CHỦ ĐỀ 3:
HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
C¸ch 1: Sử dụng phơng pháp cộng đại số:
- Nhân các vế của hai phơng trình với số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số
của một ẩn nào đó trong hai phơng trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau
- Sử dụng quy tắc cộng đại số để thực hiện phơng trình mới, trong đó có một phơng trình mà hƯ sè cđa mét trong hai Èn b»ng 0 (tøc là phơng trình một ẩn số)
- Giải phơng trình một ẩn vừa thu đợc rồi suy ra nghiệm của hệ phơng trình đÃ
cho
Cách 2: Sử dụng phơng pháp thế
- Dùng quy tắc thế biến đổi hệ phơng trình đà cho để đợc hệ phơng trình mới,
trong đó có một phơng trình một ẩn
- Giải phơng trình một ẩn vừa có, råi suy ra nghiƯm cđa hƯ ®· cho

Dạng 1: Giải các hệ phương trình sau
Bài 1: Dạng cơ bản
ïìï 2x + 3y = - 2
í
ï 3x - 2y = - 3
a) ïỵ

ìï x - 6y = 17
ï
í
ï 5x + y = 23
d) ïỵ
 x  3 y 2

 2 x  5 y 1
g) 
x y
  1

2 3
5 x  8 y 3
j) 
3x  y 5

m) 2 x  3 y 18
2 x  2 y 9

2 x  3 y 4
p) 

s)

4 x  5 y 3

3x  y 16

3x  2y  4
1) 
;
2x  y 5
3x  4y  2 0
4) 
;
5x  2y 14

ïìï 4x + 3y = 6
í
ï 2x + y = 0
b) ïỵ

ïìï 7x + 4y = 74
í
ï 3x + 2y = 32
e) ïỵ

ìï 9x + 8y = 6
ï
í
ï 2x - y = 2
c) ïỵ

2 x  y 1

x  y 2
h) 

 x  3 y 1

x  4 y 2
i) 

 x  2 y 7

k) 2 x  y 4
 x  3 y 5

n) 2 x  2 y  6
2 x  y 3

x  y 6

q) 
3x  2 y 10


2
1
 x  3 y 3 3
t)
4x  2y 3
2) 
;
6x  3y 5
2x  5y 3
5) 
;
3x  2y 14

ïìï x - 3y = 6
í
ï - 2x + 6y = - 12
f) ïỵ

l)

3x  2 y 7

2 x  3 y 3

 5 x  2 y 4


o) 6 x  3 y  7
 x  y 3

3x  4 y 2
r) 
4 x  y 3

3x  2 y 16

u)
2x  3y 5
3) 
4x  6y 10

4x  6y 9
6) 
10x  15y 18


Bài 2: Dạng cơ bản biến thể
ìï x + y - 2 = 0
ïï
í3 4
ïï 5x - y = 11
a) ïỵ

ìï x = y
ïï
í2 3
ïï x + y - 10 = 0

ïỵ

ìï a b
1
ïï + = 3
í5 3
ïï 4a - 5b - 10 = 0
b) ïïỵ

c)

Bài 3: Dạng biến thể phức tạp
a)

ìï x 2 ïï
í
ïï x + y
ïỵ
ìï x 2 ïï
í
ïï x + y
ïỵ

y 3 =1
3= 2

y 3 =1
3= 2

ìï ( 2 - 1)x - y = 2

ïï
í
ïï x + ( 2 + 1)y = 1
b) ïỵ
ìï (x 5 - (1+ 3)y = 1
ïï
í
ïï (1- 3)x + y 5 = 1
e) ïỵ

d)
Bài 4: Thu gọn ẩn đưa về dạng cơ bản

c)

ìï x 2 - 3y = 1
ïï
í
ïï 2x + y 2 = - 2
ïỵ

ìï 5x 3 + y = 2 2
ïï
í
ïï x 6 - y 2 = 2
f) ïỵ

ìï 6(x + y) = 8 + 2x - 3y
ï
í

ï 5(y - x) = 5 + 3x + 2y
a) ïïỵ
ìï (x - 1)(y - 2) = (x + 1)(y - 3)
ï
í
ï (x - 5)(y + 4) = (x - 4)(y + 1)
b) ïïỵ

