Dạng toán

rút gọn biểu thức Có chứa căn thức bậc hai
**********&*********
Bµi 1: Thùc hiƯn phÐp tÝnh:
1) 2 5 

125 

2 8  12

18

48
4)

7)
2

3

5  27
30  162 ;



5 2





1

;

11) 14  8 3 

2

22)

1
1
+
√ 5+ √2 √ 5 − √ 2

25)
28)





2

5 1 



3

20) 1 



51

5



34)

75  5 2

24

29)



40)



3






2
2



2  5
12

4

94 2

15)

3

5  3 5


21)

2

3

 

3




2 1 

18

2
24)

3



40 2  57



80  605

1
41) 2

21

3

12
3






2



1
120 
4

2 8  12

18

48
36)

15
2





51)

3




1 
 : 16
16 

2 2

3

8 3  2 25 12  4



39)

2 3
2 3

2 3
2 3

42)

7 4 3  74 3

10  2 10
8

47) 5  2 1  5

2 3 2

192

5  27
30  162

6 2 5
45) 2  20





2

5

3 2 3
6

3
3 3
33)

24

6 5

3 2 2



9
2 1 
16
30) 

5 2 6

32 3 2 2

 3 3  2 2
3
2

1
44)

3 
2
3 

 24  8 6 

2 3
2 3
 2 3

49)

27)


16
1
4
3
6
3
27
75

38)

2  2 3 3 2 2 3

50) 2 5  125 

6 4 2

3 1

5  2 6 49  20 6

2

43) 14  6 5  14  6 5
 2
 2  3
3

 2



3
2
4 2



46)
48)

12)

2
2

18) 3  5 3  5

1 

8  .3 6
 2 6  4 3 5 2 
4


35)

15
5

37) 1  3 1  3

40 2  57 

10  2

9)

4  10  2 5  4  10  2 5

26)

32)







2

12
3

3  50 5 



5. 3 5

3


3 1 1 

2  2 3

23)

3

192

2



2 3

1
 175  2 2
8 7

18

2
31)

2  64 2

17)


19)

2

6 4 2



2 3
2 3

2 3
2 3
3

24  12 3

64 2

4
1
6


3 1
3 2
3 3

2


8 3  2 25 12  4

14)

2 5 4

6)
1



2  2 3

8)

5 2  8 5

16)

216  33  12 6 ;

16
1
4
3
6
3
27
75


5)

5  9 4 5

13)

2) 15 
2

4 3

75
3 5
;

2 27  6

10)

80  605 ;

10  2 10
8

5  2 1 5
3)



3 2 2


52) 15 

216  33  12 6


1
53)

1 1
1 1
1
1
1
1
 2  1  2  2  1  2  2  ...  1

2
2
2 3
3 4
4 5
1999
2000 2

Bài 2: Trục căn thức ở mÉu c¸c biĨu thøc sau :
1
2+ 1
B=
;

;
A= √
2 √3+ √2
√ 2+ 2 2
Bài 3: So sánh x; y trong mỗi trờng hợp sau:
a) x 27
Bài 4

2 vµ y  3 ;

C=

54)

2

3



5 2

1

√ 3 − √ 2+1

b) x  5 6 vµ y  6 5 ;

c) x = 2m và y = m+2


2
2
4
2
2
4
1. Tính giá trị cđa biĨu thøc:
A = a  4ab  4b  4a  12ab  9b với a  2 ; b 1 .
2. Đặt M = 57+ 40 2 ; N= 57 40 2 . Tính giá trị cđa c¸c biĨu thøc sau:
a. M-N
b. M3-N3
 x x 3 3
 x  3 
 2 x  

 1
3

x
x

3
x

3


3. Chøng minh: 
(víi x 0 vµ x 3 ).
2

( √ a− √ b ) +4 √ab a √ b −b √ a
4.
⋅
=a− b ; a> 0 ,b >0
√ a+ √ b
√ ab



3  2 2  1

13  30 2  9  4 2 5  3 2 ;
5. Chøng minh 9  4 2 2 2  1 ;
2
2
1
1




 3 2  17  
 2 2  17 


 2 2  17

6.  2 2  7








2



2



3 2 6
150  1
4


  
3  6
3
27  3
7. Chứng minh đẳng thức:
2002
2003

2002 2003
2002
8. Chứng minh 2003
9. Chøng minh r»ng

10.

