Một Số ứNG DụNG CủA BấT ĐẳNG THứC CÔ SI
1. Chứng minh bất đẳng thức
Bài toán 1. Cho a, b, c > 0. Chøng minh r»ng
1 1 1
 a  b  c      9.
a b c
Bài toán 1.1 Chứng minh các bất đẳng thức:

a b c
  3
2
2
2
b
c a
a.
(a, b, c > 0);
b. a  b c ab bc ca
Bài toán 1.2 Chứng minh rằng:
x2 2
2
2
x R (G.ýáp dụng BĐT Côsi cho 2 số x2 +1 và 1)
a. x 1
x 8
6
x

1
x > 1. (g.ý.áp dụng BĐT Côsi cho 2 sè x - 1 vµ 9)
b.

 a  b  ab 1 4ab a, b 0
c.
Bài toán1.3 Chứng minh r»ng:
a.  a  b   b  c   c  a  8abc a, b, c 0
b.

a 2  1  b 2   b 2  1  c 2   c 2  1  a 2  6abc

2
2 2
2
2 2
2
2 2
g. ý .áp dụng BĐT Côsi cho 6 số a , a b , b , b c , c , c a .

2.áp dụng bất đẳng thức Côsi để chứng minh BĐT trong tam giác
Bài toán 2. Cho a, b, c là độ dài cạnh của một tam giác.
a
b
c
+
+
3.
Chøng minh r»ng:
b+c − a a+c −b a+b − c

x y
xz

yz
,b
,a
.
2
2
2
G. ý. đặt x = b + c – a; y = a + c - b; z = a + b – c ,
Bµi tËp 2.1. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam gi¸c ABC, a ≤ b ≤ c .
Chøng minh r»ng: ( a+b +c )2 ≤ 9 bc . (*)
c

Bµi tËp 2.2. Chøng minh r»ng

a
b
c
+ 3 2 2 + 3 2 2 < 2. √3 4
2
√b + c √c +a a + b
3

2

Trong đó a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác.
3. ứng dụng bất đẳng thức Côsi để tìm cực trị
1 1 1

x
y 2 Tìm GTNN của A =

Bài toán 3. Cho x > 0, y > 0 thoả mÃn:

Bài toán 4. Tìm GTNN cña A = 3x  5  7  3x (g. ý. Xột A2)
Bài 5. Tìm GTLN của A =

x 9
5 x ( G. Ý. AD cho

x 9
.3
3

)

x y


16
16
3 x 4  16
4 x.x.x.
A

x

x

x



4
x3
x3
x 3 (G.ý
Bµi 6. Cho x > 0, tìm GTNN của A =

Bài toán 2

)

9x
2

. Cho 0 < x < 2, t×m GTNN cđa A = 2 x x
Bài giải

A

9x
2 x
9x 2 x

1 2
.
 1 2 9  1 7
2 x
x
2 x x



DÊu “=” x¶y ra

9x
2 x
1

 x
2 x
x
2

 x

VËy min A = 7



1
2

2
2 x
2 x
1
Trong cách giải trên ta đà tách x thành tổng x
. Hạng tử x nghịch đảo

x
với 2 x nên khi vận dụng BĐT Côsi ta đợc tích của chúng là một hằng số.


* Cách 4: Thêm một hạng tử vào biểu thức đà cho
Ví dụ: Cho x, y, z > 0 tho¶ m·n: x + y + z = 2
x2
y2
z2


yz zx xy

Tìm GTNN của P =
Bài giải
Vì x, y, z > 0 ta có:
x2
yz
áp dụng BĐT Côsi đối với 2 số dơng y z và 4 ta đợc:

x2
yz
x2 y z
x

2
.
2. x
yz
4
yz 4
2
(1) . T¬ng tù ta cã:
y2

xz

 y (2)
xz
4
z2
x y

 z (3)
xy
4


 x2
y2
z2  x  y  x


x  y  z


2
 yz zx x y
xyz
 P  x  xy  z  
1
2

Céng (1) + (2) + (3) ta đợc:
x y z


Dấu = xảy ra
x  y z 

VËy min P = 1

2
3

2
3
2

x
yz
Ta ®· thêm 4 vào hạng tử thứ nhất y z có trong đề bài, để khi vận

Nhận xét:
dụng BĐT Côsi có thể khử đợc (y + z). Cũng nh vậy đối với 2 hạng tử còn lại của đề
x y z

bài. Dấu đẳng thức xảy ra đồng thêi trong (1), (2), (3)

2
3

x2
y2
z2
;