ìï (x - 2)(y + 1) = xy
ï
í
ï (x + 8)(y - 2) = xy
c) ïïỵ

 3x  2 2y  3 6xy
1) 
;



4x

5
y

5

4xy

y  27

 2y - 5x

5

 2x
 3
4
3) 
;
6y

5x
x

1

y 
 3
7
Bài 5: Dạng bậc cao

 2x - 3 2y  4 4x  y  3  54
2) 
;





x


1
3y

3

3y
x

1

12

 7x  5y - 2
 x  3y  8

4) 
 6x - 3y  10 5
 5x  6y

ìï x - y + 1 = 0
ï
í 2
ïï 2x - xy + 3y2 - 7x - 12y + 1 = 0
a) ïỵ
ìï x2 + y2 - 2x - 2y - 23 = 0
ï
í
ï x - 3y - 3 = 0
c) ïïỵ


Bài 6: Dùng ẩn phụ

ìï x - 5y = - 1
ï
í 2
ïï x + y2 - 3xy + x + y = 10
b) ïỵ
ìï 3x2 + 6xy - x + 3y = 0
ï
í
ï 4x - 9y = 6
d) ïïỵ


a)

ìï 1 1
ïï =1
ïï x y
í
ïï 3 4
ïï + = 5
ïỵ x y

b)

ìï 6 5
ïï + = 3
ïï x y

í
ïï 9 10
=1
ïï ïỵ x y

c)

ìï 1 1 1
ïï + =
ïï x y 4
í
ïï 10 1
=1
ïï ïỵ x y

d)

ìï 1 1
1
ïï + =
ïï x y 24
í
ïï 2 3
ïï =
ïỵ x y

e)

ìï 1
1

ïï
+
=2
ïï x - 2 y - 1
í
ïï 2
3
=1
ïï
ïỵ x - 2 y - 1

f)

ìï 4
5
ïï
+
=2
ïï x - 3 y + 1
í
ïï 5
1
29
+
=
ïï
ïỵ x - 3 y + 1 20

g)


ìï 8
1
ïï =1
ïï x y + 12
í
ïï 1
5
=3
ïï +
ïỵ x y + 12

h)

ìï 4
9
ïï
+
=- 1
ïï 2x + 1 y - 1
í
ïï 3
2
13
=
ïï
6
ïỵ 2x + 1 y - 1

i)


ìï 1
1
ïï
+
=2
ïï x - 1 y - 2
í
ïï 2
3
=1
ïï
ïỵ y - 2 x - 1

ïìï 7x2 + 13y = - 39
ïí
ïï 5x2 - 11y = 33
j) ïỵ
ìï 2x2 + 3y2 = 36
ïï
í 2
ïï 3x + 7y2 = 37
k) ïỵ


ìï 3x2 + y2 = 5
ïï
í 2
ïï x - 3y2 = 1
l) ïỵ
ìï 3 x - y = 5

ï
í
ï 2 x + 3 y = 18
m) ïỵ
ïìï 3 x + 2 y = 6
í
ï x - y = 4,5
n) ïỵ
ìï x + 3 - 2 y + 1 = 2
ïï
í
ïï 2 x + 3 + y + 1 = 4
o) ïỵ

p)

ìï 7
4
5
ïï
=
ïï x - 7
y +6 3
í
ïï
5
3
1
+
=2

ïï
y +6
6
ïỵ x - 7

1
 2

 x  2y y  2x 3

1) 
;
4
3


1
 x  2y y  2x

2
 3x

 x  1 y  4 4

2) 
;
2x
5



9
 x  1 y  4

2 x 2  2x   y  1 0
4) 
;
2
3 x  2x   2 y  1  7 0
Bài 7: Dùng ẩn phụ

a)

ìï 2x
y
ïï
+
=2
ïï x + 1 y + 1
í
ïï x
3y
+
=- 1
ïï
ïỵ x + 1 y + 1

b)