2000  2 2001  2002  0

1
1
1
+
+⋅⋅+
<2
2 3 √2
( n+1 ) √ n

7
2 3
2 3
29



5
2  2 3
2  2  3 20

;

1
1
1
= −

. Tõ ®ã tÝnh
( n+1 ) √ n+ n √n+1 √ n √ n+1
1
1
1
1
+
+
+. ..+
tæng: S=
2+ √ 2 3 √ 2+ 2 √ 3 4 √ 3+3 √ 4
100 √ 99+99 √ 100

11. Chứng minh rằng với mọi giá trị dơng của n, ku«n cã:

12.
13.
14.

√ 6+√ 6+√ 6+√ 6+ √30+ √30+√ 30+√ 30<9



a 2



a 1; a 0
2


3  4 x  4 x  1  16 x  8 x  1 b)

1
3
x 
3  4 x  4 x  1 2 víi mäi x t/m·n: 4
4.



15. (*) Cho a, b l hai số dơng, chứng minh rằng:
Bài 5

Cho biÓu thøc :



Sn  5  4

n

 

5
2

a) TÝnh S 2

4




a 2  b2  a



n

b) Chøng minh r»ng S 2n= S n - 2 ( n N ; n 2 )

Bài 6: Rút gọn các bt sau:



a 2  b2  b 

a b

a 2  b2
2




1.

m n

P


2. Q 

m

n



m  n  2 mn
m n

; m, n 0 ; m  n.

a 2 b  ab 2
a b
:
; a  0 ; b  0.
ab
a b

2

x 3
; x 2 3  1
3) x  1

7)

a+1
1

√a 3 − a ; a>1
A= 2 √
+
+
√ a −1 − √ a2 +a √ a −1+√ a √ a −1

)

x2  x 

 a a b b a b  b a   a  b 


 :

a  b   a  b 
9)  a  b
(víi a; b  0 vµ a  b)

11)

9 x2  6 x 1
1  49 x 2

2


x x  
x x 
 2 

  2 
 ; x 0, x 1
x 1  
x  1 
6) 

5)

4x 



3x  1

2 3x  3

4)

1 −a √ a
1
M=
+√ a ⋅
; a ≥ 0 , a≠ 1
1 −√a
1+ √ a

(

2


 

3x

x 

8)

2x 1

10)

4m 2  4m  1
4m  2

x

1
1
( x  ; x  )
3
7

1
4

11)

2


4
2

víi



1
2

4
x  4 x  4 víi x  2.
2

 ab  b3
ab  a 3  2 a  2 b


:

a b
a b
a  b 

13)
víi a, b 0; a b
2
Bµi 7: Cho 16  2 x  x 

P=

Bµi 8: Cho biĨu thøc
a) Rót gän biĨu thøc P

9  2 x  x 2 1

A= √ 16 − 2 x + x 2+ √ 9 − 2 x + x 2 .

TÝnh

2x  2 x x  1 x x  1


x
x x
x x
b) So sánh P với 5.

8
c) Với mọi giá trị cđa x lµm P cã nghÜa, chøng minh biĨu thøc P chỉ nhận đúng một giá trị nguyên.

3x 9x  3
1
1  1
P = 


 :
x

x


2
x

1
x

2

 x 1
Bµi 9: Cho biểu thức
a) Tìm điều kiện để P có nghĩa, rút gọn biểu thức P;
c) Tính giá trị của P víi x = 4 – 2 3 .

1
b) T×m các số tự nhiên x để P là số tự nhiªn;


x 2
x 3
x 2  
P = 


 :  2 
x

5
x


6
2

x
x

3

 
Bµi 10: Cho biĨu thøc :
1
5

2.
a) Rót gän biểu thức P;
b) Tìm x để P
A
Bài 11. Cho biểu thøc
a) Rót gän A

A
Bµi 12. Cho

(2 x  3)( x  1) 2  4(2 x  3)
( x  1) 2 ( x 3)
b) Tìm x để A = 3

1
x 1


x



1

x 1 x

x3  x
x1

x 

x  1 


53
a) Rót gän råi tÝnh sè trÞ cđa A khi x = 9 2 7
b) Tìm x để A > 0
2
1  x 1
 1
K 

. 2
x

1
x


1

 x  x 1
Bài 13: Cho biểu thức
a)Tìm đ/k của x để biểu thức K xác định.
b) Rút gọn biểu thức K và tìm giá trị của x để K đạt GTLN
x  1 x  1 x 2  4 x  1  x  2003
K 