;
y

z
x

z
x  y th× ta cịng khử đợc
Nếu ta lần lợt thêm (y + z), (x + z), (x + y) vµo

(y + z), (x + z), (x + y) nhng điều quan trọng là không tìm đợc các giá trị của x, y, z để
dấu của các đẳng thức đồng thời xảy ra, do đó không tìm đợc GTNN của P.
áp dụng các cách trên cùng với việc sử dụng BĐT Côsi ta có các vÝ dơ kh¸c nh
sau:
VD 1: Cho a, b, c > 0 tho¶ m·n: a + b + c = 1
 1  1  1
1  1  1 
T×m GTLN cña P =  a   b   c 



: a, b, c > 0

3

1
abc  
3

3


1
3
abc

Ph©n tích
Do đó có thể khai triển P rồi ớc lợng theo BĐT Côsi
Bài giải
1 1 1 1
1
1
1
P 1     
a b c ab bc ac abc
Cách 1:
áp dụng BĐT Côsi cho 3 số dơng ta cã:


a  b  c 3 3 abc  1 3 3 abc abc


1
33

1
33 27
abc

(1)


Mặt khác:
2

1
1
1
1
3
 3 3 
 3 27
ab ac bc
 abc 
1 1 1
1
  3 3
32
a b c
abc

(2)

2
(1) + (2) ta cã: P 1  3  27  27 64 . VËy min P = 64
C¸ch 2:

a 1 b 1 c 1
1
.
.


.  a  1  b  1  c  1
a
b
c
abc
1
P
 a  a  b  c  b  a  b  c  c  a  b  c
abc
43 4 4 4 4
P
a b c 43 64
abc
P

Tỉng qu¸t: cho S = a + b + c

t

VD 2:

 1  1 1
1  1  1 
×m GTLN cđa P =  a   b   c 

T×m GTLN cđa B =

y 2
x 1


x
y

Bài giải
1.( x 1) 1 x  1 1
x 1



x
x
x
2
2.  y  2  2  y  2
y 2
1
2




y
y
y
4
2 2

 x  1 1
1
2 2 2





y

2

2
4
 max B = 2 4


VD 3: Cho 2 sè d¬ng x, y cã x + y = 1
1
1

1

1




x2
y2


Tìm GTNN của B =
Bài giải


x 2

 y 4


Ta cã: B =

1 
1 

2
1 2  1 2 
x 
y  = 1 + xy


1  x  y 

2

CS

4 xy 

2
8  B 9
xy

 x y 


VËy min B = 9

VD

1
2

1
1
1


2
1

x
1

y
1

z
4: Cho x, y, z > 0 thoả mÃn:

Tìm GTNN của P = xyz
Bài giải

1
1

1 
y
z
 1 

2
  1

1 x  1 y   1 z  1 y 1 z

yz
1 y  1 z 

Ta cã:
1
2
1 y

zx
1 x 1 z 

1
2
1 z

xy
1 x 1 y

 P  xyz 


T¬ng tù:

1
8

1
1
 x  y z 
8
2

VËy max P =

VD 5: Cho M = 3x2 – 2x + 3y2 – 2y + 6 |x| + 1
Tính giá trị của M biết x, y là 2 số thoả mÃn x.y = 1 và biểu thức
|x + y| đạt GTNN.
Bài giải:
Ta có:

x y

2

CS

4 xy 4 

x  y 2



 xy 1


 x  y 2

Min |x + y| = 2 khi x = y, khi đó
Khi x = y = 1 hoặc x = y = - 1
+ Khi x = y = 1 th× M = 9
+ Khi x = y = - 1 thì M = 17
VD 6:
Cho các số thực không ©m a1, …, a5 tho¶ m·n: a1 + … + a5 =1


T×m GTLN cđa A = a1a2 + a2a3 + a3a4 + a4a5
Bài giải
Ta có: A = a1a2 + a2a3 + a3a4 + a4a5  (a1 + a3 + a5)(a2 + a4)

 a1  a3  a5   a2  a4  
2

 a1  a3  a5   a2  a4 

2

1
    a1  a3  a5   a2  a4 
 2
1
 A
4

1

1
a1 a2 
2
1  a1  a3  a5 a2  a4   
2

a3 a4 a5 0
4

VËy max A =

 x  a  x  b
x
VD 7: Cho a, b > 0. Tìm GTNN của A =
Bài giải

x  a  x  b
A
x

( x > 0)

x 2  ax  bx  ab
ab

a  b  x 
x
x


 A a  b  2 ab  min A a  b  2 ab .
ab
 x  x ab
x

Dấu = xảy ra

2
1

VD 8: Tìm GTNN cđa hµm y = 1  x x víi 0 < x < 1

Bài giải
2
1
2 2x 2x 1 x  x



1 x
x
1 x
x

Ta cã: y =

( 0 < x < 1)
3


=

2x 1  x
2x 1 x

3  2
.
3  2 2
1 x
x
1 x x


DÊu “=” x¶y ra

2x 1  x

 x 21
1 x
x

VD 9: Cho a, b > 0 cho tríc.


