PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử ( Đặt nhân tử chung )
a) 4x2y3 – 6x3y2

2 2
2 3
4
b) 4a b  36a b  6a b

c) 5(a + b) + x (a + b)

d) (a - b)2 – ( b – a)

2
2
e) a ( x  y )  b ( x  y)

3
2
f) 8 a ( a −3 )+ 16 a (3 − a )

e) 14 x ( x − y ) −21 y ( y − x ) +28 z ( x − y )

h)

 12 x

2

 6x

  y  z    12 x

2



 6 x ( y  z ).

Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử ( Dùng hằng đẳng thức)
a) 25x2 - 10xy + y2

b) x4 + 2x2y + y2

c) 81x2 – 64y2

d) (2x+ y)2 – (2y + x)2

a
e)

2

2

 b 2  5  4  ab  2 



2


f) 8x3 + 36x2y + 54xy2 + 27y3

g) (a3 – b3) + (a – b)2

h) a3 – b3 + 2b – 2a

l) (64a3 + 125b3) + 5b(16a2 – 25b2)

m)* ( a+b +c )3 − a3 −b 3 − c3

Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử ( Nhóm hạng tử)
3

2

a) 2 x  3 x  2 x  3

3
2
2 2
2
b) x z  x yz  x z  xyz

c) x2y + xy2 – x – y

d) 8xy3 – 5xyz – 24y2 + 15z

e) x3 + y(1 – 3x2) + x(3y2 – 1) – y3

f) x3 + 3x2y + x + 3xy2 + y + y3


Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử ( tách hạng tử, thêm bớt hạng tử )
a) x2 - 6x + 8

b) x2 – 8x + 12

c) x3 – 7x – 6

2
2
2
d) a (b  c)  b (c  a )  c ( a  b)

e) x4 + 4

f) x4 + 64

(HD câu a: Tách - 6x = -4x - 2x )

( HD câud: Tách c - a = c - b + b - a)

( HD câu e: Thêm và bớt 4x2 vào đa thức)
Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử ( Phối hợp nhiều phương pháp )
a) 2a3 – 2ab2

b) a5 + a3 – a2 – 1

c) x2 + 2xy + y2 – xz – yz

d) 4 – x2 – 2xy – y2


e) 5x2 + 3(x+y)2 – 5y2

f) x3 + 2x2y + xy2 – 4x

g) x3 + 3x2y + 3xy2 +y3 – x – y.

h) x2 + 4xy + 3y2


BÀI TẬP VẬN DỤNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Bài 1: Tìm x , biết :
a) 2x2 – 10x = 0

b) x(x + 3) + 10(x+ 3) = 0

c) 5x(x – 3) + 3 – x = 0

d) (2x – 1)2 – (x +3)2 = 0

e) x3 – 25x = 0

f) x3 + 25x = 0

g) (5x2 + 3x – 2 )2 = (4x2 – 3x – 2 )2

h) x3 + 27 + (x + 3)(x – 9) = 0

l) x2 – 2x – 3 = 0


m) x2 + 4x + 3 = 0

Bài 2. Tính nhanh giá trị mỗi biểu thức sau:
a) x2 – 2xy – 4z2 + y2

tại x = 6; y = - 4 ; z = 45

b) x2 – y2 – 2y – 1

tại x = 93 và y = 6

c) 3(x - 3)(x + 7) + (x – 4)2 + 48

tại x = 0,5

1
1
x2  x 
2
16
d)

tại x = 49,75

Bài 3: Chứng minh rằng với mọi giá trị nguyên của n
a) n3 – n chia hết cho 6
b) (5n – 2)2 – (2n – 5)2 chia hết cho 7.
Bài 4. Chứng minh rằng
a) Hiệu các bình phương của hai số chẵn liên tiếp ln chia hết cho 4.
b) Hiệu các bình phương của hai số chẵn liên tiếp luôn chia hết cho 8.

Bài 5: Cho a, b , c thỏa mãn a + b + c = 0. Chứng minh rằng : a3 + b3 + c3 = 3abc
Bài 6: Cho x + y = -3 và x.y = -28. Khơng tính x, y, hãy tính giá trị các biểu thức sau
a) x2 + y2

b) x3 + y3

c) x4 + y4

2
2
2
Bài 7: Cho a  b  c  3 2  a  b  c  . Chứng minh : a = b = c = 1.