.
x  1 x 1
x2 1
x

Bài 14:
Cho biểu thức
a) Tìm điều kiện đối với x để K xác định
b) Rút gọn K
c) Với những giá trị nguyên nào của x thì biểu thức K có giá trị nguyên?
b) Chứng minh Bất ®¼ng thøc:

M

2
2( x  1) x  10 x  3


x  1 x  x 1
x3  1


Bµi 15:
Cho biểu thức
a) Với giá trị nào cỉu x thì biểu thức có nghĩa
b) Rút gọn biểu thức
c) Tìm x để biÓu thøc cã
GTLN
a (2 a  1)
a 4
a 2
A


82 a a
a 2 4 a
Bài 16: Cho biêủ thức A =
a) Rút gọn A
b) Tìm a để A nhận giá trị nguyên
x 2 x 10
x 2
1
Q


x x  6
x 3
x  2 Víi x  0 vµ x  1
Bµi 17: Cho biĨu thøc:
1
Q

3
a) Rót gän biĨu thức Q
b) Tìm giá trị của x để
2 x 3
x

1
x

2
x

2
x
Bài 18: Cho biĨu thøc A =
a/ Rót gon A
b/ TÝnh giá trị của A khi x = 841
a 3 a 2
a a  1
1 
P 


 :

a  1   a 1
a  1
 ( a  2)( a  1)
Bµi 19: Cho biĨu thøc
1

a 1

1
8
1/Rót gän biĨu thức P.
2/Tìm a để P
2
1
1
2 x 1
+

.
1 x 2
Bµi 20: Cho biĨu thøc : √ x − 1 x+1
2
A=
a) Tìm điều kiện của x để biểu thức A cã nghÜa .
b) Rót gän biĨu thøc A .
c) Giải phơng trình theo x khi A = -2 .

3 x
x  3  x2  x x  x  1
A 


x  x  1 x x 1
x

Bài 21: Cho biểu thức:

.
a) Tìm điều kiện đối với biến x để biểu thức A đợc xác định.b) Rút gọn biểu thức A.
Bài 22 . Cho biểu thức: A =
1/. Tìm điều kiện đối với



b ab a

a
a

2

.

a , b để biểu thức A đợc xác định.

2/. Rút gọn biểu thức A.

Bài 23:
a) Biến đổi x 

3 x  1 vỊ d¹ng A2  b víi b lµ h»ng sè vµ A lµ mét biĨu thức.

1
b) Suy ra giá trị lớn nhất của biểu thức x 3 x 1 . Giá trị đó đạt đợc khi x bằng bao nhiêu ?


Bài 25: Rút gọn các biểu thức:

4 7
4 7
3
1
B

4 x 2 9 x 2  6 x 1
0x
4 7
4 7
3x  1
3.
a)
víi
b)
 1
1 
x1
B 

 x  0 vµ x 1
:
x

x
x

1
x


2
x

1


Bµi 26: Rót gän biĨu thøc
.



A



2 x 9
x  3 2 x 1


x

5
x

6
x

2
3 x
Bài 27: Cho

a) Rút gọn P
b) Tìm x để P < 1
c) Tìm các giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên
a
b
a b
N


ab b
ab  a
ab
Bµi 28: Cho
P

b) TÝnh N khi a  4  2 3 ; b  4  2 3

a) Rót gän N

a a 1

c) C/m: NÕu b b 5 thì N có giá trị ko đổi
2 x 3 y
6  xy
K

xy  2 x  3 y  6
xy  2 x  3 y  6
Bµi 29: Cho
y 81

y
K
y 81 thì x là số nguyªn chia hÕt cho 3
a) Rót gän K
b) CMR: NÕu


x   1
2 x
K  1 

 : 

x  1   x  1 x x  x  x  1 

Bµi 30: Cho
a) Rót gän K
b) Tính giá trị của K khi x 4 2 3

c) Tìm giá trị của x để K >1

2 x
x
3x  3   2 x  2 
P 


 1
 : 
x


9
x

3
x

3
x

3

 

Bµi 31 : Cho
a) Rót gän P
b) Tìm x để P < -1/2
c) Tìm giá trị nhá nhÊt cña P
 x
1  x  x x  x 
A = 




2 2 x   x  1
x  1 

Bµi 32: Cho biĨu thøc
a) Rót gọn biểu thức A;

b) Tìm giá trị của x để A > - 6.
 x
2
1  
10  x 
B = 


 :  x  2 

x 2 
x 2
 x  4 2 x
Bµi 33: Cho biĨu thøc
a) Rút gọn biểu thức B;
b) Tìm giá trị của x ®Ó A > 0.
1
3
1
C=


x  1 x x 1 x  x 1
Bµi 34: Cho biĨu thøc
a) Rót gän biĨu thức C;
b) Tìm giá trị của x để C < 1.
Bµi 35: Rót gän biĨu thøc :

