (P): 3z + 5y—z—2=U

Lời giải.
1

a) Gitta hai đường thẳng đ: —.

2

==

3

=¬

z„=2— 2l

và đ:

z=1+43t

—>

Ta c6 d c6 vtcp @ = (1;3;1), d’ c6 vtep a’ = (—2;1;3)
Giáo viên: Nguyễn Khắc Truyết

ˆu=_—2+†

11

2

_


Trường THPT Dương Háo Học

Chuyên đề đường thẳng

Gọi ý là góc giữa đ, đ.. Khi đó
—>

laa’ |
COS{ = ———x

I#l|a|

4
= ——=

v154

=> @

7101146”

1.2.5

Bài tốn tìm điểm trên đường thẳng

Bài tốn

1.2.10.

Cho A:

e-l

oyt2

5

1

zrl

5

va A(2;—5; —6)

a) Tim toa độ hình chiếu của A trén A.

b) Tìm M € A sao cho AM = V35

Lời giải.

a) * Cách 1:

Ta có

z=l+

2i

U—=—2+t

LER

z=-l1- 3

Gọi H 1A hình chiếu của A trên A

Do H€
A nên H(I + 2f;—2-+†;—1—
3t)
Suy ra

Af = (2t — 1;t + 3;-3t +5)

Ma

tỶ = (2;1;—3)

Vì AI LA => A.=0
Hay

2(2t — 1) + (+ 3) — 3(-3 +5) =0et=1

Vay H(3;—1;—4)
* Cách

2:

- ] Qua A(2;—5; —6)

(P): th

Qua A(2;—5; —6)

LA

= ‘on

np = (2:1; —3)

© 2z +

— 3z — l7 =0

Khi dé H = An (P). Toa do H 1a nghiém cta hé phuong trình

2z +

z—=l1

2

— 3z — l7 =0
0+2_

1

z+l

=3

#= 3

©€‹q=_-l

z= 4

b) Do M € A nén M(1 + 2t; -2 + t; -1 — 3¢)
Suy ra

"

AM

Giáo viên: Nguyễn Khắc Truyết

= (2t — 1;t+ 3; —3t + 5)

12

= H(3;-l;-4)


Trường THPT Dương Háo Học

Chuyên đề đường thẳng

Mà
AM = v3ð © (2t — 1) + (L+ 3)” + (—3t + 5)” = 35

oh
Bài toán

1.2.11.

A=

2

=

t=0= M/(1;—2;—T)

OS | 4 9

Trong khéng gian hé truc toa do Oxyz

—]

,

a) Cho A: 5 = 4 —

= 5. Xée dinh diém M

z=ð+†

b)

Cho

AI

M(5;0;—7)

€ Or sao cho d(0,4) = OM

2

: 4 =f

1

va Ay:

=

—

= 5.

Xac dinh

M

€ Ay sao cho

z=t
d(M,

Az)

=1

Lời giải.

a) Goi M(m;0;0) € Ox

Dudng thing A qua N(0;1;0) c6 vtep W = (2; 1;2)

Ta có

mm...

Cơ

5m2 + 4m +8

T1

3

Mà
d(M,A)=OM
Nên

Vðm + 4m + 8

—————=l|m|
3

2

©€mˆ—m—2=0<©

m = —]
m = 2

Vậy có hai điểm M],(—1;0;0); M2(2; 0; 0)

b) Duong thang A, qua diém A(2;1;0) co vtep @ = (2; 1;2)
Do M € A, > M(3-+t:t;t) => AM
Suy ra
_,

= (L+1;t— 1;9

AM, W] = (t- 2;-2:3-1)

Ma

(M,

[au|-

A2)

ST]

& (t — 2)? + (-2)?+ (3-1t)? =9
_
© 2t 2 —Hf+8=0©
|1t=1=
=1

Bài tốn

a) Cho A:

1.2.12.

=

— 2

M(4;1;1)

a

Trong khơng gian hệ trục tọa độ 2z

=U

1

—2

La
—]

(P)s ety tz—-3=0.

M €(P) sao cho MT L A và MT = 4v14
Giáo viên: Nguyễn Khắc Truyết

13

Goi l = AN(P).

Tim


Trường THPT Dương Háo Học

b) Cho A: —

2

=#——

Chuyên đề đường thẳng

y—1

5

=“

và A(—2;1:1), B(—3:—1;9). Xác định AM € A sao

cho Samap = 3V5

Lời giải.

a) Ta có (P) cắt A tại J(1;1;
Gọi Mf(;;ä3—
œ— 0) €(P) > MI=(I1—z;1—;z+—2)
Đường thẳng A có vtep d=

(1;—2; —1)

Ta có
x=
Mi.@

=0

MI? = 224

y=

=>

22-1

-—3

y=-T

(1—z)*+(1—ø)”+(-2+z+)}=224

=
Y=

Vậy có hia điểm M(—3; —7; 13); M(5; 9; -11)
b) Goi M(—2 + t;1 +34; -5 — 2t) EA

Ta có 4Ư = (—1;—9;1),
AM = (t;3t;—6 — 30)
Suy ra

_,

[4B, AM] = (t + 12; -t — 6; -t)

MA
AB

Samap =3V5 © =- |[A AM]
2

2m

__

soe

1

=3 3V5& 5 V/(t+ P+ (1-6 + P = BV5
t=0

[TT

Vậy c6 hai diém M(—2; 1; -5); M(—14; —35; 19)

Giáo viên: Nguyễn Khắc Truyết

14