ìï
4

5
ïï
+
=- 2
ïï 2x - 3y 3x + y
í
ïï 3
5
= 21
ïï
ïỵ 3x + y 2x - 3y

c)

ìï
ïï
ïï x í
ïï
ïï
ïỵ x -

7
5
9
=
y +2 x +y - 1 2
3
2
+
=4

y +2 x +y - 1

x
ìï x =1
ïï
ï y y + 12
í x
x
ïï
ïï y + 12 - y = 2
d) ỵï

3y
 x 1

 x  1 y  2 7

3) 
;
2
5


4
 x  1 y  2

5 x  1  3 y  2 7
5) 
2 4x 2  8x  4  5 y 2  4y  4 13.


e)

ìï 3
6
ïï
=- 1
ïï 2x - y x + y
í
ïï 1
1
=0
ïï
ïỵ 2x - y x + y

f)

ìï
4
ïï
ïï x + y - 1 2x í
ïï
3
+
ïï
ïỵ x + y - 1 2x -

g)

xy
5

ìï x + y
ïï
+
=
x +y 2
ïïí xy
xy
10
ïï x - y
+
=
ïï
x- y
3
ïỵ xy

h)

ìï 2x
3y
ïï
+
=1
ïï y - 1 x - 1
í
ïï 2y
5x
=2
ïï
ïỵ x - 1 y - 1


5
5
=
y +3 2
1
7
=
y+3 5


ìï 6
2
ïï
+
=3
ïï x - 2y x + 2y
í
ïï 3
4
+
=- 1
ïï
ïỵ x - 2y x + 2y

i)
Bài 8: Hệ đối xứng loại 1
a)
b)


ïìï x + y + xy = 7
í 2
ïï x + y2 + xy = 13
ïỵ
ìï x + xy + y = 5
ï
í 2
ïï x + y2 = 5
ïỵ

ìï x2 + y2 + x + y = 8
ïï
í 2
ïï x + y2 + xy = 7
c) ïỵ

ïìï xy = x + y + 17
í 2
ïï x + y2 = 65
d) ïỵ

e)

ìï x + +y - xy = - 17
ï
í
ïï xy - 12 = 0
ỵ

ìï x + y = 8

ï
í 2
ïï x + y2 = 34
f) ïỵ

ìï xy = 10
ï
í 2
ïï x + y2 = 29
g) ïỵ

h)

ìï xy = 15
ï
í 2
ïï x + y2 = 34
ïỵ

ìï x2 + xy + y2 = 4
ï
í
ï x + xy + y = 2
i) ïïỵ

ïìï x + y + xy = - 1
í 2
ïï x y + y2x = - 6
ị) ïỵ
ìï x2 + y2 - x - y = 102

ï
í
ï xy + x + y = 69
k) ïïỵ
ìï 3(x + y) = xy
ï
í 2
ïï x + y2 = 160
l) ïỵ

ìï xy(x + 2)(y + 2) = 9
ï
í 2
ïï x + y2 + 2(x + y) = 6
m) ïỵ

n)

ìï x2 + y2 + 2x(y - 3) + 2y(x - 3) + 9 = 0
ï
í
ïï 2(x + y) - xy + 6 = 0
ïỵ


ìï x2 + y2 + xy = 1
ïï
í 3
ïï x + y3 = x + y
o) ïỵ

ìï x(x + 1) + y(y + 1) + xy = 17
ï
í
ï (x + 1)(y + 1) = 8
p) ïïỵ
ìï x + y + xy = 5
ï
í 2
ïï x + y2 + xy = 7
q) ïỵ

ïìï xy + x + y = 11
ï
í6 6
ïï + + xy = 11
ï
r) ïỵ x y
ïìï xy + x + y = 7
ï
í x y 10
ïï + =
ï
3
s) ïỵ y x
ïìï x2 + y2 = 52
ïï
í1 1
ïï + = 5
ï
t) ïỵ x y 12