Bài 8: Chứng minh : a2 + 4b2 + 4c2

4ab - 4ac + 8bc

( HD : Viết về dạng bình phương của một tổng)

----------------------------------------------


Bài 7:
a) Cho a +b +c = 0 và a2 + b2 + c2 = 2.Tính giá trị của : a4 + b4 + c4.
b) Cho 3 số x,y,z thỏa mãn điều kiện : x + y + z = 0 và xy + yz + zx = 0.
Hãy tính giá trị của Biếu thức : S = (x-1)2011 + (y - 1)2012 + (z +1)2013
Bài 8: Chứng minh rằng:
a) a2 +b 2+ c 2+ d2 ≥ ab+ac+ ad

b) a2 + 4 b2 + 4 c 2 ≥ 4 ab −4 ac+ 8 bc


Bài 9: Chứng minh rằng:
Nếu x + y + z = 0 thì x3 + y3 + z 3 = 3xyz
-------------------------------------------ĐÁP ÁN
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử ( Gợi ý: Dùng hằng đẳng thức)
a) 25x2 - 10xy + y2

= ( 5x - y)2

b) 8x3 + 36x2y + 54xy2 + 27y3

= ( 2x + 3y)2

c) 81x2 – 64y2 = (9x)2 - (8y)2

= ( 9x + 8y)(9x - 8y)

xy  4  2 x  2 y   xy  4  2 x  2 y 
d) (xy + 4)2 – (2x + 2y)2 = 

a
e)

2

2

 b 2  5  4  ab  2 




2

a
=

2

2

 b 2  5   2  ab  2  



2

 a 2  b 2  5  2  ab  2    a 2  b 2  5  2  ab  2  
=
2
2
  a  b   32    a  b   12   a  b  3   a  b  3  a  b  1  a  b  1




f)

  a  b  c  3  a 3    b3  c 3 

= 


( a+b +c )3 − a3 −b 3 − c3
2



  a  b  c  a  a 2    b  c  b 2  bc  c 2




=

 a  b  c  a    a  b  c 

=

 b  c   a 2  b 2  c 2  2ab  2bc  2ac  a 2  ab  ac  a 2  b 2  bc  c 2 

b  c   3a 2  3ab  3bc  3ac 

 b  c   3a  a  b   3b  a  b  
=
=
3 a  b  b  c  a  c
= 

Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử : ( Dùng phương pháp nhóm hạng tử)
3
2

2 x 3  2 x    3x 2  3 2 x  x 2  1  3  x 2  1

2
x

3
x

2
x

3
a)
=

 x 2  1  2 x  3
3
2
2 2
2
xz  x 2  xy  xz  yz 
x
z

x
yz

x
z


xyz
b)

=

xz   x 2  xz    xy  yz   xz  x  x  z   y  x  z  
= xz  x  z   x  y 


c) x2y + xy2 – x – y =

x

2

y  xy 2    x  y  xy  x  y    x  y 

d) 8xy3 – 5xyz – 24y2 + 15z
 xy  3  8 y 2  5z 

=  x  y   xy  1

 8 xy 3  24 y 2    5 xyz  15 z  8 y 2  xy  3  5 z  xy  3

3

3

2


2

e) x + y(1 – 3x ) + x(3y – 1) – y
=

 x  y  x

2

3

x3  3x 2 y  3xy 2  y 3  x  y  x  y    x  y 

 xy  y 2  1
3

3

2

2

f) x + 3x y + x + 3xy + y + y

3

2
2
 x  y    x  y   x  y   x  xy  y  1


Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử : ( Dùng phương pháp tách hạng tử)
2
a) x2 - 6x + 8 = x  2 x  4 x  8 x  x  2   4  x  2   x  2   x  4 

b) x2 – 8x + 12 =  x  2   x  6 
2
2
2
2
2
2
c) a  b  c   b  c  a   c  a  b  a  b  c   b  c  b  b  a   c  a  b 