a b
1
x
y
Các số x, y > 0 thay đổi sao cho


Tìm x, y để S = x + y đạt GTNN. Tìm min S theo a, b.
Bài giải
a b
a b
bx y
 1  S  x  y     a  b  
x y
y x
 x y
Ta cã:
 S ab  2

bx ay
.
a  b  2 ab
y x

 min S a  b  2 ab 

a b
 1 
x y

ay bx

x
y

 x a  ab


 y b  ab

Mµ

VD 10:

4 x 4  16 x 3  56 x 2  80 x  356
x2  2x  5
T×m GTNN cđa P =

Ta có: P =

Bài giải
4 x 4 16 x 3  56 x 2  80 x  356
x2  2x  5
CS
256
4  x  2 x  5  2
64
x  2x  5 
2

=
Suy ra min P = 64



x = 1 hoặc x = - 3

Bài tập tơng tự

: Cho x, y > 0 thoả mÃn x. y = 1. T×m GTLN cđa A =
BT 1
BT 2: Tìm GTLN của các biểu thức sau:

x
y
2
2
x y
x y4
4


A  x 1  x2
B

yz x  1  xz y  2  xy z  3
xyz

x2 1
C
;  x 0 
x2
8
D 2
3x  2
x2  1
E 2
x 1
x2  x 1

F 2
;  x 0 
x  x 1
x 2  x 1
G 2
x  2 x 1
x
H
; x 0 
2 
 x  2000 

1
1
1


2
BT 3: Cho a, b, c > 0 tho¶ m·n 1  a 1  b 1  c
. T×m GTLN cđa biÓu thøc Q =

abc.
BT 4: Cho x, y > 0 thoả mÃn x + y = 1. Tìm GTNN của biÓu thøc
1
 1 
1

1





P =  x  y 

BT 5: Tìm GTNN của các biểu thức sau:
x2 4x  4
A
;  x  0
x
x2
B
;  x  1
x 1
x2  x  2
C
x2  x 1
 1
D  1  x   1   ;  x  0 
x

2

 x2

E  x  1  
 2  ;  x  1
 x 1 
x
5
F

 ; x   0,1
1 x x
x
2
G 
;  x  1
2 x 1
2

2
2
x

y
4 . T×m GTNN cđa biĨu thøc
BT 6: Cho x, y > 0 th¶o m·n


2


1
1
x


y





y
x
E=

2

BT 7: Tìm GTLN và GTNN cña A =

3  x  6  x ;   3  x 6 

 x, y  1

 x  y 2

: T×m GTLN cđa A = x  1  y 1 biÕt

BT 8
BT 9: Cho a, b > 0 thoả mÃn a. b = 216
Tìm GTNN cña S = 6a + 4b
1
a  1
b
BT 10: Cho a, b > 0 thoả mÃn
.

Tìm GTNN của A =

a b


b a

a 3

BT 11: Cho a, b > 0 thoả mÃn ab 6 .
2

2

Tìm GTNN của S = a  b
BT 12: Cho x, y, z  0 tho¶ m·n xy + yz + zx = 100.
T×m GTNN cđa A = xyz
Với giá trị nào của a thì tích xy nhận GTLN nếu x, y, a là các số thùc tho¶ m·n
BT 13:
 x a 2

1
4
 y a  4


x8  a
BT 14: T×m GTNN cđa A = x biÕt a > 0, x > 0
BT 15: Víi gi¸ trị nào của số dơng a thì biểu thức D ®¹t GTNN ?
a1000  a900  a90  a 5 

A=

1995
a


100
10
BT 16: T×m GTNN cđa C = x  10 x  2004

BT 17

x 2  xy  y 2
; x  0, y  0 
2
2 
x

xy

y
: T×m GTLN cđa E =

BT 18: T×m GTLN cđa tÝch

x1 x2 ...xn ;  n 2 


1
2
2
2
xi ; i 1, n
x


x

...

x
1
1
2
n
n
và
Biết
x

BT 19:

x 1995
Tìm GTLN cđa B = 

x

BT 20: T×m GTNN cđa N =

2

;  x  0

5
x y  x  y
2


x 1  x2

BT 21: T×m GTLN cđa H =
BT 22: T×m GTLN cđa biĨu thøc:

biÕt r»ng x, y > 0

víi  1  x 1

x
y
z


 1 x 1 y  1 z 
1

y

z
1

x

z
1

x


y
P=

Víi mäi x, y, z biÕn ®ỉi nhng luôn thoả mÃn
f x, y x

BT 23

: T×m GTNN cđa

1
xy  x  y 

x2  2

BT 24

: T×m GTLN cđa

x2 1

x 8
BT 25: T×m GTLN cđa x  1 víi x > 1

0  x, y, z 1

x, y  0

; x  y