ìï
1
ïï x +
=- 1
x +y
ïïí
ïï x
=- 2
ïï
x
+
y
ï
ỵ
u)
ìï
1
ïï y +
=- 5
ïï
2x - y
í x
ïï
=6
ïï
2
x
y
ï
ỵ

v)
ïìï x3 + y3 = 9
ïí
ïï x2 + y2 = 5
x) ïỵ

ïìï x + y = 7
í 3
ïï x + y3 = 133
y) ïỵ
ïìï x y + y x = 30
í
ï x x + y y = 35
z) ïỵ

Bài 9: Hệ đối xứng loại 2:
ìï 2x = y2 - 4y + 5
ïï
í
ïï 2y = x2 - 4x + 5
a) ïỵ

ìï y2 = 2x + 3
ïï
í 2
ïï x = 2y + 3
b) ïỵ

ìï x2 - 2y2 = 7x
ïï

í 2
ïï y - 2x2 = 7y
c) ïỵ


ïìï 2x2 - 3xy = y2 - 3x - 1
ïí
ïï 2y2 - 3xy = x2 - 3y - 1
d) ïỵ

ìï x2 = 2 - y
ïï
í 2
ïï y = 2 - x
e) ïỵ

ïìï x3 - 2y = 4
ïí
ïï y3 - 2x = 4
f) ïỵ

ìï 2x2 - 3x + 2 = y2
ïï
í 2
ïï 2y - 3y + 2 = x2
g) ïỵ
ìï x3 = 13x - 6y
ïï
í 3
ïï y = 13y - 6x

j) ïỵ
Bài 10: Hệ bậc nhất 3 ẩn

ìï x3 = 5x + y
ïï
í 3
ïï y = 5y + x
h) ïỵ

ïìï x3 = 2y - x
ïí
ïï y3 = 2x - y
i) ïỵ

ìï y2 = x3 - 4x2 + 3x
ïï
í 2
ïï x = y3 - 4y2 + 3y
k) ïỵ

ìï x3 - 2y = 1
ïï
í 3
ïï y - 2x = 1
l) ïỵ

a)

ìï x + y + z = 1
ïï

ïïí x + 2y + 4z = 8
ïï
ïï x + 3y + 9z = 27
ïỵ

b)

ìï x + y + z = 12
ïï
ïï
í 2x - 3y + z = 12
ïï
ïï x + y - 2z = 5
ïỵ

ìï x = y = z
ïï
í5 7 3
ïï 2x - y + 4z = 30
h) ïỵ
ïìï 4x + 3y - 2z = - 1
ïí
x
y
z
ïï =
=
i) ỵï 6 - 10 - 2

j)


ïìï x - 2 = y + 1 = z
ï 3
4
7
í
ïï 4x - y - z = 3
ïïỵ

k)

e)

ìï 2x - y + 3z = 4
ïï
ïïí 3x - 2y + 2z = 3
ïï
ïï 5x - 4y = 2
ïỵ

ìï x + y = 4
ïï
ïïí y + z = 7
ïï
ïï x + z = 5
ïỵ

l)

f)


ìï 2x + y + 3z = 2
ïï
ïïí - x + 4y - 6z = 5
ïï
ïï 5x - y + 3z = - 5
ïỵ

ìï x + y = 16
ïï
ïï
í y + z = 28
ïï
ïï x + z = 22
ïỵ

ìï x = y = z
ïï
í4 7 - 6
ïï 4x + 3y - 2z = 24
g) ïỵ

m)

ìï x + 2y + 3z = 1
ïï
ïï
í 3x + y + 2z = 3
ïï
ïï 2x + 3y + z = - 2

c) ïỵ
ìï x + y + 2z = 4
ïï
ïï
í 2x - 3y + 3z = 6
ïï
ïï x - 3y + 4z = 7
ïỵ

d)

n)

ìï x + y = 25
ïï
ïï
í y + z = 30
ïï
ïï x + z = 29
ïỵ
ìï x + 3y + z = - 2
ïï
ïïí x - y + 2z = 9
ïï
ïï
z = 3x
ïỵ


p)


ìï x = 2 + z
ïï
ïï
í y = 2 + 3z
ïï
ïï - 3x - 2y + z = - 2
ïỵ