a 2  b  c   b 2  c  b   b 2  b  a   c 2  a  b 
a 2  b  c   b 2  b  c   b 2  a  b   c 2  a  b 
 a  b   a  b   b  c    a  b   b  c   b  c   a  b   b  c   a  c 
3
d) x3 – 7x – 6 = x  4 x  3 x  6 = x  x  2   x  2   3  x  2 

 x  2   x 2  2 x  3 

=  x  1  x  2   x  3

Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử : ( Dùng phương pháp thêm - bớt hạng tử )
4
2
2
a) x4 + 4 x  4 x  4  4 x

x

=

2

2

2
( Thêm bớt hạng tử 4x )

2

 2    2 x   x 2  2 x  2   x 2  2 x  2 

4

b) a + 64

a 4  16a 2  64  16a 2  a 4  16a 2  64   16a 2

2

2

 a 2  8    4a   a 2  4a  8   a 2  4a  8 
5

c) x + x + 1
x
=


2

x 5  x 2  x 2  x  1 x 2  x  1  x 2  x  1   x 2  x  1

 x  1  x 3  x 2  1

d) x5 + x - 1 = x5 + x2 - x2 + x - 1 = x2(x3 + 1) - (x2 - x + 1)
Giải bài 3:
Cách 1 : Từ a + b + c = 0  a + b = - c  (a + b)3 = (- c)3
 a3 + b3 + 3ab(a + b) = - c3  a3 + b3 + 3ab(- c) = - c3

=


 a3 + b3 + c3 = 3abc

Cách 2 :a + b + c = 0  a + b = - c  - ab(a + b) = abc
 - a2b – ab2 = abc

Tương tự : - b2c – bc2 = abc ; - c2a – ca2 = abc
3abc = - a2b – ab2 – b2c – bc2 – c2a – ca2

Do đó :

 3abc = - a2(b + c) – b2(a + c) – c2(a + b)
 3abc = - a2(-a) – b2(-b) – c2(-c)

 a3 + b3 + c3 = 3abc

Cách 3 :a + b + c = 0  a + b = - c  - c2(a + b) = c3

 -a2c – bc2 = c3

Tương tự : -ab2 – cb2 = b3 ; -ba2 – ca2 = a3
Do đó : -ab2 – cb2 – ab2 – cb2 – ba2 – ca2 = a3 + b3 + c3
 - ac( c + a) – bc(c + b) – ab(b + a) = a3 + b3 + c3
 -ac(-b) – bc(-a) – ab(-c) = a3 + b3 + c3  a3 + b3 + c3 = 3abc

Bài 8: Chứng minh rằng:
a) a2 +b 2+ c 2+ d2 ≥ ab+ac+ ad

b) a2 + 4 b2 + 4 c 2 ≥ 4 ab −4 ac+ 8 bc

2
2
2
2
a) Ta cã: a  b  c  d  ab  ac  ad

Giải

 a2
  a2
  a2
 a2
  ab  b 2     ac  c 2     ad  d 2  
 4
  4
  4
 4
2


2

2

2

⇒a + b + c + d ≥ ab+ac +ad
2

b) Ta cã:

2

( )( )(

(®pcm)

2

2

2

2

a + 4 b + 4 c − 4 ab +4 ac −8 bc=(a − 4 ab+ 4 b )+ 4 c +( 4 ac − 8 bc)
2 c ¿2
a −2 b ¿2 +2 .(a − 2b).2 c +¿
¿¿


2

2
2
2
a
a
a
a2
¿ −b + − c + −d + ≥ 0
2
2
2
4

2

2

⇒a + 4 b + 4 c ≥ 4 ab − 4 ac+ 8 bc

2

a −2 b+2 c ¿ ≥ 0
¿¿

(®pcm)

Bài 9: Chứng minh rằng: Nếu x + y + z = 0 thì x3 + y3 + z 3 = 3xyz

Từ x + y + z = 0  x + y = - z
nên x3 + y3 + z 3 = x3 + y3 - ( x+ y) 3
= x3 + y3 - x3 - y3 - 3xy(x + y)

= - 3xy(-z ) = 3xyz.

)