D=
a)


Q=
c)

x  2  x2  4
x 2

x2  4



x2

x  2  x2  4 ;

1
x 1
:
x  x x x x x ;
2

x2  4

 x  x  x  x 
P =  1 
  1 

x

1

x  1 



b)
;

H=
d)

x  1 2 x  2
x 2 1


Bµi 36: Cho biĨu thøc :
a) Rót gän biĨu thøc .
Bµi 37: Cho biĨu thøc :

2 √x +x
1
x +2
−
): √
x √ x −1 √ x −1 x+ √ x +1
b) Tính giá trị của A khi
x +1
1
A=
: 2
x √ x + x+ √ x x − √ x


(

A=(

)
x=4 +2 √3

a) Rót gän biĨu thøc A .
b) Coi A là hàm số của biến x vẽ đồ thi hàm sè A .
1   1
1 
1
 1
A= 


 :

 1- x 1  x   1  x 1  x  1  x
Bµi 38:
Cho biĨu thøc :
a) Rút gọn biểu thức A .
b) Tính giá trị cđa A khi x = 7  4 3
c) Víi giá trị nào của x thì A đạt giá trị nhá nhÊt .
 a a  1 a a 1  a  2


:
a  a a  a  a  2


Bµi 39: Cho biĨu thøc : A =
a) Với những giá trị nào của a thì A xác định .
b) Rút gọn biểu thức A .
c) Với những giá trị nguyên nào của a thì A có giá trị nguyên .
1 1 a
1 1 a
1


1 a
Bài 40: Cho biÓu thøc : A = 1  a  1  a 1  a  1  a
1) Rót gän biÓu thøc A .
2) Chøng minh r»ng biÓu thøc A luôn dơng với mọi a .
a 3
a1 4 a 4


 a > 0 ; a  4
4 a
a 2
Bµi 41: Cho biÓu thøc : P = a  2
a) Rút gọn P .
b) Tính giá trị của P với a = 9 .



Bµi 42: Cho biĨu thøc P = 

a 3 a 2




a 2





a1




a a  1
1 
:


a  1   a 1
a  1


1
a 1

1
8
a) Rót gän P.
b) Tìm a để P



x 1
2 x
P 1

:
1
x

1
x

1
x
x

x

x

1



Bài 43: Cho biểu thức
a) Tìm ĐK để P có nghĩa và rút gọn P
b) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức P

x nhận giá trị nguyên



a a
a a
P 1 
 1
 ; a 0, a 1
a

1

1

a



Bµi 44:. Cho
b) T×m a biÕt P >  2 .
2
1  2x   16x 2

1
P
; x 
2
1  4x
2
Bµi 45. Cho
a) Rót gän P.


2
P
1  2x
a) Chøng minh

c) T×m a biÕt P =

x
b) TÝnh P khi

3
2

a
b

b
a víi a < 0, b < 0.

x

Bµi 46. Cho
2

a) Chøng minh x  4 0 .
 x 1
B 

x


1

Bµi 47. Cho

2
b) Rót gän F  x  4 .

x 1 8 x   x  x 3


 :
x 1 x  1   x  1

1 

x  1

a.


b) Tính giá trị của B khi x 3 2 2 .

a) Rót gän B.

c) Chøng minh r»ng B 1 với mọi giá trị của x thoả mÃn x 0; x 1 .

 1
  1
M 

 1 a  :
 1
 1 a
  1 a2

Bµi 48: Cho
3

b) Rút gọn M. c) Tính giá trị của M tại a = 2  3
2
Bµi 49: Cho biĨu thøc: A= x 4 x +4
42x
1. Với giá trị nào của x thì biểu thức A có nghĩa?
2. Tính giá trị của biểu thức A khi x=1,999
a+ a
a a
Bài 50: Cho biÓu thøc: A=
+1 ⋅
− 1 ; a ≥ 0 , a ≠1 .
√ a+1
√ a −1
1. Rót gän biểu thức A.
2. Tìm a 0 và a 1 thoả mÃn đẳng thức: A= -a2
y
y
2 xy
Bài 51; Cho biểu thức: S= √
+ √
: √ ; x> 0 , y >0 , x ≠ y .
x+ √ xy x − √ xy x y

1. Rút gọn biểu thức trên
2. Tìm giá trị của x và y để S=1.
1
x
+
; x >0 , x ≠ 1 .
Bµi 52; Cho biĨu thøc A=
√ x+ 1 √ x − x
1
1. Rót gän biĨu thøc A
Tính giá trị của A khi x=
2
x+
2
x

2
x
+1
Bài 53: Cho biểu thøc: Q= √
−√
⋅√
; x >0 , x ≠ 1 .
x +2 √ x+1 x −1
√x
2
a. Chøng minh Q=
b. T×m sè nguyên x lớn nhất để Q có giá trị là số nguyên.
x1
1

1
x +2 x+1
Bài 54: Cho biểu thức: A=

: √
−
; x> 0 , x ≠1 , x ≠ 4 .
√ x √ x − 1 √ x −1 √ x 2
1. Rút gọn A.
2. Tìm x để A = 0.
x x +1
Bµi 55: Cho biĨu thøc:
A= √
;x ≥0
x x +1
1
1. Rút gọn biểu thức.
2. Giải phơng trình A=2x.
3. Tính giá trị của A khi x=
.
3+2 2
Bµi 56: Cho biĨu thøc: F= √ x+2 √ x 1+ x 2 x 1
1. Tìm các giá trị của x để biểu thức trên có nghĩa.
2. Tìm các giá trị x 2 để F = 2.
a
b
a+b
+
−
Bµi 57: Cho biĨu thøc: N=

víi a, b lµ hai số dơng khác nhau
ab+b ab a ab
1. Rút gọn biểu thức N.
2. Tính giá trị của N khi: a=√ 6+2 √ 5 ; b=√ 6 −2 √ 5 .
Bµi 58: Cho biĨu thøc: T = x+ 2 + √ x +1 − √ x +1 ; x >0 , x ≠ 1 .
x √ x −1 x + √ x+ 1 x − 1
1. Rót gän biĨu thøc T.
2. Chøng minh r»ng víi mäi x > 0 và x 1 luôn có T < 1/3.
a) Tìm §KX§ cđa M.

(

)(

)

(

)

(

)

)(

(

)


4

4
4
x 1=
; x2 =
Bµi 59: LËp pt bËc hai với hệ số nguyên có 2 no là:
3+ 5
3 − √5

1 x

M 
1
Bµi 60: Cho biĨu thøc:
1. Rót gän biÓu thøc M.

x

1

 x

; x 0; x 1.
1 x x
2. Tìm x để M 2.



x 2 x 3 4


Bµi 61: Cho A= x 
a) Chøng minh A<0.

3



1

x  x 3
x  3  3x  x x 9
b) Tìm tất cả các giá trị x để A nguyên
2

2

4 4



Từ ®ã tÝnh P=  3  5   3  5 

4


36 x 4  (9a 2  4b 2 ) x 2  a 2 b 2
9 x 4  (9a 2  b 2 ) x 2  a 2 b 2
Bài 62: Cho
1. Rút gọn A.

2. Tìm x ®Ó A=-1.
(2 x  3)( x  1) 2  4(2 x  3)
A
( x  1) 2 ( x 3)
Bài 63: Cho biểu thức
a) Rút gọn A
b) Tìm x để A = 3
x
1
1
2
Bài 64. P=
:
+
x −1 x − √ x 1+√ x x − 1
A

(

a) Tìm điều kiện của
để

)(

x

)

P xác định.


để

b) Rút gọn

P

c) Tìm các giá trị của

P>0

a2 a
2a a
A

1
a a 1
a
Bài 65: Cho

a, Rót gän A

b, Khi a >1.H·y so s¸nh A với

c, Tìm a để A = 2
d, Tìm A min ?

x  4x   1  2x
2 x
A  1 


 : 1 
1  4x   1 4x 2 x

Bài 66.Cho
b, Tìm x để A A

a, Rút gọn A

A



1

2

A

c, Tìm x để

1
a 1
 1
M=

:
a  1  a  2 a 1
a a
Bµi 67: Cho biĨu thøc
a)


Rót gän biĨu thøc M;

b) So s¸nh M víi 1.

x 3  x  2x  2
2x  3 x  2
Q=
x  2 vµ
x 2
Bµi 68: Cho c¸c biĨu thøc
a) Rót gän biĨu thøc P và Q;
b) Tìm giá trị của x để P = Q.
P=

**********&*********

1
4

x